第21章 二次根式（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第21章 二次根式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 【详解】根据二次根式的定义可得：是二次根式 故选：C． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的相关运算，掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：不说同类二次根式，不能相加，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：C 3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（     ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 4．下列式子是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 5．若  ，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．若有意义，则（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式分母不为零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故选：B． 7．如果，则的平方根是（     ） A．-7 B．1 C．7 D．±1 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故，则， 故的平方根是：±1． 故选：D． 【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键． 8．若，则代数式的值为（     ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．设点 ，且，则点P的坐标是（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，进而可求； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性、二次根式的非负性，一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键． 10．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键；根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】 故答案为：． 12．等式成立的条件是 【答案】. 【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得出关于b的不等式组，解不等式组即可得出答案. 【详解】解：根据题意，得：，解得：. 故答案为. 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的被开方数非负是解此题的关键. 13．已知，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查含字母的二次根式的化简，掌握二次根式的定义及性质是解决本题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 【答案】1 【详解】∵的整数部分为1,小数部分为−1， ∴x=1,y=−1， ∴x−y=−(−1)=1. 故答案为1. 15．如图所示，已知是腰长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边，画第三个等腰直角三角形，……依此类推，则第2025个等腰直角三角形的斜边长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，依据勾股定理求出斜边长，发现规律是解题的关键． 根据勾股定理依次求出斜边、、的长，得出规律即可． 【详解】解：∵是腰长为的等腰直角三角形， ∴， 在第二个等腰中，由勾股定理得：， 在第三个等腰中，由勾股定理得： ， …… 依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长为， 第2025个等腰直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 16．若，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可． 【详解】解：由题意得a-2022≥0， ∴a≥2022， ∴|2021-a|= a-2021． ∵， ∴， ， ， 即=2022． 故答案为2022． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是∶ （1）先利用二次根式的除法、乘法法则计算，然后合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的乘法法则计算，然后利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． ． （2）解：原式 ． 18．计算： (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的运算法则并正确计算是解题的关键． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．对于题目先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式． 在两人的解法中谁的解答是错误的，为什么？ 【答案】甲的解答是错误的，理由详见解析. 【分析】根据二次根式的性质解答即可. 【详解】甲的解答是错误的． 理由：∵时，， ∴原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解答此题的关键. 20．若，为实数，且．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴即， ∴， ∴，， ∴ ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．先化简，再求值．已知，求的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， ， ∴原式． 22．如图，在一个长为、宽为的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形． (1)用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)若，，，求剩余部分的面积． 【答案】(1)纸片剩余部分的面积是；(2)． 【分析】（）剩余部分面积等于长方形面积减去四个小正方形面积即可得到结果； （）把，，的值代入计算即可求解， 此题考查了整式的化简求值，平方差公式和二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：纸片剩余部分的面积是； （2）解：当，，时， ． 23．阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵，∴，∴，∴． ∴． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可； （2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 本题主要考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 则， ∴ 则， ∴ 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 【答案】(1)，；(2)，证明见解析；(3) 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）， 验证： ， 故答案为：； （3） ． 22．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)请写出的整数部分和小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为a，的整数部分是b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，且，求的相反数． 【答案】(1)整数部分是3，小数部分是；(2)；(3) 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、无理数的大小比较、相反数的概念，正确进行无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算解答即可； （2）根据无理数的估算求出a、b，计算即可； （3）根据无理数的估算求出x、y，根据相反数的概念解答即可． 【详解】（1）， ， 的整数部分是3，小数部分是； （2）， 的小数部分为： ， 的整数部分是； ． （3），其中x是整数，且， 为的整数部分，y为的小数部分， ， ， ，， ， 的相反数是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次根式（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（     ） A．7 B．9 C．2 D．1 4．下列式子是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 5．若  ，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若有意义，则（    ） A． B．且 C．且 D．且 7．如果，则的平方根是（     ） A．-7 B．1 C．7 D．±1 8．若，则代数式的值为（     ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 9．设点 ，且，则点P的坐标是（　 　） A． B． C． D． 10．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．化简： ． 12．等式成立的条件是 13．已知，，则代数式的值为 ． 14．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 15．如图所示，已知是腰长为的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰直角三角形，再以的斜边为直角边，画第三个等腰直角三角形，……依此类推，则第2025个等腰直角三角形的斜边长是 ． 16．若，则的值为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．计算 (1)； (2)． 18．计算： (1) (2) 19．对于题目先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式． 在两人的解法中谁的解答是错误的，为什么？ 20．若，为实数，且．求的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．先化简，再求值．已知，求的值． 22．如图，在一个长为、宽为的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为的正方形． (1)用含，，的代数式表示纸片剩余部分的面积； (2)若，，，求剩余部分的面积． 23．阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵，∴，∴，∴． ∴． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想： _______，______； (2)通过上述探究，猜想______（，且n为整数），并验证你的结论； (3)计算： 25．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)请写出的整数部分和小数部分各是多少？ (2)如果的小数部分为a，的整数部分是b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，且，求的相反数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$