专题04 利用将军饮马模型解决特殊平行四边形中的最值问题的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题04 利用将军饮马模型解决特殊平行四边形中的最值问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 模型一、求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 4 模型二、平移型将军饮马（将军过桥模型） 9 模型三、修桥选址模型（将军遛马模型） 14 模型四、求多条线段和（周长）最小值 20 模型五、求两条线段差最大值 30 压轴能力测评（10题） 37 解题知识必备 模型一、求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短. 上图中A’是A关于直线m的对称点. 模型二、平移型将军饮马（将军过桥模型） 【模型解读】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）． 问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）． 图1 图2 图3 【最值原理】两点之间线段最短. 模型三、修桥选址模型（将军遛马模型） 【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解) （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧： 如图1 如图2 （1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点. （2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点. 【最值原理】两点之间线段最短. 模型四、求多条线段和（周长）最小值 【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小. （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【最值原理】两点之间线段最短. 模型五、求两条线段差最大值 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： 延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大， 因此点P为所求的点. （2）点A、B在直线m异侧： 过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 【最值原理】三角形两边之差小于第三边. 压轴题型讲练 模型一、求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短. 上图中A’是A关于直线m的对称点. 例题：（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．8 【变式训练1】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在菱形中，，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图菱形的对角线，点E为边的中点，点F、P为边上的动点，则的最小值为 . 【变式训练3】（2024·山东东营·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于点O，且，分别过点B、C作与的平行线相交于点E．点G在直线上运动，则的最小值为 ． 【变式训练4】（2024·江苏南通·二模）如图，在四边形中，，，．作，垂足为点M，连接，若，则的最小值为 ． 【变式训练5】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形是菱形，于点H，点E是上一点，且，点F是的中点，点P是线段上一动点．点P在运动过程中，的最小值为 ． 模型二、平移型将军饮马（将军过桥模型） 【模型解读】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）． 问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）． 图1 图2 图3 【最值原理】两点之间线段最短. 例题：（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中，，，C是的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在菱形中，，，将△ABC向右平移得到（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则 ； （2）的最小值为 ． 模型三、修桥选址模型（将军遛马模型） 【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解) （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧： 如图1 如图2 （1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点. （2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点. 【最值原理】两点之间线段最短. 例题：（23-24八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式训练1】如图，是矩形的对角线，点M，N是上两点且，已知，，则的最小值为（        ）    A．6 B．5 C． D．4 【变式训练2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为 ． 【变式训练3】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 模型四、求多条线段和（周长）最小值 【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小. （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【最值原理】两点之间线段最短. 例题：如图， 菱形的边在x轴上，顶点C坐标为，顶点D坐标为，点E在y轴上，线段轴，且点F 坐标为，若菱形沿x轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·四川成都·期中）已知矩形中，，，点E为延长线上一点，若，连接，M为的中点， P、Q为边上两个动点，且，连接P、B、M、Q，则四边形周长的最小值为 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·浙江台州·期末）问题：如图，分别是矩形的边，，，上的点，依次连接它们得到四边形，探究四边形周长的最小值． 探究： （）如图，分别是边和上点，在边上作一点，使得的值最小，并证明（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （）如图，求证；当四边形的周长最小时，它是平行四边形． （）如图，若矩形中，，，求四边形周长的最小值． 拓展：如图，四边形中，，，，，，，直接写出四边形的内接四边形周长的最小值． 模型五、求两条线段差最大值 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： 延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大， 因此点P为所求的点. （2）点A、B在直线m异侧： 过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 【最值原理】三角形两边之差小于第三边. 例题：（2024·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 【变式训练1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 【变式训练2】（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 【变式训练3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【变式训练4】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．8 2．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西来宾·期中）如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是（    ） A．23 B．16 C．22 D．15 4．（2024·安徽六安·一模）如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ． 6．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为 ． 7．（23-24八年级下·四川泸州·期末）如图，在矩形中， ， ，与交于点O，分别过点C，D作的平行线相交于点E，点F是的中点，点G，H分别是四边形的边上的动点，则的最小值是 ．     8．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，AE⊥CD于点E，F是OA的中点，P是AB边上的一个动点，则PE﹣PF的最大值是 ． 三、解答题 9．（22-23八年级下·四川广安·期中）如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线，过A点作交的延长线于点G．    (1)求证：； (2)若，求证四边形是菱形； (3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为的中点，当点P在边上运动时，求的最小值，并求出此时线段的长． 10．几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明） 模型应用： (1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________． (2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________． (3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________． (4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 利用将军饮马模型解决特殊平行四边形中的最值问题的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 模型一、求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 4 模型二、平移型将军饮马（将军过桥模型） 9 模型三、修桥选址模型（将军遛马模型） 14 模型四、求多条线段和（周长）最小值 20 模型五、求两条线段差最大值 30 压轴能力测评（10题） 37 解题知识必备 模型一、求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短. 上图中A’是A关于直线m的对称点. 模型二、平移型将军饮马（将军过桥模型） 【模型解读】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）． 问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）． 图1 图2 图3 【最值原理】两点之间线段最短. 模型三、修桥选址模型（将军遛马模型） 【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解) （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧： 如图1 如图2 （1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点. （2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点. 【最值原理】两点之间线段最短. 模型四、求多条线段和（周长）最小值 【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小. （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【最值原理】两点之间线段最短. 模型五、求两条线段差最大值 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： 延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大， 因此点P为所求的点. （2）点A、B在直线m异侧： 过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 【最值原理】三角形两边之差小于第三边. 压轴题型讲练 模型一、求两条线段和的最小值（将军饮马模型） 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线同侧： 【最值原理】两点之间线段最短. 上图中A’是A关于直线m的对称点. 例题：（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求,在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称，即是线段的垂直平分线， 连接，，交于，连接，即为所求的点， 根据对称有：，即， 当点B、、M三点共线时，最小， 则的长即为的最小值， ∵， ∴在中， ， 故的最小值是5． 故选：B． 【变式训练1】（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在菱形中，，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质与轴对称的性质，勾股定理．先作点关于的对称点点，再连接，过点作于，运用勾股定理求得和的长，最后在中，运用勾股定理求得的长，即为的最小值． 【详解】解：作点关于的对称点点，连接、，则，， 连接，过点作于，则， 四边形是菱形， 中， ， ， 中， ， 当点与点重合时，（最短）， 的最小值是． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图菱形的对角线，点E为边的中点，点F、P为边上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于的对称点，过作的垂线交于点，则的长度即为的最小值，最后根据菱形的面积求出的长度即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线， ∴ ， 作E关于的对称点，过作的垂线交于点，则的长度即为的最小值， ∵ ∴ 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质及最短路径，解题的关键在于要利用菱形的轴对称的特性将点E从边变换到边上，再根据垂线段最短即可得到的最小值． 【变式训练3】（2024·山东东营·模拟预测）如图，菱形的对角线相交于点O，且，分别过点B、C作与的平行线相交于点E．点G在直线上运动，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短问题，菱形的性质，解题的关键熟练掌握勾股定理．作点关于的对称点，即点，连接，交于点，连接，根据两点之间线段最短，此时有最小值，即线段，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示： 四边形是菱形， ，， 四边形是矩形， ， 作点关于的对称点，即点，连接，交于点，连接， ， ， 两点之间线段最短， 此时有最小值，即线段， 在中，, 的最小值为， 故答案为：． 【变式训练4】（2024·江苏南通·二模）如图，在四边形中，，，．作，垂足为点M，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短；过D作的平行线，过A作的平行线，两平行线交于点E，则可得四边形是矩形，且，，则；连接，则当点M与的交点重合时，最小，从而最小；过C作，交延长线于点F，则可得四边形是矩形，则，，从而得，由勾股定理即可求得的长，从而求得最小值．利用矩形的性质求的最小值转化为的最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，过D作的平行线，过A作的平行线，两平行线交于点E， 即， 四边形是平行四边形； ， 四边形是矩形， ，， ； 连接，则当点M与的交点重合时，最小，从而最小，且最小值为线段的长； 过C作，交延长线于点F， 则， 四边形是矩形， ，， ； 在中，由勾股定理得， 最小值为． 故答案为：． 【变式训练5】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，四边形是菱形，于点H，点E是上一点，且，点F是的中点，点P是线段上一动点．点P在运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，轴对称，勾股定理，两点之间线段最短，添加辅助线，构造轴对称图形，从而运用两点之间线段最短是解题的关键．如图，在上取，由菱形可推知,,，进一步由菱形面积求得，，中，，，所以，故最小值为． 【详解】解：如图，在上取， ∵四边形是菱形，为轴对称图形， ∴,, ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，   中，， ， ∴， 最小值为． 故答案为． 模型二、平移型将军饮马（将军过桥模型） 【模型解读】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？ 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）． 问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）． 图1 图2 图3 【最值原理】两点之间线段最短. 例题：（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中，，，C是的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考常见题型．连接，根据、的坐标先确定和的长，证明四边形是矩形，得，再证明四边形是平行四边形，则，在中，是定值，所以只要的值最小就可以，当、、在同一直线上时，的值最小，利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ，， 是的中点， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 要使的值最小，只需、、三点共线即可， 点是点关于点的对称点， ， 又点， 根据勾股定理可得， 此时，， 即的最小值，6； 故答案为：6 【变式训练1】（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，如图，过点作与，可证，得到，过点作，并使，连接，则，，可得四边形是平行四边形，得到，即得，可知当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求出，进而可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作与，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 过点作，并使，连接，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：．      【变式训练2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在菱形中，，，将△ABC向右平移得到（点在线段上），连接，，．在平移过程中， （1）若四边形是矩形，则 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 4 12 【分析】（1）连接交于点，如图所示，由菱形性质，结合含角的直角三角形的三边关系即可得到及长，从而得到； （2）连接，延长到，使，如图所示，根据平移性质、菱形性质得到，从而确定当、、三点共线时，有最小值为，由含直角三角形的三边关系求解即可得到答案． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： ∵在菱形中，，， ∴，， ∴， 在中，，则， ∵将向右平移得到（点在线段上）， ∴， 若四边形是矩形，则， ∴， ， 在中，， ， ∴， 故答案为：4； （2）连接，延长到，使，如图所示： ∵将向右平移得到（点在线段上）， ∴，， ∴是平行四边形， ∴， ∵在菱形中，由菱形对称性得到， ∴， ∴，则当、、三点共线时，有最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵由于是的一个外角， ∴， ∴， 在中，，，则， ， ∴的最小值为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平移的性质，菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形的三边关系，等边三角形的判定与性质，解题关键是合理添加辅助线构造直角三角形，求线段长，添加辅助线构造平行四边形，使得求最小值转化求的最小值． 模型三、修桥选址模型（将军遛马模型） 【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解) （1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧： 如图1 如图2 （1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点. （2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点. 【最值原理】两点之间线段最短. 例题：（23-24八年级下·北京·期中）如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接，，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接，， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵，， ∴． ∴的最小值为13． 故选：D． 【变式训练1】如图，是矩形的对角线，点M，N是上两点且，已知，，则的最小值为（        ）    A．6 B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】先利用矩形的性质和含30度角的直角三角形三边的关系计算出，，则，过点作且，连接交于，如图，利用四边形为平行四边形得到，则根据两点之间线段最短得到此时的值最小，过点作于点，交于点，如图，再计算出，，则，所以，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 在中，，， ，， ， ， 过点作且，连接交于，如图，      ，， 四边形为平行四边形， ， ， 此时的值最小， 过点作于点，交于点，如图， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 在中，， 的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了最短路线问题，利用平移的方法确定点的位置是解题的关键．也考查了矩形的性质和含30度角的直角三角形三边的关系． 【变式训练2】（2023九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为 ． 【答案】14+2 【详解】如图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B'，作点B'关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF=2，连接BE，B'F， ∴BE=B'F，B″F=B'F，此时四边形BEFC的周长为BE+EF+FC+BC=B″F+EF+FC+BC=B″C+EF+BC．当点C，F，B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．∵AB=4，BB'=2，∠ABC=60°，∴B'B″经过点A，∴AB'=2，∴B'B″=4． ∵BC=12，∴B'C=10，∴B″C=2，∴B″C+EF+BC=14+2，∴四边形BEFC周长的最小值为14+2． 【变式训练3】（23-24九年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 【答案】（1）①见解析；②．理由见解析；（2）的最小值为． 【分析】(1) ①根据正方形的性质，得到等角，证明即可得证． ②根据折叠的性质，正方形的性质，结合三角形中位线定理，证明即可． (2)在上截取，连接、，利用三角形不等式，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）①在正方形中，， ，， ， ， ． ， ，即点是的中点． ②．理由： 如图2，连接交于点， 由折叠可知垂直平分，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即． （2）如图3，在上截取，连接、， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形不等式，中位线定理，勾股定理是解题的关键． 模型四、求多条线段和（周长）最小值 【模型解读】在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小. （1）两个点都在直线外侧： （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧： （4）台球两次碰壁模型 1）已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短. 2）已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 【最值原理】两点之间线段最短. 例题：如图， 菱形的边在x轴上，顶点C坐标为，顶点D坐标为，点E在y轴上，线段轴，且点F 坐标为，若菱形沿x轴左右运动，连接、，则运动过程中，四边形周长的最小值是 ． 【答案】18 【分析】在上截取，使得 ，作点T关于直线的对称点，连接交直线AD于，即为 ，连接，此时四边形的周长最小，利用勾股定理求出，然后求出，，得到，进而求解即可． 【详解】在上截取，使得 ，作点T关于直线的对称点，连接交直线于，在上找一点，使得 ，连接，此时四边形的周长最小． ∵， ∴， ∵四边形是菱形 ∴， ∵轴， ∴ ∵ ∴， ∴四边形的周长的最小值 ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，平移的性质，轴对称性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质． 【变式训练1】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，矩形中，，，点、分别是对角线和边上的动点，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点，根据矩形的性质及勾股定理得，，继而得到是等边三角形，证明，得到，继而得到， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长，然后在中，根据角的直角三角形的性质及勾股定理得到，，最后再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点作，使，过点作，交的延长线于点，连接、、，交于点， ∴， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵点、分别是对角线和边上的动点， ∴， 当、、三点共线时，取“”号，此时有最小值，最小值是线段的长， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角的直角三角形，三角形三边关系，两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键． 【变式训练2】（23-24八年级下·四川成都·期中）已知矩形中，，，点E为延长线上一点，若，连接，M为的中点， P、Q为边上两个动点，且，连接P、B、M、Q，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由于和是定值，只要最小，利用对称确定出就是的最小值，最后利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图1， 过点Q作交于G，作点G关于的对称点，连接， 当点，Q，M在同一条线上时，最小，而和是定值， 此时，四边形周长最小， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 如图2， 在中，，， ， ∵ ， ∵M为 的中点， ，， 在中，，， 在中，， ， 在中，， 四边形周长最小值为 ， 故答案为： 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性，确定出的最小值是解本题的关键． 【变式训练3】（23-24八年级下·浙江台州·期末）问题：如图，分别是矩形的边，，，上的点，依次连接它们得到四边形，探究四边形周长的最小值． 探究： （）如图，分别是边和上点，在边上作一点，使得的值最小，并证明（用没有刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）． （）如图，求证；当四边形的周长最小时，它是平行四边形． （）如图，若矩形中，，，求四边形周长的最小值． 拓展：如图，四边形中，，，，，，，直接写出四边形的内接四边形周长的最小值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（2）20，拓展：12 【分析】（）作点关于的对称点，连接，与相交于点，则，所以，根据两点之间线段最短，可知此时的值最小，再根据轴对称和对顶角的性质可证得； （）过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，则，记四边形的周长为C，则，当点共线时，周长最小且为长，由对称得，而，设，则，而，同理可得，故，因此，则，同理可证：，故当四边形的周长最小时，它是平行四边形； （）由对称得：，，由，，得，，故在中，由勾股定理得，即四边形周长最小值为20；拓展：作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，由对称得故四边形的周长，当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，四边形周长取得最小值，此时点三点共线，由对称得：，，，，可证明，继而，则，，那么为的中位线，因此得到，故． 【详解】解：（）如图，点即为所求， ∵关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）过点H作的对称点为，过点作的对称点为点，连接，如图： 则，记四边形的周长为C， ∴， 当点共线时，周长最小且为长，如图： 由对称得，而， ∴设， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 同（1）得点共线， 同理可证：， ∴当四边形的周长最小时，它是平行四边形； （3）由（2）得四边形周长最小时即为长， 由对称得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， 即四边形周长最小值为20； 拓展：作点G关于的对称点为，作点关于的对称点，连接，如图： 由对称得 ∴四边形的周长， 当点共线时，四边形周长取得最小值，且为长，连接并延长交直线于点N，如图： 同（1）得四边形周长取得最小值，此时点三点共线， 由对称得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短求最值，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的额关键． 模型五、求两条线段差最大值 【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大； （1）点A、B在直线m同侧： 延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此时最大， 因此点P为所求的点. （2）点A、B在直线m异侧： 过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’ 【最值原理】三角形两边之差小于第三边. 例题：（2024·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，，于点，点在边上，且，是的中点，是上的动点，连接.则的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据菱形性质得出，结合直角三角形的性质，得出，分析出当三点共线，则有最大值，且为，再运用勾股定理列式，计算出，最后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵，于点， ∴在中，， ∴， 则 作线段关于所在直线的对称线段，此时点N的对应点为，连接，并延长交于一点，即为，如图： 当三点共线，则有最大值，且为 ∴ ∴是等边三角形， 过作 则在中， 则 ∴ 则的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，三点共线求线段的差最小值，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式训练1】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，菱形的边长是10，，交于点，点P为直线上一点，点P与点关于对称，为中点，连接、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是能正确作出辅助线； 分别取的中点为，连接，点A关于的对称点，连接，三角形三边关系可得：，当P、、在同一直线上时，有最大值，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 是菱形的一条对称轴， 取的中点为，则与F关于对称， 连接 取点A关于的对称点，连接 在中， 由三角形三边关系可得：， ，， ， 当P、、在同一直线上时， 有最大值 连接交于点O， ，， ∴ 过点作交于点N，如图所示： 则四边形为矩形， ，，， ， ， 在中，由勾股定理可得： ， 的最大值为， 故答案为：． 【变式训练2】（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，为边中点，而点在边上，为对角线所在直线上一动点，已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取的中点，连接，易得，故，即当共线时，最大，作于，先后求出，最后用勾股定理求即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 四边形是菱形 在和中 连接 当共线时，最大，图中处 作于 ． 即的最大值为． 【变式训练3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形中，对角线与交于点，，是的中点，是对角线上的一条动线段，若的最大值为，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查正方形的性质，线段最值问题等知识点，正确作辅助线是解题关键． 过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，，根据三角形两边之查小于第三边即可得到，在中，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，取关于的对称点，连接，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵关于的对称点是，是的中点， ∴是的中点，即 在中，， ∴， 当点运动到与点，在一条直线上的时候，即取到最大值，即， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式训练4】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由折叠可证四边形为菱形，是边上的中线，如图，连接，交于，是边上的中线，的角平分线，则，，，由，可得，则，，，可知当点P运动到点A时，最大，最大为，勾股定理求，则，计算求解即可． 【详解】解：为等边三角形，， ， 将沿翻折，得到， ， 四边形为菱形， ∴，，， ∴是边上的中线， 如图，连接，交于， ∵F是的中点， ∴是边上的中线，的角平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴当点P运动到点A时，最大，最大为， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．根据题意确定最大值的情况是解题的关键． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，由正方形的对称性可知点B与D关于直线对称，连接交于点，即为所求,在中利用勾股定理即可求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点B与D关于直线对称，即是线段的垂直平分线， 连接，，交于，连接，即为所求的点， 根据对称有：，即， 当点B、、M三点共线时，最小， 则的长即为的最小值， ∵， ∴在中， ， 故的最小值是5． 故选：B． 2．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结，，则的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得的长，即得答案． 【详解】设边上的高是h， ， ， ， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，， 则的长就是所求的最短距离， 在中， ，， ， 即的最小值为． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A关于直线l的对称点E，并得到的长就是所求的最短距离是解题的关键． 3．（23-24八年级下·广西来宾·期中）如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是（    ） A．23 B．16 C．22 D．15 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长到点，使得，连接，易得四边形和四边形是矩形，证明，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，勾股定理求出的长，进一步求出四边形的周长的最小值即可． 【详解】解：如图，延长到点，使得，连接． ，四边形是矩形， ∴， 四边形和四边形是矩形． ∴，， ， ， ， ． 分别是上的动点，故当三点共线时，的值最小， 且的值等于的值． 在中，， 四边形的周长的最小值是． 4．（2024·安徽六安·一模）如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质以及勾股定理是解题的关键． 连接交于O，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 二、填空题 5．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，过A点作的平行线交于一点，即为P点，则此时最小，据此求解即可． 【详解】解：在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，连接，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点． ，， 四边形是平行四边形， ∴，    ∵E为边的中点， ∴， F点与点G关于对称， 垂直平分， ， ∴，，， ∴， 线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧，为弧上动点，连，取中点，连，则最小值为 ． 【答案】 【分析】在上截取，证明和全等，得到，则，由此得出最小值．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是将转化为，根据三角形三边关系，得出最小值． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵正方形边长为4，以为圆心，为半径画弧 ， ∵是中点， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·四川泸州·期末）如图，在矩形中， ， ，与交于点O，分别过点C，D作的平行线相交于点E，点F是的中点，点G，H分别是四边形的边上的动点，则的最小值是 ．     【答案】 【分析】先由矩形的性质以及， ，得出，证明是等边三角形，因为，所以四边形是平行四边形，经分析得的最小值，即的长，再结合，得出即可作答． 【详解】解：如图：过点F作，并延长交于一点，即为， ∵在矩形中， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴是等边三角形 ∵与交于点O，分别过点C，D作的平行线相交于点E， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴与关于对称 ∵点G，H分别是四边形的边上的动点， 则的最小值，即的长 ∵点F是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及等边三角形的判定与性质，菱形的性质与判定，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，AE⊥CD于点E，F是OA的中点，P是AB边上的一个动点，则PE﹣PF的最大值是 ． 【答案】 【分析】连接EF，作EH⊥AC于H，当P、E、F在同一直线上时，PE﹣PF取最大值，最大值为EF，根据菱形的性质，得出AD＝AB＝CD＝BC＝8，根据∠ABC＝60°，得出△ABC为等边三角形，得出AC=8，即可得出OA=4，根据F是OA的中点，得出AF＝2，CF＝6，根据AE⊥CD，得出ED＝EC＝4，最后根据勾股定理求出EF的长即可得出答案． 【详解】解：连接EF，作EH⊥AC于H，当P、E、F在同一直线上时，PE﹣PF取最大值，最大值为EF，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，AB＝8， ∴AD＝AB＝CD＝BC＝8， ∵∠ABC＝60°， ∴AC＝AD＝CD＝8，OA＝4， ∵F是OA的中点， ∴AF＝2，CF＝6， ∵AE⊥CD， ∴ED＝EC＝4， ∴CH＝＝2，HE＝2，HF＝CF﹣CH＝6﹣2＝4， ∴EF＝＝＝2， 即PE﹣PF的最大值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，作出辅助线，找出使PE﹣PF取最大值时，点P的位置，是解题的关键 三、解答题 9．（22-23八年级下·四川广安·期中）如图，在中，E、F分别为边、的中点，是对角线，过A点作交的延长线于点G．    (1)求证：； (2)若，求证四边形是菱形； (3)请利用备用图分析，在（2）的条件下，若，，点M为的中点，当点P在边上运动时，求的最小值，并求出此时线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的最小值为， 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论； （2）根据平行四边形的性质及矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，即可得出四边形是菱形； （3）连接交于P，根据轴对称的性质证明此时的值最小，根据等边三角形的性质计算即可得出最小值，最后根据三角形的重心即可得出的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E、F分别为边、的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）四边形是平行四边形， 即 四边形是平行四边形， 又 四边形是矩形， E为边的中点， 由（1）可知，四边形是平行四边形， 四边形为菱形； （3）连接，连接交于P，    ∵四边形是菱形， ∴点E和点F关于轴对称，此时的值最小， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ， ∴， 即的最小值为． 此时，点P为的重心， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查的是平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理以及等边三角形的性质的综合运用，掌握相关的判定定理和性质定理、正确作出辅助性是解题的关键． 10．（18-19九年级上·山东青岛·期中）几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个顶点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点关于直线的对称点，连接交于点，则的值最小（不必证明） 模型应用： (1)如图2，已知平面直角坐标系中两定点和，P为x轴上一动点，则当的值最小时，点P的横坐标是___________，此时___________． (2)如图3，正方形的边长为2，为的中点，是上一动点，连接，由正方形对称性可知，与关于直线对称，则的最小值是___________． (3)如图4，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一动点，则的最小值为___________． (4)如图5，在菱形中，，，点是边边的中点，点，分别是，上的两个动点，则的最小值是___________． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于，则此时的值最小，根据点的坐标，得出，，，进而得出，，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，进而得出点的横坐标，再根据平行线间的距离相等，得出，再根据勾股定理，计算即可得出答案； （2）根据对称性和线段最短，得出的最小值是的长，再根据中点的定义，得出，再根据勾股定理，计算出，进而即可得出的最小值； （3）设与交于点，连接，，根据对称性，得出，再根据线段最短，得出当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长，再根据正方形的面积，结合算术平方根的定义，得出，再根据等边三角形的性质，得出，进而得出的最小值； （4）作垂足为与交于点，根据菱形的性质，得出，，再根据等边三角形的判定定理，得出是等边三角形，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段最短，得出点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长，再根据三线合一的性质，得出，再根据含角的直角三角形的性质，得出，再根据勾股定理，计算得出，进而即可得出答案． 【详解】（1）如图，取点关于轴对称的点，连接，交轴于点，作轴于， 则此时的值最小， ∵和， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，点的横坐标是，此时； 故答案为：；； （2）解：∵点与关于直线对称， ∴的最小值是的长， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴， 在中， ， ∴的最小值是； 故答案为：； （3）解：如图，设与交于点，连接，， ∵点与关于直线对称， ∴， ∴当点运动至点时，的最小值，此时最小值为的长， ∵正方形的面积为， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：； （4）解：如图，作垂足为与交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵是中线， ∴， ∴点关于的对称点在上，此时的最小，最小值为的长， 在中， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形、轴对称—最短路径问题、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称—最短路径的确定方法、并灵活运用勾股定理是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$