专题03 特殊平行四边形的最值、新定义问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题03 特殊平行四边形的最值、新定义问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、菱形、矩形、正方形中线段最值问题 2 类型二、菱形中的新定义型问题 7 类型三、矩形中的新定义型问题 15 类型四、正方形中新定义型问题 24 压轴能力测评（10题） 31 解题知识必备 1.菱形的性质与判定 1.菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 2.菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 2.矩形的性质与判定 1 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2 矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） 3.正方形的性质与判定 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 压轴题型讲练 类型一、菱形、矩形、正方形中线段最值问题 例题：（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．    【变式训练1】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【变式训练2】（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【变式训练3】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接． （1） ； （2）若，则的最小值为 ． 类型二、菱形中的新定义型问题 例题：（22-23八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．    (1)已知是“准直角三角形”，，若，则______． (2)如图，在菱形中，，，连接，若正好为一个准直角三角形，求菱形的面积． 【变式训练1】（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 【变式训练2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点E使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． (2)①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线相交于点．连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 【变式训练3】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．    (1)如图（a），是中垂三角形，分别是边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形． (2)如图（b），在中垂三角形中，分别是边上的中线，且于点，求证：． (3)如图（c），四边形是菱形，对角线交于点，点分别是的中点，连接并延长，交于点．求证：是中垂三角形； 类型三、矩形中的新定义型问题 例题：（23-24九年级上·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形． (1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形． (2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长． (3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长． 【变式训练1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，在矩形中，点F是矩形边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转一定的角度，使得与矩形的边交于点E（含端点），连接，把定义为“转角三角形”．    (1)由“转角三角形”的定义可知，矩形的任意一个“转角”一定是一个___三角形； (2)如图②，在矩形中，，，当点F与点C重合时，画出这个“转角，并求出点E的坐标； (3)如图③，在矩形中，，，当“转角面积最大时，求点F的坐标． 【变式训练2】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形中，将矩形折叠，使点B落在边（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．    (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______三角形． (2)如图2，在矩形中，．当点F与点C重合，画出这个“折痕”，并求出点E的坐标． (3)如图3，在矩形中，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点F的坐标． 【变式训练3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 类型四、正方形中新定义型问题 例题：（2024·山东济南·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； (3)如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 【变式训练1】（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形． (1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假） (2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长． 【变式训练2】（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 2．（23-24八年级下·广西贵港·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，点是边上一动点（不与点，点重合），于点，于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，正方形的边长，对角线、相交于点，将直角三角板的直角顶点放在点处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点旋转时，线段的最小值为 ． 4．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接． （1）四边形的形状是 ． （2）线段的最小值为 ． 三、解答题 5．（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，，，是斜边上一个动点，过点作于，于，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)在点的运动过程中，求的最小值； (3)若四边形为正方形，求． 6．（23-24八年级下·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． (1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； (2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 7．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1、点A，B，C在网格格点上，请你在网格图甲和乙中画出2个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接 ，作于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； (3)如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点（不与A，B重合），当四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一时，的长为 ． 8．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”． （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长； 【拓展思考】 （3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积． 9．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________ A．平行四边形       B．矩形      C．菱形；     D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________ 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结． （1）试说明．四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． （2）若，则_________； （3）若的最小值是2，则的长度为_________； 10．（23-24九年级下·江西抚州·阶段练习）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． 概念理解 如图，在四边形中，若，，则四边形______“等对邻直角四边形”； A．是    B．不是 问题探究 (1)如图，在“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点．则与的数量关系是 ； (2)如图，在（）的条件下，平分，，问四边形为何种特殊四边形，并说明理由； 拓展探究： (3)在中，，是的中点，是的中点．，，以为直角边作等腰直角，且，求以为顶点的四边形的面积．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 特殊平行四边形的最值、新定义问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、菱形、矩形、正方形中线段最值问题 2 类型二、菱形中的新定义型问题 7 类型三、矩形中的新定义型问题 15 类型四、正方形中新定义型问题 24 压轴能力测评（10题） 31 解题知识必备 1.菱形的性质与判定 1.菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 2.菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 2.矩形的性质与判定 1 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2 矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） 3.正方形的性质与判定 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 压轴题型讲练 类型一、菱形、矩形、正方形中线段最值问题 例题：（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：连接，如图，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，则，最小，得到最小值， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 【变式训练1】（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在矩形中，E为对角线上与不重合的一个动点，过点E作与点F，于点G，连接，若，则的最小值 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，三角形面积的求解等知识，连接，过点B作，根据已知可证明四边形为矩形，得到，当时最短，最短，此时最短，利用三角形等面积法求出即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，过点B作，   ，， ， 为矩形，， ，， 四边形为矩形， ， 当时最短，最短，此时最短， 时最短， ， ， 故答案为：． 【变式训练2】（2024八年级下·天津·专题练习）如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，进而得出，当点G是对角线的交点时，线段长度最小，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G是对角线的交点时，线段长度最小， ∵， ∴对角线， 故线段长度的最小值为， 故答案为：， 【变式训练3】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）菱形中，，E是中点，连接，点F是上一动点，G为中点，连接． （1） ； （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）连接，证明为等边三角形，三线合一，即可得出结果； （2）取的中点，的中点，连接，，根据三角形的中位线定理，推出点在上运动，当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵E是中点， ∴平分， ∴； 故答案为：； （2）取的中点，的中点，连接， 则：，， ∴三点共线， ∴点在线段上运动， ∴当时，最小， ∵菱形， ∴，，， 由（1）知：为等边三角形， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同法可得：，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 类型二、菱形中的新定义型问题 例题：（22-23八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．    (1)已知是“准直角三角形”，，若，则______． (2)如图，在菱形中，，，连接，若正好为一个准直角三角形，求菱形的面积． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分情况讨论，从或者两种情况讨论，算出的值； （2）根据菱形的性质得到，，，求得，连接交于点，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形．求出，得到，再根据勾股定理计算出的值，最后根据菱形的面积公式计算出结果． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 解得， 当时， ， 根据三角形的内角和为， ， 综上所述，或； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， 正好为一个准直角三角形， ， ， ， ， 连接交于点， 是等边三角形，， ， ， ， 故， ， ．    【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确理解“准直角三角形”是解题的关键． 【变式训练1】（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 【答案】(1)是 (2)四边形是补等四边形，证明见解析 【分析】（1）连接，根据菱形性质得出再结合，通过证明，结合角的等量代换，即可作答． （2）作因为角平分线的性质 ，得出，又因为垂直平分，得出，再证明，结合角的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是补等四边形， 故答案为：是； （2）解：四边形是补等四边形． 理由如下：作 ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴． ∴ ∴四边形是补等四边形． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式训练2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点E使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． (2)①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线相交于点．连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 【答案】(1)详见解析 (2)①，见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得到四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可解答； （2）①根据菱形的性质及勾股定理得到，再根据角平分线的定义及平行线的性质可得到；根据等腰三角形的性质及勾股定理列方程即可解答．②根据平行线的性质及中位线的定义，再根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，　　 ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， 即菱形为菱形的伴随菱形； （2）解：①理由如下 过点作于点、于点， 过点作于点，连接， ∵四边形为菱形， ∴，点在的平分线上，　 ∴， ∵， 由勾股定理可得，　　 ∴， ∴平分， ∴， ∴点在的平分线上，　　 即， 又∵，　 ∴， ∴；      ②∵四边形为菱形， ∴，点在的平分线上，　 ∴， ∵， 由勾股定理可得，　　 ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，， ∴， ∴在中，， 即， 解得：，（舍）， ∴， 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，掌握菱形的性质及判定是解题的关键． 【变式训练3】（22-23八年级下·安徽合肥·期末）定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．    (1)如图（a），是中垂三角形，分别是边上的中线，且于点，若，求证：是等腰三角形． (2)如图（b），在中垂三角形中，分别是边上的中线，且于点，求证：． (3)如图（c），四边形是菱形，对角线交于点，点分别是的中点，连接并延长，交于点．求证：是中垂三角形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，如图，由是的中位线，证明，可得，，，证明，可得，从而可得结论； （2）证明：如图，连接，证明，，，由勾股定理可得，，，，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，且，，，且，可得，，证明，是的中线，从而可得结论． 【详解】（1）证明：连接，如图，    ∵，， ∴ 由题意可得，，，是的中位线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：如图，连接，    ∵，分别是边，上的中线， ∴，，， ∴，，， 在中，， 在中，， 同理可得：，， ∴ ； （3）证明：如图，连接，    ∵点M，N分别是，的中点， ∴是的中位线，则，且 ∵四边形是菱形， ∴，，且， ∴，， 如图，延长至，使， ∴，而， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，而，， ∴， ∴，， ∴， ∴，是的中线， ∴是中垂三角形． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的中位线性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，理解新定义，作出三角形的直线线是解本题的关键． 类型三、矩形中的新定义型问题 例题：（23-24九年级上·吉林松原·期末）定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形． (1)如图1，将纸片沿中位线折叠，使点落在边上的处，再将纸片分别沿，折叠，使点和点都与点重合，得到双层四边形，则双层四边形为______形． (2)纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形为矩形，若，，求的长． (3)如图3，四边形纸片满足，，，，．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时的长． 【答案】(1)矩 (2) (3)答案不唯一，见解析 【分析】（1）由折叠的性质可得，可得四边形是矩形； （2）由勾股定理可求，由“”可证，可得，由折叠的性质可得，，即可求解； （3）分三种情况讨论，由正方形的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）双层四边形为矩形， 理由如下：由折叠的性质可得，， ， ， ， 同理可得， 四边形是矩形， 故答案为：矩； （2）四边形为矩形， ，，， ，， 又为平行四边形， ，， 由折叠得，， ， 在与中， ， ， ， 由折叠得，， ， 又， ， 又，， ． （3）有以下三种基本折法： 折法1中，如图所示： 由折叠的性质得：，，，，， 四边形是叠合正方形， ， ， ，； 折法2中，如图所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ， 四边形是叠合正方形， ，正方形的面积， ， ， 设，则， 梯形的面积， ， ， ， ， ， 解得：， ，． 折法3中，如图所示，作于， 则，分别为，的中点， 则，，正方形的边长， ，， ． 综上所述：或11或． 【点睛】本题属于四边形综合题目，主要考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、梯形面积的计算、解方程等知识的综合运用；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式训练1】（2023·陕西西安·模拟预测）如图①，在矩形中，点F是矩形边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转一定的角度，使得与矩形的边交于点E（含端点），连接，把定义为“转角三角形”．    (1)由“转角三角形”的定义可知，矩形的任意一个“转角”一定是一个___三角形； (2)如图②，在矩形中，，，当点F与点C重合时，画出这个“转角，并求出点E的坐标； (3)如图③，在矩形中，，，当“转角面积最大时，求点F的坐标． 【答案】(1)等腰 (2)作图见解析，点E的坐标为 (3)点F的坐标为或或． 【分析】（1）根据旋转的性质，以及转角三角形的定义进行判断作答即可； （2）如图②，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，即可，由题意知，，由勾股定理得，则，进而可得点坐标； （3）由题意知，分当在、、、上，四种情况进行求解：①当在上，由题意知，当与重合时，此时面积最大；②当在上，由（2）可知，当与重合时，此时面积最大；③当在上，由题意知，当为中点时，与重合，此时面积最大；④当在上，由题意知，当为中点时，与重合，此时面积最大；然后分别求解各情况下的坐标，然后判断作答即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰； （2）解：如图②；    由题意知，， 由勾股定理得， ∴， ∴点E的坐标为； （3）解：由题意知，分当在、、、上，四种情况进行求解： ①当在上， 由题意知，当与重合时，，，此时最大面积为，； ②当在上， 由（2）可知，当与重合时，此时最大面积为，； ③当在上， 由题意知，当为中点时，与重合，此时最大面积为，； ④当在上， 由题意知，当为中点时，与重合，此时最大面积为，； 综上所述，最大为3，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识．解题的关键在于正确的理解题意并分类讨论． 【变式训练2】（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形中，将矩形折叠，使点B落在边（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．    (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______三角形． (2)如图2，在矩形中，．当点F与点C重合，画出这个“折痕”，并求出点E的坐标． (3)如图3，在矩形中，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点F的坐标． 【答案】(1)等腰 (2)图见解析， (3)或 【分析】（1）根据折叠的性质，即可得出结论； （2）根据题意，画出图形，利用矩形的性质，勾股定理，求出的长，即可得解； （3）分在和在上，两种情况进行求解，即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴“折痕”一定是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）“折痕”，如图所示：    ∵点F与点C重合， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当F在边上时，如图②所示，，    即当F与C重合时，此时，面积最大为4． ②当F在边上时，如图③所示，过F作交于点H，交于K，    ∵，， ∴．即当F为中点时，此时，面积最大为4． 综上：或． 【点睛】本题考查矩形与折叠，坐标与图形．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 【变式训练3】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识； （1）由勾股定理可得出答案； （2）过作于，交的延长线于，由（1）性质可知：，由勾股定理可得出答案； （3）以、为边作矩形，连接、，由矩形的性质得出，由题意得，求出，当、、三点共线时，最小，得出的最小值的最小值． 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ，，， ， ． 故答案为：； （2）证明：过作于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即： ， 又由勾股定理可知： ， ， 即； （3）解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②以、为边作矩形，连接、，如图所示： 则， 由题意得：， 即， 解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值； 故答案为：． 类型四、正方形中新定义型问题 例题：（2024·山东济南·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； (3)如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”，理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，延长交于 由翻折的性质可知，， 四边形是正方形，边长为， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【变式训练1】（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形． (1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假） (2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长． 【答案】(1)假 (2)是，见解析 (3)8 【分析】（1）假命题，根据命题画图验证即可； （2）根据，证得，利用全等三角形的性质，得出，，进而得出，又因为是的中点，所以得出，，再结合题意，得出四边形是奇特四边形； （3）如图，过作于，证明，设，，可得，利用四边形的面积为16，求解，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：假命题，如图， ∵，， 又∵， 而四边形不是平行四边形． （2）连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是奇特四边形． （3）如图，过作于， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∵四边形的面积为16 ∴ ∴ ∴，而， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理的应用、全等三角形的性质与判定、真假命题的判断，解本题的关键在熟练掌握相关性质与定理． 【变式训练2】（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，掌握特殊图形的性质是解题关键． 连接，过点作于点，根据菱形的性质，证明和是等边三角形，根据三线合一的性质和勾股定理，求得，再利用三角形的三边关系，得出的最小值为，证明，进而推出是等边三角形，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是菱形，， ，， 和是等边三角形， ，， ， ， 在中， ， 的最小值为， 在和中， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 的最小值为， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广西贵港·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，点是边上一动点（不与点，点重合），于点，于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，矩形的判定和性质是解题的关键．连接，根据矩形的性质，得到，利用三角形的面积，运用垂线段最短计算即可． 【详解】连接， ∵菱形的对角线相交于点O，，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最小，故最小， ∵菱形，，且，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图，正方形的边长，对角线、相交于点，将直角三角板的直角顶点放在点处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点旋转时，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．证明，得到，要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，由等腰三角形的性质可求出． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ，，， ， ，， ， 故要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值， ，，， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点P是上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P分别作于点E，于点F，连接． （1）四边形的形状是 ． （2）线段的最小值为 ． 【答案】 矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识点；判断出当时，线段的值最小是解题的关键． （1）先证，再由即可解答； （2）连接，由勾股定理可求得，再由矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由三角形的等面积求解即可解答． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴ 又∵， ∴四边形是矩形； （2）如图，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：矩形，． 三、解答题 5．（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，，，是斜边上一个动点，过点作于，于，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)在点的运动过程中，求的最小值； (3)若四边形为正方形，求． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理． （1）由三个角是直角的四边形是矩形可以证明四边形是矩形； （2）连接，先用勾股定理求得，再由四边形是矩形，可得．由垂线段最短可知，当时，最小，即最小，再用面积法求解即可； （3）若四边形是正方形，可得，从而得出，再求解即可． 【详解】（1）证明：于， ， ， 四边形是矩形． （2）如图，连接，   中，，，， ， 四边形是矩形， ． 由垂线段最短可知，当时，最小，即最小， 此时，，即， ， ，即的最小值是． （3）若四边形是正方形， ， ， ． 6．（23-24八年级下·北京大兴·期中）我们知道：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：至少有一组对角是直角的四边形叫做对角直角四边形． (1)下列图形：①有一个内角为的平行四边形；②矩形；③菱形； ④直角梯形，其中对角直角四边形是 （只填序号）； (2)如图，菱形的对角线，相交于点，在菱形的外部以为斜边作等腰直角，连接． ①求证：四边形是对角直角四边形； ②若点到的距离是2，求四边形的面积． 【答案】(1)② (2)①见解析；②4． 【分析】（1）根据对角直角四边形的定义逐个判断即可； （2）①根据菱形的性质得到，即，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，然后根据对角直角四边形的定义即可证明结论；②如图：过N作于H，于G，证明四边形是矩形可得，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，最后四边形的面积=正方形的面积． 【详解】（1）解：①有一个内角为45°的平行四边形，没有的内角，不是对角直角四边形；②矩形的对角为，是对角直角四边形；③菱形的对角不一定为，不是对角直角四边形；④直角梯形，的邻角为，但对角不一定为，不是对角直角四边形． 故答案为：②． （2）①证明:∵.四边形是菱形， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是对角直角四边形； ②如图：过N作于H，于G， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∴四边形是正方形， ∴四边形的面积=正方形的面积. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识点，正确地找出辅助线是解题的关键． 7．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1、点A，B，C在网格格点上，请你在网格图甲和乙中画出2个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上； (2)如图2，矩形中，，，点E在边上，连接 ，作于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由； (3)如图3，在中，，，，D是的中点，点M是边上一点（不与A，B重合），当四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一时，的长为 ． 【答案】(1)见详解； (2)四边形，是等邻边四边形，理由见解析； (3)3 【分析】（1）根据等邻边四边形的定义画出两个不同形状的等邻边四边形； （2）根据题意求出，根据勾股定理求出，计算得到，根据等邻边四边形的定义判断即可； （3）根据条件画出等邻边四边形，再利用等腰三角形的性质与勾股定理求解即可 【详解】（1）等邻边四边形如图所示： （2）四边形,是等邻边四边形，理由如下: 四边形是矩形， ，， 四边形,是等邻边四边形 （3），，， ， D是的中点， 四边形是等邻边四边形且为相等的邻边之一， 如图，四边形是等邻边四边形且 过点D作，垂足为N 在中， 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“等邻边四边形”的定义是本题的关键． 8．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”． （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长； 【拓展思考】 （3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积． 【答案】（1）图见解析；（2）的长是12或；（3）72 【分析】（1）根据“筝形”的定义，结合网格性质画图即可； （2）分，两种情况，画出图形，分别求解； （3）过A作，证明，得到，，再证明，从而说明四边形是正方形，设，表示出相应边，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再计算面积． 【详解】解：（1）如图1，点D是所求作的点， 由勾股定理得， ， ， 由图可得， ∴，， ∴四边形是“筝形”； （2）如图，当时，    ∵是中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，又，， ∴四边形为矩形． ∴． ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 如图，，， 过点G作于点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点，， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 综上所述，或． （3）如图，过A作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 又，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，    设，则， ，， 在中，， 即， 解得． ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题是四边形综合题，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，有一定综合性和拓展性，通过新图形“筝形”关联所学知识点，能够更好地体现知识点的应用． 9．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义．对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______________ A．平行四边形       B．矩形      C．菱形；     D．正方形． 性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形性质的一条结论：___________ 问题解决：如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结． （1）试说明．四边形是“中方四边形”； 拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点． （2）若，则_________； （3）若的最小值是2，则的长度为_________； 【答案】概念理解：D；性质探究：①，②；问题解决：（1）证明见解析；拓展应用：（2）2；（3）； 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 概念理解：根据定义“中方四边形”，即可得出答案； 性质探究：由四边形是“中方四边形”，可得是正方形且E、F、G、H分别是的中点，利用三角形中位线定理即可得出答案； 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； 拓展应用：（2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质即可证得结论； （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、，当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】解：概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线互相平分，相等且互相垂直， 故选：D； 性质探究：①，②； 理由如下：如图1， 四边形是“中方四边形”， 是正方形且E、F、G、H分别是、、、的中点， ，，，，，， ，． 问题解决：（1）如图2，取四边形各边中点分别为M、N、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， 四边形各边中点分别为M、N、R、L， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，，，，，， ，，，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形都是正方形， ， 又 ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又 ， ， ， 四边形是菱形， ， ， 又 ， ， ， 又 ， ， 菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”； 拓展应用： （2）如图3，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、， 四边形是“中方四边形”，M，N分别是，的中点， 四边形是正方形， ， ， N，F分别是的中点， , , 若，则． （3）如图4，分别作、的中点E、F并顺次连接、、、，连接交于O，连接、， 当点O在上（即M、O、N共线）时， 最小，最小值为的长， ， 由性质探究②知：， 在和中 又 M，N分别是直角三角形斜边的中点， ， ， ， 由拓展应用（2）知：， 若的最小值是2，则， ． 10．（23-24九年级下·江西抚州·阶段练习）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”． 概念理解 如图，在四边形中，若，，则四边形______“等对邻直角四边形”； A．是    B．不是 问题探究 (1)如图，在“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点．则与的数量关系是 ； (2)如图，在（）的条件下，平分，，问四边形为何种特殊四边形，并说明理由； 拓展探究： (3)在中，，是的中点，是的中点．，，以为直角边作等腰直角，且，求以为顶点的四边形的面积．    【答案】(1)； (2)四边形为菱形，理由见解析； (3)或． 【分析】（）根据定义及三角形中位线的性质和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求解； （）先证四边形为平行四边形，再证为菱形即可； （）分情况讨论，在由面积和差计算即可； 本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，和直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）根据定义可得：四边形是“等对邻直角四边形”， ∵“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）四边形为菱形，理由如下： 由（）得， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等对邻直角四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形； （3）∵，是的中点， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 如图，    ∴以为顶点的四边形的面积为； 如图，   以为顶点的四边形的面积为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$