专题02 特殊平行四边形中折叠和旋转问题的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年九年级数学上册压轴题攻略（北师大版）

专题02 特殊平行四边形中折叠和旋转问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、菱形中的折叠问题 2 类型二、菱形中的旋转问题 7 类型三、矩形中的折叠问题 11 类型四、矩形中的旋转问题 16 类型五、正方形中折叠问题 23 类型六、正方形中旋转问题 27 压轴能力测评（10题） 35 解题知识必备 1.菱形的性质与判定 1.菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 2.菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 2.矩形的性质与判定 1 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2 矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） 3.正方形的性质与判定 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 压轴题型讲练 类型一、菱形中的折叠问题 例题：（2024九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 【变式训练1】（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【变式训练2】（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【变式训练3】（2024·云南曲靖·二模）如图，已知在中，过点C作于点D，点E为上一点，连接，交于点G，是沿折叠所得，且点C的对应点F恰好落在上，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 类型二、菱形中的旋转问题 例题：（2024·河南·三模）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2024九年级·全国·竞赛）在菱形中，，边长为，现将菱形绕其外一点按顺时针方向分别旋转后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式训练2】如图①，菱形和菱形有公共顶点A，点，分别落在边，上，连接，． (1)求证：； (2)将菱形绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角，且，，． ①如图②，当时，则线段的长度是多少？ ②连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为多少度？ 类型三、矩形中的折叠问题 例题：（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B落在点F处，连接．当为直角三角形时，的长是 ． 【变式训练2】（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 ． 【变式训练3】（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E为射线上的一个动点，把沿折叠．点D的对应点为． (1)求点刚好落在对角线上时，的长； (2)求点刚好落在此矩形的对称轴上时，线段的长． 类型四、矩形中的旋转问题 例题：（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 【变式训练1】（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将长方形绕O按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ． 【变式训练2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【变式训练3】（2024·安徽池州·三模）已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 类型五、正方形中折叠问题 例题： （2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 【变式训练1】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【变式训练2】（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，对折正方形纸片，得到折痕，将纸片展平，在上取一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，将纸片展平，连接，延长交于点Q，连接若正方形的边长为6，，则的长为 ． 【变式训练3】（22-23八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．    （1） ； （2）如图2，若E为的中点，则 ． 类型六、正方形中旋转问题 例题：（2024·江西九江·一模）【特例感知】如图1，点 是正方形 ABCD 对角线AC上一点，于点 ，于点 （1）求证：四边形是正方形． （2） ； 【规律探究】将正方形 绕点A 旋转得到图2，连接 ，， （3） 的比值是否会发生变化? 请说明理由． 【拓展应用】 如图3，在图2 的基础上，，，分别是 ，，的中点． （4）求证：四边形． 是正方形． 【变式训练1】（23-24八年级下·上海·期末）如果把正方形 绕点 旋转得到正方形，点落在对角线上，点落在 的延长线上，那么 度． 【变式训练2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 【变式训练3】（2024·山东东营·模拟预测）如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（2023·海南三亚·二模）如图，将边长为4，锐角为的菱形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处，记为，则的长度为（    ） A． B． C．3 D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将边长为正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，边相交于点，则四边形的面积为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形中，E为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，的周长为24，则的长为 ． 4．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是 ，（2）的长为 ．    三、解答题 5．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)顺次连接，，，，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）【感知】如图①，将沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边上的点F处，得到折痕，连接．若，则四边形的周长为________； （2）【探究】如图②，点E、G分别是的边上的点，将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、，点恰好落在边上． ①求证：四边形为菱形； ②若，，，，则的长为________． 7．（23-24八年级下·安徽六安·期末）问题情境：点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转至．延长交直线于点F，连接． (1)如图①，若F在线段的延长线上，求证：四边形为正方形； (2)如图②，若F恰为线段的中点，请猜想线段、的数量关系并加以证明； (3)解决问题：若，，请直接写出的长． 8．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合运用 如图1，点E是矩形的边上一点，连接，把沿折叠得到，点在矩形的内部，延长交射线于点F，连接，已知． (1)当E是的中点时，求． (2)如图2，当时，与相交于点G，求的长； (3)如图3，当时，求的面积． 9．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________°，________°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 10．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为点．    (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________； (2)如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接． ①求证：； ②求线段的长度． (3)如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 特殊平行四边形中折叠和旋转问题的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、菱形中的折叠问题 2 类型二、菱形中的旋转问题 7 类型三、矩形中的折叠问题 11 类型四、矩形中的旋转问题 16 类型五、正方形中折叠问题 23 类型六、正方形中旋转问题 27 压轴能力测评（10题） 35 解题知识必备 1.菱形的性质与判定 1.菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积ab．（a、b是两条对角线的长度） 2.菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 2.矩形的性质与判定 1 矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 2 矩形的判定 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） 3.正方形的性质与判定 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理 正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质． 性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等． 性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． 4. 判定定理： 判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形． 压轴题型讲练 类型一、菱形中的折叠问题 例题：（2024九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在菱形中，点E，F分别在上，沿翻折后，点B落在边上的G处，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点H，因为，所以，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质， 首先根据平行的性质得到，由折叠得，然后求出，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴ 由折叠可得， ∴ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∴． 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片中，． （1） ． （2）点E在边上，将菱形纸片沿折叠，点C对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为 ． 【答案】 60 75 【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义． （1）直接根据菱形的对角相等即可求解； （2）如图，由垂直平分线的定义得到，从而，由菱形的性质得到，从而由折叠有，因此，再根据菱形的对边平行即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴． 故答案为：60 （2）如图， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵在菱形中，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵在菱形中，， ∴． 故答案为：75 【变式训练3】（2024·云南曲靖·二模）如图，已知在中，过点C作于点D，点E为上一点，连接，交于点G，是沿折叠所得，且点C的对应点F恰好落在上，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）推出，，进而推出四边形是平行四边形，并根据证得四边形是菱形； （2）首先利用勾股定理求出，设，然后用x表示出和，再在中，利用勾股定理构建方程，求出x，进一步计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，是沿折叠所得， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，， ∴， 设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵是沿折叠所得， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键． 类型二、菱形中的旋转问题 例题：（2024·河南·三模）如图，菱形的顶点，，，若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键． 根据题意得到点与点重合，在菱形中算出点坐标，即可解答． 【详解】 解：作于，则， 四边形是菱形，， 点的坐标为， 若菱形绕点顺时针旋转后得到菱形，依此方式，绕点连续旋转次得到菱形，则菱形绕点连续旋转次，旋转次为一周，旋转次为（周）， 绕点连续旋转次得到菱形与菱形重合， 点与重合， 点的坐标为， 故选：D． 【变式训练1】（2024九年级·全国·竞赛）在菱形中，，边长为，现将菱形绕其外一点按顺时针方向分别旋转后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，交点为点，则为的中垂线，，计算即可． 【详解】如图，连接，交点为点，则为的中垂线， 点在上，由已知条件易得， ， ， 所求面积为． 故答案为：． 【变式训练2】如图①，菱形和菱形有公共顶点A，点，分别落在边，上，连接，． (1)求证：； (2)将菱形绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角，且，，． ①如图②，当时，则线段的长度是多少？ ②连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为多少度？ 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得到，从而得到，进而得到，即可求证； （2）①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解； ②分两种情况讨论：和，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：①如图，连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P， 由（1）得当菱形没有旋转时，AC平分∠BAD，AF平分∠EAG， ∴此时点A、F、C三点共线， ∴当菱形绕点按逆时针方向旋转时， ， ∴当时，， 在菱形ABCD中，AB=AD， ，BD⊥AC， ， ∴ ∴， ∴， 在菱形AEFG中，∠EAF= ，AE=AG， ， ∵． ∴△ABD和△AEG是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∴AF=3， ∴AF=OD， ∴四边形AODF是平行四边形， ∴ ； ②由①得四边形AODF是平行四边形， ∵， ∴四边形AODF是矩形， ∴， 即为直角三角形， ∴此时旋转角的度数为； 如图，当点F在AD上时， 由①得AF=3， ∵AD=AB=6 ∴， ∴AF=DF， ∵△ABD为等边三角形， ∴BF⊥AD，即， ∴此时△DFB为直角三角形， ∵∠EAF= ， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，当为直角三角形时，旋转角的度数为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 类型三、矩形中的折叠问题 例题：（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，先由折叠的性质可得，再由矩形的性质可得，设，则，可由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， ， 解得， ∴； 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B落在点F处，连接．当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】5或2 【分析】本题考查的是折叠变换的性质，掌握折叠变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．当为直角三角形时，需要分类讨论：分与两种情况，通过勾股定理列方程求解． 【详解】解：当时，三点共线， 设长为x，则， 由翻折可得，， 由勾股定理的， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 当时，四边形为正方形， ∴， ∴． 故答案为：5或2． 【变式训练2】（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，注意分类讨论；分两种情况考虑：①时；②PF⊥AB时；利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， 则由勾股定理得， ①当时，如图1所示， 则四边形是矩形， ， ， 设，则， 由折叠知：， 在中， ， 解得， ； ②当 PF⊥AB时，如图2所示，过F作交延长线于点G， 则四边形是矩形， ，， ； 设，则； 在中， ， 解得． ． 综上所述，满足条件的BE的值为或5． 【变式训练3】（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形中，，，点E为射线上的一个动点，把沿折叠．点D的对应点为． (1)求点刚好落在对角线上时，的长； (2)求点刚好落在此矩形的对称轴上时，线段的长． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由勾股定理得出，由折叠的性质可知，，即可求出的长； （2）分三种情况讨论：①当点落在对称轴上时，过点作于点；②当点落在对称轴上，且在矩形内部时；③当点落在对称轴上，且在矩形外部时，利用折叠和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，， ， 由折叠的性质可知，， （2）解：分三种情况讨论： ①当点落在对称轴上时， 直线是矩形的对称轴，， ， 如图，过点作于点，则四边形是矩形， ，， 设， 由折叠的性质可知，，， ， ， 在中，， 即， 解得：，即； ②当点落在对称轴上，且在矩形内部时， 直线是矩形的对称轴，，， ，， 设，则 由折叠的性质可知，，， 在中，， ， 在中，， ， 解得：，即； ③当点落在对称轴上，且在矩形外部时， 直线是矩形的对称轴，，， ，， 设，则 由折叠的性质可知，，， 在中，， ， 在中，， ， 解得：，即， 综上可知，线段的长为或或． 类型四、矩形中的旋转问题 例题：（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）利用证明，得出，，由得出，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为1； （2）证明：连接，， 旋转， ，，， ， ，， 又 ，即， M是中点， ∴； （3）解：如图，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 【变式训练1】（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，将长方形绕O按顺时针方向旋转度得到，此时直线、直线分别与直线相交于点P、Q．当，且时，线段的长是 ． 【答案】 【分析】先确定点P的位置，根据题意求出，，，再作，可知，然后根据面积相等得，可设，并表示，，，最后根据勾股定理，得，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴点P在点B的右侧． ∵四边形是矩形，点A的坐标是，点C的坐标是， ∴，，． 过点Q作于点H，连接，如图，则． ∵，， ∴． 设， ∵， ∴， 则，． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积等，合理地作出辅助线是解题的关键． 【变式训练2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）连接、，根据勾股定理先求出对角线的长，再利用旋转得到，，再次利用勾股定理即可解题； （2）连接，交于点O，连接，，则，即点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，解题即可． 【详解】解：（1）连接、， ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴， 由旋转可得， ∴； 故答案为：；    （2）连接，交于点O，连接，， ∵是矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动， 根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：， 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 【变式训练3】（2024·安徽池州·三模）已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据旋转性质得，结合矩形性质得，再进行角的等量代换，即可作答． （2）由矩形性质得出，．结合旋转性质得，，证明，即可作答． （3）依题意，设，，，运用勾股定理得，以及，代入数值化简，即可作答． 【详解】（1）证明：由旋转可知， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：如图，作于点M， ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∵平分， ∴． 由旋转可知，， ∴，． 在和中， ∴． ∴， ∴H为的中点． （3）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转性质，矩形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 类型五、正方形中折叠问题 例题： （2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得，，且，可得，即可求对角线的长，则可求面积． 【详解】解：如图，连接交于， 为正方形， ，，，，． 沿翻折， ，，，， ， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【变式训练1】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的综合应用以及翻折变换的性质，全等三角形的判定和性质．利用翻折变换对应边关系得出，，，利用定理得出，由全等三角形的性质得出，设，则，利用勾股定理得出，进而求出即可． 【详解】解：如图，连接， 在正方形中，，， 将沿对折至， ，，， ，， ， ， 设，则， 为的中点， ， ， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 故选：B． 【变式训练2】（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，对折正方形纸片，得到折痕，将纸片展平，在上取一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，将纸片展平，连接，延长交于点Q，连接若正方形的边长为6，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】由折叠及正方形的性质得到，，再由“”易证；分当点在线段上和当点在线段上两种情况，再根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】∵在正方形中， ∴，， 根据折叠的性质可得：， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 当点在线段上时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式训练3】（22-23八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．    （1） ； （2）如图2，若E为的中点，则 ． 【答案】 /度 2 【分析】（1）根据折叠性质得到，得到，，证明，即可证明． （2）根据，得到，设，则，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵正方形，沿对折至， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）根据（1）得，， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 类型六、正方形中旋转问题 例题：（2024·江西九江·一模）【特例感知】如图1，点 是正方形 ABCD 对角线AC上一点，于点 ，于点 （1）求证：四边形是正方形． （2） ； 【规律探究】将正方形 绕点A 旋转得到图2，连接 ，， （3） 的比值是否会发生变化? 请说明理由． 【拓展应用】 如图3，在图2 的基础上，，，分别是 ，，的中点． （4）求证：四边形． 是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变，理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据正方形的性质和判定即可； （2）根据正方形的性质求解即可； （3）过作于点，过作交于点，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据性质证明是等腰直角三角形即可； （4）根据正方形的性质和判定即可； 【详解】（1）四边形是正方形， ，平分， ，， ， ,四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）由（1）得：四边形是正方形， 四边形是正方形， 设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ， 故答案为：； （3）不变，理由： 四边形是正方形，四边形是正方形， ，， ， ， ， 过作于点，过作交于点， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 易得：， ，， ，即是等腰直角三角形， ， ； （4）四边形是正方形，理由： 由（3）得， ， 点，，分别是，，的中点， ， ， ， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【变式训练1】（23-24八年级下·上海·期末）如果把正方形 绕点 旋转得到正方形，点落在对角线上，点落在 的延长线上，那么 度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；根据旋转的性质以及正方形的性质可得，进而得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，点是正方形两对角线的交点，分别延长到点，到点，使，，然后以、为邻边作正方形，连接，． (1)求证：； (2)如图2，正方形固定，将正方形绕点逆时针旋转角（），得到正方形； ①在旋转过程中，当是直角时，求的度数； ②若正方形的边长为2，在旋转过程中，长的最大值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，或；② 【分析】（1）延长交于，根据四边形是正方形，可推出，得到，再由，得到，推出，得证； （2）①在旋转过程中，是直角时有两种情况，当由增大到过程中，由，，得到，再由，推出，即可；当由增大到过程中，，同理可求，即可求得答案；②在图1连接，根据正方形性质求出和，由题意可知当，、、在一条直线上，此时的长最大，由即可得到答案． 【详解】（1）如图，延长交于， 点是正方形两对角线的交点， ，， 四边形是正方形 在和中， ， ， ， ， ， ， 即； （2）①在旋转过程中，成为直角有两种情况： 如图2，由增大到过程中， 当时， ， 在中， ， ，， ， ，即； 由增大到过程中，当时，如图 同理可求， ， 综上所述，当时，或； ②如图，连接， 四边形是正方形， ，， 正方形的边长为2， ， ， 则， 当时， 、、在一条直线上，此时的长最大， 最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转变换的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，平行线的性质，勾股定理，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式训练3】（2024·山东东营·模拟预测）如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 【答案】（），；（）（）中得到的结论仍然成立，证明见解析；（）或． 【分析】（）由四边形和四边形是正方形，可得，， ，进而得，即可由证明，得到，延长交于点，由全等三角形的性质得到，进而得到，得到，即得； （）（）中得到的结论仍然成立，同理（）证明即可求证； （）根据题意，画出图形，分两种情况解答即可求解； 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； （）（）中得到的结论仍然成立，在图中证明如下： ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （）当正方形绕点旋转到如图位置时，    连接与相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 连接，    由（）（）可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴； 综上，的长为或． 压轴能力测评（10题） 一、单选题 1．（2023·海南三亚·二模）如图，将边长为4，锐角为的菱形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处，记为，则的长度为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识．过作于点，先求出，，则点与重合，再由折叠的性质得，设，则，然后由勾股定理得，即可得出答案． 【详解】解：如图，过作于点， ， 边长为4，锐角为的菱形， ，，， ， 是的中点， ， ， ， ，， 点与重合， ，， 由折叠的性质得：， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故选：B． 2．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将边长为正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，边相交于点，则四边形的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，判断出点共线是解答本题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形， ∴， ∴点共线，且， ， ∴四边形的面积为 ． 故选C． 二、填空题 3．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形中，E为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，的周长为24，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，找出线段之间的数量关系是解题关键．由矩形和折叠的性质可知，，，，再根据三角形周长，求得，，然后利用勾股定理，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可知，，， 的周长为12，的周长为24， ，， ， ， ，， 在中，， ， 解得：， ， ， 故答案为：4． 4．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在菱形中，，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上，与交于点P．（1）与的关系是 ，（2）的长为 ．    【答案】 相等且垂直 【分析】（1）连接BD交AC于O，由菱形的性质得出，由直角三角形的性质求出，由直角三角形的性质得出，由旋转的性质得出，求出，证出，即可得出结论； （2）由直角三角形的性质得出，即可得出结果． 【详解】解：（1）连接BD交AC于O，如图所示：    ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴EF与DC的关系是相等且垂直， 故答案为：相等且垂直； （2）∴，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 三、解答题 5．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点． (1)求证：； (2)顺次连接，，，，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)能，． 【分析】（1）根据正方形的性质及选转的不变性证明和即可； （2）由旋转得：，故当互相平分时，四边形为矩形，设，则，，，在中，由勾股定理得：，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接 ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴； （2）解：能， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得：， 故当互相平分时，四边形为矩形， ∵互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， 设，则，， 由（1）知， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：，即． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）【感知】如图①，将沿过点D的直线折叠，使点A的对应点落在边上的点F处，得到折痕，连接．若，则四边形的周长为________； （2）【探究】如图②，点E、G分别是的边上的点，将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、，点恰好落在边上． ①求证：四边形为菱形； ②若，，，，则的长为________． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及翻折变换，菱形的判定，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握翻折的性质 （1）【感知】根据折叠的性质，得，，，而，即得，故，可知四边形的周长为16， （2）【探究】①由折叠的性质，得，，即得，，故，而，从而可证四边形为菱形； ②过作交延长线于，设，则，可知，由，得，有，，在中，，得，进而得解． 【详解】解：（1）【感知】如图 沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， ， 四边形的周长为16， 即四边形的周长为16； （2）【探究】①证明：∵将四边形沿折叠，点A、D的对应点分别为、 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形 又 ∴四边形为菱形； ②．解：过作交延长线于，如图 四边形是平行四边形， ，，， 设，则， 四边形为菱形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ． 7．（23-24八年级下·安徽六安·期末）问题情境：点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转至．延长交直线于点F，连接． (1)如图①，若F在线段的延长线上，求证：四边形为正方形； (2)如图②，若F恰为线段的中点，请猜想线段、的数量关系并加以证明； (3)解决问题：若，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可知：，，证明，可得，再说明可得四边形是矩形，再结合即可证明； （2）过点作，垂足为，证明和，根据全等三角形的性质即可解答； （3）作于，由勾股定理可求得，再由可得，，进而求出，最后在中，由勾股定理计算可得． 【详解】（1）解：四边形是正方形 理由：由旋转可知：，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又， ， 四边形是矩形． ∵． 四边形是正方形； （2）． 证明：如图，过点作，垂足为， 则， 四边形是正方形， ，． ， ． ． ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ； （3）解：作于，如图． 设的长为， ∵四边形是正方形， ∴， 由（2）可知，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ，解得（负值舍去） ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，综合应用所学知识是解答本题的关键． 8．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合运用 如图1，点E是矩形的边上一点，连接，把沿折叠得到，点在矩形的内部，延长交射线于点F，连接，已知． (1)当E是的中点时，求． (2)如图2，当时，与相交于点G，求的长； (3)如图3，当时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明可得、，然后再根据勾股定理列方程求解即可； （2）先证明可得，设则，运用勾股定理列方程求解可得，进而得到；设，则，再运用勾股定理列方程求y的值即可； （3）根据折叠的性质和等腰三角形的性质可得，如图：过F作交延长线于H，则；由勾股定理可得、,设则，由勾股定理可得、，进而得到解得，即，最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ∴，, ∵E是的中点， ∴, ∵把沿折叠得到， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴, ∴, ∵， ∴，解得：． （2）解：∵把沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴, 设则， ∵, ∴，解得：， ∴， 设，则， ∵, ∴，解得：， ∴． （3）解：∵把沿折叠得到， ∴， ∵， ∴, 如图：过F作交延长线于H，则, ∴, ∴, 设则 ∴，， ∵， ∴，即，解得：， ∴， ∴的面积为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，掌熟练运用相关判定和性质定理成为解题的关键． 9．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：_______． (2)迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________°，________°； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，直接写出的长． 【答案】(1)（或） (2)①15，15；②，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）根据折叠的性质，得，结合矩形的性质得，进而可得； （2）根据折叠的性质及正方形的性质，可证，即可求解； （3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设分别表示出，，，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： 取的中点N，连接， ， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ， 故答案为：（或）． （2）解：四边形是正方形 ， 由折叠性质得：， ① ∴ ， 故答案为：，． ②，理由如下： 四边形是正方形 ， 由折叠可得， ， ； （3）解：当点在点的下方时，如图， ， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴； 当点在点的上方时，如图， ，， 由（2）可知， 设 ， 即 解得： ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 10．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在矩形中，，，以点为旋转中心，逆时针旋转矩形，旋转角为，得到矩形，点的对应点分别为点．    (1)如图①，当点落在边上时，线段的长度为___________； (2)如图②，当点落在线段上时，与相交于点，连接． ①求证：； ②求线段的长度． (3)如图③设点为边的中点，连接，，在矩形旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见详解；②； (3)存在，最大值为：； 【分析】（1）本题考查矩形的性质，旋转的性质与勾股定理，根据旋转得到，根据矩形得到，结合勾股定理即可得到答案； （2）①矩形的性质，旋转的性质及三角形全等的判定，根据旋转及矩形得到，，即可得到证明；②本题考查三角形全等的性质与勾股定理，根据得到，从而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案； （3）本题考考查矩形的性质，勾股定理，根据矩形的性质，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面积最大，结合三角形三边关系得到最大高即可得到答案； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①证明：∵四边形是矩形，逆时针旋转矩形得到矩形， ∴，， 在与中， ∵， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵为边的中点， ∴， ∴，    过A作于E， ∵点B到的距离小于， ∴当，，三点共线时高最大，的面积最大如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$