第03讲 二次根式的乘除(五类知识点+九大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第03讲 二次根式的乘除（九大题型） 学习目标 1、 经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则； 2、 能运用除法法则，进行二次根式的除法运算； 能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简。 活动一： 计算：（1）×＝ ， ＝ ； （2）×＝ ， ＝ ； （3）×＝ ， ＝ ． 你有什么发现？请与同学交流． 一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【方法规律】(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 　　; ≥0，≥0，…..≥0）; (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根 （≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 【方法规律】 (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2) 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 【即学即练1】 计算： ． 【即学即练2】 计算： . 【即学即练3】 计算： ． 活动二： （1） ，＝ ； （2） ，＝ ； （3） ，＝ ； （4） ，＝ ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？ 二、二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.. 【方法规律】 (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质 　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【方法规律】运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 【即学即练1】 计算： ． 【即学即练2】 计算 ． 【即学即练3】 计算的结果是 ． 题型1：二次根式的乘法-数字型 【典例1】．计算的值是（       ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【典例2】．计算：＝_________． 题型2：二次根式的乘法-字母型及复合型 【典例3】．计算：__________． 【典例4】．下列计算正确的是(          ) A． B． C． D． A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不对 【典例5】．计算（2）（）的结果是（       ） 题型3：二次根式的乘法法则成立的条件 【典例6】．要使等式成立的x的值为（          ） A．4 B．8 C．16 D．32 题型4：二次根式的除法-数字型 【典例7】．计算：＝___． 【典例8】．计算：＝_____． 【典例9】．计算：÷＝_____． 题型5：二次根式除法法则成立的条件 【典例10】．能使成立的x的取值范围是（   ） A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2 【典例11】．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___． 【典例12】．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序号）． 题型6：二次根式的除法-字母型及复合型 【典例13】．计算：＝____． 【典例14】．计算：＝___． 【典例15】．计算：_________． 【典例16】．计算：=______          =______ 【典例17】．当时，化简 _________________． 题型7：二次根式的乘除法-数字型 【典例18】．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例19】．计算：＝___． 题型8：二次根式的乘除法-字母型及复合型 【典例20】．下列结论中，对于实数、，成立的个数有（          ） ①；  ②；   ③；   ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例21】．计算：（　　　） A． B． C． D． 【典例22】．计算： （1） （2） （3） （4） （5）． 【典例23】．计算: （1）; （2）; （3） 题型9：二次根式乘除的实际应用 【典例24】．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为_______． 【典例25】．站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________. 一、单选题 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．已知化简的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 7．在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 8．计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 9．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 10．观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 二、填空题 11．计算： ． 12． ． 13．化简的结果是 ． 14．计算的结果为 ． 15．式子成立的条件是 ． 16．长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 17．已知，，则 ． 18．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．根据以上的信息，已知，的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习： 已知，，用含a，b的代数式表示．小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法： 小豪：． 小麦：． 因为，． 老师看罢，提出下面的问题： (1)两位同学的解法都正确吗？ (2)请你说明理由． 22．设长方形的面积为S，相邻两边分别为a，b． （1）已知，求S； （2）已知，求S． 23．求代数式的值，其中a＝3，b＝2． 24．计算： (1)； (2)． 25．化简： （1）             （2） （3）；           （4）； （5）． 26．【阅读·领会】 材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，是把几个同类二次根式前的系数相加，作为结果的系数，即利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． 材料二：二次根式可以进行乘法运算，公式是 我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地，当时， 根据积的乘方运算法则，可得， ∵，∴．于是、都是ab的算术平方根， ∴利用这个式子，可以进行一些二次根式的乘法运算． 将其反过来，得它可以用来化简一些二次根式． 材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式： （I）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （II）被开方数中不含分母； （III）分母中不含有根号．这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式． 【积累·运用】 （1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样，试推导二次根式的除法公式． （2）化简：______． （3）当时，化简并求当时它的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的乘除（九大题型） 学习目标 1、 经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则； 2、 能运用除法法则，进行二次根式的除法运算； 能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的二次根式进行化简。 活动一： 计算：（1）×＝ ， ＝ ； （2）×＝ ， ＝ ； （3）×＝ ， ＝ ． 你有什么发现？请与同学交流． 一、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 【方法规律】(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中， 如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： 　　; ≥0，≥0，…..≥0）; (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根 （≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. 【方法规律】 (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2) 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面. 【即学即练1】 计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式乘法的计算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．运用二次根式乘法法则进行计算、求解． 【解析】解：， 故答案为：． 【即学即练2】 计算： . 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解本题的关键． 【解析】解：， 故答案为：． 【即学即练3】 计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，直接利用平方差公式进行求解即可． 【解析】解：， 故答案为：． 活动二： （1） ，＝ ； （2） ，＝ ； （3） ，＝ ； （4） ，＝ ． 比较上述各式，你猜想到什么结论？ 二、二次根式的除法及商的算术平方根 1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.. 【方法规律】 (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 2.商的算术平方根的性质 　（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 【方法规律】运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 【即学即练1】 计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算，直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【解析】解：原式． 故答案为：． 【即学即练2】 计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法，掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．根据二次根式的除法法则，即可求解； 【解析】解：， 故答案为：． 【即学即练3】 计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法则进行计算即可． 【解析】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 题型1：二次根式的乘法-数字型 【典例1】．计算的值是（       ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式乘法法则计算即可． 原式． 故选：D． 【点睛】 本题考查了二次根式乘法法则：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根． 【典例2】．计算：＝_________． 【答案】20 【解析】 【分析】 根据二次根式的乘法法则计算即可． 解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键． 题型2：二次根式的乘法-字母型及复合型 【典例3】．计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的乘法进行求解即可． 解：； 故答案为： 【点睛】 本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 【典例4】．下列计算正确的是(          ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 A选项：，计算错误，故与题意不符； B选项：，计算步骤有误，故与题意不符; C选项：，计算错误，故与题意不符； D选项：＝=5，计算正确，故与题意相符. 故选D. 【典例5】．计算（2）（）的结果是（       ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】 【分析】 利用平方差公式进行计算即可． 解：（2）（） 故选B． 【点睛】 本题考查的是利用平方差公式进行二次根式的乘法运算，掌握公式特点是解题的关键． 题型3：二次根式的乘法法则成立的条件 【典例6】．要使等式成立的x的值为（          ） A．-2 B．3 C．-2或3 D．以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案. ∵， ∴或， ∴x=-2或x=3， 又∵， ∴x=3， 故选B. 【点睛】 本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键. 题型4：二次根式的除法-数字型 【典例7】．计算：＝___． 【答案】 【解析】 【分析】 用二次根式除法法则计算即可． 解：． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的除法，解题关键是熟练掌握二次根式除法法则，准确进行计算． 【典例8】．计算：＝_____． 【答案】3 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的除法运算计算得出即可． 解：． 故答案为：3． 【点睛】 本题主要考察了二次根式的除法，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． 【典例9】．计算：÷＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据二次根式的除法法则计算即可求解． 解：， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了二次根式的除法运算，熟知二次根式的除法法则是解题关键． 题型5：二次根式除法法则成立的条件 【典例10】．能使成立的x的取值范围是（   ） A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可． 由题意可得：，解得：x＞2． 故选D． 【点睛】 二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据． 【典例11】．使等式成立的条件时，则的取值范围为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】 由二次根式有意义的条件可得再解不等式组即可得到答案. 解： 等式成立， 由①得： 由②得： 所以则的取值范围为 故答案为： 【点睛】 本题考查的是商的算术平方根的运算法则与二次根式有意义的条件，掌握“”是解本题的关键. 【典例12】．下列各式：①；②；③（a＞0，b≥0）；④，其中一定成立的是________（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质及运算法则逐项分析即可． ①时原式成立，否则不成立，如：，故不一定； ②一定成立，因为成立时，一定满足； ③当时，，故一定成立； ④当成立时，，则，故一定成立； 故答案为：②③④． 【点睛】 本题考查二次根式的性质以及乘除远算法则，熟练掌握基本性质计算法则是解题关键． 题型6：二次根式的除法-字母型及复合型 【典例13】．计算：＝____． 【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的除法法则解决此题． 解： ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查二次根式的除法，解题的关键是熟练掌握二次根式的除法法则． 【典例14】．计算：＝___． 【答案】 【解析】 【分析】 根据二次根式的除法运算法则计算即可； 原式； 故答案是：； 【点睛】 本题主要考查了二次根式的除法法则，准确计算是解题的关键． 【典例15】．计算：_________． 【答案】x 【解析】 【分析】 根据二次根式的除法法则计算即可． 解： = = =x． 【点睛】 本题考查了二次根式的除法，熟练掌握除法法则是解答本题的关键．二次根式相除，把系数相除作为商的系数，被开方数相除，作为商的被开方数，并化为最简二次根式． 【典例16】．计算：=______          =______ 【答案】     24     【解析】 【分析】 运用积的乘方的逆运算：(ab)n=anbn，把写成，再先算乘方再算乘法；按从左到右的顺序运算． 解： = =3×23 =3×8 =24 解： = = 故答案为：24， 【点睛】 此题考查了实数的运算，解决问题的关键是掌握正确的运算顺序． 【典例17】．当时，化简 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据二次根式的定义和除法的性质可得，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得． 由二次根式的定义得：， ， ， 又除法运算的除数不能为0， ， ， 则 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 题型7：二次根式的乘除法-数字型 【典例18】．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用二次根式的运算性质分别运算后即可确定错误的选项，从而确定正确的答案． 解：、，正确，不符合题意； 、，正确，不符合题意； 、，正确，不符合题意； 、，故原式错误，符合题意， 故选：． 【点睛】 本题考查了二次根式的运算，解题的关键是了解二次根式的有关的运算性质，难度不大． 【典例19】．计算：＝___． 【答案】 【解析】 【分析】 先把除法转化为乘法，再计算即可完成． 故答案为： 【点睛】 本题考查了二次根式的乘除混合运算，注意运算顺序不要出错． 题型8：二次根式的乘除法-字母型及复合型 【典例20】．下列结论中，对于实数、，成立的个数有（          ） ①；  ②；   ③；   ④． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件结合二次根式的乘除法及二次根式的性质逐一分析四条结论的正误，由此即可得出结论． ①当a、b均为负时，、无意义， ∴①不成立； ②∵在中，a＞0，b≥0， ∴≥0， ∴＝，②成立； ③∵＝|a|， ∴③不成立； ④∵＝|a2|＝a2， ∴④成立． 综上可知：成立的结论有②④． 故选C． 【点睛】 本题考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘除法以及二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法及二次根式的性质是解题的关键． 【典例21】．计算：（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出即可． 原式． 故选：A 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键． 【典例22】．计算： （1） （2） （3） （4） （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【解析】 【分析】 （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （3）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （4）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可； （5）根据二次根式的乘除法混合运算法则计算即可． （1）原式； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式； （5）原式 ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待． 【典例23】．计算: （1）; （2）; （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可． （1）原式 ； （2）原式； （3）原式． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的化简能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 题型9：二次根式乘除的应用 【典例24】．若一个长方体的长为，宽为，高为，则它的体积为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】 直接根据长方体体积公式求解可得． ∵长方体的长为，宽为，高为 ∴长方体的体积= 故答案为：12 【点睛】 本题考查求长方体的体积，注意正方体的体积求法与长方体类似，为棱长×棱长×棱长． 【典例25】．站在竖直高度的地方，看见的水平距离是，它们近似地符合公式.某一登山者登上海拔的山顶，那么他看到的水平距离是________. 【答案】160 【解析】 【分析】 把h=2000代入公式进行即可. 解：把h=2000代入公式得 所以答案是：160. 【点睛】 本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键. 一、单选题 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算 ，直接计算，即可作答． 【解析】解：依题意， 故选：B 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【解析】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简和二次根的乘法运算．先对二次根式进行化简，再根据乘法分配律利用二次根式乘法则计算即可求解． 【解析】解： ， 故选：C． 4．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是利用二次根式的性质化简及二次根式的乘法，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 先根据二次根式的性质化简，再将、的值代入即可求解． 【解析】解：． 故选：． 5．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的除法，直接运用二次根式的除法法则和性质进行计算即可． 【解析】解： ， 故选：C 6．已知化简的结果是一个整数，则正整数a的最小值是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的化简等知识，灵活应用二次根式的乘法法则化简是解题关键．先化简，再根据结果是正整数，即可求出a的最小值． 【解析】解：，且的结果是一个整数， 是一个整数， 是平方数， 正整数a的最小值是6， 故选：D． 7．在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【解析】解：∵，， ∴，故甲正确， ，故乙正确； ，故丙正确； 故选：D． 8．计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可． 【解析】解： ， 故选：A． 9．已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【解析】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 10．观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【解析】∵ ∴用含的等式表示为 ∴． 故选C． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质计算即可． 【解析】解：， 故答案为：3． 12． ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式乘除运算法则是解题的关键． 先将除法转化为乘法，然后进行计算即可． 【解析】解： 故答案为：． 13．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握化简方法是解题的关键．分子、分母都乘以，即可去掉分母中的根号，从而得出最后结果． 【解析】解：， 故答案为：． 14．计算的结果为 ． 【答案】// 【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再算除法即可． 【解析】解： ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与除法，掌握相关法则和公式是解题的关键． 15．式子成立的条件是 ． 【答案】/ 【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【解析】要使有意义，则 ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键． 16．长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的除法运算，即可求解． 【解析】解：根据题意得：这个长方形的宽为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法的应用，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 17．已知，，则 ． 【答案】24 【分析】求出，可得结论．本题考查了因式分解的应用，准确代入并计算是解题关键． 【解析】解：，， ． 故答案为：24 18．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，但是由于，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，所得的差就是其小数部分．根据以上的信息，已知，的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查无理数的估算、二次根式的乘法，先求得的取值范围，进而得到的整数部分和小数部分，然后代值求解即可． 【解析】解：∵， ∴，则， ∴，， ∴ ． 故答案为：9． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2) (3)10 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可． （3）先根据二次根式的乘法法则计算， 再根据二次根式的性质化简即可． （4）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【解析】（1）解： （2） （3） （4） 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)20 (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算以及根据二次根式的性质化简． （1）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （2）先根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘法法则计算即可． （3）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． （4）直接利用二次根式的乘法法则计算即可． 【解析】（1）解： （2） （3） （4） 21．老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习： 已知，，用含a，b的代数式表示．小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法： 小豪：． 小麦：． 因为，． 老师看罢，提出下面的问题： (1)两位同学的解法都正确吗？ (2)请你说明理由． 【答案】(1)都正确 (2)见解析 【分析】（1）仔细阅读两同学的解题过程，然后判断； （2）证明两人所得结果可以互相转换即可． 【解析】（1）解：都正确． （2）解：理由如下： 观察两位同学的解答过程可知，均符合二次根式运算法则，所得结果可以互相转换， ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，灵活运用二次根式运算法则是解题的关键． 22．设长方形的面积为S，相邻两边分别为a，b． （1）已知，求S； （2）已知，求S． 【答案】（1）；（2）240 【分析】分别根据长方形的面积公式、二次根式的乘法法则以及以及二次根式的性质计算即可． 【解析】解：（1），， ； （2），， ． 【点睛】该题主要考查了二次根式的乘法运算，熟练运用二次根式的乘法法则以及二次根式的性质是解决本题的关键． 23．求代数式的值，其中a＝3，b＝2． 【答案】 【分析】先根据二次根式的乘法计算，再将a＝3，b＝2代入求值即可． 【解析】解：==， 将a＝3，b＝2代入原式得：=． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 24．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【解析】（1）解： ． （2）解： 25．化简： （1）             （2） （3）；           （4）； （5）． 【答案】（1），（2），（3）；（4）；（5）． 【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可． 【解析】（1） （2） （3）；            （4） ； （5） ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键． 26．【阅读·领会】 材料一：一般地，形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数．其中，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．像同类项一样，同类二次根式也可以合并，合并方法类似合并同类项，是把几个同类二次根式前的系数相加，作为结果的系数，即利用这个式子可以化简一些含根式的代数式． 材料二：二次根式可以进行乘法运算，公式是 我们可以利用以下方法证明这个公式：一般地，当时， 根据积的乘方运算法则，可得， ∵，∴．于是、都是ab的算术平方根， ∴利用这个式子，可以进行一些二次根式的乘法运算． 将其反过来，得它可以用来化简一些二次根式． 材料三：一般地，化简二次根式就是使二次根式： （I）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （II）被开方数中不含分母； （III）分母中不含有根号．这样化简完后的二次根式叫做最简二次根式． 【积累·运用】 （1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式那样，试推导二次根式的除法公式． （2）化简：______． （3）当时，化简并求当时它的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）， 【分析】（1）仿照材料二中证明二次根式乘法公式的方法，推导二次根式的除法公式 （2）根据二次根式乘法公式进行计算即可 （3）先根据二次根式除法公式进行化简，再把a和b的值代入即可 【解析】解：（1）二次根式的除法公式是 证明如下：一般地，当时， 根据商的乘方运算法则，可得     ∵，∴．于是、都是的算术平方根， ∴利用这个式子，可以进行一些二次根式的除法运算． 将其反过来，得它可以用来化简一些二次根式． （2） 故答案为： （3）当时， 当时，原式= 【点睛】本题考查二次根式的乘法和除法法则，，解题的关键是熟练运用公式以及二次根式的性质，本题属于中等题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$