6.1相关分析（课件）《统计学》（上海交通大学出版社）

第6章　相关分析与回归分析 本 章 结 构 相关分析 线性回归分析 非线性回归分析 相关分析 相关关系与函数关系 函数关系；相关关系 相关关系的种类 1、按相关方向分为：正相关和负相关 2、按相关程度分为：完全相关、不完全相关和不相关 3、按相关形式分为：线性相关（直线相关）和非线性相关（曲线相关） 4、按所研究的变量的多少分为：单相关（A与B）、复相关（A与B、C、D）和偏相关（B、C不变A与D） 5、按相关系数分为：r=1，完全相关；0.8r1，高度相关； 0.5r0.8，显著相关；0.3r0.5，低度相关；0r0.3，微弱相关； r＝0，不相关； 相关分析 涵义 利用一个指标来反映现象间相互依存关系的密切程度。用相关系数r来表示。 特点 可以了解现象间的相关方向和程度 相关分析中所涉及的现象间地位是平等的，不存在自变量与因变量之分。 相关表和相关图（例6.01） 相关系数 单相关系数的含义 是反映两变量之间的相关程度。总体相关系数用表示，样本相关系数用表示。 单相关系数的公式：总体相关系数公式6.01；样本相关系数公式6.02 单相关系数的特点 （1）  r只是对x与y的线性相关关系的度量。 （2）    0  r  1； （3）    r = 0 时，x与y没有线性关系； （4）    0  r  1，x与y存在一定的线性关系； （5）    r＝1，x与y完全线性相关； 单相关系数的计算：例6.02；练习6.01 单相关系数的检验 等级相关系数及其检验 复相关系数与偏相关系数 回归分析 回归分析 涵义 根据相关关系的具体形态，选择一个恰当的数学模型，来近似地表达现象间的变化关系。 特点 变量间地位不平等，自变量与因变量之间存在因果关系。 可以反映现象间的具体形态，并且从一个变量的变化可以推出另一个变量的变化。 在建立回归模型时，自变量必须是给定的。 相关分析与回归分析的联系与区别 一元线性回归分析 总体线性回归函数与回归直线方程 样本回归函数与回归直线方程 误差项的标准假定 一元线性回归模型的估计 回归系数的估计：例6.05；练习6.02 标准误差的估计：公式6.03；例6.06；练习6.03 一元线性回归模型的检验 一元线性回归模型预测 多元线性回归分析 标准的多元线性回归模型 多元线性回归模型的估计 多元线性回归模型的检验 多元线性回归模型的预测 非线性回归分析 非线性回归模型 抛物线型 采用差量法，如果Δxt接近于常数，Δy2t的绝对值也接近于常数时，变量y与x之间的关系表现为抛物线型。其公式为： 双曲线型 当变量y随变量x的增加而增加（或减少）时，而且最初增加（或减少）很快，以后逐渐趋缓，则判定变量间的关系存在双曲线趋势，可选用双曲线模型。其公式为： 指数型 当参数a>0，b>1时，曲线随着x值的增加而弯曲上升，趋于+∞；当a>0，0<b<1时，曲线随着x值的增加而弯曲下降趋于0，则变量x与y呈指数型。其公式为： 对数型 随着变量x的增大，x的单位变动对因变量y的影响效果不断递减，这时变量x与y之间呈对数型关系。公式为： 圆面积 S 与半径R 的关系 S＝πR2 价格 P 一定时，销售额Y与销售量X的关系 Y＝PX …… 函数关系：是反映现象之间严密的依存关系。表现为： 例1 家庭收入与恩格尔系数，家庭收入高，则恩格尔系数低； 例2 粮食亩产量与每亩施肥量之间的关系，在一定范围内，施肥量多些，产量就高些； 例3 人体的体重与身高之间的关系，身高高些，体重就重些 ； 例4 居民家庭的人均收入与家庭的储蓄额之间的关系 ； 例5 家长年龄与家庭收入之间的关系; 相关关系：反映变量之间的一种不完全确定的依存关系。表现为： 联系：二者具有共同的研究对象，且在应用中相互补充。相关分析依靠回归分析来表明现象间的相关程度。（只有显著以上的相关，进行回归分析才有意义）。 区别：①相关分析可以反映现象间的相关方向与程度；但不能反映具体形态，也无法从一个变量的变化推测另一个变量的情况。（变量间无地位变化）。② 回归分析能反映现象间的具体形态，可以从一个变量的变化推出另一个变量的变化。（变量间有地位的变化）。 相关表与相关图：二者是研究相关关系的直观工具，利用它们可以大致地分析相关方向、形式与程度。 相关表：是一种反映变量之间相关关系的统计表。通常是将A变量按大小顺序排列，与之对应的B变量列入相应的表中。 相关图（散点图）：是将相关表的资料在坐标轴中描述出来的一系列点。 例6.01：分析某公司劳务产品的完成量与其单位产品成本的关系,调查了该公司1周的资料，得到原始数据如下： 星期 1 2 3 4 5 完成量(小时) 40 30 20 80 50 单位成本(元) 15.0 15.6 16.8 14.2 14.8 上述资料整理得相关表 完成量(小时) 20 30 40 50 80 单位成本(元) 16.8 15.6 15.0 14.8 14.2 80 劳务完成量（小时） 平均单位成本（元） y 17 16 15 14 20 40 50 60 70 30 相关图 x 公式6.01 公式6.02 公式6.03 公司序号 销售总额（万元）x 利润总额（万元）y A B C D E F G 160 340 440 450 680 710 800 25 90 72 85 231 175 201 For example 6.02、603、605和606: 万象集团公司下属子公司的销售总额与利润总额的资料如下： 解：由题可得： 直线方程为： Practice 6.01和6.02和6.03: 2000年我国部分省市自治区城镇居民人均消费性支出和人均可支配收入资料如下： 省市 可支配收入（元）x 消费支出（元）y 北京 上海 天津 河北 山西 辽宁 吉林 江苏 浙江 安徽 福建 10 350 11 718 8 141 5 661 4 724 5 358 4 810 6 800 9 279 5 294 7 432 8 494 8 868 6 121 4 349 3 942 4 356 4 021 5 323 7 020 4 233 5 639 合计 79 567 62 366 资料来源：国家统计局 中国统计摘要 中国统计出版社 2001 解：由题可得： NEXT 6.03 NEXT 6.02 （元） 单相关系数的检验 建立假设 原假设： 对立假设： 计算相关系数的t值 确定临界值。根据事先给定的显著性水平α和自由度（n-2），查找临界值 。 进行判断。若 ，表示r是显著的；若 ，表示r不显著。 【例603】 根据例602，当α＝0.05时，r≈0.9961，试问该公司的销售收入与利润总额之间是否存在显著的线性相关关系？ 检验 建立假设 原假设： 对立假设： 计算相关系数的t值 确定临界值 α＝0.05时，查表得 进行判断 因为 ，即 ，所以拒绝原假设，接受对立假设。 等级相关系数 等级相关是把品质标志表现或数量标志表现按等级次序排列，再测定标志等级间相关程度的一种方法。等级相关系数的公式为： 其中x和y分别为两现象按大小（或优劣）排列的等级 例6.04 等级相关系数的检验 方法与单相关系数的检验方法相同 例6.05与单位 例6.04 鑫利公司某车间的间的工作时间与产量的资料如下表所示。试计算并判断该公司生产车间的工作时间与产量的等级相关关系。 表 工作时间与产量的资料 工作时间（小时） 产量（件） d=x-y 原始数据 排队等级x 原始数据 排队等级y 6 5 3 8 2 4 3 2 5 1 40 40 35 45 30 3.5 3.5 2 5 1 0.5 -0.5 0 0 0 合计 15 190 15 - 解：设工作时间的排序为x，产量的排序为y，则得 说明该车间的工作时间与产量之间存在等级高度相同的正相关关系。 例6.05 根据例6.04的资料，设α=0.05，试检验该车间的工作时间与产量之间是否存在显著的等级相关。 检验：建立假设 原假设： 对立假设： 确定临界值 α=0.05 查表得： 计算t统计量 比较判断 因为 ，即 ，所以拒绝原假设，接受对立假设，即工作时间与产量存在高度显著的正相关关系。 复相关系数 偏相关系数 居民可支配收入 居民消费支出 X Y 随机误差项： ui = Yi - E（Yi） 总体回归模型 总体回归线 ui Yi 居民可支配收入 居民消费支出 x y 残差项： ei = yi - 样本回归模型 yi ei 样本回归线 误差项的 标准假定 1、误差项的期望值为0，即对所有的t有 ； 2、误差项的方差为常数，即对所有的t总有 ； 3、误差项之间不存在自相关关系，其协方差为0，即（独立性）。当 时，有： 4、自变量是给定的变量，与随机误差项线性无关。（独立性）； 5、 随机误差项服从正态分布。 回归系数 的估计 残差越小越好。为了避免正负残差抵消，故取平方得： 对 和 求偏导数，并令其等于零，即 加以整理，得求解 和 的标准方程组： 整理得： 解得： 一元线性回归模型的检验 理论意义的检验 拟合优度检验 拟合优度是指样本观测值聚集在样本回归线周围的紧密程度，通常用判定系数表示，它表示因变量中有多少是由自变量来决定的。 判决系数的特征： (1) 判决系数具有非负性 (2) 判决系数取值范围在0≤r2≤1。 (3) 判决系数是样本观测值的函数，是一个统计量。 【例】 根据例6.02的资料，计算判决系数。 解： 或 显著性检验 一方面是对回归系数的显著性进行检验，通常采用t检验；另一方面是对整个回归方程的显著性进行检验，采用F检验。 (1) 提出假设 原假设： 备选假设： (2) 确定显著性水平α 显著性水平的大小根据犯哪种错误的损失更大来决定，通常选择0.05或0.01。 (3) 计算回归系数的t统计量 (4) 确定临界值 根据显著性水平α和自由度(n-2)，查t分布表得到临界值 。 (5) 比较判断 比较t统计量和临界值，如果 ，则接受对立假设 ；反之接受原假设。 【例】 根据例6.02、例6.03、例6.05和例6.06的计算结果，以1％的显著性水平检验回归系数β1是否显著。 检验：根据题意，需要进行双侧检验。 (1) 建立假设 原假设：H0：β1=0 备选假设：H1：β1≠0 (2) 显著性水平α=0.01，查t分布表得临界值 。 (3) 计算t统计量 (4) 比较判断 因为 ，即 ，所以拒绝H0，接受H1，即回归系数β1是显著的。 一元线性回归模型的预测 回归点公式 区间预测公式 多元线性回归分析 标准的多元线性回归模型 总体的多元线性回归模型： 样本的多元线性回归模型： 多元线性回归模型的估计 回归系数的估计 【例】 鸿达公司1－5月份的产量、市场需求量和产品单价的相关资料如表6-6所示。 表 工作时间与产量的资料 月份 1 2 3 4 5 产量（千件） y 4 5 6 5 7 市场需求量（千件）x1 7 8 9 8 10 单价x2 2 3 4 5 6 解：设市场需求量为 x1，单价为x2，产量为y，得： 所以回归直线方程为: 总体方差的估计 【例】根据前例的资料及计算结果，估计总体方差。 解： 多元线性回归模型的检验 拟合优度的评价 如果各回归模型所包含的变量数目相同，样本容量也一样，则得公式 如果各回归模型中所包含的变量数量不相同，由用修正公式 显著性检验 回归系数的显著性检验 回归方程的显著性检验 ① 假设总体回归方程不显著，即有 ② 进行方差分析，列回归方差分析表，如下表所示 表 回归模型的方差分析表 离差名称 平方和 自由度 方差 回归平方和 k-1 残差平方和 n-k 总离差平方和 ③ 求F统计量 ④ 根据显著性水平α，查F表，得Fα。 ⑤ 比较判断。如果F > Fα，拒绝H0；F ≤ Fα，接受H0。 多元线性回归模型的预测 $$