4.2其他组织方式下的抽样估计（课件）《统计学》（上海交通大学出版社）

第4章　抽样推断 五 其他组织方式下的抽样估计 等距抽样 含义： 等距抽样也称机械抽样或系统抽样，它是先按某一标准将总体单位进行排序，然后按固定间隔来抽取样本单位的抽样组织方式。 抽样间距： 设总体容量为N，样本容量为n，则间隔的大小k为： 有关标志排列，抽样平均误差的计算会比较复杂。如果排序的标志是无关标志，而且是随机取样，那么它的抽样误差就非常接近简单随机抽样，因此，可以采用简单随机抽样误差的公式来计算。 类型抽样 含义： 类型抽样也称分层抽样，它是先按一定的标志对总体各单位进行分类，然后分别从每一类中按照随机原则抽取一定的单位组成样本。 类型抽样的计算步骤： 计算各组的样本平均数： 计算样本平均数： 计算方差： 在重复抽样时的抽样平均误差： 在不重复抽样时的抽样平均误差： 例4.09 整群抽样 含义： 整群抽样也称集团抽样，它是将总体各单位划分为若干群，然后从其中随机抽取部分群，对选中群的所有单位组成样本的抽样组织方式。 整群抽样的计算步骤： 计算群的样本平均数： 计算样本平均数： 计算抽样平均误差： 例4.10 了解某城市居民家庭的收入与消费情况 对某产品进行破坏性质量检验 调查某鱼塘的鱼苗长势情况 农产品的产量调查 自选商场经理要估计附近居民的购买能力 民意机关要估计竞选者的得票率 …… 指标名称 总体指标 样本指标 平均数 成数 方差 标准差 无偏性：对于一个总体，进行重复多次的估计，这个估计量的平均数应该等于估计的总体参数，这个估计量平均来说没有偏误。样本平均数，样本成数分别是总体平均数，总体成数的无偏估计量，但样本方差就不是总体方差的一个无偏估计量。只有通过调整后的样本方差，才是总体方差的无偏估计量。具体证明为： 注： 只有 才成立 例4.31 例4.31 设有一总体，N=3，其总体各单位标志值为1，3，5.现采取重复抽样，抽取2个样本。试列出所有可能的样本，并验证样本平均数和样本方差分别是总体平均数和总体方差的无偏估计量。 解：N=3, n=2的可能样本数 1 1，1 1，3 1，5 3 3，1 3，3 3，5 5 5，1 5，3 5，5   1 3 5  根据总体标志值可计算： 可能样本 样本平均数 样本方差 1，1 1 0 1，3 2 2 1，5 3 8 3，1 2 2 3，3 3 0 3，5 4 2 5，1 3 8 5，3 4 2 5，5 5 0 一致性：随着样本容量的增大，越来越接近总体参数的真值。我们就称这个估计量具有一致性。 有效性：一个估计量，如果它的可能数值的离散程度极大，那么这个估计量就不理想，在样本单位数相同的情况下，如果有两个无偏估计量可以选择，其中方差较小的那个估计量，就是有效性较高的估计量。如下图。 比 更接近 ，更有效。 公式4.01 重复抽样公式 不重复抽样公式 公式4.02 公式4.03 重复抽样 不重复抽样 For example4.01: 抽样调查33家工厂的月产值资料 现从660家工厂中随机抽取5％共33家进行调查，其月产值分组资料如上表，求抽样平均误差。 月产值（万元） 工厂数f 组中值x xf 0—10 10—20 20—30 30—40 20 9 2 2 5 15 25 35 100 135 50 70 合 计 33 — 355 解： 重复抽样 不重复抽样 For example4.02: 一批8瓦日光灯管8000只，按随机抽样抽取5％进行检验，发现有12只不合格，求合格品率的抽样平均误差？ 解： 重复抽样 不重复抽样 耐用时数（千小时） 组中值 x 元件数 f 7 以下 7 —— 8 8 —— 9 9 ——10 10 ——11 11 以上 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 2 8 28 32 20 10 合 计 — 100 从50000只电子元件中随机抽取100只检验结果如下： （设8000小时以下为不合格品） 要求计算：（1）抽样平均数的抽样平均误差 （2）抽样成数的抽样平均误差 练习4.01 解： （千小时） （千小时） 重复抽样条件下 不重复抽样条件下 （千小时） （千小时） 公式4.04 公式4.05 公式4.06 公式4.07重复 公式4.08不重复 公式4.08重复 公式4.07不重复 已知： ＝20 000元 ＝8 000元 n＝100 解： 根据： 见分析图4.03 例4.03：设某银行的个人储蓄服从平均数为20 000元，标准差为8 000元的正态分布。如果银行从中随机抽取100个帐户，其样本平均数落在19 000元至20 500元之间的概率是多少？ ∴样本平均数落在19000至20500元之间的可能性为 对于： 则查表得 F（1.25）＝0.7887 对于： 则查表得 F（0.625）＝0.4680 19000 20000 20500 0.3944 0.234 19500 21000 图5.351 解： 则查表得 F（2）＝0.9545 ∴平均储金大于22 000元可能性为 见分析图4.02 Practice 4.02: 如果从中随机抽取 64个帐户进行调查，其平均储金大于22 000元的可能性是多少？ 20000 0.0228 22000 18000 图4.02 已知： P＝45％ 则σ2＝P(1－P)＝0.45×0.55＝0.2475 N＝80 000 n＝200 解： 则查表得 F（1.43）＝0.8473 例4.04：甲城市对在校小学生进行调查，发现 45％ 的小学生有不同程度的近视。 乙城市与甲城市情况类似， 如果从乙城市的80 000名在校小学生中随机不重复地抽取200 名学生进行视力调查，问近视率低于40％的概率有多大？ For example 4.05: 某村在500亩稻田上用测框法调查了100个地块（每个地块为10平方尺），经整理得如下资料： 100个地块的水稻收获量 （1）若以90％的概率保证，该村每个地块的平均水稻产量可能在什么范围内？ （2）若将每个地块的平均水稻产量的误差规定为10克，那么估计的可靠程度会有多大？ 水稻收获量（克）x 抽样单位数f 350以下 350—400 400—450 450—500 500—550 550—600 600以上 8 15 17 21 18 12 9 合 计 100 解：由表中可得： 1亩＝6000平方尺 （1）1- ＝90％，得t=1.64 （2）由题得， 耐用时数（千小时） 组中值 x 元件数 f 7 以下 7 —— 8 8 —— 9 9 ——10 10 ——11 11 以上 6.5 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 2 8 28 32 20 10 合 计 — 100 从50000只电子元件中随机抽取100只检验结果如下： 例4.06 设8000小时以下为不合格品，在概率为95.45％保证下，估计总体合格率的区间。 第一步：计算抽样指标（样本估计量） 第二步：计算抽样平均误差 第三步：计算估计区间的上下限 下限： 上限： 84％ ≤P ≤ 96％ 即： Practice 4.03: 对一批红砖质量进行检查，共抽查了150块，发现坏砖有6块，试按下列条件计算： （1）若以0.95的概率保证，该批红砖的废品率可能是多少？ （2）若规定红砖废品率的误差范围不超过2％，估计可靠程度为多大？ s＝100，n＝392，N＝19600，F(Z) ＝0. 9545， Z＝2 解： 例4.07：某农场在其19 600亩的水稻播种面积中随机不重复地抽取了 392亩，进行了实割实测，测得平均亩产量为 620千克，标准差为 100 千克。要求以 95.45％ 的概率保证程度，估计该农场的水稻总产量。 总平均亩产量区间为： 即： 总产量区间为： 11 956（吨）≤总体总量≤12 348（吨） 解：由已知资料得：1-＝90 z=1.96 Practice 4.04: 设某种电子管的使用寿命服从正态分布，从大量生产的电子管中，随机抽取15个进行检验，其平均使用寿命为1950小时。总体标准差为300小时，试以95％的可靠估计整批电子管的平均使用寿命。 解： Practice 4.05: 某城市进行居民家庭生活水平调查，随机不重复地抽取了 400 户居民家庭，得平均每户月支出为1200 元，标准差为 300 元。要求以95％的概率保证程度，估计该城市居民家庭的平均每户月支出水平。 例4.08：对5000条木材进行检验，根据以往的生产经验,木材长度的标准差为 0.4 m，合格率可达 90％。现采用重复的抽样方式 ，要求在 95.45 ％的概率保证下，木材平均长度的极限误差不超过0.08m,抽样合格率的极限误差不超过 5％，问必要的样本单位数应该为多少？ 解： 例4.09 某地区水果种植面积为40 000亩，现在按平原和山区面积比例抽取其中的2%，计算各组平均亩产和各组亩产标准差，如表4-6所示。以95.45%的概率保证，试推断总体平均亩产的可能范围。 表 水果样本资料 表4-6 水果样本资料 全部面积(亩) 样本面积(亩) 样本平均亩产(kg) 亩产标准差(kg 全部面积 (亩) 样本面积 （亩） 样本平均亩产(kg) 亩产标准差 (kg) 平原 山区 24 000 16 000 480 320 1 500 1 200 120 180 合计 40 000 800 - - 解： 表4-6 水果样本资料 在重复抽样时的抽样平均误差： 在不重复抽样时的抽样平均误差： 重复抽样时总体平均亩产的可能范围： 不重复抽样时总体平均亩产的可能范围： 例4.10 从一所大学的20个学院中抽出4个学院,调查得到平均每个学院学生身高1.7m，各学院学生平均身高的方差为0.2m。试计算整群抽样的抽样平均误差。 解： 整群抽样是对选中的群进行全面调查，因此只存在群间抽样误差，不存在群内抽样误差，与类型抽样刚好相反。整群抽样与类型抽样都对总体容量进行了分组，但分组所起的作用则完全不同，类型抽样的作用是尽量缩小组内差异，达到扩大组间方差的效果；而整群抽样分组尽量扩大群内的差异程度，以便缩小群间方差的效果。 $$