3.1不等式的基本性质（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第一册）

3.1不等式的基本性质 情境导入 高矮 胖瘦 轻重 长短 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，下面我们来看一下具体的例子。 新知探究 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某段路限速40 （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质含量应不少于2.3%； 新知探究 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.接着，就可以用不等式研究相应问题了. 新知探究 如何刻画两个实数,的大小关系？ 形 数 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 新知探究 在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质： 提示：运算中的不变性就是性质. 等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) 如果，那么； 性质2(传递性) 如果，,那么； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么； 性质5(可除性) 如果，那么 思考：类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质并加以证明吗？ 新知探究 性质1（对称性） 如果，那么；如果，那么 即 证明：由，得 因为正数的相反数是负数， 所以,即 所以 新知探究 性质2（传递性） 如果，,那么即， 证明: 所以 即 故 新知探究 性质3（可加性） 如果，那么 证明: 即 . 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 新知探究 性质4（可乘性） 如果，那么如果，那么 证明:因为，所以. 因为, 所以. 所以，则. 同理，因为，所以. 因为, 所以. 所以，则. 新知探究 性质5（同向可加性） 如果，那么 证明:因为由性质3(可加性)，得 ； 由由性质3(可加性)，得 . 再根据性质2(传递性)，即得 新知探究 性质6（同向同正可乘性） 如果，那么 性质7（同乘方性） 如果，那么 同样的，利用性质4(可乘性)和性质2(传递性)可以推出： 新知探究 如果，那么，即⇔ 可加性 如果那么 可乘性 如果那么，如果那么 同向可加性 如果那么 同向同正可乘性 如果那么 同正可乘方性 如果那么 对称性 如果，那么，如果，那么，即⇔ 传递性 练习巩固 例1. 求解不等式，并用不等式的性质说明理由。 解：不等式两边同乘以，得 . （不等式性质） 两边同加上，得. （不等式性质） 即 两边同乘以，得 （不等式性质） 练习巩固 例2. 已知，，求证： 证明：方法一（作差法）： ∵ 由，得；由，得 因为， 所以. 方法二（性质法）： 因为，所以. 又因为，所以 即 练习巩固 练习2. 已知，，求证： 证明：方法一（作差法）： ∵ ， 所以， 又因为，所以， 所以 练习巩固 练习2. 已知，，求证： 证明：方法二（性质法）： ∵ ∴ 于是，即 由得. 练习巩固 练习1. 练习巩固 练习2. 已知，且则下列命题中是真命题的是（ ）. 如果，那么 如果，那么 如果，那么 如果，那么 【答案】 练习巩固 例3. 比较和的大小 解： ∵ 当时，，所以 当时，，所以 作差 变形 判号 结论 作差法比较大小一般步骤 练习巩固 练习3. 比较和的大小 解： ∵ ∴ 练习巩固 变式3-1. 比较与的大小 解： ∵ ∵ ∴ ∴ 即 练习巩固 变式3-2. 解： 即 所以 小结 不等式有下面的基本性质： 性质1(对称性) ； 性质2(传递性) ，； 性质3(可加性) 如果，那么； 性质4(可乘性) 如果，那么 如果，那么； 性质5(同向可加性) 如果，那么； 性质6（同向同正可乘性） 如果，那么 性质7（同乘方性） 如果，那么 $$