第一章 专题九 不等式-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

专题九 ! 不等式 !考试内容" ! 均值不等式!一元二次不等式的解法 !近 ! 年全国卷考点统计" 试卷类型 "#$% "#$! "#$& "#$' "#"# "#"$ "#"" 全国卷!甲卷" ( ( ( ( $# 全国卷!乙卷" ( ( ( ( $# 新高考全国 ! 卷 新高考全国 " 卷 ( 一#均值不等式 两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ! 若 0 $ 2 6 # $则0,2 " 7槡02!当且仅当0)2时取等号"! 基本变形# # 0,2 7 "槡02!07#$27#"% 0,2 ! " " " 7 02! $ 若 0 $ 2 " $ $则 0 " ,2 " 7 "02 $ 0 " ,2 " " 7 0,2 ! " " " ! 基本应用#求函数最值#注意# # 一正二定三取等% $ 积定和小$和定积大 ! 当 02) ( !常数"$当且仅当 0)2 时$ 0,2 最小值为 "槡(% 当 0,2)+ !常数"$当且仅当 0)2 时$ 0 ( 2 最大值为+ " - ! 二#常用的基本不等式 $! 设 0 $ 2 " $ $则 0 " 7 # $! 0*2 " " 7 # !当且仅当 0)2 时取等号" ! "! + 0 +7 0 !当且仅当 0 7 # 时取等号"% + 0 +7 *0 !当且仅当 0 4 # 时取等号" ! +!0 6 2 $ 02 6 # . $ 0 5 $ 2 ! 注意#! $ "特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法$此法尤其适用于不成立的命题 ! ! " "另外需要特别注意# # 若 02 6 # $则$ 0 6 $ 2 时$有 0 5 2! 即不等式两边同号时$不等式两边取倒数$不等号方向要 改变 ! $ 如果对不等式两边同时乘以一个代数式$要注意它的正负号 ! 如果正负号未定$要注意分 类讨论 ! % 图象法#利用有关函数的图象!指数函数)对数函数)二次函数)三角函数的图象"$直接比 较大小 ! & 中介值法#先把要比较的代数式与* # +或* $ +比$然后再比较它们的大小 ! ( "% ( 三#不等式的解法 $! 一元一次不等式 ! ! $ " 0' 6 2 ! 0 8 # "# # 若 0 6 # $则 ' 6 2 0 % $ 若 0 5 # $则 ' 5 2 0 ! ! " " 0' 5 2 ! 0 8 # "# # 若 0 6 # $则 ' 5 2 0 % $ 若 0 5 # $则 ' 6 2 0 ! "! 一元二次不等式#一元二次不等式二次项系数小于零的$同解变形为二次项系数大于零 ! 注意#要对判别式 - 进行讨论 ! +! 绝对值不等式#若 0 6 # $则 + ' +5 0 , *0 5 ' 5 0 % + ' +6 0 , ' 5 *0 或 ' 6 0! -! 二次不等式与二次函数及二次方程的关系! 0 6 # "# 判别式 - )2 " *-01 二次函数 . )0' " ,2',1 的图象 二次方程 0' " ,2',1)# 的根 二次不等式 0' " ,2',1 6 # 的解集 二次不等式 0' " ,2',1 5 # 的解集 -6 # 有两 相 异 实 根 ' $ $ ' " ! ' $ 5 ' " " & ' + ' 5 ' $ 或 ' 6 ' " ' & ' + ' $ 5 ' 5 ' " ' - )# 有 两 相 等 实 根 ' $ )' " )* 2 "0 & ' " $ + ' 8 * 2 "0 ' & -5 # 没有实根 !!! $ & $! 设 0 $ 2 " $ $若 0* + 2 +6 # $则下列不等式中正确的是 ! !! " .52*0 6 # /50 + ,2 + 5 # 052,0 6 # 150 " *2 " 5 # "! 设 0 6 2 6 $ $ 1 5 # $给出下列三个结论# # 1 0 6 1 2 % $ 0 1 5 2 1 % % 79 8 2 ! 0*1 " 6 79 8 0 ! 2*1 "$ 其中所有的正确结论的序号是 ! !! " .5 # /5 #$ 05 $% 15 #$% +! 不等式'*$ '," 5 # 的解集是 ! !! " .5 ! $ $ , 6 " /5 ! * 6 $ *" " 05 ! *" $" 15 ! * 6 $ *" " ( ! $ $ , 6 " -! 不等式 ' " *(',% 4 # 的解集为 ! (! 不等式 + '*$ +5 $ 的解集是 ! ( +% ( %! 设函数 L ! ' " ) ' " *-',% $ ' 7 # $ ',% $ ' 5 # D ? @ $ 则不等式 L ! ' " 6 L ! $ "的解集是 ! !! " .5 ! *+ $" ( ! + $ , 6 " /5 ! *+ $" ( ! " $ , 6 " 05 ! *$ $" ( ! + $ , 6 " 15 ! * 6 $ *+ " ( ! $ $ + " !! 定义在 $ 上的运算 J # 0 J 2)02,"0,2 $则满足 ' J ! '*" " 5 # 的实数 ' 的取值范围为 ! !! " .5 ! # $ " " /5 ! *" $" 05 ! * 6 $ *" " ( ! $ $ , 6 " 15 ! *$ $ " " L &! 设 ' $ . $ 3 " $ ' $若 '*" . ,+3)# $则. " '3 的最小值为 ! L '! 设 ' $ . " $ $ 0 6 $ $ 2 6 $ $若 0 ' )2 . )+ $ 0,2 槡)" +$则 $ ' , $ . 的最大值是 ! !! " .5" /5 + " 05$ 15 $ " $#! 若正数 ' $ . 满足 ',+ . )(' . $则 +',- . 的最小值是 ! !! " .5 "- ( /5 "& ( 05( 15% $$! 下列不等式恒成立的是 ! !! " .!0 " ,2 " 4 "02 /!0 " ,2 " 7 *"02 0!0,2 7 " + 02槡 + 1!0 " ,2 " 4 *"02 $"! 若实数 0 $ 2 满足 0 6 2 6 # $则下列不等式中恒成立的是 ! !! " .!0,2 6 "槡02 /!0,25"槡02 0! 0 " ,"2 6 "槡02 1! 0 " ,"2 5 "槡02 $+! 下列函数中最小值为 - 的是 ! !! " .! . )' " ,"',- /! . ) + :;4' + , - + :;4' + 0! . )" ' ," "*' 1! . )74', - 74' $-! 已知两两不相等的 ' $ $ .$ $ ' " $ ." $ ' + $ .+ $同时满足 # ' $ 5 .$ $ ' " 5 ." $ ' + 5 .+ % $ ' $ , .$ ) ' " , ." )' + , .+ % % ' $.$ ,' +.+ )"' "." $以下选项恒成立的是 ! !! " .!"' " 5 ' $ ,' + /!"' " 6 ' $ ,' + 0!' " " 5 ' $ ' + 1!' " " 6 ' $ ' + $(! "多选题#已知 0 6 # $ 2 6 # $且 0,2)$ $则 ! !! " .!0 " ,2 " 7 $ " /!" 0*2 6 $ " 0579 8 " 0,79 8 " 2 7 *" 1!槡0,槡24槡" $%! 已知函数 L ! ' " )+ ' , 0 + ' ,$ ! 0 6 # "的最小值为 ( $则 0) ! $!! 已知 0 6 # $ 2 6 # $且 02)$ $则$ "0 , $ "2 , & 0,2 的最小值为 ! $&! 已知 (' " . " , . - )$ ! ' $ . " $ "$则 ' " , . "的最小值是 ! ( -% ( CD正确. 故选CD. 28.ABC【解析】，a1十a:=18,a4+a=12,即a:(1+g)=18,a1(g十g)=12,公比q为整数. 解得a1=g=2. 4.=2,5=2g二D=24-2 2-1 .S.+2=2+1,.数列{S+2}是公比为2的等比数列. S4=2-2=510. log:a.=,数列{log2am}是公差为1的等差数列. 综上可得，ABC正确. 故选ABC. 29.ABC【解析】设等差数列{aw的公差为d,a1>0,Su=Sw, ,∴.10a1+45d=20a1十190d,化为2a1+29d=0, ∴.d<0,a1+14d+a1+15d=0, .d15十a16=0,d1B>0,a6<0, .S≤Ss S1=31a4<0,Sm=15(a1s+a1w)=0. 综上可得，ABC正确. 故选ABC, 30.AD【解析】等差数列{a.}的前n项和为S.,a1+5a=S, 由a十50a+20=8a+82,解得=-9d 故au=a,十9d=0,故A正确： 该数列的前项和S=m,十“2少1=号d一号d,它的最值还跟1有关， 不能推出当n=9或10时，S。取最大值，故B错误； law=a1+8d=1-d=d|,a11=a1+10d=|d,故有a=aul,故C错误： 由于8=6a+21=-39d,Sa=13a,十1B=-39d,放8=Sa放DE确， 2 故选AD. 专题九不等式 1.C【解析】特殊值法，取a=2,b=一1，经验证，只有C成立.故选C. 2.D【解析】特殊值法，取4=3，b=2,=一1，经验证①②③均成立.放选D. 3.C【解析】原不等式等价于(x一1)(，x十2)<0，解得一2<x<1.故选C. 4.[2,3]【解析】原不等式等价于(x-2)(x一3)≤0，解得2≤x≤3，故解集为[2,3]. 5.(0,2)【解析】由一1<x一1<1，解得0<x<2,故解集为(0,2). 6.A【解析】因为f(1)=1一4十6=3，所以不等式f(x)>f(1)的解集就是f(x)>3的解集. 于是有/不-+6>3 或t+6>3, 解得0≤x<1或x>3或-3<x<0, x≥0， 1x0, 即不等式f(x)>f(1)的解集是(-3,1)U(3,十∞)，故选A. 7.B【解析】由题意可得x⊙(x-2)=x(x-2)十2x十(x-2)=x2+x-2, 由x十x-2<0得-2<x<1.故选B. ※8.3【解析】由一2y叶3：=0得y=号(+32)， 于是有子+ =1,2+6+9- =}·(++6 g=6 因为R,由均值定理得兰+学≥2√侵·罗 所以有兰公×(6+6)-3，当且仅当号-兰时取等号。 C 即兰的最小值为3 ·32· ※9.C【解析】由a>1,b>1,且a==3得x=log.3,y=log3, 于是有=oga, 1 =logb. 从而有+-loga+log6=-log.ab<-og(生)=log3=1 y 当且仅当a=6时，上式等号成立，此时+取最大值1.放选C 10.C【解析】由x+3y=5ry得2+1=5， 于是有3x+=(停+)+4)=吉（学+号+1）≥√四·乎+13）-5 故选C 11.B【解析】显然当a<0,b>0时，不等式a2+≤2ab不成立，故A错误： (a+b)≥0，.a++2ab≥0，.a+≥-2ab,故B正确： 显然当a<0,b<0时，不等式a十b≥2√ab不成立，故C错误： 显然当a>0,b>0时，不等式a2+?≤-2ab不成立，故D错误. 故选B. 12.A【解析】因为a>b>0,所以a十b≥2√ab,当且仅当a=b时取等号. 又a>b>0,所以a十b>2√ab,故A正确，B错误： 号十26>≥2√号·2弘=2Va瓜，当且仅当号-26，即a=46时取等号，故CD错误。 故选A 13.C【解析】对于A.因为y=x2+2x+4=(x+1)2十3>≥3，所以函数的最小值为3.故A错误： 对于B.因为0<n<1,所以=sn十7≥2√m·云=4 4 当且仅当n=7即n=2时取等号 因为sn≤1，所以等号取不到，所以y=n十6>4放B结误： 对于C.因为2>0.所以y=2+2=2+产≥2V2·哥 4 =4, 当且仅当2=2，即x=1时取等号.所以函数的最小值为4.故C正确： 对于D因为当一时：yn专习 】十4=一1-4=一5<4，所以函数的最小值不是4，故D错误. 1 故选C. 14.A【解析】设x十少=十为=x十y=2m 则有西=m一a·=m一6,1函=m-6, y1=n十a,为=n十b,=n十c, 根据题意，应该有0≠，且m-。+m-C=2m一6)>0， a.b.c>0, 则有0tC2,则十-2=（m-a+m-0-2m-0=2h-a+e. m>8, 因为(2b)2-(a+c)=2(a+2)-(a+c)2>0,所以1+-2xg=2b-(a+c)>0. 故A正确，B错误： -=(m-am-0-m-b》=(26-a-cm+ac-=(26-a-c)m-a2,面上面已i证26-a->0, 因为不知道m的正负，所以该式子的正负无法恒定. 故选A 15.ABD【解折】对于A,已知a>0,6>0,且a+b=1,所以a+6产<2a+26,则云+>号，放A正确： 对于B,利用分析法：要证2>号，只需证明a一6>-一1即可，即a>b一1 由于a>0,b>0,且a+b=1.所以a>0,-1<b-1<0,故B正确； 对于C.loga十log=logo<log(士)=-2，故C错误： ·33· 对于D,由于a>0,b>0,且a+b=1. 利用分析法：要证√a+√万≤2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2√ab≤2，即2√ah≤1， 故V@瓜<-生，当且仅当a-之时，等号成立放D正确， 故选ABD. 16.9【解析】因为3+1>0，且)=3十34与=3+1+34气-1>2后-1=5， 所以a=9,经检验，3=2时等号成立. 故答案为9. 14【折】。>0，b>0,且6=1.则品+六+。款+6生艺+22高=4 1 /a+b.8 当且仅当告-是即a=2+5.6=2-或a=2-8.6=2+时取等号 故答案为4。 18.言【解析】方法一：由5少+y=1,可得产=。 5y2· 由x≥0，可得y∈(0,1门. 期+y-景+y--古(+)户号×2V·-号当且仅当y-=品时取等号. 可得+y的最小值为亏 4 方法二：由-6x+y)·4y≤（世号+女）-华+少， 故r+y>号 当且仅当5.x2+y2=4y2=2,即y=号， =品时取得等号. 可得+少的最小值为台 故答案为 专题十直线与圆 1.A【解析】由题意知，圆的圆心为（一1,0），直线的斜率k=一1，所以所求直线的斜率k,=1, 根据点斜式方程得y一0=1×[x一（一1）门，整理成一般式为x一y+1=0.故选A. 2.A【解析】已知直线的斜率k=子，根据点斜式方程得y一0=(x一D 整理成一般式x一2y一1=0.故选A 3A【解析】当a=1时，直线4的斜率：=一子，直线4的斜率：=一受，两直线平行. 若直线4与直线6平行则=，即一号=一解得a=-2或a=1,故选入 4.A【解析】如图所示，该直线与OP所在的直线垂直时，两部分面积之差最大， k如-合-1，则k=-1 则该直线方程为y-1=(-1)·(x一1)，得到x十y一2=0.故选A. 5.C【解析】已知圆的圆心为(1,2)，将圆平分的直线经过圆心，验证各选项，只有C项符合.故选C 6.B【解析】已知直线写成一般式为x一y十1=0，已知圆的圆心为(0,0)，半径r=1, 风6到直线约面高为一壳号1故毒县 (4题图) 7.A【解析】已知圆的圆心为(2,0)，半径r=2,点P(3,0)到圆心的距离d=√(3-2)+(0一0)严=1，则点P(3,0)在圆 内，所以过点P的直线必与圆C相交.故选A. 8.A【解析】由r2+y2-2x-8y+13=0配方得(x-1)2+(y-4)2=4,.圆心为(1,4)，半径r=2, :圆x2+y2-2.x-8y+13=0的圆心到直线ax十y一1=0的距离为1， ·34·