专题02 不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（重庆专用）

专题2 不等式 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：不等式的性质 5 考点一：不等式的解法 6 含绝对值的不等式 6 一元一次不等式组 7 一元二次不等式 9 【真题演练】 9 【考纲要求】 内容：不等式的性质、不等式的解法。 要求：理解不等式的基本性质；掌握一元一次不等式组、一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解法，会用集合、区间表示它们的解集。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 不等式的性质 6 6 6 不等式的解法 6 14 14 6 6 考向预测 1.不等式的基本性质 2.一元一次不等式(组)、一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解法． 3.用集合、区间表示不等式(组)的解集，并结合交集、并集求解． 【考点导图】 【知识清单】 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商比较法:证明不等式A>B时，可化为证明A－B>0，称为作差比较法．当B>0时，可转化为证明>1，称为作商比较法 (3)分析法:从要证明的不等式出发，利用不等式的基本性质，逐步找出结论成立的充分条件，直到找到明显成立的不等式为止． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质名称 性质解释 案例 对称性 a>b⇔b<a 2>1⇔1<2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 3>2，2>1⇒3>1 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 3>2⇔3＋1>2＋1 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc 3>2，c>0⇒3c>2c；3>2，c<0⇒3c<2c 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 3>2，4>1⇒3＋4>2＋1 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 3>2>0，5>4>0⇒3*5>2*4 同正可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 3>2>0⇒ 常用结论 倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0,0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 4．用区间表示集合(设a＜b) {x|a<x<b} 用区间表示为 (a，b) {x|a≤x≤b} [a，b] {x|a<x≤b} (a，b] {x|a≤x<b} [a，b) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] 5．一元一次不等式(组)的解集 一元一次不等式ax>b(a≠0) a>0 a<0 不等式组 (b，＋∞) 同“大”取“大” (－∞，a) 同“小”取“小” (a，b) 比“小”大，比“大”小，中间找 ∅ 比“大”大，比“小”小，找不了 5．双向不等式(也叫作不等式组) 6．解一元一次不等式的步骤 (1)去分母． (2)去括号． (3)移项． (4)合并同类项，化成不等式ax>b(a≠0)的形式． (5)不等式两边都除以未知数的系数，得出不等式的解集为或 注意事项 1．解一元一次不等式是通过去分母、移项、合并同类项得解集，注意去分母时每项都要乘以公分母． 2．不等式组的解法，首先对不等式分别求解，再取其交集，即得原不等式组的解集(用集合或区间形式表示). 3．解一元一次不等式组的方法，一可按“同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小小取不了”的法则取；二可利用数轴，数形结合来取交集(形象直观，不易出错). 7.绝对值的概念 1.绝对值的基本运算性质：|ab|＝|a|×|b|，|a÷b|＝|a|÷|b|. 8.含绝对值的不等式的解集(b>a>0) 注意事项 1．绝对值不等式的解法，首先转化必须正确，记住“大于取两边，小于看中间”，然后再解出x的取值范围． 2．含绝对值的双向不等式先转化为单向不等式组后，再去绝对值，化为标准形式． 3.∅； 9．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的情况 一元二次方程有2个不相等的实数根 一元二次方程有2个相等的实数根 一元二次方程无实数根 解法 (1)公式法 (2)配方法． (3)因式分解法． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 解集 图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等实根x1，x2 (x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝ 无实根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c≥0 (a>0)的解集 {x|x≤x1或x≥x2} R R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ ax2＋bx＋c≤0 (a>0)的解集 {x|x1≤x≤x2} ∅ 10.求解一元二次不等式的步骤，简记为“穿针引线”的方法 (1)检查不等式中x2项的系数a是否大于0，当a<0时，将不等式变形，确保x2的系数大于0. (2)判别不等式对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况，若有实数根，求出其根． (3)先画出不等式对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的简图，再根据简图写出不等式的解集，或者直接根据表格结论写出不等式的解集．简记为：小于(不等号为小于号)取中间(两根之间；无实根时，中间为∅)，大于(不等号为大于号)取两端(比根小的数小，比根大的数大；无根时，取R). 【考点分类剖析】 考点一：不等式的性质 例1．以下结论正确的是(　　) A．若a≤b,且c≤d,则ac≤bd B．若ac2>bc2,c≠0,则a>b C．若a>b,c<d,则a-c<b-d D．若a>b,c>d>0,则 【变式探究】 1.若a>b>0，c<d<0，则一定有 （ ） A． B． C． D． 2．已知a，b，c满足a>b>c，且ac>0，则下列选项中一定能成立的是（ ） A．ab>ac B．c（b-a）>0 C．ab（a-c）>0 D．cb2>ca2 3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关 考点一：不等式的解法 含绝对值的不等式 例2．的解集为：（ ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．的解集为：（ ） A． B． C． D． 2．的解集为：（ ） A． B． C． D． 3．的解集为：（ ） A．B．C．D． 4．的解集为：（ ） A．B．C．D． 一元一次不等式组 例3．的解集为：（ ） A． B． C． D． 【变式探究】 1.的解集为：（ ） A． B． C． D． 2.的解集为：（ ） A． B． C． D．∅ 2.的解集为：（ ） A． B． C． D． 一元二次不等式 例4．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　) A． B． C． D． 【变式探究】 1不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　) A． B． C．R D．∅ 2不等式|x|(1－2x)＞0的解集为(　　) A． B. C. D. 【真题演练】 1.（2024年高等职业教育分类考试数学第2题）设实数满足,则下列结论一定成立的是 A． B． C． D． 2.（2024年高等职业教育分类考试数学第4题）不等式组的解集为 A． B． C． D． 3.（2020年高等职业教育分类考试数学第3题）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 4.（2023年高等职业教育分类考试数学第5题）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 不等式 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：不等式的性质 5 考点一：不等式的解法 6 含绝对值的不等式 6 一元一次不等式组 7 一元二次不等式 9 【真题演练】 9 【考纲要求】 内容：不等式的性质、不等式的解法。 要求：理解不等式的基本性质；掌握一元一次不等式组、一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解法，会用集合、区间表示它们的解集。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 不等式的性质 6 6 6 不等式的解法 6 14 14 6 6 考向预测 1.不等式的基本性质 2.一元一次不等式(组)、一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解法． 3.用集合、区间表示不等式(组)的解集，并结合交集、并集求解． 【考点导图】 【知识清单】 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商比较法:证明不等式A>B时，可化为证明A－B>0，称为作差比较法．当B>0时，可转化为证明>1，称为作商比较法 (3)分析法:从要证明的不等式出发，利用不等式的基本性质，逐步找出结论成立的充分条件，直到找到明显成立的不等式为止． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质名称 性质解释 案例 对称性 a>b⇔b<a 2>1⇔1<2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 3>2，2>1⇒3>1 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 3>2⇔3＋1>2＋1 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc 3>2，c>0⇒3c>2c；3>2，c<0⇒3c<2c 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 3>2，4>1⇒3＋4>2＋1 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 3>2>0，5>4>0⇒3*5>2*4 同正可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 3>2>0⇒ 常用结论 倒数性质 ①a>b，ab>0⇒<； ②a<b<0⇒>； ③a>b>0,0<c<d⇒>； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 4．用区间表示集合(设a＜b) {x|a<x<b} 用区间表示为 (a，b) {x|a≤x≤b} [a，b] {x|a<x≤b} (a，b] {x|a≤x<b} [a，b) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] 5．一元一次不等式(组)的解集 一元一次不等式ax>b(a≠0) a>0 a<0 不等式组 (b，＋∞) 同“大”取“大” (－∞，a) 同“小”取“小” (a，b) 比“小”大，比“大”小，中间找 ∅ 比“大”大，比“小”小，找不了 5．双向不等式(也叫作不等式组) 6．解一元一次不等式的步骤 (1)去分母． (2)去括号． (3)移项． (4)合并同类项，化成不等式ax>b(a≠0)的形式． (5)不等式两边都除以未知数的系数，得出不等式的解集为或 注意事项 1．解一元一次不等式是通过去分母、移项、合并同类项得解集，注意去分母时每项都要乘以公分母． 2．不等式组的解法，首先对不等式分别求解，再取其交集，即得原不等式组的解集(用集合或区间形式表示). 3．解一元一次不等式组的方法，一可按“同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小小取不了”的法则取；二可利用数轴，数形结合来取交集(形象直观，不易出错). 7.绝对值的概念 1.绝对值的基本运算性质：|ab|＝|a|×|b|，|a÷b|＝|a|÷|b|. 8.含绝对值的不等式的解集(b>a>0) 注意事项 1．绝对值不等式的解法，首先转化必须正确，记住“大于取两边，小于看中间”，然后再解出x的取值范围． 2．含绝对值的双向不等式先转化为单向不等式组后，再去绝对值，化为标准形式． 3.∅； 9．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 根的情况 一元二次方程有2个不相等的实数根 一元二次方程有2个相等的实数根 一元二次方程无实数根 解法 (1)公式法 (2)配方法． (3)因式分解法． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 解集 图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等实根x1，x2 (x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝ 无实根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c≥0 (a>0)的解集 {x|x≤x1或x≥x2} R R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ ax2＋bx＋c≤0 (a>0)的解集 {x|x1≤x≤x2} ∅ 10.求解一元二次不等式的步骤，简记为“穿针引线”的方法 (1)检查不等式中x2项的系数a是否大于0，当a<0时，将不等式变形，确保x2的系数大于0. (2)判别不等式对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况，若有实数根，求出其根． (3)先画出不等式对应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的简图，再根据简图写出不等式的解集，或者直接根据表格结论写出不等式的解集．简记为：小于(不等号为小于号)取中间(两根之间；无实根时，中间为∅)，大于(不等号为大于号)取两端(比根小的数小，比根大的数大；无根时，取R). 【考点分类剖析】 考点一：不等式的性质 例1．以下结论正确的是(　　) A．若a≤b,且c≤d,则ac≤bd B．若ac2>bc2,c≠0,则a>b C．若a>b,c<d,则a-c<b-d D．若a>b,c>d>0,则 【答案】B 【解析】若a=-1,b=0,c=-1,d=0,则a<b,且c<d,但ac>bd,故A错误; 若ac2>bc2,且c2>0,则a>b,故B正确; 若a>b,c<d,则a+d>b+c,即a-c>b-d,故C错误; 若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则=-1,=-1,=-1,故D错误． 【变式探究】 1.若a>b>0，c<d<0，则一定有 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为c<d<0，所以，所以，与a>b>0对应相乘得，所以．故选B． 2．已知a，b，c满足a>b>c，且ac>0，则下列选项中一定能成立的是（ ） A．ab>ac B．c（b-a）>0 C．ab（a-c）>0 D．cb2>ca2 【答案】C 【解析】取a=-1，b=-2，c=-3，则ab=2<ac=3，cb2=-12<ca2=-3，排除A、D；取a=3，b=2，c=1，则c（b-a）=-1<0，排除B；因为a>b>c，且ac>0，所以a，b，c同号，且a>c，所以ab（a-c）>0，故选C. 3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关 【答案】A 【解析】M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，∴M>N. 故选A 考点一：不等式的解法 含绝对值的不等式 例2．的解集为：（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以 故选D 【变式探究】 1．的解集为：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以 故选B 2．的解集为：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以 故选B 3．的解集为：（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】因为， 所以 故选C 4．的解集为：（ ） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】因为， 所以 故选C 一元一次不等式组 例3．的解集为：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以 故选A 【变式探究】 1.的解集为：（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以 故选C 2.的解集为：（ ） A． B． C． D．∅ 【答案】C 【解析】因为，所以 故选C 2.的解集为：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 而 故选B 一元二次不等式 例4．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为(　　) A． B． C． D． 【答案】C　 【解析】因为3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－ 故选C 【变式探究】 1不等式3x2－2x＋1＞0的解集为(　　) A． B． C．R D．∅ 【答案】C　 【解析】因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R 故选C 2不等式|x|(1－2x)＞0的解集为(　　) A． B. C. D. 【答案】A　 【解析】当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)＞0，所以0＜x＜；当x＜0时，原不等式即为－x(1－2x)＞0，所以x＜0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪，故选A. 【真题演练】 1.（2024年高等职业教育分类考试数学第2题）设实数满足,则下列结论一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】本题考查不等式的性质. 由题可知，实数满足，即 A选项：当时，满足，但不成立，错误。 B选项：当时，满足，但不成立，错误。 C选项：当时，满足，但不成立，错误。 D选项：两边平方可知，即D选项正确。 故答案为：D. 2.（2024年高等职业教育分类考试数学第4题）不等式组的解集为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题考查不等式的解法. 由不等式可知，以解得：，因此的解集为 故答案为：C. 3.（2020年高等职业教育分类考试数学第3题）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查不等式的解法. 由不等式可知，，所以解得：，因此的解集为 故答案为：A. 4.（2023年高等职业教育分类考试数学第5题）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】本题考查不等式的解法. 由不等式可知，，因此的解集为 故答案为：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$