专题1.2 命题、充要条件（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题1.2 命题、充要条件 【考纲要求】 1. 了解命题的形式，会判断命题的真假，理解命题中条件和结论的关系. 2. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判断方法. 3. 掌握充要条件和集合关系的转化，会利用充要条件求参数的范围. 【考向预测】 1.命题的有关概念 2.充要必要条件的判断 3.子集与推出的关系 1．命题的概念 (1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． (2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题． (3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为互否命题． (4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为互为逆否命题． (5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么若q，则p就叫做原命题的逆命题；若¬p，则¬q就叫做原命题的否命题；若¬q，则¬p就叫做原命题的逆否命题． 2．四种命题间的相互关系 (1)四种命题间的相互关系图 (2)真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件和必要条件 (1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． (3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． (4)如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． (5)如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 4．充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 5．充要条件的传递性 1．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． 2．若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 考点一：命题 【例1】命题“若，则”为真命题，那么不可能是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】对于命题p：全等三角形的面积相等，命题q：面积相等的三角形全等，下列说法中正确的是（       ） A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题 【例2】命题“若，则”的否命题为（       ） A．若，则且 B．若，则或 C．若，则且 D．若，则或 【变式探究】命题“若，则且”的逆命题是（       ） A．若，则且 B．若，则或 C．若或，则 D．若且，则 【例3】在下列命题中，真命题的序号为 ． ①对任意实数x，均有． ②存在实数x，使得． ③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ④如果为偶数，那么a、b均为偶数． 【变式探究】命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（       ） A．0 B．2 C．3 D．4 （1）判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断． （2）在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”． 考点二：充要条件的判定 【例1】“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式探究】已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【例2】已知命题，命题，则是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】设，则“”是“”的（       ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】函数的图像关于直线对称的充要条件是（          ） A． B． C． D． 【变式探究】“四棱柱是直四棱柱”是“四棱柱的底面是矩形”的_________条件． 充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断． 考点三：充要条件与集合的关系 【例1】集合，的关系如图所示，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 【例2】已知集合，且，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【变式探究】已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【例3】已知集合，.若的充分非必要条件为，求实数的取值范围. 【变式探究】设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围. 用集合法解决充要条件的问题时，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若AB，则p是q的充分不必要条件； ③若B⊆A，则p是q的必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若A＝B，则p是q的充要条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 考点四：充要条件的综合应用 【例1】“”是“函数在R上为增函数”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】“”是“关于的函数单调递减”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【例2】是直线与直线平行且不重合的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式探究】“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3】在中，“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式探究】在中，“”是“”的(       ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 充要条件一般会和其他知识点综合来考察，这就要求我们既要会进行充要条件的判断，也要能够很好的掌握其他知识点，做到充要条件和其他知识点的熟练运用才能把这类题型做正确，这类题型一般难度不大，属于好拿分的题型. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 命题、充要条件 【考纲要求】 1. 了解命题的形式，会判断命题的真假，理解命题中条件和结论的关系. 2. 理解充分条件和必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判断方法. 3. 掌握充要条件和集合关系的转化，会利用充要条件求参数的范围. 【考向预测】 1.命题的有关概念 2.充要必要条件的判断 3.子集与推出的关系 1．命题的概念 (1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． (2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题． (3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为互否命题． (4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为互为逆否命题． (5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么若q，则p就叫做原命题的逆命题；若¬p，则¬q就叫做原命题的否命题；若¬q，则¬p就叫做原命题的逆否命题． 2．四种命题间的相互关系 (1)四种命题间的相互关系图 (2)真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性，即等价； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件和必要条件 (1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． (3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． (4)如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． (5)如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 4．充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 5．充要条件的传递性 1．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． 2．若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 考点一：命题 【例1】命题“若，则”为真命题，那么不可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：若，则必成立； 对于B：若，则必成立； 对于C：若，则必成立； 对于D：由不能得出，所以不可能是， 故选：D． 【变式探究】对于命题p：全等三角形的面积相等，命题q：面积相等的三角形全等，下列说法中正确的是（       ） A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题 C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题 【答案】C 【解析】全等三角形的面积相等，命题p为真命题； 面积相等的三角形不一定全等，所以命题q为假命题. 故选：C. 【例2】命题“若，则”的否命题为（       ） A．若，则且 B．若，则或 C．若，则且 D．若，则或 【答案】D 【解析】命题“若，则”即为“若，则且”， 所以否命题为：若，则或， 故选：D. 【变式探究】命题“若，则且”的逆命题是（       ） A．若，则且 B．若，则或 C．若或，则 D．若且，则 【答案】D 【解析】命题“若，则且”的逆命题是“若且，则”， 故选：D. 【例3】在下列命题中，真命题的序号为 ． ①对任意实数x，均有． ②存在实数x，使得． ③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ④如果为偶数，那么a、b均为偶数． 【答案】②③ 【解析】①因为时，，则对任意实数x，均有为假命题． ②因为时，，则存在实数x，使得为真命题． ③由三角形的外角的性质可知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和为真命题． ④因为满足为偶数，但a、b均不为偶数，因此如果为偶数，那么a、b均为偶数为假命题， 故答案为：②③. 【变式探究】命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（       ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为命题“，则”为真命题，所以其逆否命题也为真命题； 其逆命题为：则，显然也为真命题，故其否命题也为真命题； 故命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题有4个； 故选：D. （1）判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断． （2）在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”． 考点二：充要条件的判定 【例1】“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】由，可得或， 则由“”可以得到“”； 由“” 不能得到“” 则“”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 【变式探究】已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】由得或， ∴“”是“”的必要非充分条件， 故选：B． 【例2】已知命题，命题，则是的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由解得， 由解得或， 显然，故是的充分不必要条件， 故选：A. 【变式探究】设，则“”是“”的（       ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由且且， 故选：A． 【例3】函数的图像关于直线对称的充要条件是（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函数的图像的对称轴为， ∴函数的图像关于直线对称的充要条件是，即， 故选：B. 【变式探究】“四棱柱是直四棱柱”是“四棱柱的底面是矩形”的_________条件． 【答案】既不充分也不必要 【解析】若四棱柱是直四棱柱，只需四棱柱的侧棱垂直底面， 但底面不一定是矩形，即充分性不成立； 反之：底面为矩形的四棱柱不一定为直四棱柱，即必要性不成立， 所以“四棱柱是直四棱柱”是“四棱柱的底面是矩形”的既不充分也不必要条件， 故答案为：既不充分也不必要. 充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断． 考点三：充要条件与集合的关系 【例1】集合，的关系如图所示，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由韦恩图知：，∴是的充分不必要条件， 故选：A. 【变式探究】设，已知两个非空集合，，满足，则下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 【答案】A 【解析】因为，非空集合，满足， 所以是的子集，即， 所以是的充分条件， 故选：A. 【例2】已知集合，且，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】解：由题知得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【变式探究】已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】是的必要条件，， ，解得：，即的取值范围为， 故答案为：. 【例3】已知集合，.若的充分非必要条件为，求实数的取值范围. 【答案】或． 【解析】解：由已知， 的充分非必要条件为，则是的真子集． 当即时，满足题意， 当时，由题意，等号不同时取得，解得， 综上的取值范围是或． 【变式探究】设集合，集合．若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围； 【答案】 【解析】解：若“”是“”的必要条件，则， ， ①当时，，此时，即； ②当时，，有成立； ∴综上所述，所求的取值范围是． 用集合法解决充要条件的问题时，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若AB，则p是q的充分不必要条件； ③若B⊆A，则p是q的必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若A＝B，则p是q的充要条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 考点四：充要条件的综合应用 【例1】“”是“函数在R上为增函数”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】在R上为增函数，则，即， 故时，为增函数，充分性成立； 但为增函数，a还可以是，故必要性不成立， 故选：A． 【变式探究】“”是“关于的函数单调递减”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【解析】若，则函数单调递减，满足充分性； 若函数单调递减，则，满足必要性， 故“”是“关于的函数单调递减”的充要条件， 故选：D. 【例2】是直线与直线平行且不重合的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】充分性：时，直线与直线， 可化为：直线与直线，此时两直线平行.故充分性满足； 必要性：因为直线与直线平行， 所以，解得：m=1.故必要性满足， 故选：C. 【变式探究】“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当，则且或且， 此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立； 若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立， 故选：. 【例3】在中，“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】在中，，则，必有， 而，满足，此时是直角三角形，不是等腰三角形， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式探究】在中，“”是“”的(       ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】在中，，则或， ∴在中，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 充要条件一般会和其他知识点综合来考察，这就要求我们既要会进行充要条件的判断，也要能够很好的掌握其他知识点，做到充要条件和其他知识点的熟练运用才能把这类题型做正确，这类题型一般难度不大，属于好拿分的题型. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$