第二章第02讲 立方根（3考点+8题型+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（北师大版）

第02讲 立方根 课程标准 学习目标 ①了解立方根的概念 ②理解立方根的性质 1.了解立方根的含义；了解立方根的性质. 2.会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算. 知识点01 立方根的概念 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【即学即练1】 1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（　　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 2.（2024·江西九江·一模）下列语句正确的是（    ） A．的立方根是 B．是27的负的立方根 C．的立方根是2 D．的立方根是 知识点02 立方根的性质 【微点拨】 1.第三个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【即学即练2】 1．（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 知识点03 立方根的应用 利用立方根的定义解方程和求解实际问题. 【即学即练3】 1．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 题型01 立方根概念理解 【典例1】（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【变式1】（23-24八年级上·河南新乡·期中）下列说法正确的是（　　） A．64的平方根是8 B．的立方根是 C．的立方根是 D．只有非负数才有立方根 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是 【变式3】（22-23八年级上·安徽宿州·期中）下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零 B．任何数的立方根都只有一个 C．负数没有立方根 D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 题型02 求一个数的立方根 【典例2】（2024七年级下·云南·专题练习） ． 【变式1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）根式的化简 ； ； ； ； 【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ． 【变式3】（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习） 的算术平方根是7；的立方根是 ；的平方根是 ． 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 【典例3】（23-24八年级上·福建三明·期末）若一个数的立方根是2，则这个数为 ． 【变式1】（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）已知的立方根是，是的算术平方根，则 ． 【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是，的算术平方根是5．则的平方根为 ． 【变式3】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 题型04 立方根的性质 【典例4】（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23七年级下·河南商丘·期中）若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，有理数化简： ． 题型05 开立方运算中小数点移动规律 【典例5】（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知：，则 ． 【变式1】（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，，，则 ． 【变式2】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 ． 【变式3】（23-24七年级下·福建厦门·期中）如果，， 那么 ； ． 题型06 利用开立方解方程 【典例6】（23-24七年级下·江西南昌·阶段练习）求式子中的值：． 【变式1】（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式2】（23-24七年级下·河北保定·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）求下列各式中的的值． (1) (2) 题型07 平方根与立方根的综合 【典例7】（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式1】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的相反数． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【变式3】（22-23七年级下·重庆江北·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是3． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 题型08 立方根的应用 【典例8】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图是一个体积为的长方体工件，其中表示的是它的长、宽、高，且，请你求出这个工件的表面积（结果精确到）． 【变式1】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知一个正方体木块的表面积为cm2． (1)求这个正方体的棱长和体积； (2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【变式3】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题． 我有一个正方体的魔方，它的体积是 我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等． (1)求该魔方的棱长． (2)求该长方体纸盒的长． 一、单选题 1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）实数的立方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 2．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．3是9的算术平方根 C．的立方根是2 D．立方根等于本身的实数有两个 3．（23-24七年级下·吉林白山·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若，，则等于：（   ） A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.8 5．（23-24七年级下·广西崇左·期中）已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是时，输出y的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）计算： ． 7．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）若，则的立方根是 . 8．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知，则 ． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根 ． 10．（23-24七年级下·湖北十堰·阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的结果为 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·广西钦州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 12．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 13．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为高为的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方体的棱长． 14．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，请化简：． 15．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 16．（23-24七年级下·江西赣州·期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)若的立方根是2，求的算术平方根． 17．（23-24七年级下·江西赣州·期末）根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 (1)275.56的平方根是___________，___________，___________； (2)设的整数部分为a，求的立方根． 18．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为，设点所表示的数为． \ (1)求实数的值； (2)求的值； (3)数轴上有、两点分别表示实数和，且有，求的立方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 立方根 课程标准 学习目标 ①了解立方根的概念 ②理解立方根的性质 1.了解立方根的含义；了解立方根的性质. 2.会用开立方运算求一个数的立方根，与立方互为逆运算. 知识点01 立方根的概念 1.立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 【即学即练1】 1．（23-24八年级上·河北邢台·阶段练习）已知，则下列说法正确的是（　　） A．是的立方根 B．是的立方根 C．是的立方根 D．是的立方根 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的概念，掌握立方根的概念是解题的关键，根据立方根的概念，求立方根逐一验证选项即可． 【详解】解：， 是的立方根，故选项A、C、 D均错误； B正确． 故选：B． 2.（2024·江西九江·一模）下列语句正确的是（    ） A．的立方根是 B．是27的负的立方根 C．的立方根是2 D．的立方根是 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的概念，掌握如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于，那么这个数x就叫做a的立方根是解题的关键． 根据正数的立方根是正数、负数的立方根是负数和立方根的概念解答即可． 【详解】解：A、的立方根是，故本选项错误，不合题意； B、是的立方根，一个数的立方根只有一个，故本选项错误，不合题意； C、，8的立方根是2，故本选项正确，符合题意； D、，1的立方根是1，故本选项错误，不合题意． 故选：C． 知识点02 立方根的性质 【微点拨】 1.第三个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 【即学即练2】 1．（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键；根据数轴可得：，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可． 【详解】由数轴可得： ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 知识点03 立方根的应用 利用立方根的定义解方程和求解实际问题. 【即学即练3】 1．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）一个大正方体的体积是，将它锯成8块同样大小的小正方体木块，再将这些小正方体木块排列成一个如图所示的长方体木块． (1)求每个小正方体木块的棱长； (2)求这个大长方体木块的表面积． 【答案】(1)每个小正方体木块的棱长是 (2)这个大长方体木块的表面积是 【分析】本题考查了立方根的应用，长方体表面积的计算，求出正方体的棱长是解题关键． （1）先求出每个小正方体的体积，再利用平方根求出棱长即可； （2）先求出大长方体的长，宽，高，进而得出表面积即可 【详解】（1）解：∵大正方体木块的体积是， ∴每个小正方体木块的体积是 ∴每个小正方体木块的棱长是： 答：每个小正方体木块的棱长是． （2）观察图形可知：大长方体木块的长是，宽是，高是， ∴这个大长方体木块的表面积是： 答：这个大长方体木块的表面积是． 题型01 立方根概念理解 【典例1】（23-24七年级下·湖北襄阳·期末）下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的定义及求法逐项判断即可确定正确的选项，解题的关键是掌握立方根的定义的运用，理解：一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 【详解】、的立方根是，原选项错误，不符合题意； 、有立方根为，原选项错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是和，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 【变式1】（23-24八年级上·河南新乡·期中）下列说法正确的是（　　） A．64的平方根是8 B．的立方根是 C．的立方根是 D．只有非负数才有立方根 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根的定义并逐项进行判断即可． 【详解】解：A．64的平方根是；故本选项不符合题意； B．的立方根是，故本选项不符合题意； C．的立方根是，故本选项符合题意； D．所有实数都有立方根，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的立方根是 【答案】D 【分析】根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可． 【详解】、的立方根是，此选项错误，不符合题意； 、的立方根是，此选项错误，不符合题意； 、的立方根是，此选项错误，不符合题意； 、的立方根是，此选项正确，符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 【变式3】（22-23八年级上·安徽宿州·期中）下列说法正确的是（    ） A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零 B．任何数的立方根都只有一个 C．负数没有立方根 D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根 【答案】B 【分析】若，则叫做的立方根，；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是；据此进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A.一个数的立方根等于它本身的数是或，结论错误，不符合题意； B.任何数的立方根都只有一个，结论正确，符合题意； C.负数有立方根，结论错误，不符合题意； D.负数有立方根，但没有平方根，结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了立方根定义，理解定义是解题的关键． 题型02 求一个数的立方根 【典例2】（2024七年级下·云南·专题练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，属于基础题，比较简单．根据一个数的立方等于，这个数就是的立方根即可得解． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）根式的化简 ； ； ； ； 【答案】 3 3 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根．解题的关键在于灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 【详解】解：，，，， 故答案为：3，，3，． 【变式2】（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：的立方根是； 的平方根是． 故答案为：；． 【变式3】（22-23七年级下·河南信阳·阶段练习） 的算术平方根是7；的立方根是 ；的平方根是 ． 【答案】 49 【分析】根据平方运算，可得平方根、算术平方根和立方根． 【详解】解：∵， ∴49的算术平方根是7； ∵， ∴的立方根是； ∵， ∴9的平方根是． 即的平方根是． 故答案为：49；；． 【点睛】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，平方和立方运算是求平方根和立方根的关键． 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 【典例3】（23-24八年级上·福建三明·期末）若一个数的立方根是2，则这个数为 ． 【答案】8 【分析】本题考查立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么x叫做a的立方根．记作：．找到立方根等于2的数即可． 【详解】解：， 这个数是8， 故答案为：8． 【变式1】（23-24七年级下·内蒙古乌海·期末）已知的立方根是，是的算术平方根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义求出的值，再把的值代入到代数式计算即可求解，掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是，是的算术平方根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知的立方根是，的算术平方根是5．则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根、平方根、算术平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．依据立方根和算术平方根的定义得到和，然后再求得代数式的值，最后再求得的平方根即可． 【详解】解：因为的立方根是， 所以． 因为的算术平方根是5， 所以， 所以． 所以的平方根是． 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知的平方根是的立方根是2，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，求出x，y的值，进而求解即可． 【详解】解：∵的平方根是的立方根是2， ∴， ∴， ∴的立方根为：； 故答案为：． 题型04 立方根的性质 【典例4】（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根、立方根的概念和性质是解题的关键．根据算术平方根、立方根、平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故选项不符合题意； B．，原式计算错误，故选项不符合题意； C．，原式计算错误，故选项不符合题意； D．，原式计算正确，故选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（22-23七年级下·河南商丘·期中）若， ，，则a，b，c的大小关系是（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的性质等知识点，灵活运用平方根、立方根的性质成为解题的关键. 先根据平方根、立方根的性质化简，然后再根据有理数的大小比较法则比较大小即可. 【详解】解：∵， ，， ∴. 故选B. 【变式2】（23-24七年级下·福建龙岩·阶段练习）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根与立方根，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．根据算术平方根，平方根与立方根的定义，逐项分析解题即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确， 故选：D． 【变式3】（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，正确理解平方根和立方根的概念是解答本题的关键．“如果，则x叫做a的平方根，记作，叫做a的算术平方根．”“如果，则x叫做a的立方根，记作．”，根据概念即可解答本题． 【详解】选项A，表示9的算术平方根， ，所以该选项不正确，不符合题意； 选项B，表示的立方根，，所以该选项正确，符合题意； 选项C，表示16的平方根，，所以该选项不正确，不符合题意； 选项D，表示的算术平方根，，所以该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 【变式4】（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，有理数化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的加减，绝对值，算术平方根和立方根的化简，解题的关键是熟悉掌握绝对值的性质．先利用数轴表示数的方法得到，再利用绝对值和立方根和算术平方根定义得原式，然后去括号后合并即可． 【详解】解：根据题图可知：，且， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型05 开立方运算中小数点移动规律 【典例5】（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，立方根扩大倍，被开方数扩大倍．根据被开方数的小数点向右移动6位则立方根的小数点向右移动2位，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【变式1】（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据结合已知条件即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1为求解即可． 【详解】若， 则， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·福建厦门·期中）如果，， 那么 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，根据立方根，算术平方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：， ； 故答案为：，． 题型06 利用开立方解方程 【典例6】（23-24七年级下·江西南昌·阶段练习）求式子中的值：． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用立方根的性质解方程，熟练掌握立方根的性质是解题关键．首先将原方程整理为，根据立方根的性质可得，求解即可获得答案． 【详解】解：， ， ， ∴． 【变式1】（23-24七年级下·重庆开州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根、立方根解方程的知识， （1）原方程变型为，再利用平方根求解方程的根即可； （2）原方程变型为，再利用立方根求解方程的根即可． 【详解】（1） ； （2）， ． 【变式2】（23-24七年级下·河北保定·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)，． (2)． 【分析】本题考查了平方根、立方根，关键是能准确理解并运用相关知识进行计算． （1）运用平方根知识进行求解，即可解题； （2）运用立方根知识进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ， 或， 解得，． （2）解：， ， ， 解得． 【变式3】（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）求下列各式中的的值． (1) (2) 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）本题考查开平方运算解方程，掌握开平方运算法则，即可解题． （2）本题考查开立方运算解方程，掌握开立方运算法则，即可解题． 【详解】（1）解： 或， 解得或； （2）解： ． 题型07 平方根与立方根的综合 【典例7】（23-24七年级下·吉林白山·期末）已知的算术平方根为3，的立方根为4． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由算术平方根的定义得出，即可得出的值，由立方根的概念得出，即可得出的值； （2）先求出的值，再由平方根的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：的算术平方根为3， ， 解得， 的立方根为4， ， ， 解得， ，． （2）解：，， ， 的平方根是． 【变式1】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求： (1)、、的值； (2)的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、求算术平方根的整数部分等知识点，能求出、、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根和平方根的定义求出、的值，再估算出的大小，求出的值即可； （2）将（1）中求出的、、的值代入，求出结果后再求出立方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的平方根是， ，， 解得：，， ， ， 的整数部分是，即， ，，； （2）解：，，， ，， 的立方根是． 【变式2】（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知的立方根是，的算术平方根是2，c是的相反数． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)3 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的综合应用，熟记相关结论即可． （1）根据，的相反数是即可求解； （2）计算出即可求解； 【详解】（1）解：∵的立方根是， ∴， 解得：； ∵的算术平方根是2， ∴， 即， ∴． ∵c是的相反数， ∴ 故：，，． （2）解：∵，，， ∴， ∴的算术平方根为3 【变式3】（22-23七年级下·重庆江北·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是3． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)14 (2)10 【分析】（1）根据已知条件，求出、的值，即可求出最终答案； （2）把x、y的值代入，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2， ∴， 解得：， 又∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵， ∴的值为14. （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴的算术平方根是10． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根的概念，掌握算术平方根、立方根的概念是关键． 题型08 立方根的应用 【典例8】（23-24七年级下·全国·假期作业）如图是一个体积为的长方体工件，其中表示的是它的长、宽、高，且，请你求出这个工件的表面积（结果精确到）． 【答案】 【分析】本题考查立方根在实际问题中的应用．正确列出方程是解题关键．设长方体的长、宽、高分别为：，根据体积可建立方程求解，即可求出表面积． 【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为： 则：， 解得：， ∴表面积为：． 【变式1】（23-24七年级下·辽宁大连·阶段练习）已知一个正方体木块的表面积为cm2． (1)求这个正方体的棱长和体积； (2)现要把这个正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，求每个小正方体的棱长． 【答案】(1)正方体的棱长为cm，体积为cm3 (2)cm 【分析】本题考查正方体的表面积、体积、棱长，涉及平方根，立方根． （1）设正方体的棱长为，依题意可得：，求出棱长为，再求体积即可； （2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：，求出棱长为即可． 【详解】（1）设正方体的棱长为，依题意可得：， 解得：或（舍去），即棱长为cm， 体积为(cm3)， 答：正方体的棱长为cm，体积为cm3； （2）设每个小正方体的棱长为，依题可得：， 解得：， 所以每个小正方体的棱长为cm． 答：每个小正方体的棱长为cm． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)8厘米 (2)8厘米 【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由立方根的含义可得答案； （2）由原立方体的体积减去三个棱长为4厘米的小立方体铁块的体积，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】（1）解：（厘米） 答：棱长为8厘米； （2）解：（厘米） 答：正方形的边长为8厘米． 【变式3】（23-24七年级下·河南驻马店·期中）请根据如图所示的对话内容回答下列问题． 我有一个正方体的魔方，它的体积是 我有一个长方体的纸盒，它的体积是，纸盒的宽与你的魔方的棱长相等，纸盒的长与高相等． (1)求该魔方的棱长． (2)求该长方体纸盒的长． 【答案】(1)该魔方的棱长 (2)该长方体纸盒的长为 【分析】此题考查了平方根、立方根的应用，熟练掌握立体图形的体积公式是解本题的关键． （1）设魔方的棱长为，由长方体的体积公式得方程为，利用立方根定义求解即可； （2）设该长方体纸盒的长为，则长方体纸盒的高为，由长方体的体积公式得方程为，利用平方根定义求解即可． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 可得：， 解得：， 答：该魔方的棱长； （2）解：设该长方体纸盒的长为， 则， 故，解得：， 因为是正数，所以， 答：该长方体纸盒的长为． 一、单选题 1．（23-24八年级上·吉林长春·期末）实数的立方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键． 根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴实数的立方根是， 故选：B． 2．（23-24七年级下·山东济宁·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．的平方根是 B．3是9的算术平方根 C．的立方根是2 D．立方根等于本身的实数有两个 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、的平方根是，选项说法错误，不符合题意； B、3是9的算术平方根，选项说法正确，符合题意； C、的立方根是，选项说法错误，不符合题意； D、立方根是它本身的数是和0，有3个，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·吉林白山·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立方根及平方根的计算，熟记立方根、平方根的定义及计算法则是解决问题的关键． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，选项只有一个结果，计算错误，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）若，，则等于：（   ） A．19.02 B．190.2 C．40.98 D．409.8 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，被开方数的小数点每移动3位，立方根的小数点移动一位． 【详解】解：， ， 故选：A． 5．（23-24七年级下·广西崇左·期中）已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是时，输出y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，无理数，先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的立方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是时，取立方根是，是有理数； 再把输入，的立方根是，是无理数， 所以输出是． 故选：B． 二、填空题 6．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据可得． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·宁夏吴忠·阶段练习）若，则的立方根是 . 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，代数式求值，求一个数的立方根．根据绝对值和算术平方根的非负性求出a和b的值是解题关键．根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，再代入中求值，最后求其立方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根是． 故答案为：． 8．（23-24七年级下·广东广州·期中）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的知识点为：算术平方根的被开方数是非负数，解题的关键是根据此性质得到x值．据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后相加计算即可得解． 【详解】解：∵ ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：1． 9．（2024七年级下·全国·专题练习）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根 ． 【答案】2 【详解】本题主要考查了求一个数的立方根，根据算术平方根和平方根求原数，根据平方根及算术平方根的定义求得a，b的值后代入中计算，然后利用立方根的定义即可求得答案． 【解答】解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为2， 故答案为：2． 10．（23-24七年级下·湖北十堰·阶段练习）已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，算术平方根和立方根的意义，以及整式的加减，根据数轴得，则可得，，进而可求解，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：由数轴得：， ，， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24七年级下·广西钦州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根与立方根解方程， （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求立方根的方法解方程即可； 理解和掌握平方根与立方根的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）已知的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】2 【分析】本题考查平方根，算术平方根及立方根，根据平方根及立方根的定义求得，的值，然后将其代入中计算后根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是2． 13．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）为了制作某城市雕塑，需要把一根截面面积为高为的长方体钢体熔铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的棱长的3倍，求这两个正方体的棱长． 【答案】这两个正方体的棱长分别为和 【分析】此题主要考查了正方体的体积公式和立方根的定义．解决本题的关键是理解铸造前后总体积不变，需注意正方体的棱长应是体积的三次方根．因为长方体钢块铸成两个正方体后体积不发生改变，可设小正方体棱长为，由题意列方程即可求出其棱长的值． 【详解】解：设小正方体棱长为，则大正方体的棱长为，由题意得： ， 即， ， ， ， 答：这两个正方体的棱长分别为和． 14．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图，请化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数和数轴以及算术平方根和立方根的性质等知识点，根据数轴可得，，，再去根号即可得解，熟练掌握去绝对值的方法和方根的性质是解题的关键． 【详解】由数轴可知，，， ∴ ． 15．（23-24七年级下·吉林长春·期末）已知，是64的立方根． (1)求、、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了算术平方根的非负性、立方根、平方根等知识，熟练掌握算术平方根的非负性、平方根的意义是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性得到，代入即可求出的值，再利用立方根的意义求出的值； （2）把字母的值代入求出代数式的值，根据平方根的意义求出答案即可． 【详解】（1）由题意，得解得， ∴， ． （2）∵． ∴16的平方根是． 16．（23-24七年级下·江西赣州·期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)若的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，理解平方根，算术平方根，立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据平方根的定义即可求出答案； （2）求出的值，再求出b的值，最后求出的算术平方根．． 【详解】（1）一个正数的两个不同的平方根分别是和 ， 解得， ，， ； （2）的立方根是2， ， ， ， ， ， 的算术平方根是． 17．（23-24七年级下·江西赣州·期末）根据下表回答问题： x 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 (1)275.56的平方根是___________，___________，___________； (2)设的整数部分为a，求的立方根． 【答案】(1)，16.1，1.67； (2)5 【分析】本题考查算术平方根、平方根，立方根，能熟练从表格中找到相关信息和掌握夹值法求平方根是解题的关键． （1）根据表格找到275.56对应的为16.6，因为平方根有两个，所以275.56的平方根是，同理计算，，即可解答； （2）根据夹值法求平方根，因为280在278.89和282.24之间，所以在167和168之间，则其整数部分为167，即，将的值代入求解即可． 【详解】（1）解：根据表格，等于275.56时对应的为16.6， ∵的平方都等于275.56， ∴275.56的平方根是； 同理可得，， 故答案为：；；； （2）解：由． 故． 则， ∴125的立方根为：5． 18．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为，设点所表示的数为． \ (1)求实数的值； (2)求的值； (3)数轴上有、两点分别表示实数和，且有，求的立方根． 【答案】(1) (2) (3)的立方根是 【分析】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由（1）可知、，再利用绝对值的性质化简绝对值，继而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其平方根． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示的数为， ∴点表示的数为， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 的立方根是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$