专题2.2 不等的解法（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题2.2 不等式的解法 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：一元一次不等式（组） 5 考点二：一元二次不等式的解法 6 考点三：含绝对值不等式的解法 9 考点四：恒成立问题 11 考点五：不等式的应用 12 【考纲要求】 1. 理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示区间. 2. 会解一元一次不等式（组）. 3.会解一元二次不等式，会用区间表示不等式的解集. 4.会解形如或的含有绝对值的不等式. 5.能利用不等式的知识解决有关的实际问题. 【考向预测】 1.一元一次不等式（组） 2.一元二次不等式的解法 3.含绝对值不等式的解法 4.恒成立问题 5.不等式的应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 区间 (1) 不等式的解集：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值的全体所构成的集合，叫作不等式的解集.一般可以用集合或区间来表示.求不等式解集的过程，叫作解不等式. (2) 区间 集合表示 区间表示 数轴表示 注意：实数a和b叫作区间的端点，在数轴上表示区间时，端点属于这个区间，用实心点表示，不属于这个区间，用虚心点表示.特别地，实数集R也可以用区间表示. 2. 一元一次不等式（组） (1) 一元一次不等式的解法 先将不等式互为标准形式，然后根据不等式的基本性质求解即可. (2) 一元一次不等式组的解法 先解出不等式组中的每一个不等式，然后将各个不等式的解集取交集，即为不等式组的解集. 假设，则常见不等式的解集如下： 不等式组 记忆口诀 集合表示 区间表示 数轴表示 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小取不到 无 3.一元二次不等式 (1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式称为一元二次不等式. 它的一般形式是： 或 ，其中. (2)一元二次不等式的解法： ①因式分解法，步骤如下： ②图像法. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系：对于二次函数，当y=0时，可转化为一元二次方程，当时，可转化为一元二次不等式. 判别式： 二次函数的图像 一元二次方程的根 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实根 的解集 或 （口诀：大于取两边） R 的解集 （口诀：小于取中间） 解一元二次不等式的步骤： 【名师指导】 1. 当a<0时，可先把二次项系数a化为正数，再求解； 2.牢记口诀：当a>0时，大于取两边，小于取中间；当a<0时，大于取中间，小于取两边. ③配方法.步骤如下： 配方：得到或的形式； 转化：利用或，转化为等价的含绝对值的不等式； 结论：求出不等式的解集. 注意：当a<0时，可先把二次项系数a化为正数，再配方求解； (3)一元二次不等式恒成立（或解集为R）的条件 ①不等式恒成立的条件为； ②不等式恒成立的条件为. 4.含绝对值的不等式 (1) (2)或 注意：当不等式右边的常数大于0时，可用口诀“大于取两边，小于去中间”去绝对值求解. (3)特殊不等式 ①② ③④ ⑤⑥ 5.不等式的应用 根据实际问题合理的设置未知量并表示所有的不等关系，根据实际范围得出最优解. 【考点分类剖析】 考点一：一元一次不等式（组）的解法 例1．解下列一元一次不等式（组）： (1)，并把它的解表示在数轴上. (2) 【答案】(1)，作图答案见解析 (2) 【分析】由一元一次不等式的解法求解即可. 【详解】（1），，，， 在数轴上表示为 （2） 由①得：，由②得：，∴不等式组的解集是. 【变式探究】不等式组，的解集为 ． 【答案】 【分析】先解每一个不等式，再求两解集的交集即可. 【详解】由，得， 由，得， 所以不等式组的解集为. 故答案为： 考点二：一元二次不等式的解法 例2.解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）解：方法一：由方程， 因为， 方程的两个实数根为，． 函数的简图，如图所示， 所以不等式的解集是． 方法二：因为原不等式， 结合一元二次不等式的解法，可得原不等式的解集是． （2）解：方法一：因为方程，可得， 所以方程有两个相等的实根， 函数的简图，如图所示， 所以原不等式的解集是． 方法二：因为不等式原不等式等价于， 所以原不等式的解集是． （3）解：方法一：由方程，可得，此时方程无实数解， 函数的简图，如图所示，所以原不等式的解集为． 方法二：由不等式，所以原不等式的解集为． 【变式探究】解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次不等式即可； （2）（3）（4）利用配方法求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）原不等式化为，∴． 故所求不等式的解集为． （2）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （3）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． （4）原不等式化为， 即，∴． 故所求不等式的解集为． 例3.已知不等式的解集为，则实数（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系可求得的值，从而得解. 【详解】因为不等式的解集为 所以方程的两个根为： 由韦达定理可得：，∴，∴， 故选：B. 【变式探究】不等式的解集为，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】由题意可得，且为方程的两根，利用根与系数的关系可得，代入中化简可求得其解集. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，且为方程的两根， 所以，得， 所以可化为， 因为，所以， 所以，解得，或， 故的解集是或． 故答案为：或． 考点三：含绝对值的不等式的解法 例4. 解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用绝对值不等式解法求解即可；（2）将不等式转化为或，结合一元二次不等式解法求解即可. 【详解】（1）（方法1）原不等式等价于解得． 所以原不等式的解集为． （方法2）两边同时平方得，化简得， 即，解得， 所以原不等式的解集为． （2）原不等式等价于或，即或， 故或或． 数轴如图． 所以原不等式的解集为． 【变式探究】解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用绝对值的几何意义，即可等价转化不等式，即可求得结果； （2）利用绝对值的几何意义，即可等价转化不等式，即可求得结果； 【详解】（1）因为，故可得或， 解得或， 故不等式的解集为. （2）因为，故可得， 解得 故不等式的解集为. 例5.若不等式的解是，求a，b的值. 【答案】， 【分析】化简为，讨论的符号分情况进行求解. 【详解】因为不等式的解是，所以必有. ，即. 分两种情况进行讨论： ①当时，，， 解方程组，得.不符合题意，故舍去. ②当时，，. 解方程组，得. 综上，，. 【变式探究】不等式中的取值范围是，则 . 【答案】 【分析】根据绝对值不等式可得，进而可知，计算即可得出结果. 【详解】由知，， 有，. 故答案为： 考点四：恒成立问题 例6.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知恒成立，分、两种情况讨论，结合判别式即可求出. 【详解】因为的解集为， 即恒成立， 当时，即，解得，不符合题意； 当时，则’解得； 综上所述，实数的取值范围是. 【变式探究】1.若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围． 【答案】 【分析】就参数分类考虑，利用二次函数的图象数形结合即可求得参数范围. 【详解】因关于的不等式的解集为空集， 即的解集为． 当时，原不等式为，即，不符合题意，舍去． 当时，原不等式为一元二次不等式，只需且， 即解得． 综上，的取值范围为． 2.已知函数，其定义域为，求的取值范围． 【答案】． 【分析】根据对数的性质可得对任意的，都成立，即可利用判别式求解. 【详解】解：∵函数的定义域为，∴，对任意的都成立， 则，解得． 所以的取值范围为． 考点五：不等式的应用 例7.一个车辆制造厂引进了一条电动自行车整车装配流水线，这条流水线生产的电动自行车数量(辆)与创造的价值(元)之间有如下的关系： 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆电动自行车? 【答案】见解析 【分析】本题主要考查一元二次不等式的应用 【详解】设在一个星期内大约应该生产辆电动自行车. 根据题意得，，整理得，解得 因为 ，所以 即该工厂每周生产51~59 辆电动自行车时，才能够获得 6 000元以上的收益. 【变式探究】某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示） 【答案】 【分析】设每床每晚的租金提高10的倍，由题意可得，解不等式可得的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解. 【详解】设每床每晚的租金提高10的倍，即为元， 出租的床位会减少10的倍张，即为张， 由题意可得该旅社每晚的收入为， 整理可得： 解得：， 因为，所以可取6，7，8，9， 此时每个床位的定价即为110，120，130，140， 所以每个床位的定价的取值范围是， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 不等式的解法 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 6 考点一：一元一次不等式（组）的解法 6 考点二：一元二次不等式的解法 6 考点三：含绝对值的不等式的解法 7 考点四：恒成立问题 8 考点五：不等式的应用 8 【考纲要求】 1. 理解区间的概念，掌握用区间表示不等式解集的方法，并能在数轴上表示区间. 2. 会解一元一次不等式（组）. 3.会解一元二次不等式，会用区间表示不等式的解集. 4.会解形如或的含有绝对值的不等式. 5.能利用不等式的知识解决有关的实际问题. 【考向预测】 1.一元一次不等式（组） 2.一元二次不等式的解法 3.含绝对值不等式的解法 4.恒成立问题 5.不等式的应用 【知识导图】 【知识清单】 1. 区间 (1) 不等式的解集：在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值的全体所构成的集合，叫作不等式的解集.一般可以用集合或区间来表示.求不等式解集的过程，叫作解不等式. (2) 区间 集合表示 区间表示 数轴表示 注意：实数a和b叫作区间的端点，在数轴上表示区间时，端点属于这个区间，用实心点表示，不属于这个区间，用虚心点表示.特别地，实数集R也可以用区间表示. 2. 一元一次不等式（组） (1) 一元一次不等式的解法 先将不等式互为标准形式，然后根据不等式的基本性质求解即可. (2) 一元一次不等式组的解法 先解出不等式组中的每一个不等式，然后将各个不等式的解集取交集，即为不等式组的解集. 假设，则常见不等式的解集如下： 不等式组 记忆口诀 集合表示 区间表示 数轴表示 同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小取不到 无 3.一元二次不等式 (1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式称为一元二次不等式. 它的一般形式是： 或 ，其中. (2)一元二次不等式的解法： ①因式分解法，步骤如下： ②图像法. 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系：对于二次函数，当y=0时，可转化为一元二次方程，当时，可转化为一元二次不等式. 判别式： 二次函数的图像 一元二次方程的根 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 无实根 的解集 或 （口诀：大于取两边） R 的解集 （口诀：小于取中间） 解一元二次不等式的步骤： 【名师指导】 1. 当a<0时，可先把二次项系数a化为正数，再求解； 2.牢记口诀：当a>0时，大于取两边，小于取中间；当a<0时，大于取中间，小于取两边. ③配方法.步骤如下： 配方：得到或的形式； 转化：利用或，转化为等价的含绝对值的不等式； 结论：求出不等式的解集. 注意：当a<0时，可先把二次项系数a化为正数，再配方求解； (3)一元二次不等式恒成立（或解集为R）的条件 ①不等式恒成立的条件为； ②不等式恒成立的条件为. 4.含绝对值的不等式 (1) (2)或 注意：当不等式右边的常数大于0时，可用口诀“大于取两边，小于去中间”去绝对值求解. (3)特殊不等式 ①② ③④ ⑤⑥ 5.不等式的应用 根据实际问题合理的设置未知量并表示所有的不等关系，根据实际范围得出最优解. 【考点分类剖析】 考点一：一元一次不等式（组）的解法 例1．解下列一元一次不等式（组）： (1)，并把它的解表示在数轴上. (2) 【变式探究】不等式组，的解集为 ． 考点二：一元二次不等式的解法 例2.解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【变式探究】解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 例3.已知不等式的解集为，则实数（    ） A．－3 B．3 C．－2 D．2 【变式探究】不等式的解集为，则不等式的解集是 ． 考点三：含绝对值的不等式的解法 例4. 解不等式： (1)； (2)． 【变式探究】解下列不等式： (1)； (2). 例5.若不等式的解是，求a，b的值. 【变式探究】不等式中的取值范围是，则 . 考点四：恒成立问题 例6.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 ． 【变式探究】1.若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围． 2.已知函数，其定义域为，求的取值范围． 考点五：不等式的应用 例7.一个车辆制造厂引进了一条电动自行车整车装配流水线，这条流水线生产的电动自行车数量(辆)与创造的价值(元)之间有如下的关系： 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆电动自行车? 【变式探究】某旅店有200张床位，若每床每晚的租金为50元，则可全部出租，若将出租收费标准每晚提高10的整数倍，则出租的床位会减少10的相应倍数张，若要使该旅店每晚的收入超过15000元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$