专题2.1 不等式的性质（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题2.1 不等式的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 3 考点一：不等式的基本性质 3 考点二：比较实数（代数式）大小的方法 3 【考纲要求】 1. 理解并掌握实数大小的基本性质，会有作差比较法比较两个实数（代数式）的大小. 2. 理解并掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形，解决简单的问题. 【考向预测】 1.不等式的基本性质 2.比较实数（代数式）大小的方法 【知识导图】 【知识清单】 1.实数大小的基本性质 (1)数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大. (2)不等式的概念：我们用数学符号“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子称为不等式. 2.比较实数（代数式）大小的方法 (1)“作差比较法”是比较两个实数或代数式大小的常见方法. 作差比较法的步骤：作差、变形、判断差值与0的大小关系、结论 (2)作商比较法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论. (3)介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性: 若，则;若，那么，其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值. (4)平方法：对两式先平方，再比较大小. (5)倒数法：对两式先取倒数，再比较大小. 特别提醒: (1)比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零; (2)作差时应该对差式进行恒等变形(如配方、因式分解、有理化、通分等)，直到能明显看出其正负号为止; (3)作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质. 3.不等式的性质 性质 内容 注意 对称性 传递性 同加性 或 同乘性 c的符号 同向叠加性 同向同正叠乘性 正数可乘方性 同正 正数可开方性 同正 注意：(1)； (2)倒数法则：①；②若，则，若，则， (3)不等式两边同时乘以一个负数要变号； (4)同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘. 【考点分类剖析】 考点一：不等式的基本性质 例1．若，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． [归纳提升]　解决此类问题的方法是：根据题目中的附加条件与应用范围，一般采用性质法或特值法（特例法）． 【变式探究】 1.已知，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2.若a，b，c为实数，且，则以下不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要 考点二：比较大小的方法 例3. 设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M、N的大小关系为 ． 【误区防范】 运用“作差比较法”判断两个代数式的大小时，首先是“作差”：将两个代数式分别写在括号内作为独立的整体进行求差运算；然后是“变形”：运用配方、因式分解、通分等方法对差值进行变形，以便判断差值的符号. 【变式探究】 1.（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 2.设、均为正实数，试比较和的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 不等式的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 考点一：不等式的基本性质 3 考点二：比较大小的方法 5 【考纲要求】 1. 理解并掌握实数大小的基本性质，会有作差比较法比较两个实数（代数式）的大小. 2. 理解并掌握不等式的三条基本性质以及推论，能够运用不等式的基本性质将不等式变形，解决简单的问题. 【考向预测】 1.不等式的基本性质 2.比较实数（代数式）大小的方法 【知识导图】 【知识清单】 1.实数大小的基本性质 (1)数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大. (2)不等式的概念：我们用数学符号“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子称为不等式. 2.比较实数（代数式）大小的方法 (1)“作差比较法”是比较两个实数或代数式大小的常见方法. 作差比较法的步骤：作差、变形、判断差值与0的大小关系、结论 (2)作商比较法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论. (3)介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性: 若，则;若，那么，其中b是介于a与c之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值. (4)平方法：对两式先平方，再比较大小. (5)倒数法：对两式先取倒数，再比较大小. 特别提醒: (1)比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零; (2)作差时应该对差式进行恒等变形(如配方、因式分解、有理化、通分等)，直到能明显看出其正负号为止; (3)作商法适合于幂式、积式、分式间的大小比较，作商后应变形为能与“1”比较大小的式子，要注意营养函数的有关性质. 3.不等式的性质 性质 内容 注意 对称性 传递性 同加性 或 同乘性 c的符号 同向叠加性 同向同正叠乘性 正数可乘方性 同正 正数可开方性 同正 注意：(1)； (2)倒数法则：①；②若，则，若，则， (3)不等式两边同时乘以一个负数要变号； (4)同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘. 【考点分类剖析】 考点一：不等式的基本性质 例1．若，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC可举出反例，D选项可由不等式性质得到. 【详解】A选项，当时，满足，但不满足，A错误； B选项，当时，满足，但不满足，B错误； C选项，当时，满足，但此时，C错误； D选项，因为，由不等式性质可得，D正确. 故选：D [归纳提升]　解决此类问题的方法是：根据题目中的附加条件与应用范围，一般采用性质法或特值法（特例法）． 【变式探究】 1.已知，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质判断即可. 【详解】，所以， 又，所以 ， 故选：D 2.若a，b，c为实数，且，则以下不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质直接推导和取值验证相结合可解. 【详解】取可排除ABD；由不等式的性质易得C正确. 故选：C 例2．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】当时，满足，但，故充分性不成立， 若，当时，必有成立，当时，必有，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件，故B正确. 故选：B 【变式探究】“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要 【答案】A 【分析】若，则，充分性成立，取特殊值，当“”成立时，“”不一定成立，则可得答案. 【详解】若，则，充分性得证； 若，则，但不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 考点二：比较大小的方法 例3. 设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M、N的大小关系为 ． 【答案】 【分析】比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号． 【详解】∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N． 故答案为：. 【误区防范】 运用“作差比较法”判断两个代数式的大小时，首先是“作差”：将两个代数式分别写在括号内作为独立的整体进行求差运算；然后是“变形”：运用配方、因式分解、通分等方法对差值进行变形，以便判断差值的符号. 【变式探究】 1.（1） ;    （2） ; （3） ;      （4） ,; （5） 【答案】 < < < > > 【分析】利用作差法和分母有理化的方法即可比较大小. 【详解】（1）因为, 所以; （2）因为, 所以; （3）因为, 所以; （4）, 因为,所以, 则; （5）, 因为,所以, 则. 故答案为:（1）;（2）;（3）;（4）;（5）. 2.设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法，再充分变形化简，结合条件，分类讨论，即可求出结果. 【详解】∵ 又，，∴． ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$