第十三讲 幂函数 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第十三讲 幂函数 知识点梳理： 1．幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．一些常用幂函数的图象 同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，的图象（如图）． 3．一些常用幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞） {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞） R [0，＋∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在（－∞，＋∞）上单调递增 在[0，＋∞）上单调递增 在（－∞，＋∞）上单调递增 在[0，＋∞）上单调递增 在（0，＋∞）上单调递减 在（－∞，0]上单调递减 在（－∞，0）上单调递减 重难点解析： 1．幂函数的特征 （1）xα的系数是1； （2）xα的底数x是自变量； （3）xα的指数α为常数． 只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝（2x）α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数． 2．幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞）上单调递增； （3）如果α＜0，那么幂函数的图象在区间（0，＋∞）上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； （4）在（1，＋∞）上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 例题讲解： 题型1 幂函数的概念 【例1】已知是幂函数，则　　 A．3 B． C．6 D． 【例2】已知幂函数的图象经过点，则　　 A． B． C． D． 【例3】已知幂函数的图象经过点，则（2）　　 A．4 B．1 C． D． 题型2 幂函数的性质 【例4】已知幂函数的图象经过点，则　　 A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 【例5】已知幂函数在上单调递增，则　　 A． B．3 C． D．5 【例6】已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是　　 A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 题型3 幂函数的图象 【例7】幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【例8】若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 【例9】已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是　　 A．B．C． D． 题型4 利用幂函数的性质比较大小 【例10】三个数，，之间的大小关系是　　 A． B． C． D． 【例11】已知幂函数f（x）＝（m∈N*）的图象经过点（3，）． （1）试求m的值并写出该函数的解析式； （2）若函数f（x）满足条件f（1+a）＞f（4﹣2a），试求实数a的取值范围． 【例12】若幂函数f（x）过点（4，2），则满足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是　[1，）　． 解题梳理： 1．判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1． 2．幂函数的判断及应用 （1）判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1．形如y＝（3x）α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数． （2）若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα（α为常数）这一形式． 3．解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα（α是常数），由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． 4．幂函数图象的画法 （1）确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象． （2）确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f（x）在其他象限内的图象． 5．幂函数性质的综合运用 （1）比较幂值大小的两种基本方法 ①直接法：当幂的指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较． ②转化法：当幂的指数不相同时，可以先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小． （2）解决幂函数的综合问题时应注意 掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性． 6．比较幂大小的三种常用方法： 7．利用幂函数解不等式的步骤 利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： （1）确定可以利用的幂函数； （2）借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系； （3）解不等式（组）求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 变式练习： 1．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（3）的值为（　　） A．9 B．3 C． D． 2．若幂函数在（0，+∞）上是减函数，则实数m的值是（　　） A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．0 3．已知幂函数y＝f（x）的图像过点，则下列关于f（x）说法正确的是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．在（0，+∞）单调递减 D．定义域为[0，+∞） 4．已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（　　） A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．（﹣2，1） 5．若函数f（x）＝（m2﹣6m+9）是幂函数且为奇函数，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．2或4 6．若函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm为幂函数，则实数m＝（　　） A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．3 （多选）7．下列关于幂函数y＝xa的性质，描述正确的有（　　） A．当α＝﹣1时，函数在其定义域上是减函数 B．当α＝0时，函数图象是一条直线 C．当α＝2时，函数是偶函数 D．当α＝3时，函数在其定义域上是增函数 （多选）8．已知幂函数，m，n互质），下列关于f（x）的结论正确的是（　　） A．当m，n都是奇数时，幂函数f（x）是奇函数 B．当m是偶数，n是奇数时，幂函数f（x）是偶函数 C．当m是奇数，n是偶数时，幂函数f（x）是偶函数 D．当时，幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数 （多选）9．已知α∈{﹣1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的α的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 （多选）10．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列命题正确的有（　　） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．当x＞1时，f（x）＞1 D．当0＜x1＜x2时， 11．幂函数f（x）＝x3m﹣5（m∈N）在（0，+∞）上是减函数，且f（﹣x）＝f（x），则m等于　 　． 12．已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）xm在（0，+∞）上单调递增，则m＝　 　． 13．已知幂函数①y＝，②y＝，③y＝x3，④y＝，其中图象关于y轴对称的是 　 　.（填写全部正确的编号） 14．若幂函数f（x）过点（4，2），则满足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是　 　． 15．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm，且对于∀x1，x2∈（0，+∞）满足，则m＝　 　． 16．下列命题中， ①幂函数的图象不可能在第四象限； ②当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线； ③当α＞0时，幂函数y＝xα是增函数； ④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 其中正确的序号为　 　． 17．已知幂函数f（x）＝（﹣3m2﹣2m+2）x1+3m在（0，+∞）上为增函数． （1）求f（x）解析式； （2）若函数y＝f（x）﹣（2a+1）x+a2﹣1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围． 18．已知幂函数f（x）＝（m∈N*）的图象经过点（3，）． （1）试求m的值并写出该函数的解析式； （2）若函数f（x）满足条件f（1+a）＞f（4﹣2a），试求实数a的取值范围． 19．已知幂函数f（x）的图象经过点． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝（x﹣2）•f（x），试判断函数g（x）在区间上的单调性，并求函数g（x）在区间上的值域． 20．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围． 21．已知幂函数y＝x3m﹣9（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上函数值随着x的增大而减小． （1）求m的值； （2）若满足（a+1）2m＜（3﹣2a）2m，求实数a的取值范围． 22．已知幂函数f（x）＝（2m2﹣6m+5）xm+1为偶函数． （1）求f（x）的解析式； （2）若函数y＝f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围． 答案与解析 例题讲解： 题型1 幂函数的概念 【例1】已知是幂函数，则　　 A．3 B． C．6 D． 【答案】 【分析】由幂函数的定义得出结果即可． 【解答】解：由题知，解得， 又因为，解得， ， ． 故选：． 【例2】已知幂函数的图象经过点，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义和性质直接求解． 【解答】解：由是幂函数， 可得，即， 由的图象经过点，可得， 解得， 所以． 故选：． 【例3】已知幂函数的图象经过点，则（2）　　 A．4 B．1 C． D． 【答案】 【分析】由题意，利用幂函数的定义，用待定系数法求出幂函数的解析式，可得（2）的值． 【解答】解：幂函数的图象经过点， ，，， 则（2）， 故选：． 题型2 幂函数的性质 【例4】已知幂函数的图象经过点，则　　 A．为偶函数且在区间上单调递增 B．为偶函数且在区间上单调递减 C．为奇函数且在区间上单调递增 D．为奇函数且在区间上单调递减 【答案】 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义和性质，即可求解． 【解答】解：设幂函数为， 幂函数的图象经过点， 则，解得， 故， 所以为偶函数且在区间上单调递减． 故选：． 【例5】已知幂函数在上单调递增，则　　 A． B．3 C． D．5 【答案】 【分析】根据幂函数的定义与性质，列出方程求解即可． 【解答】解：因为幂函数在上单调递增， 所以，解得． 故选：． 【例6】已知幂函数的图象过点，下列说法正确的是　　 A． B．的定义域是 C．在上为减函数 D．为奇函数 【答案】 【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质． 【解答】解：设幂函数，由，解得， 由，选项措误； 的定义域是，选项错误； 在上为减函数，选项正确； 由定义域可知，函数为非奇非偶，选项错误． 故选：． 题型3 幂函数的图象 【例7】幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线　　 A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】 【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论． 【解答】解：在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”， 所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为， 在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为． 故选：． 【例8】若四个幂函数，，，在同一坐标系中的部分图象如图，则、、、的大小关系正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合函数的图象与函数的单调性，即可求解． 【解答】解：由图象可知，，，在上单调递增， 且比增长速度快，比增长速度慢， 则，故错误，正确； ，在上单调递减， 则，， 当时，越趋近于0， 故． 故选：． 【例9】已知幂函数的图象经过点，则的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性判断即可． 【解答】解：设，因为的图象经过点， 所以，即，解得，则， 因为，所以为偶函数，排除、， 因为的定义域为，排除． 因为在，内单调递增，结合偶函数可得在，内单调递减，故满足． 故选：． 题型4 利用幂函数的性质比较大小 【例10】三个数，，之间的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用幂函数和指数函数的单调性即可求解． 【解答】解：幂函数在上为增函数， ，即， ， ， 故选：． 【例11】已知幂函数f（x）＝（m∈N*）的图象经过点（3，）． （1）试求m的值并写出该函数的解析式； （2）若函数f（x）满足条件f（1+a）＞f（4﹣2a），试求实数a的取值范围． 【答案】（1）f（x）＝，（2）（1，2]． 【分析】（1）由题意利用函数的图象经过点（3，），求得m的值，可得f（x）的解析式； （2）由题意利用函数的单调性和定义域，求出a的范围． 【解答】解：（1）幂函数f（x）＝（m∈N*）的图象经过点（3，）， 可得＝＝，∴（m2+m）﹣1＝，m2+m＝2， 由此解得m＝﹣2（舍去），或m＝1， 故f（x）＝＝； （2）由（1）可得f（x）在[0，+∞）上单调递增， 故有 1+a＞4﹣2a≥0，求得1＜a≤2， 故实数a的取值范围为（1，2]． 【例12】若幂函数f（x）过点（4，2），则满足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是　[1，）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式， 再求不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的解集． 【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，其图象过点（4，2）， 则4α＝2，解得α＝； ∴f（x）＝＝， ∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）为 ＞， ∴， 解得1≤a＜； ∴实数a的取值范围是[1，）． 故答案为：[1，）． 变式练习： 1．已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（3）的值为（　　） A．9 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】设y＝f（x）＝xα，根据求出α，即可求出函数解析式，再代入计算可得． 【解答】解：设y＝f（x）＝xα，则，所以α＝2， 则f（x）＝x2，所以f（3）＝32＝9． 故选：A． 2．若幂函数在（0，+∞）上是减函数，则实数m的值是（　　） A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．0 【答案】B 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值． 【解答】解：∵幂函数在（0，+∞）上是减函数， ∴m2﹣2m﹣2＝1，且﹣m2+m+3＜0，求得m＝3， 故选：B． 3．已知幂函数y＝f（x）的图像过点，则下列关于f（x）说法正确的是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．在（0，+∞）单调递减 D．定义域为[0，+∞） 【答案】C 【分析】设幂函数的解析式为y＝f（x）＝xα，α∈R，根据图旬上的点坐标求出解析式，由此能求出结果． 【解答】解：设幂函数的解析式为y＝f（x）＝xα，α∈R， ∵幂函数y＝f（x）的图像过点， ∴，解得， ∴f（x）＝，定义域为（0，+∞），故D错误； ∵定义域不关于原点对称，∴y＝f（x）是非奇非偶函数，故AB错误； ∵﹣0，∴y＝f（x）在（0，+∞）单调递减，故C正确． 故选：C． 4．已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则a的取值范围是（　　） A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．（﹣2，1） 【答案】A 【分析】结合幂函数的定义及性质即可求解． 【解答】解：幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减， 所以a2+a﹣1＝1且a2﹣2a﹣3＜0， 解得，a＝1． 故选：A． 5．若函数f（x）＝（m2﹣6m+9）是幂函数且为奇函数，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．2或4 【答案】D 【分析】首先根据函数是幂函数，可知m2﹣6m+9＝1，再验证相应函数的奇偶性，即可求得实数m的值， 【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣6m+9）为幂函数， ∴m2﹣6m+9＝1， ∴m＝2或m＝4， 当m＝4时，f（x）＝x5是奇函数，满足题意， 当m＝2时，f（x）＝x﹣1是奇函数，满足题意； ∴m＝2或4， 故选：D． 6．若函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm为幂函数，则实数m＝（　　） A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．3 【答案】C 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论． 【解答】解：∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm为幂函数，∴m2﹣m﹣1＝1，求得m＝﹣1或2， 故选：C． （多选）7．下列关于幂函数y＝xa的性质，描述正确的有（　　） A．当α＝﹣1时，函数在其定义域上是减函数 B．当α＝0时，函数图象是一条直线 C．当α＝2时，函数是偶函数 D．当α＝3时，函数在其定义域上是增函数 【答案】CD 【分析】根据幂函数的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项． 【解答】解：对于A选项，y＝，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上递减，不能说在定义域上递减，故A选项错误． 对于B选项，y＝x0，x≠0，图象是：直线y＝1并且除掉点（0，1），故B选项错误． 对于C选项，y＝x2，定义域为R，是偶函数，所以C选项正确． 对于D选项，y＝x3，函数在其定义域上是增函数，所以D选项正确． 故选：CD． （多选）8．已知幂函数，m，n互质），下列关于f（x）的结论正确的是（　　） A．当m，n都是奇数时，幂函数f（x）是奇函数 B．当m是偶数，n是奇数时，幂函数f（x）是偶函数 C．当m是奇数，n是偶数时，幂函数f（x）是偶函数 D．当时，幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数 【答案】AB 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，分别判断各选项即可． 【解答】解：∵幂函数，m，n互质）， 故m，n都是奇数时，幂函数f（x）是奇函数，故A正确； 当m是偶数，n是奇数时，幂函数f（x）是偶函数，故B正确； 当m是奇数，n是偶数时，幂函数f（x）不一定是偶函数， 如y＝，它的定义域为[0，+∞），不是偶函数，故C错误． 当 时，幂函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，故D错误， 故选：AB． （多选）9．已知α∈{﹣1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的α的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【答案】BD 【分析】由题意利用幂函数的性质，得出结论． 【解答】解：∵α∈{﹣1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的α的值为1，3， 故选：BD． （多选）10．已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4），则下列命题正确的有（　　） A．函数是偶函数 B．函数是增函数 C．当x＞1时，f（x）＞1 D．当0＜x1＜x2时， 【答案】BCD 【分析】求出幂函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【解答】解：幂函数f（x）＝xα的图象经过点（16，4）， 所以16α＝4，解得α＝， 所以f（x）＝＝； 所以f（x）是非奇非偶的函数，是定义域[0，+∞）上的增函数； 当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1； 画出f（x）在[0，+∞）上的图象，如图所示： 由图象知，当0＜x1＜x2时，； 所以正确的选项是BCD． 故选：BCD． 11．幂函数f（x）＝x3m﹣5（m∈N）在（0，+∞）上是减函数，且f（﹣x）＝f（x），则m等于　1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求出m的值． 【解答】解：幂函数f（x）＝x3m﹣5在（0，+∞）上是减函数， 则3m﹣5＜0，解得m＜； 又m∈N，所以m＝0或m＝1； 又f（﹣x）＝f（x），所以f（x）为偶函数， 所以m＝1． 故答案为：1． 12．已知幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）xm在（0，+∞）上单调递增，则m＝　4　． 【答案】4． 【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m的值． 【解答】解：幂函数y＝（m2﹣3m﹣3）xm在（0，+∞）上单调递增， 所以， 解得m＝4． 故答案为：4． 13．已知幂函数①y＝，②y＝，③y＝x3，④y＝，其中图象关于y轴对称的是 　②④　.（填写全部正确的编号） 【答案】②④． 【分析】先求出函数的定义域，判定是否关于原点对称，再计算f（﹣x），即可判断出函数的奇偶性，从而判断出函数图象是否关于y轴对称． 【解答】解：①y＝＝，定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不是偶函数，即图象不关于y轴对称， ②y＝＝，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称，又f（﹣x）＝＝＝f（x），所以函数y＝为偶函数，图象关于y轴对称， ③y＝x3，定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x），所以函数y＝x3为奇函数，图象关于原点对称， ④y＝＝，定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）＝＝＝f（x），所以函数y＝为偶函数，图象关于y轴对称， 故答案为：②④． 14．若幂函数f（x）过点（4，2），则满足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围是　[1，）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式， 再求不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的解集． 【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，其图象过点（4，2）， 则4α＝2，解得α＝； ∴f（x）＝＝， ∴不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）为 ＞， ∴， 解得1≤a＜； ∴实数a的取值范围是[1，）． 故答案为：[1，）． 15．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm，且对于∀x1，x2∈（0，+∞）满足，则m＝　2或﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意，利用幂函数的定义和性质，得出结论． 【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm，且对于∀x1，x2∈（0，+∞）满足， ∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，或m＞1， 则m＝﹣1或m＝2， 故答案为：2或﹣1． 16．下列命题中， ①幂函数的图象不可能在第四象限； ②当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线； ③当α＞0时，幂函数y＝xα是增函数； ④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小． 其中正确的序号为　①④　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据幂函数的图象、单调性和定点对选项进行逐一验证即可． 【解答】解：由于在y＝xα（α∈R）中，只要x＞0，必有y＞0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故①正确； 当α＝0时，是直线y＝1但去掉（0，1）这一点，故②错误． 当α＞0时，幂函数y＝xα仅在第一象限是递增的，如y＝x2，故③错误． 当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小．故④正确． 故答案为：①④． 17．已知幂函数f（x）＝（﹣3m2﹣2m+2）x1+3m在（0，+∞）上为增函数． （1）求f（x）解析式； （2）若函数y＝f（x）﹣（2a+1）x+a2﹣1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值，可得函数的解析式． （2）由题意利用二次函数的图象的对称性，求得a的范围． 【解答】解：（1）∵幂函数解析式为f（x）＝（﹣3m2﹣2m+2）x1+3m， ∴﹣3m2﹣2m+2＝1，解得 m＝﹣1，或 m＝， 当 m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2＝，在（0，+∞）上为减函数，不合题意，舍去； 当m＝时，f（x）＝x2 在（0，+∞）上为增函数，符合题意， ∴f（x）＝x2． （2）∵函数y＝f（x）﹣（2a+1）x+a2﹣1在区间（2，3）上为单调函数， 函数图象的对称轴为x＝，∴≤2，或 ≥3． 解得 a≤，或 a≥， ∴实数a的取值范围为{a|a≤，或 a≥}． 18．已知幂函数f（x）＝（m∈N*）的图象经过点（3，）． （1）试求m的值并写出该函数的解析式； （2）若函数f（x）满足条件f（1+a）＞f（4﹣2a），试求实数a的取值范围． 【答案】（1）f（x）＝，（2）（1，2]． 【分析】（1）由题意利用函数的图象经过点（3，），求得m的值，可得f（x）的解析式； （2）由题意利用函数的单调性和定义域，求出a的范围． 【解答】解：（1）幂函数f（x）＝（m∈N*）的图象经过点（3，）， 可得＝＝，∴（m2+m）﹣1＝，m2+m＝2， 由此解得m＝﹣2（舍去），或m＝1， 故f（x）＝＝； （2）由（1）可得f（x）在[0，+∞）上单调递增， 故有 1+a＞4﹣2a≥0，求得1＜a≤2， 故实数a的取值范围为（1，2]． 19．已知幂函数f（x）的图象经过点． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝（x﹣2）•f（x），试判断函数g（x）在区间上的单调性，并求函数g（x）在区间上的值域． 【答案】（1）f（x）＝x﹣1＝；（2）[﹣3，﹣1]． 【分析】（1）由题意利用待定系数法求幂函数的解析式． （2）根据函数g（x）在区间上的单调性，求得函数g（x）在区间上的值域． 【解答】解：（1）设幂函数f（x）＝xα，α为常数，由它的图象经过点， 可得3α＝，α＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1＝． （2）设函数g（x）＝（x﹣2）•f（x）＝＝1﹣， 显然，函数g（x）在区间上的单调递增， 故当x＝时，函数g（x）在区间上的取得最小值为﹣3； 当x＝1时，函数g（x）在区间上的取得最大值为﹣1， 故函数g（x）在区间上的值域为[﹣3，﹣1]． 20．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）＝2x﹣k． （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值， （Ⅱ）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若A∪B⊆A，得到关于k的不等式组，解的即可． 【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2＝1， 解得m＝0或m＝2 当m＝2时，f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减，与题设矛盾，舍去 ∴m＝0． （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x2，当x∈[1，2]时，f（x），g（x）单调递增， ∴A＝[1，4]，B＝[2﹣k，4﹣k]， ∵A∪B⊆A， ∴ 解得，0≤k≤1 故实数K的取值范围为[0，1] 21．已知幂函数y＝x3m﹣9（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上函数值随着x的增大而减小． （1）求m的值； （2）若满足（a+1）2m＜（3﹣2a）2m，求实数a的取值范围． 【答案】（1）m＝1；（2）a的取值范围是（﹣∞，）∪（4，+∞）． 【分析】（1）由题意可得：3m﹣9＜0，且为偶数，m∈N*． （2）由偶函数与单调性可得：（a+1）2＜（3﹣2a）2，解不等式即可得出a的取值范围． 【解答】解：（1）由幂函数y＝x3m﹣9（m∈N*）的图象关于y轴对称， 且在（0，+∞）上函数值随x增大而减小， ∴3m﹣9＜0，且为偶数，m∈N*， 解得m＝1． （2）∵（a+1）2m＜（3﹣2a）2m， 即：（a+1）2＜（3﹣2a）2， 可得：3a2﹣14a+8＞0， ∴a＞4或a＜， 即a的取值范围是（﹣∞，）∪（4，+∞）． 22．已知幂函数f（x）＝（2m2﹣6m+5）xm+1为偶函数． （1）求f（x）的解析式； （2）若函数y＝f（x）﹣2（a﹣1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据幂函数的定义求出m的值，再验证是否满足条件即可； （2）求出函数y的解析式，根据函数是二次函数，在对称轴同侧是单调函数，由此求出a的取值范围． 【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知2m2﹣6m+5＝1， 即m2﹣3m+2＝0， 解得m＝1或m＝2； 当m＝1时，f（x）＝x2，符合题意； 当m＝2时，f（x）＝x3，为奇函数，不合题意，舍去； ∴f（x）＝x2；（6分） （2）由（1）得，y＝f（x）﹣2（a﹣1）x+1＝x2﹣2（a﹣1）x+1， 则函数的对称轴为x＝a﹣1， 由题意知函数在（2，3）上为单调函数， ∴对称轴a﹣1≤2或a﹣1≥3， 解得a≤3或a≥4．…（12分） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$