第10章 空间直线与平面 单元知识梳理+综合检测-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

第10章 空间直线与平面 单元综合检测 一、填空题 1．用数学符号语言表示“点A在直线外，直线在平面上” 2．①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②经过空间任意三点至少有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面． 其中正确说法的序号是 ． 3．四面体中，，，，则异面直线与的距离为 ． 4．若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ． 5．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对． 6．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．    7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ．    8．已知中，，，所在平面α外一点P到此三角形三个顶点的距离都是6，则点P到平面α的距离是 ． 9．设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，则与所成角的取值范围是 . 10．点是所在平面外一点，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则直线与平面所成角的大小为 . 11．在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 12．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是 ．    二、单选题 13．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 14．设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 15．空间三条射线PA，PB，PC满足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，则二面角B-PA-C的度数（    ） A．等于90°； B．等于60°； C．是小于120°的钝角； D．是大于120°小于135°的钝角 16．如图，在棱长为2的正方体中，点满足，，其中，在下列说法中正确的是（    ） ①存在，使得 ②存在，使得平面 ③当时，取最小值 ④当时，存在，使得 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 三、解答题 17．已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，，，求异面直线与所成角的大小. 18．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆 上一点，且，. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 19．如图，在三棱锥中，平面，，，､分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求平面与平面所成二面角的大小. 20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 21．在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点．    (1)若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由； (2)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 空间直线与平面 单元综合检测 一、填空题 1．用数学符号语言表示“点A在直线外，直线在平面上” 【答案】 【分析】直接利用符号表示即可. 【解析】用数学符号语言表示“点A在直线外，直线在平面上”可以表示为：. 故答案为：. 2．①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②经过空间任意三点至少有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面． 其中正确说法的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】由平面基本事实及其推论依次判断各个选项即可得到结果. 【解析】对于①，若两个平面相交，则所有交点均在同一条直线上，①错误； 对于②，若三点共线，则经过三点有无数个平面；若三点不共线，则经过三点有且仅有一个平面，②正确； 对于③，根据平面基本事实的推论知过两平行直线有且仅有一个平面，③正确. 故答案为：②③. 3．四面体中，，，，则异面直线与的距离为 ． 【答案】 【分析】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接，推导出，，并计算出的长，即可得解. 【解析】将四面体补成长方体，连接交于点，连接交于点，连接， 则、分别为、的中点， 由已知可得，可得， 因为且，故四边形为平行四边形，则且， 又因为、分别为、的中点，所以，且， 故四边形为平行四边形，故且， 平面，平面，，即， 同理可得，故异面直线与的距离为. 故答案为：. 4．若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 ． 【答案】 【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可. 【解析】因为， 所以直线，直线， 因为直线，直线， 所以平面，平面， 又平面， 所以. 故答案为：. 5．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对． 【答案】3 【分析】把展开图还原成正方体，观察几何体由异面直线的定义即可得到答案. 【解析】 如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内 不经过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有： AB 和 CD，AB 和 HG，EF 和 HC，共三对， 故答案为：3． 6．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 ．    【答案】 【分析】连接交于点，连接，根据线面平行的性质证明，即可得解. 【解析】连接交于点，连接， 因为四边形是平行四边形，所以为的中点， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以为的中点， 所以. 故答案为：. 7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 ．    【答案】 【分析】由定义作出二面角的平面角，然后解三角形即可. 【解析】    过作，垂足为，过作，垂足为，连接. 平面平面，平面平面，又，平面， 根据面面垂直的性质定理可得，平面，又平面，故， 又，，平面，故平面， 由平面，故，于是二面角的平面角为， 根据题目数据，在中，，， 则，则. 故答案为： 8．已知中，，，所在平面α外一点P到此三角形三个顶点的距离都是6，则点P到平面α的距离是 ． 【答案】 【分析】过点P作所在平面α的垂线，垂足为的外心，求出的外接圆的半径，再根据勾股定理求点P到平面α的距离. 【解析】记点在平面上的射影为，因为， 所以，即是的外心， 只需求出的外接圆的半径，记为， 在中，，，由余弦定理得， 再由正弦定理得，所以，又， 得,即点到平面的距离为. 故答案为：. 9．设、、为空间中三条不同的直线，若与所成角为，与所成角为，则与所成角的取值范围是 . 【答案】 【分析】不妨设、、相交于点，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得与所成角的最小值与最大值即可. 【解析】不妨设、、相交于点，如图，根据题意构造两个圆锥，    其中底面圆心为，轴所在直线为，小圆锥的母线所在直线为，轴截面 ；大圆锥的母线所在直线为，轴截面，且在一条直线上. 由题意，， 由图可知，当移动到，移动到时，可得与所成角的最小， 最小值为. 当移动到，移动到时，可得与所成角的最大， 最大值为. 所以与所成角的取值范围为. 故答案为： 10．点是所在平面外一点，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则直线与平面所成角的大小为 . 【答案】 【分析】首先确定点在平面上的射影为三角形的内心，再根据几何关系，转化为求线面角的余弦值，即可求解. 【解析】由题意可知，， 如图，平面，，，，连结，， 平面，所以，且，平面， 所以平面，平面，所以，同理， 由题意可知，点到三边的距离相等，则点到三边的距离相等， 点是的内心，即， 根据三角形面积公式可知，，得， 如图，，且， 为直线与平面的线面角，，则， 所以直线与平面所成角的大小为. 故答案为： 11．在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域． 【答案】/ 【分析】根据题意，依次分析的值，由此类推，归纳可得答案. 【解析】条直线把平面分成个区域，条直线把平面分成个区域，则有， 同理，条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 条直线把平面分成个区域，则有， 依次类推，第条直线与前条直线都相交， 则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分， 则增加了个平面，即． 故答案为：. 12．如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，P是底面上一点．若平面BEF，则AP与平面成角的正弦值的取值范围是 ．    【答案】 【分析】根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理，利用线面角的定义，结合锐角三角函数的定义，可得答案. 【解析】如图，取的中点，的中点M，连接AM，AN，MN，，，      由正方体，E，N分别为，的中点， 易知，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面BEF，平面BEF，所以平面BEF， 因为E，F分别为，的中点，由中位线性质可得，同理可知，所以， 又因为平面，平面，所以平面，又，平面AMN，所以平面平面， 因为P是底面上一点，且平面，所以点， 由分别为的中点，且，，则，，即， 由，则 在等腰中，底边上的高， 则AP的长度的取值范围为， 设与平面成角为，在正方体中，易知平面，且为垂足， 所以． 故答案为：. 【点睛】本题的解题关键在于面面平行的性质定理以及线面角定义的理解，利用正方体的几何性质，得以解题. 二、单选题 13．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】B 【分析】找出“两条直线没有公共点”的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【解析】“两条直线没有公共点”“两条直线平行或异面”， 所以，“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要非充分条件. 故选：B. 14．设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，若，，，则相交或平行，所以A错误； 对于B中，若，，由线面平行的性质可得，所以 B正确； 对于C中，若，，，当两两相交时，两两相交，所以C错误； 对于D中，若，，则或，所以D错误. 故选：B. 15．空间三条射线PA，PB，PC满足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，则二面角B-PA-C的度数（    ） A．等于90°； B．等于60°； C．是小于120°的钝角； D．是大于120°小于135°的钝角 【答案】C 【分析】做出二面角的平面角，利用余弦定理得到平面角的余弦值，从而得到答案. 【解析】过点B在平面APB内作BA⊥PA于点A，过点A在平面APC内作AC⊥PA，交PC于点C，连接BC，如下图： 则∠BAC就是二面角的平面角， 设PA=m，由∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°， 可得：，， 在△ABC内，由余弦定理得： 又，则 故选：C 16．如图，在棱长为2的正方体中，点满足，，其中，在下列说法中正确的是（    ） ①存在，使得 ②存在，使得平面 ③当时，取最小值 ④当时，存在，使得 A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据线面的位置关系可判断①；根据线面垂直的判定定理可判断②；利用和异面直线都垂直且相交的线段的长为异面直线间的最短距离的含义可判断③；利用球的半径和点到球心的距离的比较可判断④，即得答案. 【解析】因为平面，且平面， 所以不存在，，使得，故①错误； 记平面，在平面中， 过点M作直线，交直线于点N， 在正方体中,平面平面,故, 连接,则,而, 平面,故平面， 所以此时平面，故②正确； 当时，分别为，的中点，M点也为的中点， 则，且直线与不垂直，即与不垂直， 即MN不是线段和上两点连线的最小值，故③错误； 当时，N为的中点，， 如图，设的中点为O，连接，交于点，则为的中点， 设中点为，则， 因此以为直径的球与线段必有交点， 即存在，使得.故④正确, 故选：D. 【点睛】难点点睛：解决此类空间几何体中的存在性问题，属于较难问题，解答是要充分发挥空间想象能力，明确空间几何体中的点线面的位置关系，对于存在性的判断，可以找到特殊位置或特殊值，说明适合题意，如果不存在，要加以证明或说明. 三、解答题 17．已知长方体中，分别是和的中点. (1)画出直线与平面的公共点.（保留辅助线，无需说明理由） (2)若，，，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据点，线，面的位置关系，画出线面的公共点； （2）根据几何关系，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角. 【解析】（1）如图，，点是直线与平面的交点， 理由：平面，， 平面，， 所以点是直线与平面的交点； （2）连结， 因为分别是和的中点，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以 所以异面直线与所成角为和所成的角，即或其补角， 若，，，则，,， 中，, 则, 所以异面直线与所成角为. 18．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆 上一点，且，. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理找到线面角，进而在直角三角形中求解；(2)作垂线找到点到平面的距离，利用等面积法求解. 【解析】（1）平面平面 是底面的一条直径, 又平面平面 所以平面 是直线与平面所成角, 因为,所以 所以 所以直线与平面所成角的大小 （2） 过作,垂足为， 由(1)得平面平面 所以平面平面， 又因为平面平面, 平面,, 所以平面， 根据等面积法, 即到平面的距离等于. 19．如图，在三棱锥中，平面，，，､分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)求平面与平面所成二面角的大小. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，确定是平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. （2）平面的一个法向量，是平面的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【解析】（1）建立如图空间直角坐标系，可得点的坐标， 故，是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 故直线与平面所成角的大小为. （2）设是平面的法向量，,， 即， 不妨取，得到平面的一个法向量， ， 故平面与平面所成的二面角是和. 20．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面QAD是正三角形，侧面底面，M是QD的中点．    (1)求证：平面； (2)求侧面QBC与底面所成二面角的余弦值； (3)在棱QC上是否存在点N使平面平面AMC成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得面，再根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，证明平面，从而可得即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角，进而可得答案； （3）连接交于点，连接，易得，当面，证明此时平面平面，再根据相似比即可求出. 【解析】（1）因为侧面QAD是正三角形，M是QD的中点， 所以， 因为，面面，面面，面， 所以面， 又面，所以， 又平面， 所以平面； （2）取的中点，的中点，连接， 则且，， 故， 因为面面，面面，面， 所以面， 因为面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 则即为侧面QBC与底面所成二面角的平面角， 设，则，故， 所以， 即侧面QBC与底面所成二面角的余弦值为； （3）当面时，平面平面，证明如下： 如图，连接交于点，连接， 因为底面是正方形，所以， 由（2）得面， 因为面，所以， 因为面时，，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为，所以， 因为，所以， 所以在棱QC上是否存在点N，当时，平面平面AMC.    【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 21．在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点．    (1)若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由； (2)若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得，令PQ与BD和AN所成的角分别为和，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）取的中点，连接交于，利用线面垂直的判定定理证明平面即可．进而根据面面平行可得平面，即可确定点F的轨迹为三角形，结合余弦定理即可求解长度. （2）根据比例关系可得线线平行，即可由线线角的定义得到，结合线面垂直得线线垂直可得，利用消元法转化为三角函数，利用三角函数的性质进行求解即可． 【解析】（1） 在图（1）中，，四边形是正方形， 在图（2）中，，，，平面， 平面， 分别取的中点为,，连接, 则,平面,平面, 所以平面， 同理平面，由于平面， 故平面平面， 平面，因此点在平面上运动，故点F的轨迹为三角形， 由，，所以即为二面角A－BD－C的平面角，故， 由于， 因此， 故点F的轨迹长度为   （2） 在线段取点使得 由于平面，平面， ， ，， ， 易得，， 从而有，则 则   【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 空间直线与平面 单元综合讲义 一、四个基本事实及三个推论 1．平面 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． 2．“三个”推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 二、直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内 等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 三、直线与平面的位置关系 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四、平面与平面的位置关系 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五、直线与平面平行 1.直线与平面平行的定义：直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行. 2.判定定理与性质定理 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 (简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒a∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 六、平面与平面平行 1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β 性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 α∥β，a⊂α⇒a∥β 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 七、三种平行关系的转化 温馨提示： Ⅰ．判断或证明线面平行的常用方法 （1）利用线面平行的定义(无公共点). （2）利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)→线线垂直 ①空间直线平行关系的传递性法； ②三角形中位线法； ③平行四边形法； ④线段成比例法． ⑤线面平行的性质定理 （3） 利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β). （4）线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行). Ⅱ．证明面面平行的常用方法 1.面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)； 2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题常用)； 4.如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题常用)； 5.利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化进行证明． 八、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 九、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 十、三种垂直关系的转化 温馨提示： 证明线面垂直常用的方法 1.判定定理：线面垂直→线线垂直 2.垂直于平面的传递性 3.面面垂直的性质. 4.线面垂直的定义 十一、直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°. (2)范围：. 十二、二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (3)二面角的范围：[0，π]． 十三、 立体几何中三种角的对比；距离问题 Ⅰ、三种角对比 角的类型 范围 解题步骤 异面直线 所成角 0°～90° 1找：利用平移法找出异面直线所成角； ⑴ 固定一条直线，平移另一条直线， ⑵ 将两条直线都平移至一特殊位置。 2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行； 3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度。 直线与平面 所成角 0°～90° 1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理； 2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直； 3计算：通过解三角形，求出线面角的角度。 二面角的 平面角 0～π 1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角； 2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法； 3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度。 Ⅱ、空间中的距离 1.点到平面的距离 (1)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 (2)定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离 2.异面直线间的距离 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面线的公垂线在这两条异面直线间的线段长度叫做两条异面直线间的距离，任意两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. 3.直线与平面、平面与平面之间的距离 (1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，做这条直线到这个平面的距离. (2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$