项目8 相关分析与回归分析（课件）《统计学基础》（上海交通大学出版社）

相关分析与回归分析 1 01 相关关系的认知 目录 CONTENTS 02 一元线性回归分析 03 多元线性回归分析 2 相关关系的认知 01 3 1.相关关系的概念 无论是在自然界还是在社会经济领域，一种现象与另一种现象之间往往存在着依存关系，当我们用变量来反映这些现象的特征时，便表现为变量之间的依存关系。 1.函数关系 函数关系反映客观事物之间存在着严格的依存关系在这种关系中，对于某一变量的每一个数值，都有另一变量的确定的值与之对应，并且这种关系可以用一个数学表达式反映出来。 2.相关关系 相关关系反映的是客观事物之间的非严格、不确定的依存关系。 My First Template 2.相关关系的种类 1.按相关的程度分类 按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。 2.按相关的方向分类 按相关的方向可分为正相关和负相关。 3.按相关的形式分类可分为线性相关和非线性相关 按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。 4.按研究变量的多少分类 按研究变量的多少可分为单相关、复相关和偏相关。 变量之间的相关关系需要用相关分析方法来识别和判断。相关分析，就是借助于图形和若干分析指标(如相关系数)对变量之间依存关系的密切程度进行测定的过程。 My First Template 3.相关分析 相关分析是根据实际观察的数据资料，在具有相关关系的变量之间，对现象之间依存关系的表现形式和密切程度的研究。 1.散点图 用坐标的水平轴代表变量x，纵轴代表因变量y，每组数据(xi，yi)可以在坐标系中用一个点表示，n组数据在坐标系中形成的n个点称为散点，由坐标及其散点形成的二维数据图称为散点图。 2.相关系数 相关系数是度量两个变量间线性关系密切程度的数量指标。 相关系数在相关关系中具有很重要的作用，在统计研究的许多领域都得到广泛应用。 My First Template 一元线性回归分析 02 7 通过相关分析可以说明变量之间相关关系的方向和程度，但是却不能说明变量之间具体的数量因果关系。当自变量给出一个数值时，因变量可能取值是多少，这是相关分析不能解决的，需要通过回归分析的方法实现。 回归分析，就是建立一个数学方程来反映变量之间具体的相互依存关系，并最终通过给定的自变量数值来估计或预测因变量可能的数值，该数学方程称为回归模型。 “回归”一词源于19世纪英国生物学家高尔登对人体遗传学的研究，他发现子女有回归或回复到上一代原有特性的倾向。高尔登的学生——统计学家皮尔生把这一概念和数理统计方法结合，最终形成了回归分析的理论体系。 1.回归分析的概念 My First Template 在回归分析中，如果变量之间的回归模型是直线方程，则这类回归分析称为线性回归分析(直线回归)，该直线方程称为线性回归方程。如果直线方程中只有一个自变量和一个因变量，称之为一元线性回归分析；若存在两个或两个以上的自变量和一个因变量，称之为多元线性回归分析。 设因变量为Y，自变量为X，为进一步探讨变量Y与X之间的统计规律性，用数学模型描述为 Y＝β0＋β1X＋ε 公式将变量Y与X之间的关系用两个部分描述。一部分是由于X的变化引起Y线性变化的部分，即β0＋β1 X；另一部分是由其他一切随机因素引起的，记为ε。公式称为变量Y对X的总体一元线性回归模型。 2.一元线性回归 My First Template 为实际数据配合一条回归直线来表明两个现象之间数量关系的统计方法有很多。从数学上看，利用普通最小二乘估计配合的直线是最合理的直线回归方程表达式。最小二乘法，又称最小平方法，是通过要求各散点到回归直线的距离平方和最小来求得回归直线，则： 3.参数β0，β1的最小二乘估计 My First Template 1.一元线性回归模型拟合优度检验 回归方程的拟合优度检验是检验样本观测点与回归直线的接近程度。 如果各观测点聚集在回归直线附近，则说明回归直线对观测值的拟合程度好，从而评价回归方程对样本数据的代表性高，用回归方程对实际问题进行分析和预测的效果好。判断回归模型拟合程度的好坏，最常用的指标是可决系数R2，又称判定系数，它是建立在总离差平方和分解的基础之上的。 （1）离差平方和的分解。 （2）判定系数。 4.一元回归方程的评价 My First Template 2.一元线性回归方程的显著性检验 样本回归方程反映了在观察数据范围内变量之间的线性依存关系，统计研究的目的在于通过样本来推断总体，但由于抽样的随机性，不同的样本所得结果各有不同，所以由样本变量反映的关系与总体之间必然有差异。 3.估计标准误差 估计标准误差是从另一个角度说明回归直线拟合程度的度量值，对于给定的xi ；根据回归模型就可以求出yi 的预测值。 4.区间估计 建立回归模型的目的就是为了能够用它进行预测，经过检验的回归方程可以用作区间估计，所谓区间估计是指对于给定的x值，求出y的平均值的置信区间或y的某个各别值的预测区间。 4.一元回归方程的评价 My First Template 多元线性回归分析 03 13 多元线性回归分析是研究一个因变量与多个自变量之间线性相关关系的统计分析方法。事实上，大量社会经济现象总是多个因素作用的结果。多元线性回归考虑到多个自变量对因变量的影响，能够更真实地反映现象之间的相互关系，因此在实践中应用更广。 与一元线性回归模型相同，我们也必须假设多元线性回归模型中的误差项必须满足正态性、无偏性、同方差性和独立性的条件。 1.多元线性回归模型 My First Template 多元线性回归模型的参数βi (i =0，1，2，…，m)及σ2在一般情况下都是未知数，必须根据样本数据( yj，x1 j，x2 j，…，xm j )来估计。回归参数βi (i =0，1，2，…，m)的估计方法还是“最小二乘法”。根据样本数据(yj，x1j，x2j，…，xmj )来估计βi (i =0，1，2，…，m)使得残差平方和取最小的值。即： 2.多元线性回归模型的参数估计 My First Template 与一元线性回归模型相同，我们在得到多元线性回归模型以后也需要对模型中所包含的自变量是否确实与因变量之间存在线性相关关系，以及回归模型的拟合效果如何进行分析检验。 1.拟合优度检验 与一元线性回归时一样，我们也可以定义多元线性回归的总离差平方和为SST，并把它分解为SSR和SSE两个部分即： 3.多元线性回归模型的评价 My First Template 2.多元线性回归模型的显著性检验 多元线性回归模型的显著性检验包括两个方面的内容：一是对整个回归方程的显著性检验(F检验)；二是对各回归系数的显著性检验(t检验)。在一元线性回归方程的检验时，这两个检验是等价的，但在多元线性回归模型的检验时两者却不同。 （1）整个回归模型的显著性检验(F检验)。 （2）回归系数的显著性检验(t检验)。 3.多元线性回归模型的评价 My First Template 谢谢观看 Thank you to listen to criticism guidance 18 $$