8.1相关关系的认知（讲义）《统计学基础》（上海交通大学出版社）

讲稿纸 2019---2020学年 第 一 学期 第 1 周 第5页 项目八 相关分析与回归分析 任务一 相关关系的认知 一、相关关系的概念 无论是在自然界还是在社会经济领域，一种现象与另一种现象之间往往存在着依存关系，当我们用变量来反映这些现象的特征时，便表现为变量之间的依存关系。如某种商品的销售额y与销售量x之间的关系、身高y与体重x之间的关系以及粮食亩产量y与施肥量x1、降雨量x2、温度x3之间的关系等。统计学的主要研究对象是随机变量，在研究多个变量的时候，至少有一个变量是随机变量，因此我们对变量之间关系的分析是随机变量之间的关系或随机变量与确定变量之间的关系分析。 人们通过实践，发现变量之间的依存关系可以分为两种。 1.函数关系 函数关系反映客观事物之间存在着严格的依存关系在这种关系中，对于某一变量的每一个数值，都有另一变量的确定的值与之对应，并且这种关系可以用一个数学表达式反映出来。 在经济现象中也存在这种函数关系，如在税率一定的条件下，销售税金=销售收入×税率，产品的总价值=单位产品价格×产品总产量，等等。 2.相关关系 相关关系反映的是客观事物之间的非严格、不确定的依存关系。 这种相关关系的特征是①客观事物之间在数量上确实存在着一定的内在联系。表现为一个变量发生数量上的变化会影响另一个变量也相应地发生数量上的变化。例如，广告费的增加会对销售费用产生一定的影响；②客观事物之间的数量依存关系不是确定的，具有一定的随机性。表现为给定自变量一个数值，因变量会有若干个数值和它对应，并且因变量总是遵循一定规律围绕这些数值的平均数上下波动。其原因是影响因变量的因素不止一个。例如，影响工业总产值的因素除了职工人数外，还有固定资产原值、流动资金、生产技术水平和能耗等因素，以至于职工人数相同的企业可以有不同的工业总产值。变量间的这种不严格的依存关系就构成了相关分析与回归分析的对象。 统计在研究变量的相关关系时，应当首先根据有关的科学理论，通过观察和实验之后才能建立这种联系，并且还要通过理论与实践的检验，只有这样，才能得出科学的有意义的结论，函数关系和相关关系是两种不同类型的关系，但是它们之间并不存在严格的界限，由于在观察或实验中出现误差，函数关系有时也通过相关关系反映出来，而当对现象之间的内在联系和规律性了解得更加清楚的时候，相关关系又可能转化为函数关系。 二、相关关系的种类 1.按相关的程度分类 按相关的程度可分为完全相关、不完全相关和不相关。 当一个变量的变化完全由另一个变量所决定时，称变量间的这种关系为完全相关关系，这种严格的依存关系实际上就是函数关系。 当两个变量的变化相互独立、互不影响时，即自变量变动，因变量完全不随之做相应的变动，称这两个变量不相关。实际上，这里的不相关就是(概率中的)独立，即变量间没有任何关系。 当变量之间存在不严格的依存关系时，称为不完全相关。不完全相关关系是现实当中相关关系的主要表现形式，也是相关分析的主要研究对象。 2.按相关的方向分类 按相关的方向可分为正相关和负相关。 当一个变量随着另一个变量的增加(减少)而增加(减少)，即两者同向变化时，称为正相关。 例如，家庭收入与家庭支出之间的关系，一般随着家庭收入的增加，家庭支出也会随之增加当一个变量随着另一个变量的增加(减少)而减少(增加)，即两者反向变化时，称为负相关。再比如，产品产量与单位成本之间的关系，单位成本会随着产量的增加而减少。 3.按相关的形式分类可分为线性相关和非线性相关 按相关的形式可分为线性相关和非线性相关。 当自变量发生变动，因变量随之发生大致均等的变动，两者之间的关系近似地表现为一条直线，称为线性相关。 当自变量发生变动，因变量随之发生不均等的变动，两者的关系近似地表现为各种不同的曲线形式，称为非线性相关。 4.按研究变量的多少分类 按研究变量的多少可分为单相关、复相关和偏相关。 两个变量之间的相关关系称为单相关，即只有一个自变量和一个因变量。三个或三个以上变量之间的相关关系称为复相关，即一个因变量与两个或两个以上自变量之间的相关关系，研究多个变量之间的相关关系时，假定其他变量不变，只研究其中两个变量的相关关系，称为偏相关。 变量之间的相关关系需要用相关分析方法来识别和判断。相关分析，就是借助于图形和若干分析指标(如相关系数)对变量之间依存关系的密切程度进行测定的过程。 三、相关分析 相关分析是根据实际观察的数据资料，在具有相关关系的变量之间，对现象之间依存关系的表现形式和密切程度的研究。 可以用两种方法来表现变量间的关系：一种方法是通过比较直观的散点图来表现；另一种方法是通过相关系数来反映。通过图形和数值两种方式，能够有效地揭示变量之间关系的强弱程度。 1.散点图 用坐标的水平轴代表变量x，纵轴代表因变量y，每组数据(xi，yi)可以在坐标系中用一个点表示，n组数据在坐标系中形成的n个点称为散点，由坐标及其散点形成的二维数据图称为散点图。 2.相关系数 相关系数是度量两个变量间线性关系密切程度的数量指标。 相关系数在相关关系中具有很重要的作用，在统计研究的许多领域都得到广泛应用。 按研究对象范围的不同，相关系数可分为总体相关系数和样本相关系数两种。总体相关系数通常以ρ表示；但是一般情况下，我们是从总体中抽取部分单位来计算的，这样得到的相关系数就叫作样本相关系数，通常以r表示。 学科网（北京）股份有限公司 $$