7.3抽样估计（讲义）《统计学基础》（上海交通大学出版社）

讲稿纸 2019---2020学年 第 一 学期 第 1 周 第5页 任务三 抽样估计 一、抽样的极限误差 由于未知的全及指标是个确定的量，而抽样指标会随各个可能样本的不同而变动，它是围绕着全及指标上下随机出现的变量。它与全及指标可能产生正离差，也可能产生负离差，这样，抽样指标与全及指标之间就有个误差范围的问题。抽样误差范围就是指变动的抽样指标与确定的全及指标之间离差的可能范围。它是根据概率理论，以一定的可靠程度保证抽样误差不超过某一给定的范围。 统计上把这个给定的抽样误差范围叫做抽样极限误差，也称置信区间。 设与Δp分别表示抽样平均数与抽样成数的抽样极限误差，则有 将上面等式经过变换，可以得到下列不等式 以上不等式表示，抽样平均数 是以全及平均数为中心，在 之间变动；抽样成数P是以全及成数P为中心，在P±ΔP之间变动。抽样误差范围是以 或P为中心的两个Δ的距离，这是抽样误差范围的原意。但是由于全及指标是个未知的数值，而抽样指标通过实测是可以求得的。 二、可信程度 抽样平均误差μ是表明抽样估计的准确度。抽样误差范围即抽样极限误差Δ是表明抽样估计准确程度的范围。在给定的准确程度范围内的抽样估计，还要研究其估计的可靠程度，即可信程度。 例如，大学生的平均体重58千克，抽样误差1千克时，大学生的平均体重在57千克到59千克之间 ，判断的可靠程度为0.682 7。如果将抽样误差扩大1倍，即2千克，也就是说，推断全体大学生平均体重在56～60千克的范围之内 ，判断的可靠程度为0.9545。如果抽样误差扩大到1千克的3倍，那么大学生的平均体重在55～61千克的范围之内 ，可靠程度为0.997 3，可信程度接近100%。 上例说明，抽样误差范围Δ与抽样平均误差μ的关系，即：Δ是用一定倍数的μ表示的抽样指标与全及指标之间的绝对离差。这里的倍数通常用t来表示。t称概率度，它是指以抽样平均误差μ为尺度来衡量的相对误差范围，在数理统计中常称为置信度。用公式表示为 Δp = | 1－P | =tμp 这个公式的意义在于，在一定μ的条件下，当概率度t越大，则抽样误差范围越大，可能样本落在误差范围内的概率越大，从而抽样估计的可信程度也就越高；反之，当t越小，则Δ越小，可能样本落在误差范围内的概率越小，从而抽样估计的可信程度也就越低。 怎样求得样本指标落在定误差范围内的概率和确定抽样估计的可靠程度呢?数理统计证明，概率度和概率之间保持一定的函数关系，即概率是概率度的函数。用P表示概率以说明抽样估计的可靠程度，其函数关系可表示为 P=F( t ) 在正态分布的情况下，从总体中随机抽取个样本加以观察，则该样本抽样指标落在某一范围内的概率，是用占正态曲线面积的大小表示的。即： 正态分布曲线与横轴围成的面积等于1。用正态分布曲线说明抽样指标出现的概率，按上述积分公式计算，就是当以全及平均数为中心加减一个平均误差传为范围时所包括的面积为68.27%，表明落在此范围内的各个抽样指标占总体所有可能样本抽样指标的68.27%，或者说，从总体中随机抽取个样本的抽样指标落在这个范围内的概率为68.27%。而当以为范围时所包括的曲线面积为95.45%，表明落在此范围内的各个抽样指标占总体所有可能样本抽样指标的95.45%，或者说，从总体中任取一个样本的抽样指标落在这个范围内的概率为95.45%，等等。由此可见，随着概率度t的不断增大，概率P的数值也随着增大以致逐渐接近于1，使抽样推断达到完全可靠的程度。 应用正态分布曲线，把概率度t和抽样误差范围△联系起来，便可得到抽样推断全及指标在一定范围内的概率保证程度。 【情景7-5】顺驰公司为了了解职工的奖金情况，从1 600名职员中按纯随机不重复抽样抽取100名进行调查，得到如表7-2所示资料。现要求职员平均月奖金的抽样误差不超过46.8元，月奖金不足1 000元的职员所占比重的抽样误差不超过8.50%，试对全部职员的平均月奖金不足1 000元的职员所占比重进行区间估计。 （1）全部职员平均月奖金的估计。 样本平均数为 样本方差为 抽样平均误差为 全部职员的平均月奖金的估计区间为 上限为 1 140＋46.8=1 186.8 (元） 下限为 1 140－46.8=1 093.2 (元） 即： 1 093.21 186.8 概率度为 t = =46.8÷24.03=1.95 查《正态分布概率表》为 F( t )= 94.88% 推断的结论是，根据要求职员平均月奖金的抽样误差不超过46.8元，估计全部职员的平均月奖金在1 093.2元至1 186.8元之间，该估计的概率保证程度为94.88%。 （2）月奖金不足1 000元的职员所占比重估计。 样本成数为 p=(10＋22)÷100=32% 成数抽样平均误差为 全部职员中月奖金不足1 000元的职工所占比重的区间估计为 上限为 p＋Δp=32%＋8.50%=40.50% 下限为 p－Δp=32%－8.50%=23.50% 即为 23.50%≦P≦40.50% 概率度为 查看《正态分布概率表》得 F( t )=93.99% 推断的结论是，根据要求月奖金不足1 000元的职员所占比重的抽样误差不超过8.50，估计全部职员中月奖金不足1 000元的职员所占比重在23.50%～40.50%之间，该估计的概率保证程度93.99%。 学科网（北京）股份有限公司 $$