7.1抽样推断概述（讲义）《统计学基础》（上海交通大学出版社）

讲稿纸 2019---2020学年 第 一 学期 第 1 周 第5页 项目七 抽样推断 任务一 抽样推断概述 一、抽样推断的概念 1. 抽样推断的概念 抽样推断又称抽样调查，是按照随机原则，从研究对象的全部单位中抽取一部分单位进行调查，并用调查所得到的数据资料推断总体数量特征的一种非全面调查方式。 抽样推断的目的不是为了了解样本本身的数量特征，而是根据样本的信息去研究总体的特征。它包括两个有联系又具有一定差别的方面，即估计和检验。 2. 抽样推断的应用 抽样推断是一种科学、灵活，实用的调查推断方法。在社会经济各个领域的应用愈来愈广泛。 （1）抽样推断能完成其他调查方式不能完成的调查任务。如果需要掌握总体的全面资料，但在实际中又不可能或不必要进行全面调查，则可采用抽样法来推断总体的全面资料。 （2）利用抽样推断结果对已取得的全面调查资料进行检验和修正。抽样推断的结果与社会现象客观实际数值之间并不是完全符合的，会产生一定的差异，这种差异被称为误差。统计误差有两种：一是计算性误差， 是在调查汇总过程中发生的误差；二是代表性误差，是在抽样推断中产生，用样本特征估计总体特征时产生的。全面调查是获取大量的全面的统计资料的一种重要形式， 但因其调查范围广、汇总层次多、调查人员多，很容易产生登记性或计算性误差，使统计资料的准确性受到影响。而抽样推断的范围小，工作量小。参与人员少且经过严格培训，较少发生登记性误差，故可据以对全面调查的结果进行检验和修正。像我国历次人口普查，都同时组织人口抽样复查，根据复查结果计算差错率，据以检查和修正普查数字。 （3）利用抽样推断原理和结果进行假设检验，以对事物做出正确的判断认识。在错综复杂的社会经济现象中，调查人员都希望能对现象有正确的认识，了解它的发展规律。但在对事物的认识过程中，有时并没有达到希望的目的，这时可考虑利用抽样推断原理和结果进行假设检验。例如，某公司进口一批大米，规格为每袋大米100kg，标准差为0. 5kg。随机抽取100袋大米调查的结果表明，每袋大米的平均重量为98kg，这是否意味着该批大米的重量不足而应拒收，根据抽检结果及有关数据，运用抽样原理进行假设检验，根据其显著性差异程度，就可做出判断。 （4）利用抽样推断方法对工业生产过程进行质量控制。在成批或大量连续生产的过程中，可以运用抽样推断法检验生产过程是否正常，及时提供信息，进行质量控制，避免成批出现不合格产品。 3. 抽样推断的特点 （1）按随机原则抽取调查单位。抽样推断必须遵循随机原则抽取调查单位，这是它与其他非全面调查方式的主要区别之一。所谓抽样的随机原则，是指在抽取调查单位时完全排除调查者的主观判断，各个总体单位都有同等的被抽中或不被抽中的机会，故也称同等可能性原则。只有按随机原则抽样，才能保证每个单位有同等的中选机会，才能使抽选出来的部分单位所构成的样本总体的内部结构类似于研究对象总体的内部结构分布特征，从而使被抽中的单位对总体具有充分的代表性，以保证推算结果的精确度和可靠性。也只有遵循随机原则，才能用定量的办法计算抽样误差，才能在根据抽样指标去推断总体指标的同时，估计出这种推断的把握程度。 （2）用抽样指标推断总体的数量特征。根据对部分单位调查所得的资料，整理计算抽样指标，再据此推算总体的指标数值，这是抽样推断既区别于其他非全面调查，也区别于全面调查的一个重要特点。其他非全面调查如重点调查、典型调查等，一般不具备推断的条件，所以不去推算总体的数量特征。虽然抽样推断与全面调查的目的都是要掌握总体的数量特征，但比较起来，抽样推断能够节约人力、费用和时间，且比较灵活。 （3）可以计算和控制抽样误差。抽样推断是根据对部分单位调查所取得的资料来推断总体指表数值的，推断结果不可避免地会存在着误差。对于抽样误差，抽样法既可以在调查推断之前事先估计出来，也可以根据调查目的和任务的要求，采取一定的组织措施加以控制，使推断的结果达到一定的准确程度，以保证推断的准确性和可靠性。 二、抽样推断的基本概念 1.总体和样本 （1）统计总体。统计总体，也称全及总体或母体，简称为总体，是指所要了解认识的对象的全体。如前所述，总体是具有某种共同性质的众多单位的集合。全及总体的单位数通常用N来表示。 （2）样本总体。样本总体，也叫子样，简称样本。它是从全及总体中随机抽取出来，代表全及总体的那部分单位的集合，样本的总体单位数称为样本容量，通常用n来表示。与全及总体的单位数N相比，n则是很小的数。 一个全及总体中有很多样本配合，也叫可能样本。可能样本的数目多少，既与样本容量有关，又与抽样的方式、方法有关，通常用M表示。可见样本总体是随机的。 2.总体指标 总体指标，也称参数或全及指标，是反映全及总体数量特征的综合指标。参数主要包括以下指标： （1）总体平均数，用公式表示为 （2）总体成数，用P表示； （3）总体数量标志的标准差和方差，分别用σ和σ2表示； （4）总体是非标志的标准差和方差。总体是非数量标志的标准差或方差，分别用σp和σp2表示。 在抽样推断中，上述指标是唯一确定的不变量，是需要根据抽样指标进行推断估计的未知数值，其真实值是不能直接计算的。 3.抽样指标 抽样指标，也称统计量或样本指标，是反映样本总体数量特征的综合指标。统计量是用来推断总体参数值的主要资料依据。由于一个全及总体有很多可能样本，而抽到不同的样本就会得到不同的样本指标，所以，样本指标是样本这个随机“变量”的函数，其本身也是随机变量。与总体指标相对应，常用的统计量主要有 （1）样本平均数（ ）。样本平均数是样本总体各单位标志值的平均数，用 表示。其计算方法采用算术平均法，即： （2）样本成数。样本成数是指抽样总体中具有某种标志表现的单位数（n1）占样本总体单位总数（n）的比重，用p表示，即： （3）样本数量标志的标准差（sx）和方差（sx2）。 根据未分组资料计算公式为 根据分组资料计算公式为 （4）样本是非标志的标准差（Sp）和方差（Sp2）。其计算公式为 二、抽样方法和样本可能数目 1.抽样方法 （1）重置抽样。重置抽样，也称回置抽样。其抽样过程为从总体N个单位中，随机抽取一个容量为n的样本，每次从总体中抽取一个，将它看作一次试验，连续进行n次试验构成一个样本。每次抽出一个单位把结果登记下来又放回，重新参加下一次的抽选，因此重置抽样的样本是由n次相互独立的连续试验所组成的。每次试验是在完全相同的条件下进行的，每个单位中选或不中选的机会完全一样。 【情景7-1】总体A、B、C、D四个单位，用重置抽样的方法从中抽2个单位构成一个样本。全部可能抽取的样本共有4×4=16个，分别是 AA AB AC AD BA BB BC BD CA CB CC CD DA DB DC DD 一般来说，从总体 N个单位中。随机重复抽取n个单位构成一个样本，则共可抽取Nn样本。 （2）不重置抽样。不重置抽样，也称不回置抽样。该种抽样过程为从总体N个单位中要抽取一个量为n的样本，每次从总体中抽取一个单位，连续进行n次抽选，构成一个样本。但每次抽选一个单位就不再放回。不重置抽样的样本是由n次连续抽选的结果组成，实质上等于一次同时从总体中抽n个单位组成一个样本。连续n次抽选的结果不是相互独立的，第一次抽选的结果影响下一次抽样，每抽一次，总体的单位数就少一个。因此，每个单位的中选或下次中选机会不同。 【情景7-2】总体A、B、C、D四个单位，用不重置抽样的方法从中抽2个单位构成一个样本。全部可能抽取的样本共有4×3=12个，分别是 AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC 一般来说，从总体 N个单位中。随机重复抽取n个单位构成一个样本，其数目为 样本数目=N (N－1)(N－2)…(N－n＋1）。 （3）根据对样本的要求不同，抽祥方法又有考虑顺序抽样和不考虑顺序抽样两种。考虑顺序的抽样，即从总体N个单位中抽取n个单位构成样本，不但要考虑样车各单位的不同性质，而且还考虑不同性质各单位的中选顺序。相同构成成分的单位，由于顺序不同，也作为不同样本。 不考虑顺序的抽样，即从总体N个单位抽取n个单位构成祥本，只考虑样本各单位的组成成分如何，而不问单位的抽选顺序。如果样本的成分相间，不论顺序有多大不同，都作为一种样本。  2.样本的可能数目 样本的可能数目既和每个样本的容量有关，也和抽样的方法有关，两者是不同的概念，不能混为一谈。当样本容量为既定时，则样本可能数目便决定于抽样的方法。以上两种抽样方法还存在交叉的情况，因而有考虑顺序的不重置抽样、考虑顺序的可重置抽样、不考虑顺序的不重置抽样和不考虑顺序的可重置抽样等。 （1）考虑顺序的不重复抽样数目。考虑顺序的不重复抽样数目即通常所说的不重复排列数，一般地说，从总体N个不同单位征次抽取n个不重复的排列，组成样本的可能数目记作，其计算公式为 =N(N－1)(N－2)…（N－n＋1）=N！/(N－n）！ （2）考虑顺序的重复抽样数目。考虑顺序的重复抽样数目即通常所说的可重复排列数。一般地说，从总体N个不同单位每次抽取n个允许重复的排列，组成样本的可能数目记作，其计算公式为 （3）不考虑顺序的不重复抽样数目。不考虑顺序的不重复抽样数目即通常所说的不重复组合数。一般地说，从总体N个不同单位每次抽取n个不重复的组合，组成样本的可能数目记作，由下列公式计算： =N(N－1)(N－2)…（N－n＋1）/n！=N！/［n！(N－n）！］ （4）不考虑顺序的重复抽样数目。不考虑顺序的重复抽样数目即通常所说的可重复组合数。一般地说，从N个不同单位抽取n个的允许重复的组合记作，它等于N＋n－1个不同单位每次抽取n个的不重复组合， 其计算公式为 应用以上公式，首先应该注意分析样本的要求，采用恰当的抽样方法，针对提出的问题确定样本的数目，有时还需要多种方法结合起来应用。 学科网（北京）股份有限公司 $$