4.4标志变异指标（讲义）《统计学基础》（上海交通大学出版社）

讲稿纸 2019---2020学年 第 一 学期 第 1 周 第5页 任务四 标志变异指标 一、标志变异指标的概念和作用 1.标志变异指标的概念 标志变异指标是反映总体各单位标志值差异程度的综合指标，它表明总体各单位标志值的离散程度和离中趋势，又称标志变动度。 标志变异指标是反映总体各单位标志值差异程度的综合指标，它反映分配数列中各标志值的变动范围或离差程度，因此，标志变异指标也称标志变动度指标。 平均指标只能综合反映某一数量标志的一般水平，而不能反映它们之间的离散性、差异性，标志变异指标则能综合反映总体的差异性。如果平均指标用以说明分配数列中变量的集中趋势，则标志变异指标能说明变量的离中趋势。统计分析中应将两者结合应用。 2.标志变异指标的作用 变异指标的主要作用体现在三个方面。 （1）变异指标是衡量均值代表性高低的尺度。变异指标越大，则均值代表性就越低；反之，变异指标越小，则均值代表性就越高。 （2）变异指标可以反映社会经济活动过程的均衡性、节奏性、稳定性。变异指标愈大，则表明社会经济活动过程中的均衡性、节奏性、稳定性愈差；反之，变异指标愈小，则表明社会经济活动过程中的均衡性、节奏性、稳定性愈好。例如，在检查生产计划执行情况时，要用变异指标分析计划执行过程中的均衡性、节奏性，是否存在前松后紧或时紧时松现象。又如，进行产品质量检查时，如果变异指标较大，说明产品质量稳定性较差；反之，如果变异指标较小，说明产品质量稳定性较好。 （3）变异指标可以揭示数据分布的离中趋势。一般而言，变异指标数值越大，说明总体各变量值平均来说离中心点越远；反之，变异指标数值越小，说明总体各变量值平均来说离中心点越近。由此，可以更好地认识数据的分布特征及变动规律。 二、标志变异指标的种类与计算 1.全距 （1）全距的概念。全距也称为极差，是变量分布中最大值与最小值之差，说明标志值变动的最大范围。它是描述变量离散状况最简单的测量值，用公式可表示为 全距=最大标志值－最小标志值 （2）全距的作用及局限性。 ①计算方法简便，意义明确，能比较准确地反映总体中两极的差异，据以衡量平均指标的代表性。 ②全距常用于检查产品质量的稳定性和进行质量控制。因为在正常生产条件下，产品质量比较稳定，全距在一定范围内波动。若全距超过给定的范围，就说明有不正常情况产生。 ③全距只是两端标志值的差距，无法反映众多中间数值的差异情况，且全距易受极端值影响。 【情景4-21】有甲乙两个学习小组，每组6个人，每人的英语成绩如表4-10所示（单位：分）。 通过计算甲乙两组的平均成绩都是80分，甲组的全距=90－65=25(分)，乙组的全距=86－71=15(分)，可见甲组英语成绩的变动范围比乙组大，即甲组的标志变动度大于乙组，平均数代表性差。 全距虽然计算简便，单他的大小取决于两个端点的大小，不能全面反映各标志值的变异情况，可以与其他指标配合使用。 2.平均差 （1）平均差的概念。全距的大小仅取决于数据中的两个极值，只有能够测度全部观察值对中心位置的平均偏差，才能对资料的离散程度做出最综合性的说明。要测度全部数据偏离集中趋势的程度，很自然的一个设想就是计算各数值偏离平均数的平均距离，计算平均差的目的是测算各单位标志值与其算术平均数离差的大小。但因离差有正、有负，还可能为零，所以为了避免加总过程中的正负抵消，计算平均差时要取离差的绝对值。 在两个总体的平均水平相同的情况下，平均差越小，平均数的代表性越大；平均差越大，平均数的代表性越小。 平均差是总体各单位标志值与其算术平均数离差的绝对值的算术平均数，通常以AD表示。 （2）平均差的计算。平均差是指总体中各单位标志值与平均数离差绝对值的算术平均数。在统计中，把总体标志值的每一个变量与平均数之差叫作离差。 计算平均差的公式有两种。 ①由未分组的变量资料直接计算，采用简单算术平均法计算平均差。其计算公式为 其中n代表总体单位数，即离差项数。 【情景4-22】承【情景4-21】，计算其平均差。 甲组平均差为 乙组平均差为 通过计算结果比较，甲组学生的英语成绩的差异程度比乙组大，说明乙组的平均成绩的代表性大于甲组。 ②由已分组的变量数列计算，采用加权算术平均数的方法， 计算平均差。其计算公式为 【情景4-23】根据某村居民月收入资料，计算该村居民收入的平均差，如表4-11所示。 计算结果说明，该村每个居民的月收入与总体平均收入平均相差98.22元。 平均差是依据总体各单位标志值计算的，所以它可以表明所有离差的一般水平。而它的不足之处在于采用了绝对值，因此难以对其作进一步的数学处理，在统计实践中很少应用。 平均差不同于全距，它是根据所有变量值计算的，因此它能够综合反映总体中各单位标志值的离散程度。平均差愈大说明标志变动愈大，平均数代表性愈小。反之，平均差愈小说明标志变动度愈小，平均数代表性愈大。 平均差是以算术平均数为中心，反映了每个数据与算术平均数的平均差异程度，它能全面准确地反映一组数据的离散状况。平均差越大说明数据的离散程度越大；反之，则说明数据的离散程度越小。为了避免离差之和等于零而无法计算平均差的问题，平均差在计算时对离差取了绝对值，这给计算带来了不便。同时平均差的数学性质也不是最优的，因而实际中应用较少。但平均差的实际意义比较清楚，容易理解。 3.方差与标准差 方差和标准差是最常用、最基本的一种标志变异指标。在统计中把总体各单位标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数称为方差，一般用σ2 表示；方差的平方根称为标准差，也叫均方差，一般用σ表示。 （1）对数量标志的标志值的方差和标准差的计算。 第一，对于未分组资料，采用简单式计算方差或标准差，其计算公式为 ， 第二，对于分组资料，采用加权式计算方差或标准差，其计算公式为 【情景4-24】某汽车零件生产车间4 个工人的日产量分别为50、60、80、90件，则平均日产量为 方差为 标准差为 （2）对是非标志的方差和标准差的计算。有些社会经济现象，其全部总体单位包含具有某一属性和不具有某一属性两种类型。在进行分析时，常常根据总体单位的不同属性把总体分为“具有某种属性”或“不具有某种属性”两组。例如，在全部产品中，分为合格与不合格两种。这两组一般只能用“是”和“否”或“有”和“无”来表示标志，称为是非标志，也就是“是”或“非”两组。 在统计分析时，用“1”代表具有某种属性的标志值，用“0”代表不具有某种属性的标志值。若总体单位数为N，具有“1”的总体单位数为N，具有“0”的总体单位数为N0，则N＝N ＋N0。同时，假设具有“1”的单位数占全部总体单位数的比重(也称为成数)为p，具有“0”的单位数占全部单位数的比重(成数)为q。例如，对某车间生产的100件零部件抽检，其中合格品为98件，占98%，不合格品为2件，占2%，若要求计算成数的标准差，即计算合格品比率98%的标准差或不合格品比率2%的标准差。下面用表4-12来计算是非标志的方差和标准差。 根据上表，计算成数的算术平均数为 根据标准差的计算公式，成数的标准差计算公式推导如下： 通过上面的计算可见，成数的平均数就是其本身（p），成数的标准差是是非标志成数乘积的平方根。 【情景4-25】对某车间某批次的100件零部件抽检，其中合格品为98件，不合格品为2件。则合格品的标准差为 4.离散系数 上面介绍的全距、平均差和标准差都是反映标志值变异程度的绝对指标，其数值的大小不仅受标志值变动程度的影响，而且也受平均水平高低的影响。因此，对比分析不同平均水平总体的标志值变异程度，不能直接用平均差或标准差比较，而应消除计量单位不同或平均水平高低不等的影响，计算能够反映标志变动度的相对指标，即离散系数，又称变异系数。常用的标志变动系数有平均差系数和标准差系数，而标准差系数应用最为普遍。 （1）平均差系数。平均差系数就是平均差与其相应的算术平均数对比所形成的相对数，它反映标志值离散的相对水平，通常用VAD表示。其计算公式为 （2）标准差系数。标准差系数是标准差和平均数的比值，是用相对数表现的标志变动度指标，通常用“Vσ”表示。 标准差系数的计算公式为 【情景4-26】甲乙两个学习小组，甲组英语的平均成绩为82分，标准差为40分，乙组英语的平均成绩76分，标准差38分，试比较两组英语成绩的离散程度。 解：虽然σ甲>σ乙， 但是由于两组的平均水平不等，不能说明甲组英语成绩的变动程度比乙组大，应该计算标准差系数加以判断。 甲组标准差系数： 乙组标准差系数： 由于乙组学生英语成绩标准差系数比甲组大，说明乙组学生英语成绩之间的差异程度比甲组大。 学科网（北京）股份有限公司 $$