4.3平均指标（讲义）《统计学基础》（上海交通大学出版社）

讲稿纸 2019---2020学年 第 一 学期 第 1 周 第5页 任务三 平均指标 一、平均指标的概念和作用 1.平均指标的概念 平均指标是反映社会经济现象总体单位数量标志一般水平的综合指标，又称统计平均数。例如，平均工资、平均收入、平均成本、平均价格等。 由于总体各单位的数量标志在客观上存在着差异，所以需要找出一个将数量差异抽象化、代表各单位一般数量水平的指标。同时，由于各单位又具有同质性，且各单位的标志在数量上的差异总是有一定范围的，所以可以找到一个能够代表一般水平的指标反映总体的数量特征。平均指标是将总体各单位某一数量标志差异抽象化，反映现象在一定时间、地点条件下所达到的一般水平。平均指标是总体分布的特征值之一，它反映了总体分布的集中趋势。 2.平均指标的作用 （1）可以消除因总体范围不同而带来的总体数量差异，从而使不同的总体具有可比性。例如，比较两个人数不同的班级的数学成绩，一个班50人，另一个班45人，用总分无法比较两个班级数学成绩的优劣，于是可以采用平均指标来衡量。 （2）同一总体在不同时期的平均指标可以反映现象总体的发展变化趋势。例如，2009年北京职工年平均工资为48 444元，2010年北京职工年平均工资为50 415元呈上涨趋势2011年职工年平均工资为56 061元，说明北京市职工年平均工资的变化趋势为逐年上涨。 （3）利用平均指标可以分析现象之间的依存关系。例如，学生按学习时间分组，通过计算各组学生的平均成绩，就可以分析学习时间与成绩间的依存关系。 （4）平均指标是统计推断的一个重要参数。例如，利用样本平均指标来推算总体平均指标，等等。 二、平均指标的种类 平均指标按计算方法不同，可分为算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数、中位数等。 1.算术平均数 算术平均数是对总体各单位某一数量标志值之和的平均，它等于总体单位某一数量标志之和除以总体单位数。其计算公式为 计算算数平均数时，分子与分母必须同属一个总体，两者具有一一对应的关系，即有一个总体单位必有一个标志值与之对应。只有这样，计算出的平均指标才能表明总体的一般水平。正是在这点上，平均指标与强度相对指标表现出性质上的差异。强度相对指标是两个有联系的不同总体的总量指标对比，这两个总量指标没有依附关系，而只是在经济内容上存在客观联系。 （1）简单算术平均数。依据未分组的原始数据，将总体单位标志值简单加总求和，除以总体单位所得结果为简单算术平均数，这种计算方法称为简单算数平均法。其计算公式为 式中： ——算术平均数；  xi（i =1，2，3，…，n）——各单位标志值； ∑——求和符号； n——总体单位数。 【情景4-11】某学习小组6位同学的数学考试成绩分别为75分、80分、82分、85分、90分、98分，则该组6位同学的平均成绩为 （75＋80＋82＋85＋90＋98）÷6=85（分） （2）加权算术平均数。如果总体按某一数量标志分组，形成变量数列，而各组的次数又不相同，这时就要考虑次数的影响作用，采用加权算术平均数法计算。即用各组标志值乘以相应的次数得到各组标志总量，将各组标志总量加总，再除以总次数，即得加权算术平均数。其计算公式为 式中： xi（i =1，2，…，n）代表各组标志值； f i（i =1，2，…，n）代表各组标志值出现的次数，也称权数； 表示各组次数占总次数的比重，即各组的频数。 【情景4-12】某班 40名学生统计学考试成绩如表4-4所示，试计算40名学生的平均考试成绩。 解：本题要引入组中值来代替每组的学生的平均成绩，用来计算每组的总成绩，总成绩可以由每组的总成绩汇总得来。具体计算过程如表4-5所示。 通过表4-5数据，计算40名学生的统计学平均成绩为 （3）调和平均数。调和平均数也叫倒数平均数，它是指总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数。其计算公式为 式中： x表示标志值； m表示调和平均数的权数。 在社会经济统计中，调和平均数一般作为算术平均数的变形来使用。 【情景4-13】某农贸市场三种不同水果的价格分别为1.2元/kg，1.5元/kg、2元/kg，如果各种各买6元钱，则所买水果的平均价格是 调和平均数有如下特点： ①如果数列中有一标志值为零，则无法计算调和平均数。 ②作为一种数值平均数， 调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响大于受极大值的影响。 ③当组距数列有开口组时，组中值的假定性对调和平均数的影响同时存在。 ④调和平均数的应用范围狭小，没有算术平均数运用广泛。 （4）算术平均数的数学性质。算术平均数的计算公式，比较符合数学性质。它的主要数学性质包括以下几点。 第一，各个变量与平均数的离差之和等于零，即： 第二，各变量值与平均数的离差的平方和为最小值，即： ∑（x－ ）2 或 ∑（x－ ）2f 为最小值。 第三，各单位标志值加或减一个任意常数，则平均数也要加或减该常数。 第四，各单位标志值乘以或除以一个任意非零常数，则平均数也要乘以或除以该常数。 2.几何平均数 几何平均数是用若干项标志值的连乘积开项数次方来计算的一种平均数。适合于计算平均速度和平均比率。几何平均数是N个数据的连乘积开N次方根的结果。 在客观事物中，有些事物的总量是由各量相加而得，总量是各量的算术和，求平均数就用算术平均数；但有些事物的总量却是由若干个分量连乘而得，总量是各分量的连乘积，求平均数时就要用几何平均法。根据掌握的资料不同，几何平均数可分为简单几何平均数和加权几何平均数。 （1）简单几何平均数。当各变化比率只出现一次时采用简单几何平均数。假设有n个变量值x1，x2，...xn，则简单几何平均数的计算公式为 式中： G——几何平均数； xi（i =1，2，3，…，n)——变量值； n——变化比率的个数； π——联乘符号。 【情景4-14】某机械厂有毛坯车间、粗加工车间、精加工车间、装配车间，四个流水连续作业的车间，某月份第一车间制品合格率为95%，第二车间合格率为 93%，第三车间合格率为90%，第四车间合格率为84%，计算四个车间平均产品合格率。 解：因为产品总合格率为95%×93%×90%×84%，所以计算四个车间的平均产品合格率应该求其几何平均数。 （2）加权几何平均数。如果标志值较多，且出现的次数不同，计算几何平均数应采用加权的形式。 当各个变化比率出现的次数不相同时，则应该以次数为权数计算加权几何平均数。其计算公式为 式中： xi ——各个变化比率； fi ——各个比率出现的次数。 【情景4-15】假如银行存款是按复利计算，若定期存款25年的年利率如表4—6所示。试计算平均年利率。 解：要计算平均年利率，首先要将各年利率加1换算成年本利率，再计算平均年本利率，用平均年本利率减l(或100%) 即可得到平均年利率。 存款的总本利率为 1.0211×1.0254×1.0388×1.04610×1.0692 平均年本利率为 平均年利率为 = G－1=104.1%－1=4.1% 3.中位数 把总体各单位某一数量标志值按大小顺序排列，居于中间位置的标志值就是中位数。由于中位数的位置居中，不大也不小，在某些情况下可以用来反映现象的一般水平。 中位数的确定可以分以下三种情况。 （1）根据未分组资料计算的中位数。 第一步：将总体各单位标志值按大小顺序排列。 第二步：计算中位数所在的位置(n＋1)/2该位置对应的标志值即为中位数。 若总体单位数N为奇数，处于中间位置的标志值即为中位数；若N为偶数，则处于中间位置的两个标志值的算术平均数即为中位数。 【情景4-16】某地区8家4s汽车店的周销量（辆）分别为35、36、40、41、43、46、50。 则中位数的位置是 将排在第四位、第五位的4S汽车店的周销量简单算术平均，即 42辆就是中位数。 （2）根据单项数列计算的中位数，具体步骤是 第一步，计算累计次数 ∑ f ； 第二步，按 计算中位数所在位置，该位置对应的标志值即为中位数。 【情景4-17】某生产企业工人每小时加工产品统计资料如表4-7所示，试计算产量的中位数。 解：因为累计次数∑ f =57，所以中位数的位置是 从上表可以看出， 第31位次落在第四组内，所以第四组的标志值 18即为中位数。 （3）根据组距数列确定中位数，具体步骤如下： 第一步，计算累计次数∑ f ； 第二步，计算中位数位置， 确定中位数所在的组； ，即累计次数的半值； 第三步，用插值法按比例计算中位数的近似值。 中位数的计算公式 有下限公式和上限公式。 下限公式（较小制累计时常用）为 上限公式 （较大制 累计时常用）为 式中： Me——中位数； xL——中位数所在组的下限； xU——中位数所在组的上限； fm——中位数所在组的次数； Sm－1——较小制累计额数栏中中位数所在组前一组的累计次数； Sm＋1——较大制累计额数栏中中位数所在组后一组的累计次数； d——中位数所在组的组距。 【情景4-18】某公司职工年收入水平分组资料如表4-8所示，计算职工年收入中位数。 解：中位数位置 可以看出中位数所在组为第4组，即中位数的具体数值3.5万～4万元之间。 按下限公式计算 按上限公式计算 中位数也是一种位置平均数，由于 它是处于中间位置的标志值，因此它不受极端值 的影响。 4.众数 众数是指在总体中出现次数最多的标志值。它能够鲜明地反映数据分布的集中趋势。 众数也是一种位置平均数，不受极端值的影响，在实际工作中应用较为普遍。在正态分布和一般偏态分布中，分布最高点所对应的横坐标上的数值即为众数。众数可能不存在或不唯一。 （1）由单项数列确定的众数。根据单项数列确定众数比较容易，出现次数最多的标志值就是众数。 【情景4-19】某商场某品牌女鞋的月销售量分组资料如表4-9所示计算该月该品牌女鞋的众数。 从表中资料可以就看出，次数最多的是第5组，销售量达到36双，所以该组的标志值42公分为众数。 （2）由组距数列计算的众数。首先要根据次数最多的原则确定众数所在的组，即众数组，再用比例插值法推算众数的近似值。计算公式有下限公式和上限公式。 下限公式 上限公式 式中： M0——众数； d ——众数组的组距； xL——众数组下限； x U——众数组上限； f——众数所在组的次数； f－1——众数所在组前一组的次数； f＋1——众数所在组后一组的次数； Δ1——众数组与比它小的邻组的次数之差； Δ2——众数组与比它大的邻组的次数之差。 确定众数有一定的前提条件，不是任何现象都存在众数，只有总体单位数较多，又明显的集中趋势才存在众数。如果分布数列是组距数列，必须是等距数列，才可以确定众数，否则，无法确定众数。 【情景4-20】承【情景4-18】的资料，确定职工年收入的众数。 解：从表4-8资料可以看出，众数所在组为第4组，即众数在3.5～4.0之间。 根据下限公式计算 根据上限公式计算： 通过计算看出两个公式计算结果完全一样，在实际统计工作中，只采用一个公式即可。 5.众数、中位数、算术平均数的比较 众数、中位数和算术平均数各自具有不同的特点掌握它们之间的关系和各自的特点，有助于在实际应用中选择合理的测度值来描述数据的集中趋势。 众数是一组数据分布的峰值，是一种位置代表值。其优点是易于理解、不受极端值的影响。当数据的分布具有明显的集中趋势时，尤其是对于偏态分布，众数的代表性比算术平均数要好。其特点是具有不唯一性，对于一组数据可能有一个众数，也可能有两个或多个众数，也可能没有众数。 中位数是一组数据中间位置上的代表值，也不受极端值的影响。对于具有偏态分布的数据，中位数的代表性要比算术平均数好。 算术平均数的含义通俗易懂，直观清晰，是实际应用最广泛的集中趋势测度值。其主要缺点是易受极端值影响，对于偏态分布的数据，算术平均数的代表性较差。 从各种代表值之间的关系及特点可以看出，当数据呈对称性分布或接近对称分布，三个代表值相等或接近相等，这时应选择算术平均数作为集中趋势的代表值，因为算术平均数包含了全部数据的信息，而且易被大多数人所理解和接受；当数据为偏态分布时，特别是偏斜的程度较大时，我们应选择众数或中位数的位置代表值，这时它们的代表性要比算术平均数好。此外，算术平均数只适用于定量数据，而对于定性数据则无法计算算术平均数，众数和中位数既可适用于定量数据，也可适用于定性数据。 三、应用平均指标的基本原则 1.平均指标只能运用于同质总体 平均指标所处理的是同质异量的大量现象。为了说明事物性质及其规律性，必须强调在具有共同特征的同质总体中计算平均指标。例如，研究居民的生活水平，计算其平均收入和平均生活费支出，应把城镇和农村居民分开研究，因为城镇居民和农村居民在收入来源和消费构成等方面具有不同的特点。 2.用组平均数补充说明总平均数 总体内部各组之间的差异性往往影响总体的特征和分布规律，各组结构的变动也会对总体变动产生影响。为全面认识总体的特征和规律性，需要将平均指标与统计分组结合起来，用组平均数对总平均数做补充说明。 3.结合原分配数列补充说明平均数 平均数只是说明现象的共性和一般水平，而抽象了总体各单位数量标志值的差异，掩盖了各单位的差异及其分配情况。有必要结合原来的分配数列，分析平均数在原数列中所处的位置，以及各单位标志值在平均数上下的分布情况。 4.要与标志变异指标相结合 平均指标反映了总体各单位标志值的集中趋势，为全面描述总体的分布特征，我们必须将平指标与标志变异指标结合使用，用标志变异指标衡量平均指标的代表性，说明平均指标反映总体一般水平的有效程度，使分析更全面、更可靠。 学科网（北京）股份有限公司 $$