1.3 一元二次方程的根与系数的关系　同步练习　2024—2025学年苏科版九年级数学上册　

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 练霸基础台 夯实基础全面过关 1.若关于x 的一元二次方程 的两根分别为x₁,x₂,且 ，则m 的值为 ( ) A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 2.若关于x 的一元二次方程 6)x+m=0的两个根互为相反数,则 m的值为 ( ) A. 3或-2 B. --2 C. 3 D. 2 或--3 3.若一个菱形两条对角线的长是关于 x 的一元二次方程 10x+m=0的两个实数根，且它的面积为11，则该菱形的边长为 ( ) A. B. 2 4.已知关于 x 的一元二次方程 的两个实数根分别为x₁,x₂.若. 则实数k= . 5.已知关于x 的一元二次方程. 0有两个不相等的实数根x₁，x₂.若x₁-2x₂=6,,则实数 m 的值为 . 6. 已知α,β是关于x 的一元二次方程 的两个实数根，且 则 k 的值为 7.关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围; (2)若该方程的两个根分别为α，β，且 αβ+3k,求k的值. 8.*已知关于x 的一元二次方程 (1)求证：无论 m 为何值，该方程总有实数根； (2)若x₁，x₂是该方程的两个实数根，且 求 m 的值. 提高能力 勇攀高峰 9.*已知α，β是关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 则m的值为 ( ) A. 3 B. 1 C. 3或--1 D. --3或1 10. 已知α,β是方程. 2 022x+1=0的两个根,则(1+2 024α+ 的值为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 若m，n 是关于x 的一元二次方程 的两个实数根，则代数式((m+2)(n+2)的最小值是 ( ) A. 7 B. 11 C. 12 D. 16 12. 已知关于x 的方程 有两个不相等的实数根x₁，x₂.若. 则 4b-9ac 的最大值是 . 13. 若互异实数a,b 满足 b--5=0,则a³+6b--5= . 14. 已知 x₁,x₂是关于x 的一元二次方程 的两个不相等的实数根，且满足 8k²,则k 的值为 . 15. 已知关于x的方程.x²-6x+2m--1=0有两个实数根x₁,x₂. (1) 若 求x₂及m 的值; (2)是否存在实数m，满足 若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由. 练霸拓展台 挑战难度 探究创新 16.若一个等腰三角形的三边长分别为m，n,3,且m,n 是关于x 的方程 t--1=0的两根,则t 的值为 ( ) A. 16 B. 18 C. 17 或16 D. 19 或 18 17.已知n为正整数，关于x 的方程 的两根分别为αn，βn，则 的值为 . 18. 阅读材料: 已知实数m，n 满足 n--1=0,且m≠n,则m,n 是方程 x--1=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m+n=1, mn=--1.根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用:已知实数a,b 满足: 且a≠b,则a+b= , ab= ; (2)间接应用：已知实数m，n 满足 且 mn≠1,求 的值； (3)拓展应用:已知实数 p,q 满足: 且 p≠q,求(q²+1)(2p+4--t)的取值范围. *1.3 一元二次方程的根与系数的关系 1. C 2. B 3. C 4. -5 5. -2 6. -4 解析：因为α，β是关于x的一元二次方程 的两个实数根，所以 所以 又 所以--k=4,解得 7.(1)因为关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，所以 解得 .故 k 的取值范围为 (2)因为该方程的两个根分别为α，β，所以 3--k.因为 所以 解得 (不合题意，舍去).故 k 的值为3. 8. (1) 因为所以无论m 取何值，该方程总有实数根. (2)由一元二次方程的根与系数的关系，得 因为 所以 所以 所以 所以 解得 故 m 的值为1或 ·方法归纳· 常用变形方法： 9. A 解析：因为关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，所以 解得 由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β= 所以 即 解得 (不合题意，舍去).故m 的值为3. ·易错警示· 应用一元二次方程的根与系数的关系解题时，不能忽略了方程是否有实数根. 10. D 解析:因为α,β是方程 的两个根，所以 1=0,且αβ=1,所以 所以 11.D 解析：因为关于x 的一元二次方程 有两个实数根，所以 解得t≥2.由一元二次方程的根与系数的关系，得m+ 所以(m+2)(n+2)= 因为t+1≥3,所以 所以 所以代数式(m+2)(n+2)的最小值是16. 12. 2 解析:由题意,得 因为 所以 所以 整理，得 所以 故 9ac 的最大值是2. 13. 6 解析:因为互异实数a,b满足 所以 ,b是一元二次方程 的两个不相等的实数根，所以 所以 ( 14. 1 解析:因为x₁,x₂是关于x 的一元二次方 程 的两个不相等的实数根，所以 所以 又 所以 即 解得 分类讨论如下：①当 时，原方程即为 此时 所以 不合题意，舍去；② 当 时，原方程即为 此时 4×1×3=4>0,所以k=1符合题意.综上所述,k 的值为1. 15. 因为关于x 的方程 有两个实数根，所以 解得m≤5.由一元二次方程的根与系数的关系，得 (1) 因为 所以 解得 (2) 因为 所以 所以 2m--1- 整理，得 解得 因为 m≤5且m--5≠0,所以m<5，所以存在满足题意的实数m，且m 的值为2. 16. C 解析:因为关于x 的方程. 有两个实数根，所以 0,解得 由一元二次方程的根与系数的关系，得 因为一个等腰三角形的三边长分别为 m，n，3，所以分类讨论如下:① 若 ,则 ② 若 则 均符合题意.综上所述，t 的值为17或 16. 解析：由一元二次方程的根与系数的关系，得 所以对于任意正整数 所以原式 18. (1) 5 1 (2) 对于 两边同除以n²，得 即 又 且 mn≠1,所以m 与 为方程 的两个实数根，所以m+ 所以 所以 所以 (3) 因为实数 p,q 满足 且 p≠q,所以p,q 是方程 2x=3-t 的两个不相等的实数根，所以 所以 2p+4--t,所以 故 学科网（北京）股份有限公司 $$