专题05 有理数的乘除（9大题型+过关训练）-2024-2025学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（沪科版）

专题05 有理数的乘除 目录 【题型一 】 1 【题型二 】 1 【题型三 】 1 【题型四 】 1 【题型五 】 1 【题型六 】 1 【题型七 】 1 【题型八 】 1 【题型一 根据有理数的乘法法则判断不等关系】 例题：（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，．有下列结论：①；②；③；④；则其中结论正确的序号是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【变式训练】 1．（2024·广东广州·一模）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（   ） （1）；（2）；（3） ；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024六年级下·上海·专题练习）如果，且、异号，则 0．（用“”号或“”号填空） 【题型二 巧用分配律简化运算】 例题：（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）运用了（   ） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）计算： ． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ． 【题型三 关于有理数乘法的新定义问题】 例题：（23-24六年级上·山东烟台·期末）对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种运算：；则 ． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么⊕ ． 【题型四 利用有理数的乘法解决实际问题】 例题：（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）某商店在“双11”期间所有商品按8折销售，如图，该商品的售价是（   ） A．225 B．217 C．180 D．145 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）光明小学五年级有学生360人，四年级比五年级的人数少，则四年级比五年级少（   ） A．28人 B．36人 C．62人 D．72人 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 千米． 【题型五 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】 例题：（22-23七年级上·浙江·阶段练习）下面是佳佳同学一道题的计算过程： (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是___________． (2)请给出正确的计算过程． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【题型六 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】 例题：（23-24八年级下·江苏南通·期中）某地电话拨号入网有两种收费方式：①计时制：元/分；②包月制：50元/月．此外，每一种上网方式都得加收通信费元/分．某用户估计一个月上网时间为1000分钟，你认为采用哪种收费方式较为合算（    ） A．计时制 B．包月制 C．两种一样 D．不确定 【变式训练】 1．（2024·浙江台州·二模）如图，教室后面储物柜上叠放了两堆共7个完全相同的生本教具，现测得叠放了3个教具的最高处离地面，叠放了4个教具的最高处离地面，若将7个教具叠成一堆放在柜子上，则最高处离地面 ． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）社区超市以每斤8元的价格，新进了200斤菠萝．为了合理定价，在前五天试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录这五天菠萝的售价情况和售出情况： 第几天 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 0 售出斤数 15 18 22 26 34 (1)这五天里超市售出的菠萝，单价最高的是第_____天，最高单价是______元． (2)这五天超市出售此种菠萝的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (3)五天后，部分菠萝开始出现变质，超市选取五天中单日销售量最高的那天的售价，卖掉剩余的菠萝，因为变质而扔掉的菠萝占全部菠萝的．这次菠萝生意的总收益是多少元？ 【题型七 巧用倒数解有关有理数除法的问题】 例题：（2024·安徽安庆·三模）的结果是（    ） A． B．6 C．2 D． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【题型八 运用有理数的除法化简分数】 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）化简：（1） ；（2） ． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型九 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】 例题：（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则__________0； (2)当时，若，则c__________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，则__________； (4)当a与b都是整数，且，求的值.（写出分类讨论的过程） 一、单选题 1．（23-24六年级上·山东东营·期末）的倒数是（   ） A． B． C．2024 D．-2024 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算的结果是（ ） A． B． C． D．1 3．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上的点C表示的有理数为，则表示有理数“”的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．（2024·浙江温州·三模）已知算式3□的值为，0，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 二、填空题 6．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）学校原来平均每天用水60吨，现在改用节水水龙头，平均每天用水24吨，原来6天的用水量，现在可以用 天． 7．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）用“△”表示一种运算符号，表示对于任何数a和b，有，那么 ． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期中）深圳市出租车的收费标准是起步价10元（行程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收元，小鸣从深圳市体育中心打车去深圳图书馆，百度地图显示行程约为千米，则出租车费约为 元． 9．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知，，则的值是 ． 10．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 三、解答题 11．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 12．（23-24七年级下·四川资阳·期中）某工艺厂计划一周生产工艺品个，平均每天生产个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (4)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 13．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 15．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘除 目录 【题型一 根据有理数的乘法法则判断不等关系】 1 【题型二 巧用分配律简化运算】 3 【题型三 关于有理数乘法的新定义问题】 4 【题型四 利用有理数的乘法解决实际问题】 5 【题型五 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】 7 【题型六 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】 9 【题型七 巧用倒数解有关有理数除法的问题】 11 【题型八 运用有理数的除法化简分数】 12 【题型九 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】 14 【题型一 根据有理数的乘法法则判断不等关系】 例题：（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示数a、b、c，．有下列结论：①；②；③；④；则其中结论正确的序号是（　　） A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的混合运算；根据数轴可得，且，再根据有理数的加减乘除运算法则，可以逐项判断得出正确答案． 【详解】解：①∵，， ∴， 故①错误； ②∵， ∴， 故②正确； ③∵， ∴， 故③正确； ④∵，， ∴， 故④正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·广东广州·一模）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（   ） （1）；（2）；（3） ；（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查数轴，倒数，相反数和绝对值，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题．利用数形结合是解题的关键． 根据有理数大小的比较可得数轴上的右边的数总大于左边的数得出，，根据有理数的乘法可判断（1）正确；根据相反数的定义可判断（2）；根据倒数的定义可判断（3）；根据绝对值的定义可判断（4）． 【详解】解：结合图形，根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得，， ∴（1），正确； （2），正确； （3），错误； （4），正确． 故正确的3个， 故选：C． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）如果，且、异号，则 0．（用“”号或“”号填空） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据已知、异号，说明，又，然后应用解不等式的知识可得． 【详解】解：， ． 、异号， ， ． 故答案为：． 【题型二 巧用分配律简化运算】 例题：（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）运用了（   ） A．加法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律和结合律 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法分配律，根据有理数的乘法分配律进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴上式子运用了乘法分配律， 故选：C 【变式训练】 1．（23-24七年级上·山东济宁·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，根据乘法分配律把原式变形为，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解； ， 故答案为：1． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分数四则运算的简算，把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型三 关于有理数乘法的新定义问题】 例题：（23-24六年级上·山东烟台·期末）对于有理数、，定义运算，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种运算：；则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 2．（2024六年级下·上海·专题练习）现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么⊕ ． 【答案】14 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是读懂新定义，利用新定义计算．读懂新定义，利用新定义计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：14． 【题型四 利用有理数的乘法解决实际问题】 例题：（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）某商店在“双11”期间所有商品按8折销售，如图，该商品的售价是（   ） A．225 B．217 C．180 D．145 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，用标价乘以折扣即可得到答案． 【详解】解：元， ∴该商品的售价为180元， 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）光明小学五年级有学生360人，四年级比五年级的人数少，则四年级比五年级少（   ） A．28人 B．36人 C．62人 D．72人 【答案】D 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，根据四年级比五年级的人数少，得到四年级人数为，再作差即可得到结果． 【详解】解： （人） 故选：D． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）随着人们环保意识的提高，新能源汽车市场持续增长．下面是某款新能源汽车充满电量状态下，汽车行驶过程中仪表盘显示电量y（）与行驶里程s（千米）之间的一组数据∶ 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y（） 100 60 50 30 当显示电量时，已行驶里程为 千米． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的运算在是实际生活中的应用．先求出每的电量所走的里程，问题即可得解． 【详解】解：由题意可得，每的电量所走的里程：（千米， 当显示电量时，已行驶里程为（千米． 故答案为：． 【题型五 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】 例题：（22-23七年级上·浙江·阶段练习）下面是佳佳同学一道题的计算过程： (1)佳佳同学开始出现错误的步骤是___________． (2)请给出正确的计算过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的混合运算法则判断即可； （2）先计算括号内的加法，然后计算除法求解即可． 【详解】（1）佳佳同学开始出现错误的步骤是①； （2） ． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： 【答案】14 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，乘法分配律等知识，先将除法改乘法，再运用乘法分配律计算即可，掌握相关运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 2.（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）先计算括号中的运算，以及除法化为乘法运算，约分即可得到结果； （2）原式先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型六 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】 例题：（23-24八年级下·江苏南通·期中）某地电话拨号入网有两种收费方式：①计时制：元/分；②包月制：50元/月．此外，每一种上网方式都得加收通信费元/分．某用户估计一个月上网时间为1000分钟，你认为采用哪种收费方式较为合算（    ） A．计时制 B．包月制 C．两种一样 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，根据所给收费标准分别计算出两种收费方式的费用即可得到答案． 【详解】解：计时制的费用为元， 包月制的费用为元， ∴两种收费方式一样合算， 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·浙江台州·二模）如图，教室后面储物柜上叠放了两堆共7个完全相同的生本教具，现测得叠放了3个教具的最高处离地面，叠放了4个教具的最高处离地面，若将7个教具叠成一堆放在柜子上，则最高处离地面 ． 【答案】183 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，先求出一个生本教具的高度，进而再的基础上加上4个生本教具的高度即可得到答案． 【详解】解： ， ∴将7个教具叠成一堆放在柜子上，则最高处离地面， 故答案为：． 2．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）社区超市以每斤8元的价格，新进了200斤菠萝．为了合理定价，在前五天试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录这五天菠萝的售价情况和售出情况： 第几天 一 二 三 四 五 每斤价格相对于标准价格（元） 0 售出斤数 15 18 22 26 34 (1)这五天里超市售出的菠萝，单价最高的是第_____天，最高单价是______元． (2)这五天超市出售此种菠萝的收益如何？（盈利或亏损的钱数） (3)五天后，部分菠萝开始出现变质，超市选取五天中单日销售量最高的那天的售价，卖掉剩余的菠萝，因为变质而扔掉的菠萝占全部菠萝的．这次菠萝生意的总收益是多少元？ 【答案】(1)1，13 (2)盈利299元 (3)370元 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的四则混合运算的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键． （1）根据表格中的数据求解即可； （2）根据题意列式求解即可； （3）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）由表格可得，单价最高的是第1天，最高单价是元； （2） （元） ∴这五天超市出售此种菠萝盈利299元； （3）（千克） （元） ∴（元） ∴这次菠萝生意的总收益是370元． 【题型七 巧用倒数解有关有理数除法的问题】 例题：（2024·安徽安庆·三模）的结果是（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行运算，即可作答． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数，由此计算即可． 【详解】解：， 故答案为：5． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型八 运用有理数的除法化简分数】 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列化简正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确化简求出是解题关键． 【详解】 解：A、，故此选项错误； B、2，故此选项正确； C、，无意义，故此选项错误； D、，故此选项错误． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·新疆阿克苏·期末）化简：（1） ；（2） ． 【答案】 7 【分析】此题考查了有理数的除法，相反数定义，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． （1）根据有理数的除法法则计算即可； （2）根据相反数定义化简即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：7． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）化简下列分数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】先根据“两数相除，同号得正，异号得负“确定结果的符号，再根据分数约分的法则；分子分母同时约去最大公约数即可得解.（1）（2）（3）（4）均按照次方法求解． 本题考查了有理数的除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【题型九 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】 例题：（23-24七年级上·重庆江津·阶段练习）“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的四个问题． 例：三个有理数，，满足，求的值． 解：由题意得：，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都是正数，即，，时， 则：； ②当，，有一个为正数，另两个为负数时，设，，， 则：， 综上述：的值为或-． 请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，，且，求的值； (2)已知，是有理数，当时，求值． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则； （1）根据绝对值的意义和，确定、的值，再计算； （2）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （3）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：因为，，且， 所以，或，． 则或， 即的值为或； （2）已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （3）因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个正数一个负数， 设，，， 则． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）分类讨论思想是数学的重要思想，在学习有理数的过程中，也深有感受！ (1)当时，若，则__________0； (2)当时，若，则c__________0； (3)已知a，b，c是非零有理数，则__________； (4)当a与b都是整数，且，求的值.（写出分类讨论的过程） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)的值为 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论:①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解：时，， ， ， ， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； （3）对a，b，c的取值情况分类讨论如下： 当a，b，c都是正数时， ； 当a，b，c都是负数时， ； 当a，b，c中有两个正数，一个负数时， 中有两个1，一个，所以和为1； 当a，b，c中有两个负数，一个正数时， 中有一个1，两个，所以和为； 的值为或， 故答案为：或； （4）a与b都是整数，且， 分情况讨论： 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 的值为． 一、单选题 1．（23-24六年级上·山东东营·期末）的倒数是（   ） A． B． C．2024 D．-2024 【答案】B 【分析】本题考查倒数定义，根据题意利用倒数定义“相乘等于1的两个数互为倒数”即可得出本题答案． 【详解】解：的倒数是 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算的结果是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘除混合运算，根据有理数乘除运算法则和混合运算顺序，依次计算即可 【详解】解： ． 故选：A． 3．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）实数在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，以及有理数四则运算法则．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点． 由数轴得出，再根据有理数的减法、乘法、除法运算法则逐一判断即可得． 【详解】解：由数轴知， 则是正数，是正数，是正数，是负数， 故选：D． 4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上的点C表示的有理数为，则表示有理数“”的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、有理数的乘法，先根据数轴的定义可得，再根据有理数的乘法法则即可得． 【详解】由数轴的定义得：， 则， 因此，表示有理数“”的点是点， 故选：B． 5．（2024·浙江温州·三模）已知算式3□的值为，0，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A．+ B．- C．× D．÷ 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、“□”内应填入+，则，满足题意，该选项是正确的； B、“□”内应填入-，则，不满足题意，该选项是错误的； C、“□”内应填入×，则，不满足题意，该选项是错误的； D、“□”内应填入÷，则，不满足题意，该选项是错误的； 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）学校原来平均每天用水60吨，现在改用节水水龙头，平均每天用水24吨，原来6天的用水量，现在可以用 天． 【答案】15 【分析】先求出原来6天用水量，再除以改用节水水龙头后每天用水量就是现在可用的天数． 【详解】（天） 故答案为： 7．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期末）用“△”表示一种运算符号，表示对于任何数a和b，有，那么 ． 【答案】14 【分析】根据“”所代表的运算法则，将数据代入进行运算即可．此题考查了有理数的运算，解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题． 【详解】由题意得： 故答案为：14． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期中）深圳市出租车的收费标准是起步价10元（行程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米（不足1千米按1千米计算）加收元，小鸣从深圳市体育中心打车去深圳图书馆，百度地图显示行程约为千米，则出租车费约为 元． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，根据题意、正确列出算式是正确解答的前提． 根据题意、正确列出算式，然后再计算即可． 【详解】解：由题意可知：当时，出租车费约为． 故答案为：． 9．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 10．（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·浙江金华·二模）对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 12．（23-24七年级下·四川资阳·期中）某工艺厂计划一周生产工艺品个，平均每天生产个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量； (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (4)已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元，少生产一个扣元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】(1)该厂星期一生产工艺品的数量为个 (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产个工艺品 (3)该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量个 (4)该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，此类题常常结合生产、生活中的热点问题，是近几年中考的必考题型，认真阅读，理解题意是解此类题的关键． （1）根据表格将与相加即可求得周一的产量； （2）由表格中的数字可知星期六产量最高，星期五产量最低，用星期六对应的数字与相加求出产量最高的量，同理用星期五对应的数字与相加求出产量最低的量，两者相减即可求出所求的个数； （3）由表格中的增减情况，把每天对应的数字相加，利用互为相反数的两数和为，且根据同号及异号两数相加的法则计算后，与与的积相加即可得到工艺品一周共生产的个数； （4）用乘以单价元，加超额的个数乘以，减不足的个数乘以，即为一周工人的工资总额．本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）平均每天生产个，超产记为正，减产记为负， 周一的产量为：个； 答：该厂星期一生产工艺品的数量为个． （2）由表格可知：星期六产量最高为（个），星期五产量最低为（个），则产量最多的一天比产量最少的一天多生产（个）； 答：本周产量最多的一天比最少的一天多生产个工艺品． （3）根据题意得一周生产的工艺品为：（个） 答：服装厂这一周共生产工艺品个； （4）， （元） 则该工艺厂在这一周应付出的工资总额为：， 答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元． 13．（24-25七年级上·全国·假期作业）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律． （1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算； （2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（2022七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)18 (2) (3)54 【分析】此题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘除运算法则． （1）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，先约分，后相乘进行计算即可； （2）首先确定结果的符号，再把除法变为乘法，约分后相乘进行计算即可； （3）首先计算括号里面的，再计算括号外面的乘法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$