专题06 反比例函数易错必刷题型专训（69题23个考点）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题06 反比例函数易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 反比例函数】 1．（22-23九年级上·湖南常德·期末）下列关系式中表示是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级·全国·课时练习）若函数（m是常数）是反比例函数，则 ，解析式为 ． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知一个反比例函数为，求的值． 【易错必刷二 用反比例函数描述数量关系】 1．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列各点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏南京·期末）小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为 （）． 3．（2023·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【易错必刷三 根据定义判断是否是反比例函数】 1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列相关的量中，成反比例关系的是（    ） A．平行四边形的面积一定，底和高 B．圆的周长与面积 C．正方形的周长与边长 D．圆锥的体积一定，圆锥的底面半径与高 2．（22-23九年级下·全国·单元测试）在①y＝2x－1；②y＝－；③y＝5x－3；④y＝中，y是x的反比例函数的有 (填序号)． 3．（2023八年级下·浙江·专题练习）写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数： (1)小红1分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花； (2)体积为的长方体，高为时，底面积为； (3)用一根长的铁丝弯成一个长方形，一边长为时，面积为； (4)小李接到一项检修管道的任务，已知管道长，每天能检修，x天后剩下的未检修管道长为． 【易错必刷四 根据反比例函数的定义求参数】 1．（2023·浙江台州·一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·北京平谷·一模）如图，反比例函数经过点、点，则 ． 3．（2023·广东广州·二模）已知： (1)化简P； (2)若函数为反比例函数，求P的值． 【易错必刷五 求反比例函数值】 1．（23-24九年级上·重庆南川·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河北唐山·二模）如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，．    （1） ； （2） ． 3．（22-23九年级上·陕西延安·阶段练习）已知反比例函数（为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【易错必刷六 由反比例函数值求自变量】 1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）下列各点中，一定在反比例函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点且平行轴的直线交双曲线于点，则 ． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）北京到杭州铁路线长为．一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为，火车行驶的平均速度为，你能完成表吗？y与x有什么数量关系？能用一个函数表达式表示吗？ 12 15 17 22 87.4 【易错必刷七 判断反比例函数图象】 1．（2023·河北廊坊·三模）若函数和函数在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵轴是（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图象如图．你认为利用怎样的图形运动就能得到反比例函数的图象？请画出这个图象． 【易错必刷八 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 1．（2023·湖南娄底·模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 3．（22-23九年级下·广西钦州·阶段练习）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【易错必刷九 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 1．（2023·四川达州·一模）如图，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图像分别交于A，B两点．若A点的坐标为，则B点的坐标为 ． 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，与的直径为2，反比例函数的图像与两圆分别交于点A，B，C，D，求图中阴影部分的面积． 【易错必刷十 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1．（23-24九年级下·湖南永州·阶段练习）若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）反比例函数的图象如图所示，则k的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)求的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【易错必刷十一 判断反比例函数的增减性】 1．（2024·上海浦东新·三模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东广州·期末）反比例函数图象过两点，若，则 ． 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象（请先完成表格再描点画图） 1 2 3 请你任意写出一条有关上述函数的性质． 【易错必刷十二 判断反比例函数图象所在象限】 1．（2024·云南昆明·一模）若反比例函数的图象经过点，则其图象分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 2．（2024·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点，则点在第 象限. 3．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 【易错必刷十三 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）若反比例函数的图象，在每个象限内，都随的增大而增大，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）若反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 3．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）已知一个函数y与自变量x的部分对应值如下表： （1）从我们已学过的函数判断：y是x的 函数，y与x的函数关系式为 ； （2）根据函数图像，当-2 x -时，求y的取值范围． 【易错必刷十四 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是 （用“”连接）． 3．（2023·浙江温州·中考真题）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． (2)求当，且时自变量x的取值范围． 【易错必刷十五 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，是曲线上的一点，过点作轴于点，交曲线于点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是m和n，设点P在图象m上，垂直于x轴于点C，交图象n于点A，垂直于y轴于D点，交图象n于点B，则四边形的面积为 ． 3．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，已知反比例函数的图象经过点．    (1)求k的值． (2)若点B在x轴上，且，则的面积为______． 【易错必刷十六 根据图形面积求比例系数】 1．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（    ）． A．5 B． C．1 D． 2．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且，若的面积为3，则m的值为 ． 3．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【易错必刷十七 求反比例函数解析式】 1．（2024·广西南宁·一模）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，一副三角板如图所示摆放，反比例函数，的图象分别经过点A，点B，则 ． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，点P的坐标是，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作交双曲线于点M，连接．已知．求k的值．    【易错必刷十八 反比例函数与几何综合】 1．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点和点在轴上，若四边形为矩形，则矩形的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在y的正半轴上，四边形为矩形，点D为中点，反比例函数的图象过点D，且与相交于点E，连接，若，则k的值为 ． 3．（2024·江西吉安·二模）如图，在正方形中，边在轴上，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标和的长． 【易错必刷十九 一次函数与反比例函数图象综合判断】 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，则不等式的解集是 ．    3．（22-23八年级下·四川资阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【易错必刷二十 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 2．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 【易错必刷二十一 一次函数与反比例函数的实际应用】 1．（22-23九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    3．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【易错必刷二十二 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为 ． 3．（2024·甘肃兰州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)过点A作轴于点C，求的面积． 【易错必刷二十三 用反比例函数解决问题】 1．（2023·河南南阳·模拟预测）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器，其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法正确的是（    ） A．空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越大 B．当时，的阻值为 C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 D．当时，燃气报警器为报警状态 2．（2024·贵州·模拟预测）小华给学校劳动实践基地的蔬菜大棚设计一个记录测量空气湿度的电路方案，已知该方案中电压为定值，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示，则当电阻为时，电流为 ． 3．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 反比例函数易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 反比例函数】 1．（22-23九年级上·湖南常德·期末）下列关系式中表示是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义：形如的函数叫反比例函数直接逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 是正比例函数，是一次函数，是二次函数，是反比例函数， 故选：D； 【点睛】本题考查反比例函数的定义：形如的函数叫反比例函数． 2．（22-23九年级·全国·课时练习）若函数（m是常数）是反比例函数，则 ，解析式为 ． 【答案】 2 【分析】根据题意可得，求得，即可求解． 【详解】解：∵是反比例函数 ∴，解得 将代入得 故答案为2， 【点睛】此题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 3．（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知一个反比例函数为，求的值． 【答案】 【分析】由反比例函数为，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，熟记反比例函数的表示形式是解本题的关键． 【易错必刷二 用反比例函数描述数量关系】 1．（23-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）下列各点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵ ∴ A.，该选项错误； B. ，该选项正确； C. ，该选项错误； D. ，该选项错误. 故答案选：B. 2．（22-23八年级下·江苏南京·期末）小明要把一篇27000字的调查报告录入电脑，则其录入的时间t（分）与录入文字的平均速度v（字/分）之间的函数表达式应为 （）． 【答案】 【分析】根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式． 【详解】解：由录入的时间＝录入总量÷录入速度， 可得t（v＞0）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列函数关系式的知识，比较简单，解答本题的关键是掌握关系式录入的时间＝录入总量÷录入速度． 3．（2023·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量与单价x（元）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ （2）水池中蓄水，现用放水管的速度排水，经过排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？ 【答案】（1），y是x的反比例函数；（2），y是x的反比例函数 【分析】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，一般地，形如，其中k是常数的函数叫做反比例函数： （1）根据题意结合“质量单价总价”列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可； （2）根据“放水时间放水速度蓄水量” 列出函数关系式，然后利用反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∴y是x的反比例函数； （2）由题意，得， ∴y是x的反比例函数． 【易错必刷三 根据定义判断是否是反比例函数】 1．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列相关的量中，成反比例关系的是（    ） A．平行四边形的面积一定，底和高 B．圆的周长与面积 C．正方形的周长与边长 D．圆锥的体积一定，圆锥的底面半径与高 【答案】A 【分析】本题考查了反比例关系、圆的面积和周长、平行四边形的面积、正方形的周长及圆锥的体积问题，熟练掌握其公式是解题的关键． 【详解】解：A、由可得，平行四边形的面积一定，底和高成反比例关系，故A选项符合题意； B、由，可得，圆的周长与面积不是成正比例关系，故B选项不符合题意； C、由可得，正方形的周长与边长成正比例关系，故C选项不符合题意； D、由可得，圆锥的体积一定，圆锥的底面半径与高不是成正比例关系，故D选项不符合题意． 故选A． 2．（22-23九年级下·全国·单元测试）在①y＝2x－1；②y＝－；③y＝5x－3；④y＝中，y是x的反比例函数的有 (填序号)． 【答案】①④ 【分析】根据反比例函数的定义、一次函数的定义逐一进行分析即可得. 【详解】解：①y=2x﹣1，反比例函数； ②y=﹣，当a=0时，不是反比例函数，当a≠0时，是反比例函数，故不一定是反比例函数； ③y=5x﹣3，一次函数； ④y=，反比例函数， 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键. 3．（2023八年级下·浙江·专题练习）写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数： (1)小红1分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花； (2)体积为的长方体，高为时，底面积为； (3)用一根长的铁丝弯成一个长方形，一边长为时，面积为； (4)小李接到一项检修管道的任务，已知管道长，每天能检修，x天后剩下的未检修管道长为． 【答案】(1)是正比例函数 (2)是反比例函数 (3)既不是正比例函数，也不是反比例函数 (4)既不是正比例函数，也不是反比例函数 【分析】（1）根据正比例函数的定义，可得答案； （2）根据反比例函数的定义，可得答案； （3）根据正比例函数、反比例函数的定义，可得答案； （4）根据正比例函数、反比例函数的定义，可得答案． 【详解】（1）解：小红1分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花：是正比例函数； （2）解：体积为的长方体，高为时，底面积为：是反比例函数； （3）解：用一根长的铁丝弯成一个长方形，一边长为时，面积为：既不是正比例函数，也不是反比例函数； （4）解：小李接到一项检修管道的任务，已知管道长，每天能检修，x天后剩下的未检修管道长为：既不是正比例函数，也不是反比例函数． 【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数的识别，解题的关键是掌握正比例函数、反比例函数的定义． 【易错必刷四 根据反比例函数的定义求参数】 1．（2023·浙江台州·一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点代入，求出的值，再根据，即可求出的取值范围． 【详解】反比例函数的图象经过点， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键． 2．（2024·北京平谷·一模）如图，反比例函数经过点、点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把点坐标代入解析式求出，进而求出反比例函数的解析式，然后将代入反比例函数的解析式即可． 【详解】解：由图可知，， 将代入， 得：， ， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 3．（2023·广东广州·二模）已知： (1)化简P； (2)若函数为反比例函数，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式的四则运算法则化简即可； （2）由反比例函数的定义得出，将其代入（1）中结果即可． 【详解】（1）解： （2）∵为反比例函数， ∴，将其代入（1）得： ． 【点睛】题目主要考查分式的化简求值，反比例函数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题关键． 【易错必刷五 求反比例函数值】 1．（23-24九年级上·重庆南川·期末）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数的图象上， 故选：D. 2．（2024·河北唐山·二模）如图反比例函数的图象在第一象限，已知点， ，在函数图象上，轴，．    （1） ； （2） ． 【答案】 5 4 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值．熟练掌握求反比例函数的函数值是解题的关键． （1）由， ，在函数的图象上，可得，，，，然后代值求解即可； （2）由（1）可知， ，，则，，然后代值求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，在函数的图象上， ∴，，，， ∴， 故答案为：5； （2）解：由（1）可知， ，， ∴，， ∴， 故答案为：4． 3．（22-23九年级上·陕西延安·阶段练习）已知反比例函数（为常数，）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在这个函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在这个反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点在这个函数的图象上． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例函数值，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足其解析式是解题的关键． 【易错必刷六 由反比例函数值求自变量】 1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）下列各点中，一定在反比例函数的图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各个点代入解析式中，判断是否在函数图象上即可． 【详解】∵反比例函数为， ∴， 、，此点不在图象上，不符合题意； 、，此点在图象上，符合题意； 、，此点不在图象上，不符合题意； 、，此点不在图象上，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是正确理解点在函数图象上，则满足． 2．（2023·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点且平行轴的直线交双曲线于点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据题意可得，根据点在双曲线上可求出点的坐标，从而即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：， 点在双曲线上， ， ， 点的坐标为， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及反比例函数图象上点的特征，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）北京到杭州铁路线长为．一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为，火车行驶的平均速度为，你能完成表吗？y与x有什么数量关系？能用一个函数表达式表示吗？ 12 15 17 22 87.4 【答案】表格见解析，y与x的函数关系式为 【分析】根据路程=速度×时间可进行求解． 【详解】解：当时，则；当时，则；当时，则；当时，则；当时，则； ∴补全表格如下： 12 15 17 19 22 138.4 110.7 97.7 87.4 75.5 ∴y与x的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义及路程=速度×时间是解题的关键． 【易错必刷七 判断反比例函数图象】 1．（2023·河北廊坊·三模）若函数和函数在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵轴是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的取值分析即可得到答案． 【详解】解：， 的图象在第一象限，的图象在第二象限， ， 函数的图象更靠近坐标轴， 坐标系的纵轴是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 2．（22-23九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】k1＜k2＜k3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=xy，进而可分析k1、k2、k3的大小关系． 【详解】解：读图可知：反比例函数 y＝的图象在第二象限，故k1＜0； y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3； 故答案为k1＜k2＜k3． 【点睛】本题考查反比例函数y=的图象，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大． 3．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图象如图．你认为利用怎样的图形运动就能得到反比例函数的图象？请画出这个图象． 【答案】关于轴对称，图见解析 【分析】根据两个反比例函数解析式的右边互为相反数，即函数值互为相反数，则图象关于轴对称，故作出关于 对称的图象即可得出的图象． 【详解】解：根据两个反比例函数解析式的右边互为相反数，即函数值互为相反数，作出关于对称的图象即可得出的图象，如图： 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，找出与的函数关于轴对称是解题的关键． 【易错必刷八 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 1．（2023·湖南娄底·模拟预测）如图，下列解析式能表示图中变量之间关系的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的图象及绝对值的定义即可判断． 【详解】解：根据反比例函数的图象可得： 第一象限所对应的关系式为：，第四象限所对应的关系式为：， 与的关系式为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象及绝对值的定义，解题关键是熟悉反比例函数的图象． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知两点分布在曲线的两侧，写出一个符合条件的k的整数值： ． 【答案】-4（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，先求出经过点的反比例函数的解析式分别为，结合已知两点分布在曲线的两侧，即可作答． 【详解】解：设经过点的反比例函数的解析式分别为 把两点分别代入，得出 ∴ 即经过点的反比例函数的解析式分别为 ∵已知两点分布在曲线的两侧，、 ∴ 则（答案不唯一） 故答案为： 3．（22-23九年级下·广西钦州·阶段练习）如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 【答案】4 【分析】设，，，，则，，然后根据，，列式求解即可． 【详解】解：设，，，， 则，， 则， ，得， 同理：，得， 又， ， 解得． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 【易错必刷九 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 1．（2023·四川达州·一模）如图，直线y＝kx（k≠0）与双曲线y＝相交于A、C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用反比例函数关于原点中心对称，设A点（a，），则C点（-a，），由坐标的特征便可计算△ABC面积； 【详解】解：∵反比例函数图象上任意一点（x，y）关于原点的对称点（-x，-y）也在函数图象上， ∴反比例函数关于原点对称， 设A点（a，），则C点（-a，）， ∵AB=，C点到AB的距离为2a， ∴△ABC面积=， 故选： C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，掌握反比例函数关于原点中心对称是解题关键． 2．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，过原点的一条直线与反比例函数的图像分别交于A，B两点．若A点的坐标为，则B点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形， 则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， ∵A点的坐标为， ∴B点的坐标为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数图象的对称性．反比例函数的图象关于原点对称． 3．（22-23九年级上·全国·课后作业）如图，与的直径为2，反比例函数的图像与两圆分别交于点A，B，C，D，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图像是中心对称图形，那么阴影部分的面积可看作半径为1的半圆的面积． 【详解】解：由题意得：图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是根据所给的图形的对称性得到阴影部分的面积为一个半圆的面积． 【易错必刷十 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 1．（23-24九年级下·湖南永州·阶段练习）若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查反比例函数的图像与性质；先根据反比例函数的性质得出，再解不等式即可得出结果． 【详解】∵反比例函数 (为常数)的图象在第二、四象限， ∴， 解得． 故选：D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）反比例函数的图象如图所示，则k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】略 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，反比例函数的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)求的取值范围； (2)若此反比例函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数的图象和性质，可以得出答案； （2）把点代入函数关系式，求出m的值即可． 【详解】（1）解：因为反比例函数的图象的一个分支在第二象限，由反比例函数的性质可知， ， 得； （2）解：把代入得到： ， 解得：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 【易错必刷十一 判断反比例函数的增减性】 1．（2024·上海浦东新·三模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，正比例函数的性质．根据反比例函数的性质及正比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、中，， 函数值随自变量的值增大而增大，符合题意； B、中，， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每一象限内函数值随自变量的值增大而增大，不符合题意； C、中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，在每一象限内函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； D、中，， 函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意． 故选：A． 2．（23-24九年级上·广东广州·期末）反比例函数图象过两点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数图象在第三象限中，随的增大而减小，是解题的关键． 由题意知，在第三象限中，随的增大而减小，由，可判断，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在第三象限中，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数的图象（请先完成表格再描点画图） 1 2 3 请你任意写出一条有关上述函数的性质． 【答案】见解析 【分析】本题考查画函数图象及函数图象性质；把所给自变量值代入解析式中即可完成列表，再描点连线即可得到函数图象． 【详解】解：列表： 1 2 3 7 4 3 描点、连线即得到函数图象如下： 由图象知，当时，函数值随自变量的增大而减小．（答案不唯一） 【易错必刷十二 判断反比例函数图象所在象限】 1．（2024·云南昆明·一模）若反比例函数的图象经过点，则其图象分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是掌握函数图象与比例系数的关系． 【详解】解：∵反比例函数经过， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴该函数图象位于第二、四象限． 故答案为：D． 2．（2024·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点，则点在第 象限. 【答案】二 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图像上的点满足函数解析式是解答本题的关键．将点代入反比例函数中，求出，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数中， 得：， ， 点在第二象限， 故答案为：二． 3．（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）如图为反比例函数的部分图象． (1)由图可知，的取值范围是________，点________（填“在”或“不在”）该反比例函数的图象上； (2)将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转________即可得到未知部分的函数图象． 【答案】(1)，不在 (2) 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据所给函数图象，可得出的正负；由函数图象所位于的象限即可解决问题． （2）根据反比例函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】（1）解：由所给函数图象可知， 该反比例函数位于第一、三象限， 所以． 点在第二象限， 所以点不在该反比例函数的图象上． 故答案为：，不在； （2）解：因为反比例函数是中心对称图形，且对称中心为坐标原点， 所以将已知部分的函数图象绕原点顺时针旋转即可得到未知部分的函数图象． 故答案为：． 【易错必刷十三 已知反比例函数的增减性求参数】 1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）若反比例函数的图象，在每个象限内，都随的增大而增大，则的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由在每个象限内，都随的增大而增大，可知， ∴， ∴从选项中可以看出只有B选项符合题意； 故选B． 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）若反比例函数的图象在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的增减性，得到，求出的范围，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； ∴k的值可以是； 故答案为：1（答案不唯一）． 3．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）已知一个函数y与自变量x的部分对应值如下表： （1）从我们已学过的函数判断：y是x的 函数，y与x的函数关系式为 ； （2）根据函数图像，当-2 x -时，求y的取值范围． 【答案】（1）反比例；；（2） 【分析】（1）根据表格中的数据特点可知y是x的反比例函数，利用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的图像与性质即可求解． 【详解】（1）根据表格中的数据特点可知y是x的反比例函数， 设y与x的函数关系式为y=（k≠0） 把（1,4）代入得k=1×4=4 ∴y与x的函数关系式为， 故答案为：反比例；； （2）根据k=4＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小， 当x=-2时，y=-2， 当x=-时，y=-8， ∴当-2 x -时，求y的取值范围为． 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数的特点． 【易错必刷十四 比较反比例函数值或自变量的大小】 1．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分别把点，，代入，算出，然后比较，即可作答． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上 ∴分别把点，，代入， 则， ∵， ∴, 故选：C 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）若点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点．先根据反比例函数中，判断函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． ∵， ∴点位于第二象限， ∴， ∵， ∴点位于第四象限， ∴， 故答案为：． 3．（2023·浙江温州·中考真题）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． (2)求当，且时自变量x的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2)或 【分析】（1）将图中给出的点代入反比例函数表达式，即可求出解析式，并画出图象； （2）当时，，解得，结合图象即可得出x的取值范围． 【详解】（1）解：（1）把点代入表达式， 得， ∴， ∴反比例函数的表达式是． 反比例函数图象的另一支如图所示． （2）当时，，解得． 由图象可知，当，且时， 自变量x的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【易错必刷十五 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，是曲线上的一点，过点作轴于点，交曲线于点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 本题考查反比例函数值的几何意义，根据值的几何意义，利用分割法求面积即可． 【详解】解：∵是曲线上的一点，过点作轴于点，交曲线于点， ∴， ∴的面积为； 故选A． 2．（22-23九年级下·甘肃张掖·阶段练习）如图，双曲线与在第一象限内的图象依次是m和n，设点P在图象m上，垂直于x轴于点C，交图象n于点A，垂直于y轴于D点，交图象n于点B，则四边形的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是解题的关键．根据函数解析式，得出，即可解答． 【详解】解：根据题意，， 所以，四边形的面积． 故答案为：4． 3．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图，已知反比例函数的图象经过点．    (1)求k的值． (2)若点B在x轴上，且，则的面积为______． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把点A坐标代入即可； （2）过A作与C，设点A的坐标为，得到，根据得到，将的面积用m，n来表示即可． 【详解】（1）解：把代入到，得 ， 解得，； （2）如图，过A作于点C，设点A的坐标为，    设点A的坐标为， ∴ ∵，， ∴， ∴的面积为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了学生对于待定系数法，等腰三角形三线合一性质的应用和反比例函数系数k的几何意义的掌握情况．解得关键是用找到三角形面积与k之间的关系． 【易错必刷十六 根据图形面积求比例系数】 1．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知P，Q分别是反比例函数与，且轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作轴于点M，轴于点N．若四边形的面积为2，则的值为（    ）． A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用数形结合的思想来解答． 根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即．先求出过点P时，与坐标轴围成的矩形的面积；再根据四边形的面积，求出过点Q时，的值． 【详解】∵点P是反比例函数上的点 ∴过点P与坐标轴围成的矩形的面积为， ∴过点Q与坐标轴围成的矩形的面积为， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且，若的面积为3，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查已知图形面积求反比例函数的比例系数值，根据三角形的中线平分面积，得到，结合值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：∵，的面积为3， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，轴于点B， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 3．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，，求点所在的反比例函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．利用反比例函数中值的几何意义，求出三角形的面积就可推导出值，写出解析式． 【详解】解：设点所在的反比例函数解析式为：， 过点作，垂足为， ，， ， ； ，且图象在第四象限， ． 点所在的反比例函数解析式为：． 【易错必刷十七 求反比例函数解析式】 1．（2024·广西南宁·一模）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求反比例函数解析式，理解反比例函数的定义是解题关键．根据反比例函数的定义直接求解即可． 【详解】解：由题意，设， 将点代入得：， ∴蓄电池的电压是， 故选：D． 2．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，一副三角板如图所示摆放，反比例函数，的图象分别经过点A，点B，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查待定系数法，设，得到，过点作于点，得到点B坐标，代入解析式即可求出． 【详解】设 则 过点作于点 ， 的图象点B， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，点P的坐标是，过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线于点N，作交双曲线于点M，连接．已知．求k的值．    【答案】14 【分析】使用待定系数法，代入函数图象上某点坐标，求出k的值． 【详解】解：∵点P的坐标是， ， ∵， ， ∴点N的坐标是， ∵点N在双曲线上， ∴； 【点睛】本题考查了反比例函数的基本概念和反比例函数的图象与性质．关键是求出点N的坐标． 【易错必刷十八 反比例函数与几何综合】 1．（23-24九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点和点在轴上，若四边形为矩形，则矩形的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，根据是矩形，点A与点B纵坐标相等，与点D横坐标相等，可设出点A、B、D的坐标，用坐标之差表示出矩形的边长，相乘即可求解．解答本题的关键在于用坐标之差表示出矩形边长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴点A与点B纵坐标相等，点A与点D横坐标相等， 又∵点A在双曲线上，点B在双曲线上 ∴设，，， 则用坐标之差表示： ，， ∴． 故选：C． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，点A在x轴的负半轴上，点C在y的正半轴上，四边形为矩形，点D为中点，反比例函数的图象过点D，且与相交于点E，连接，若，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．设，则，，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵点D为中点， ∴， 把代入，得， ∴， ， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024·江西吉安·二模）如图，在正方形中，边在轴上，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标和的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由正方形的性质及已知，求得正方形的边长，则可求得点D的坐标，由点D在反比例函数图像上，即可求得k的值，从而确定函数解析式； （2）由（1）中所求，可得长度，即点F的横坐标，从而求得点F的纵坐标，最后求出的长． 【详解】（1）解：在正方形中，， ，． 由勾股定理得， ． ， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，即反比例函数的解析式为． （2）解：， ，即点的横坐标为7． 由反比例函数的解析式，得点的纵坐标为． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质． 【易错必刷十九 一次函数与反比例函数图象综合判断】 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及一次函数一次项系数和常数项的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，由反比例函数图象可知，二者不一致，不符合题意； B、由一次函数图象可知，由反比例函数图象可知，二者一致，符合题意； C、由一次函数图象可知一次项系数大于0，常数项大于0，即，二者矛盾，不符合题意； D、由一次函数图象可知一次项系数大于0，常数项大于0，即，二者矛盾，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，则不等式的解集是 ．    【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的综合判断.利用函数图象得到当一次函数图象不在反比例函数图象上方时x的取值即可． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数图象不在反比例函数图象上方时，x的取值范围是：或． 故不等式的解集是： 或， 故答案为： 或. 3．（22-23八年级下·四川资阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标的特征，求出点的坐标，代入即可； （2）首先求出点的坐标为，再根据的面积为，求出，即可解决问题． 【详解】（1）把代入得：， ∴反比例函数的解析式为，   把代入得：， ∴的坐标为， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， （2）把代入中，得， ∴点的坐标为 ∵点的纵坐标等于6， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式． 【易错必刷二十 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．根据，结合图像得出答案． 【详解】解：结合图像可知，的解集为． 故答案为：． 2．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，当或时，， ∴满足的的取值范围为或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为； (2)的面积为8． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数几何综合． （1）将代入反比例函数中，即可求得，再将代入反比例函数解析式求得，最后将点、代入一次函数中求解，即可解题． （2）根据一次函数解析式得出点C，再利用，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上，则， ， 把、代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：把代入，得， ， ， ． 【易错必刷二十一 一次函数与反比例函数的实际应用】 1．（22-23九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 2．（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 3．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 【易错必刷二十二 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 1．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．一次函数落在与反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】 解：∵一次函数(k，b是常数，且) 与反比例函数 (c是常数，且) 的图象相交于，两点， ∴不等式的解集是或． 故选C． 2．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图为反比例函数与一次函数的大致图象，我们可以通过此图象求出不等式的解集，现将反比例函数的图象向右平移个单位，得函数，则直接写出不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】求出平移后的反比例函数的图象与直线的两个交点坐标，再根据图象求解即可． 【详解】解：如图，图象平移后与直线的交点分别记为A、B， 令， 解得：， ∴，， 观察图象可知，不等式的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象综合、反比例函数图象的平移，解题关键是正确求出平移后的图象与直线的交点． 3．（2024·甘肃兰州·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数与一次函数的表达式： (2)过点A作轴于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，两点之间的距离公式． （1）用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式即可； （2）先求出点C的坐标，，再求出一次函数与x轴的交点B的坐标，利用两点之间的距离就出，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数和反比例函数都过点点， ∴，， 解得：，， ∴一次函数的解析式为∶， 反比例函数的解析式为：． （2）∵，， ∴， ∴， 另，解得：， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷二十三 用反比例函数解决问题】 1．（2023·河南南阳·模拟预测）很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器，其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器（图1中的），的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化（如图2），空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图3．下列说法正确的是（    ） A．空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越大 B．当时，的阻值为 C．当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态 D．当时，燃气报警器为报警状态 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，数形结合是解题的关键．根据题意结合函数图象，类比反比例函数图像，逐项分析判断即可即可求解． 【详解】解：A、由图2可知，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的增大而减小， 空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小，故A错误，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值小于，故B错误，不符合题意； C、由图3可知，时，燃气报警器为报警状态， 当空气中一氧化碳体积浓度大于时，燃气报警器为报警状态，故C正确，符合题意； D、由图2可知，时，，而时，燃气报警器报警，故D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·贵州·模拟预测）小华给学校劳动实践基地的蔬菜大棚设计一个记录测量空气湿度的电路方案，已知该方案中电压为定值，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示，则当电阻为时，电流为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的图像和性质，根据函数图像，求出反比例函数的解析式，在把电阻为代入，即可 【详解】设反比例函数的解析式为：， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为：， ∴当时，， ∴当电阻为时，电流为． 故答案为：． 3．（2023·广西南宁·模拟预测）综合与实践 【问题情景】某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 【实践探究】（1）求部分双曲线的函数表达式； 【问题解决】（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】（1）；（2）第二天早上不能驾车出行，见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析． （1）先用待定系数法求出正比例函数解析式，然后求出，从而得出，再求出反比例函数解析式即可； （2）求出当时，，然后进行判断即可． 【详解】解：（1）依题意，设的解析式为，将点代入得：， 解得：， ， 当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ； （2）由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为13小时， ， 第二天早上不能驾车出行． 学科网（北京）股份有限公司 $$