专题05 反比例函数48道压轴题型专训（8大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题05 反比例函数48道压轴题型专训（8大题型） 题型一 反比例函数 题型二 反比例函数的增减性 题型三 已知比例系数求特殊图形的面积 题型四 反比例函数与几何综合 题型五 一次函数与反比例函数的交点问题 题型六 一次函数与反比例函数的实际应用 题型七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型八 用反比例函数解决问题 【经典例题一 根据反比例函数的定义求参数】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如果a和b+3成反比例，且当b=3时，a=1，那么当b=0时，a的值是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数y＝（k＜0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连结AO，过点B作BC∥AO交y轴于点C，若点A的纵坐标为4，且tan∠BCO＝，则k的值为 ． 3．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）已知是的反比例函数，且函数图象过点． (1)求与的函数关系式； (2)当取何值时，． 4．（22-23七年级下·四川成都·期中）根据所学函数知识，解答下列问题： (1)已知函数，当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，函数是反比例函数，并求当时，的值为多少？ 5．（22-23九年级上·河北唐山·期末）如图，矩形的两边，的长分别为3，8，且，在轴的负半轴上，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点． (1)若点坐标为（-6，0），求的值； (2)若，且点的横坐标为． ①用含的代数式表示出点的坐标； ②求出反比例函数的表达式． 6．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．    (1)试求出，的值； (2)已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点． ①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由． ②当与互相垂直时，试求出点的坐标． 【经典例题二 反比例函数的增减性】 1．（2024·浙江温州·二模）已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 2．（23-24九年级上·湖南常德·阶段练习）若k的取值范围如图所示，则在反比例函数的图象的每一个分支上，y随x的增大而 ．    3．（23-24九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求它的解析式； (2)若，求的取值范围． 4．（22-23九年级上·广东汕头·期末）已知点在双曲线上． (1)求此双曲线的表达式与点A的坐标； (2)如果点在此双曲线上，图象经过点A、B的一次函数的函数值y随x的增大而减小，求点B的坐标． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量x的取值范围内的任意， （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：假设，且， ，且， ，， ， 即， ， ∴函数是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： (1)函数 ，f（1）=， ． 计算： ， ，猜想是 函数（填“增”或“减”）； (2)请仿照材料中的例题证明你的猜想． 6．（22-23九年级下·甘肃武威·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小明结合已有的经验探究了函数的图象及性质． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 m n 2 1 …    (1)绘制函数图象①列表：上表是x与y的部分对应值，其中 ， ． ②描点：根据表中的数值描点． ③连接线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象． (2)探究函数性质：请写出函数的两条性质：① ；② ． (3)运用函数图象及性质，根据函数图象，写出不等式，解集是 ． 【经典例题三 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，反比例函数的图象与直线交于点与轴交于点轴于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积． 4．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 6．（2023·河南安阳·一模）函数的图象如图①所示（正方形网格边长为）． (1)根据表格中的数据，在图①中画出函数的图象，根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向 （填“上”或“下”）平移了 个单位长度而得到的； (2)求函数的图象向下平移个单位长度后的函数表达式； (3)如图②，函数的图象无限接近轴及直线，则 ，是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为，，则 ． 【经典例题四 反比例函数与几何综合】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形，，顶点，在轴上，顶点，分别在反比例函数和的图象上．若四边形的面积为，，则的值为 ． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第二象限内，点在反比例函数的图象上，点、分别在轴、轴上，四边形为正方形，且面积为4． (1)求点的坐标． (2)求反比例函数解析式． (3)当时，的取值范围是________． 4．（2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． (1)求和的解析式及m值； (2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 5．（2024·江苏盐城·二模）如图，点、分别在反比例函数、在第一象限的图象上，轴，且． (1)若点的坐标为，求的值． (2)若点、分别在反比例函数、在第一象限的图象上，如图2，，且，与之间的距离为2，连接、，求的面积． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点M、N是反比例函数的图像上的两个动点，过点M作轴、过点N作轴，分别交反比例函数的图像于点P、Q，连接、．设点M的横坐标为，点N的横坐标为．    (1)若，求的长； (2)若，求的值； (3)①求的面积（用含m、n的代数式表示）； ②点P、Q到直线的距离是否相等？并说明理由． 【经典例题五 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、．给出下列结论： ①； ②； ③； ④不等式的解集是或． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，矩形OABC的顶点B是反比例函数与直线在第一象限内的一个交点，其中，若另一个交点是D，则的面积是 ． 3．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． (1)求这两个函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出x的取值范围； (3)设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式． 5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，直线与反比例函数，且的图象交于点A，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数的表达式． (2)点B在反比例函数图象上，且点B的纵坐标是6，连接，．求的面积． 6．（2024·四川达州·模拟预测）如图1，是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线方向运动，F沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动，设运动的时间为x秒，点E，F的距离为，图2平面直角坐标系画的是的图象．    (1)请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；当时， _______； (3)结合所画函数图象如图2所示，当时，请直接写出x的取值范围． 【经典例题六 一次函数与反比例函数的实际应用】 1．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 2．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 3．（2024·吉林松原·二模）如图①，点、在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求和的值； (2)以线段为边向右侧作，如图②，使点恰好落在反比例函数（）的图象上时，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，求线段的长度． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 5．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 6．（23-24九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【经典例题七 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数，的图象于点C和点D，过点C作轴于点E，连结，若的面积与的面积相等，则k的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 2．（2024·山西吕梁·一模）如图，直线分别与轴、轴交于两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为 ． 3．（2024·四川广元·二模）如图，反比例函数 和一次函数 的图象相交于点，，且一次函数 ． 的图象与x轴、y轴分别交于点C，D． (1)求一次函数的解析式； (2)当 时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)连接，，求 的面积． 4．（2024·河南信阳·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． (1)求k与m的值． (2)当时， ①求线段的长； ②点P为反比例函数图象上一动点，若面积为，直接写出P点坐标：________． 5．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为6． (1)求k的值； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一点，连接 ， ，若，求点P的坐标． 6．（2024·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过O，C两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)连接，，求的面积； 【经典例题八 用反比例函数解决问题】 1．（2023·河南安阳·一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~4的整数），函数的图像为曲线．    （1）若曲线过时，的值＝ ； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，的取值范围是 ． 3．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 4．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 5．（22-23九年级·河南·自主招生）某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 6．（22-23九年级上·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 反比例函数48道压轴题型专训（8大题型） 题型一 反比例函数 题型二 反比例函数的增减性 题型三 已知比例系数求特殊图形的面积 题型四 反比例函数与几何综合 题型五 一次函数与反比例函数的交点问题 题型六 一次函数与反比例函数的实际应用 题型七 一次函数与反比例函数的其他综合应用 题型八 用反比例函数解决问题 【经典例题一 根据反比例函数的定义求参数】 1．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如果a和b+3成反比例，且当b=3时，a=1，那么当b=0时，a的值是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设a=（k≠0），然后把b=3，a=1代入可得k的值，进而得到函数解析式，然后再代入b=0求出a即可． 【详解】解：设a=（k≠0）， ∵当b=3时，a=1， ∴1= 解得：k=6， ∴a= 把b=0代入a=中得：a=2， 故选C． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，解题关键是掌握用待定系数法求反比例函数的解析式的步骤． 2．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数y＝（k＜0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连结AO，过点B作BC∥AO交y轴于点C，若点A的纵坐标为4，且tan∠BCO＝，则k的值为 ． 【答案】-24 【分析】先证明四边形OABC是平行四边形，得出∠OAB＝∠BCO，那么tan∠OAB＝ ＝tan∠BCO＝，由AB＝4，求出OB＝6，得到A（-6，4），代入y＝，即可求出k的值． 【详解】解：∵AB⊥x轴， ∴AB∥OC， ∵BC∥AO， ∴四边形OABC是平行四边形， ∴∠OAB＝∠BCO． ∵tan∠BCO＝， ∴tan∠OAB＝＝， 又AB＝4， ∴OB＝6， ∴A（-6，4）． ∵点A在反比例函数y＝（k＜0）的图象上， ∴k＝﹣6×4＝-24． 故答案为：-24． 【点睛】本题主要考查反比例函数上点的坐标特征，解题关键是求出A的坐标. 3．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）已知是的反比例函数，且函数图象过点． (1)求与的函数关系式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设该反比例函数的表达式为：，将点A代入表达式即可求解； （2）将代入（1）所求表达式即可求解； 【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：； 将代入得， ，解得： ∴． （2）将代入中， ，解得：． 【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握反比例函数相关知识并正确计算是解题的关键． 4．（22-23七年级下·四川成都·期中）根据所学函数知识，解答下列问题： (1)已知函数，当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当为何值时，函数是反比例函数，并求当时，的值为多少？ 【答案】(1)，为任意实数 (2)， 【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于的不等式组，求出的值即可； （2）根据反比例函数的定义列出关于的不等式组，求出的值，故可得出反比例函数的解析式，再把代入解析式即可得出的值． 【详解】（1）函数是一次函数， 且为任意实数， 解得， ，为任意实数； （2）函数是反比例函数， ， 解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ． 【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，反比例函数及一次函数的定义，熟知以上知识是解题的关键． 5．（22-23九年级上·河北唐山·期末）如图，矩形的两边，的长分别为3，8，且，在轴的负半轴上，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点． (1)若点坐标为（-6，0），求的值； (2)若，且点的横坐标为． ①用含的代数式表示出点的坐标； ②求出反比例函数的表达式． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）依据矩形的性质即可得出E（﹣3，4），再根据反比例函数的图象经过点E，即可得到m＝﹣3×4＝﹣12； （2）根据勾股定理，可得AE的长，进而得出点F的纵坐标为1，根据反比例函数经过点E，F，可得a＝﹣1，进而得到E（﹣1，4），代入反比例函数可得反比例函数的表达式为． 【详解】（1）解：∵，的长分别为3，8，是的中点．∴，， ∵是的中点，点坐标为（-6，0），∴，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点，∴； （2）解：①如图，连接， ∵点的横坐标为，，∴点的横坐标为， ∵中，，∴，， ∴点的纵坐标为1， ∴， ②∵反比例函数经过点，， ∴，解得， ∴，∴， ∴反比例函数的表达式为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质及勾股定理，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k，解题的关键是熟知勾股定理、反比例函数的图像与性质． 6．（22-23八年级下·福建泉州·期末）如图，点是平面直角坐标系的原点，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，其中，．    (1)试求出，的值； (2)已知点为轴正半轴上的动点，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，交函数的图象于点，过点作轴交的图象于点． ①连结，，，的面积是否随点的运动变化而变化？请说明理由． ②当与互相垂直时，试求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)①的面积随点的运动变化没有发生变化，见解析；② 【分析】（1）根据题意求得，求得点，待定系数法求得反比例函数的系数即可； （2）①延长交轴于点．设点，则点，，求得，推得点，点，，，根据割补法求得即可； ②待定系数法求得直线的解析式为：，根据反比例函数的性质可得点，关于直线对称；根据，求得的值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， 将代入得： ， ∴点， ∵点在函数的图象上， 将代入得： ； （2）解：①的面积随点的运动变化没有发生变化，理由如下：．    延长交轴于点．设点，则点，． ∴ ∵轴 ∴点，点． ∴，． ∴ ， ∴的面积是一个固定值，不会随点的运动变化而变化． ②∵点，点， 设直线的解析式为：， 将代入，解得：， ∴直线的解析式为：； ∴直线是函数图象的对称轴， 又∵， ∴点，关于直线对称； ∴， ∵点，， ∴ 解得：，（不合题意，舍去）； ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了求反比例函数的系数，三角形的面积公式，求一次函数解析式，反比例函数的性质，两点间距离公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【经典例题二 反比例函数的增减性】 1．（2024·浙江温州·二模）已知两个反比例函数，．当时，的最大值和最小值分别为，，的最大值和最小值分别为，．若，则的值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质：当时，在每一象限，y随x的增大而减小；当时，在每一象限，y随x的增大而增大，熟记性质是解题的关键．分和讨论即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴随x的增大而减小，随x的增大而增大， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴随x的增大而增大，随x的增大而减小， ∴，，，， ∵， ∴， ∴（不符合题意，舍去）， 综上，， 故选：D． 2．（23-24九年级上·湖南常德·阶段练习）若k的取值范围如图所示，则在反比例函数的图象的每一个分支上，y随x的增大而 ．    【答案】增大 【分析】由图得，得，故反比例函数的图象在二四象限，故反比例函数的图象的每一个分支上，y随x的增大而增大． 【详解】解：由图得， ∴， 故反比例函数在二四象限， 故反比例函数图象的每一个分支上，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象双曲线的增减性，解题关键是注意每一个分支上． 3．（23-24九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求它的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质：当时，反比例函数的图象在第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当时，反比例函数的图象在第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大解答． （1）根据反比例函数的图象经过点，可以求得k的值，从而可以得到该函数的解析式； （2）根据反比例函数的性质可以写出当时，y的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 即该反比例函数的解析式为． （2）解：∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，；当时，， 故当时，的取值范围为． 4．（22-23九年级上·广东汕头·期末）已知点在双曲线上． (1)求此双曲线的表达式与点A的坐标； (2)如果点在此双曲线上，图象经过点A、B的一次函数的函数值y随x的增大而减小，求点B的坐标． 【答案】(1)双曲线的表达式为，A的坐标为 (2)点B的坐标为 【分析】（1）根据点在双曲线上得，进行计算得，即可得； （2）根据点在此双曲线上得，进行计算得或，可得点B的坐标为或，由（1）知，当时，，，根据得此时一次函数的函数值y随x的增大而减小，符合题意；当时，，，根据，得此时一次函数的函数值y随x的增大而增大，不符合题意，舍去，即可得． 【详解】（1）解：∵点在双曲线上， ∴， 解得：， ∴此双曲线的表达式为， ∴， 点A的坐标为； （2）解：∵点在此双曲线上， ∴， 解得：或， ∴点B的坐标为或， 由（1）知， 当时， ∵，， 又∵， 此时一次函数的函数值y随x的增大而减小，符合题意； 当时， ∵，， 又∵， 此时一次函数的函数值y随x的增大而增大，不符合题意，舍去． ∴点B的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法和反比例函数的性质． 5．（22-23九年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量x的取值范围内的任意， （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：假设，且， ，且， ，， ， 即， ， ∴函数是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： (1)函数 ，f（1）=， ． 计算： ， ，猜想是 函数（填“增”或“减”）； (2)请仿照材料中的例题证明你的猜想． 【答案】(1)，，减 (2)见解析 【分析】（1）根据题意把代入函数中，即可计算出结果．由前两个计算结果比较其大小即可猜想是减函数； （2）仿照材料中的例题，假设，且，再作差通分，讨论比较即可． 【详解】（1）解：把，分别代入函数中， ，， ，但， 猜想是减函数； （2）解：仿照材料中的例题证明： 假设，且， ． ，且， ，，， ， 即， ， ∴函数是减函数． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题，需要通过阅读材料，从材料中得到增函数、减函数的定义．读懂题意是解答关键． 6．（22-23九年级下·甘肃武威·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小明结合已有的经验探究了函数的图象及性质． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 m n 2 1 …    (1)绘制函数图象①列表：上表是x与y的部分对应值，其中 ， ． ②描点：根据表中的数值描点． ③连接线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象． (2)探究函数性质：请写出函数的两条性质：① ；② ． (3)运用函数图象及性质，根据函数图象，写出不等式，解集是 ． 【答案】(1)①2，4；②见解析；③见解析 (2)①该函数的图象关于直线对称；②当时该函数有最大值，最大值为4 (3) 【分析】（1）①将和分别代入即可求m和n；②描点、连线，画出函数图象即 （2）写出两条符合图象的性质即可； （3）根据图象即可求得． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 画出函数图象如下：   ； 故答案为：，； （2）解：性质1：该函数的图象关于直线对称； 性质2：当时该函数有最大值，最大值为4． （3）解：观察图象可知，不等式的解集是． 【点睛】本题考查了函数的图形及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质． 【经典例题三 已知比例系数求特殊图形的面积】 1．（23-24九年级上·江西新余·期末）如图，反比例函数的图象与直线交于点与轴交于点轴于点，连接，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的性质和比例系数的几何意义，连接，由得，根据平行线间的距离可得，熟练掌握反比例函数的性质和比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2024·山东烟台·一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取，过点，，分别作x轴的垂线与反比例函数（）的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键．连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点A、B分别在反比例函数（）和反比例函数的图象上，轴，求的面积． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，延长交y轴于C，得到轴，设，则，即可得到，，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于C， ∵轴， ∴轴， 设，则， ∴，， ∴． 4．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意求得、点的坐标，即可求得，，然后根据矩形的面积公式即可求解； （2）利用反比例函数系数的几何意义即可证得结论． 【详解】（1）解：由题意可知点的纵坐标为2， 把代入， 可得 ，解得 ， ∴， ∴点的横坐标为3， 把代入得，， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：延长，交轴于， ∵轴，轴， 又∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 5．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，并利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设四边形的周长为，点的坐标为，则，利用不等式的性质即可求解； （2）设四边形的周长为，四边形的周长为，分，和，三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为， 则， 由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，取得最小值， 此时点的坐标为； （2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为， 则， 由题意，， ∴当，即时，， 即，∴四边形的周长小于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长等于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长大于四边形的周长． 6．（2023·河南安阳·一模）函数的图象如图①所示（正方形网格边长为）． (1)根据表格中的数据，在图①中画出函数的图象，根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向 （填“上”或“下”）平移了 个单位长度而得到的； (2)求函数的图象向下平移个单位长度后的函数表达式； (3)如图②，函数的图象无限接近轴及直线，则 ，是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为，，则 ． 【答案】(1)上， (2) (3)2，2 【分析】（1）观察图象即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得； （3）根据图象填空即可． 【详解】（1）画出函数的图象如图， 根据表格中的数据及图象，可以发现：的图象是由的图象向上平移个单位长度而得到的； 故答案为：上，： （2）函数的图象向下平移个单位长度后的函数表达式是； （3）如图， 函数的图象无限接近轴及直线，则，是该函数图象上的一点，轴，轴，矩形的面积为，，则． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 【经典例题四 反比例函数与几何综合】 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，则的值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，设，则，，，根据坐标求得，，推得，即可求得． 【详解】解：依题意，设，则，， ∵点A在的图象上 则， 同理∵B，D两点在的图象上， 则 ∵ ∴， 又∵， 故， ∴， 故选：D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形，，顶点，在轴上，顶点，分别在反比例函数和的图象上．若四边形的面积为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数点的坐标特征是关键．设点，则，根据 ，求出值即可． 【详解】解：设点，则， ∴， ∵． ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第二象限内，点在反比例函数的图象上，点、分别在轴、轴上，四边形为正方形，且面积为4． (1)求点的坐标． (2)求反比例函数解析式． (3)当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质熟练掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质是解决问题的关键． （1）根据正方形面积为4得，即可求解； （2）根据反比例函数比例系数的几何意义得：，即可求解； （3）对于，当时，，根据反比例函数的性质即可求解 【详解】（1）∵四边形为正方形，且面积为4 ∴ ∴ ∴ ∵点在第二象限内， ∴点 （2）∵点在反比例函数的图象上，四边形为正方形，且面积为4 ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得： ∵反比例函数的图象在第二、四象限 ∴ ∴ ∴反比例函数解析式为： （3）对于，当时， ∵反比例函数，在每一个象限内，y随x增大而增大，且函数的图象与坐标没有交点 ∴当时， 4．（2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． (1)求和的解析式及m值； (2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质： （1）将点A代入即可求函数解析；将点B代入，求出B点坐标，再将A点、B点坐标代入，可求一次函数的解析式；求出点代入，可求m的值； （2）射线交x轴于点M，连接，此时有最大值，求出与x轴的交点即为所求点． 【详解】（1）解：（1）∵图象过点， ∴， ∴； 把点代入， ∴， ∴， ∵过点A，B， ∴把和代入得， ， 解得， ∴， ∵关于x轴对称点在图象上， ∴； （2）解：由（1）得，，，点C关于x轴的对称点为，射线交x轴于点M，连接， ∴， ∴，此时有最大值， 设的解析式为， 把，分别代入中， ， ∴， ∴的解析式为， 令，则， ∴当最大时M的坐标为． 5．（2024·江苏盐城·二模）如图，点、分别在反比例函数、在第一象限的图象上，轴，且． (1)若点的坐标为，求的值． (2)若点、分别在反比例函数、在第一象限的图象上，如图2，，且，与之间的距离为2，连接、，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数值几何意义，熟练掌握值几何意义是关键． （1）根据题意，分布求出、的值代入所求代数式计算即可； （2）设点的纵坐标为，可知，，，，则，同理，，，，即，，根据的面积等于矩形面积一半得． 【详解】（1）解： 点的坐标为，轴，， ， 点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上， ，， ； （2）解：设点的纵坐标为，则点的纵坐标为，延长交轴于点，过点A作轴，过点B作轴， 轴，，，，，，则， 整理得：， ，， ，，，， ， ， 整理得：， ， ． ， ∴， ． 6．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，点M、N是反比例函数的图像上的两个动点，过点M作轴、过点N作轴，分别交反比例函数的图像于点P、Q，连接、．设点M的横坐标为，点N的横坐标为．    (1)若，求的长； (2)若，求的值； (3)①求的面积（用含m、n的代数式表示）； ②点P、Q到直线的距离是否相等？并说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)①；②相等，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、坐标与图形、三角形的面积公式等知识，熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征是解答的关键． （1）根据反比例函数图像上点的坐标特征求得点M、N坐标，进而利用坐标与图形性质求解即可； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征和坐标与图形得到，，，，进而得到求解即可； （3）①根据坐标与图形性质和三角形的面积求解即可； ②利用坐标与图形性质和三角形的面积求得，根据等底等高的三角形面积相等可得结论． 【详解】（1）解：由题意， 当时，，则， 当时，由得， ∵轴， ∴， ∴； （2）解：由题意，，， ∵轴，轴，点P、Q在反比例函数的图像上， ∴，， ∴，， ∵， ∴，则； （3）解：①由（2）知，，， ∴； ②点P、Q到直线的距离相等，理由： 由（2）知，，，， ∴， ∴， ∴将看成两个三角形的底，则点P、Q到直线的距离相等． 【经典例题五 一次函数与反比例函数的交点问题】 1．（23-24八年级下·四川眉山·期末）如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、．给出下列结论： ①； ②； ③； ④不等式的解集是或． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到故①符合题意； 把代入中得到故②符合题意；把代入得到 求得根据三角形的面积公式即可得到故③符合题意；根据图象得到不等式的解集是或故④符合题意． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】解：①由图象知， 故①符合题意； ②把代入中得 故②符合题意； ③把代入 得 解得： ， ∴ ∴直线解析式是： ∵已知直线与x轴、y轴相交于P、Q两点， 故③符合题意； ④由图象知不等式的解集是或故④符合题意； 四个结论都正确， 故选：A． 2．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，矩形OABC的顶点B是反比例函数与直线在第一象限内的一个交点，其中，若另一个交点是D，则的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，先求出反比例函数的解析式，然后利用解方程组求出点D的坐标，然后根据计算即可． 【详解】解：设，则， ∴点的坐标为， ∴ ，解得， ∴点的坐标为， 代入反比例函数得：， ∴反比例函数解析式为， 解方程组， 解得，， ∴点D的坐标为， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·四川乐山·期末）如下图所示，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． (1)求这两个函数的解析式； (2)当时，根据图象直接写出满足时x的取值范围． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的有关知识，学会用待定系数法求函数解析式，掌握由图象根据要求确定自变量的取值范围的方法． （1）根据待定系数法即可解决． （2）不等式的解集在图象上是直线在上面的部分，根据图象即可写出． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两个点． ∴把、代入得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为； 把代入，得， 解得，， 所以，反比例函数的解析式为 （2）解：由图象得：x的取值范围是． 4．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，根据图象直接写出x的取值范围； (3)设点E为第一象限内反比例函数图象上的点，当时，求直线BE的函数表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、解不等式等，证明三角形全等是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）证明，则且，得到，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， 反比例函数的表达式为； （2）把代入得，， ， 当时，的取值范围为或； （3）过点作交于点，过点作轴的平行线交故点和轴的平行线于点，交故点和轴的平行线于点， ，则为等腰直角三角形，则，， ，， ， ， ， 设点，则且， 解得：，， 即点， 设直线的表达式为：， 把由点、的坐标代入得， ．解得：， 直线的表达式为． 5．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，直线与反比例函数，且的图象交于点A，点A的横坐标为2． (1)求反比例函数的表达式． (2)点B在反比例函数图象上，且点B的纵坐标是6，连接，．求的面积． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点坐标，再求出直线解析式得到直线与轴的交点坐标，根据三角形面积的和差代入数据计算即可． 【详解】（1）解：点横坐标为2，且在直线的图象上， ， ， ∵点在反比例函数，且的图象上， ， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵点在反比例函数图象上，且点的纵坐标是6， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与轴的交点为， ． 6．（2024·四川达州·模拟预测）如图1，是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，E沿折线方向运动，F沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动，设运动的时间为x秒，点E，F的距离为，图2平面直角坐标系画的是的图象．    (1)请直接写出关于x的函数关系式并注明自变量x的取值范围； (2)在如图2坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；当时， _______； (3)结合所画函数图象如图2所示，当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，y随x的增大而增大，2或5 (3)x的取值范围为或 【分析】本题是一道反比例函数综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键． （1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量x的取值范围即可； （2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可； （3）根据两个函数关系式分别求出与的交点坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：当点E、F分别在上运动时，为边长等于x的等边三角形， ∴点E，F的距离等于的长， ∴当时，y关于x的函数表达式为， 当点E、F都在上运动时，点E，F的距离等于， ∴当时，y关于x的函数表达式为， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：由（1）中得到的函数表达式可知：当时，；当时，；当时，， 分别描出三个点，然后顺次连线，如图： 根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当时，y随x的增大而增大． 把代入，得，把代入得； 故答案为：2或5； （3）解：联立方程组， 解得，（不合题意，舍去） 联立方程组 解得，（不合题意，舍去） 由图象知，当时，x的取值范围为或． 【经典例题六 一次函数与反比例函数的实际应用】 1．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 2．（22-23九年级上·河北邢台·期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 3．（2024·吉林松原·二模）如图①，点、在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求和的值； (2)以线段为边向右侧作，如图②，使点恰好落在反比例函数（）的图象上时，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，求线段的长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用，平行四边形的性质等知识， （1）先根据待定系数法求出一次函数的解析式，在将点代入求出值，待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）根据平移的性质可得点的纵坐标为，代入求出点的坐标，得出平移的距离，求出点和点和点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， 将代入得：， ∴一次函数的解析式为：； ∵点在直线上， 将代入得：， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， 将代入得： ∴． （2）∵， ∴反比例函数的解析式为：； 根据题意可得点的纵坐标为， 故将代入得：， 解得：； ∴； ∴， ∴； 即，点的横坐标为， 故将代入得：， ∴； ∴，， ∴． 4．（2024·浙江宁波·模拟预测）小丽家饮水机中水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间满足一次函数关系，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间成反比例关系，当水温降至时，根据图中提供的信息，解答问题． (1)当时，求水温关于开机时间 (2)求图中的值． (3)若小丽在将饮水机通电开机后外出散步，请你预测小丽散步回到家时，饮水机中水的温度． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】 此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出的值； （3）利用已知由代入求出饮水机内的水的温度即可． 【详解】（1） 解：当时，设水温 与开机时间的函数关系为： 依据题意，得 解得： ∴此函数解析式为： （2） 解：当设水温与开机时间的函数关系式为： 依据题意，得： ∴ ∴ 当时， 解得： （3） 解： ∴当时， ∴小丽散步分钟回到家时，饮水机内的水的温度约为． 5．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2)恒温阶段保持的时间有10小时 (3)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）由（1）知，观察图象可得； （3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； ； （2）解：由（1）知， ， 恒温阶段保持的时间有：（小时）， 答：恒温阶段保持的时间有10小时； （3）解：设的解析式为：， 把、代入中得：， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得， ， ， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时． 6．（23-24九年级上·江苏南通·期中）智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降，在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示．    (1)求当时，y与x之间的函数表达式； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 则与之间的函数表达式为， 当时，， 即与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， 因为， 所以加热一次，水温不低于的时间为． 【经典例题七 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数，的图象于点C和点D，过点C作轴于点E，连结，若的面积与的面积相等，则k的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质，由反比例k的几何意义可得，设，所以，再由已知可得，求得，再将点D代入即可求k的值． 【详解】解：由题意可求， ∵直线与交于点C， ∴， 设， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∵D点在直线上， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·山西吕梁·一模）如图，直线分别与轴、轴交于两点，以为边作正方形，双曲线经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】作轴于点，先求出、两点的坐标，故可得出，，再根据定理得出可得出的长，进而得出点坐标，把点坐标代入反比例函数的解析式求出的值即可． 【详解】解：作轴于点． 在，令，则，即， 令，则，即，则，， ∵， ∴， ∵中，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数（）的图象上， ∴，解得； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到的知识点有全等三角形判定与性质以及一次函数图像与坐标轴的交点问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 3．（2024·四川广元·二模）如图，反比例函数 和一次函数 的图象相交于点，，且一次函数 ． 的图象与x轴、y轴分别交于点C，D． (1)求一次函数的解析式； (2)当 时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)连接，，求 的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）先把点坐标代入反比例函数解析式，再把点坐标代入反比例函数解析式求出点的坐标，然后把、坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）利用图象法求解即可； （3）先求得点的坐标，利用进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数中得， ∴， ∴， 把代入中得， ∴， ∴， 把，代入中 得：， ∴， ∴； （2），令则, , 由函数图象可知，当或时，； （3）令，则， ∴点的坐标为， ∴， ∴． 4．（2024·河南信阳·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． (1)求k与m的值． (2)当时， ①求线段的长； ②点P为反比例函数图象上一动点，若面积为，直接写出P点坐标：________． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数、反比例函数解析式，反比例函数与几何综合．熟练掌握一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合是解题的关键． （1）将，分别代入，，计算求解可得； （2）①由题意知，的纵坐标为1．将代入，求的横坐标，然后求线段长度即可； ②设，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）将代入得，， 解得，， 将代入得， 解得，； （2）①由（1）可得反比例函数为，一次函数为 ∵于点， ∴轴． ∴的纵坐标为1． 将代入得，， 解得，， 将代入得， 解得，， ∴， ∴； ②设， ∵， ∴， 解得，或， 将a分别代入反比例函数解析式即可得点坐标为或． 5．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为6． (1)求k的值； (2)结合图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是y轴上一点，连接 ， ，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式． （1）把A的横坐标为6代入，可得点的坐标，再根据待定系数法，即可得到反比例函数的表达式； （2）依据函数图象，即可得到不等式的解集； （3）设，依据，列方程求解即可得到点的坐标． 【详解】（1）， ∴， ∴ （2）∵点A与点B是关于原点成中心对称 ∴， ∴不等式的解集为：或 （3）设，依题意得：       ∴或 6．（2024·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过O，C两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B． (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)连接，，求的面积； 【答案】(1)反比例函数为，直线的表达式为 (2)15 【分析】本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得反比例函数为，进而求得的坐标，然后吧的坐标代入即可求得直线的解析式； （2）作轴，交于点，则，然后根据求得即可； 【详解】（1）解：点在反比例函数第一象限的图象上， ， 反比例函数为， 将点先向左平移5个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点， 点恰好落在反比例函数第三象限的图象上， ， ， ， 代入得， ， 直线的表达式为； （2）作轴，交于点，则， ， 点、关于原点对称， ， ； 【经典例题八 用反比例函数解决问题】 1．（2023·河南安阳·一模）某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（        ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 【答案】B 【分析】 根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确； B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误； C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确； D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确． 故选：B． 【点睛】本题跨学科考查了反比例函数、一次函数的实际应用，理解每个变量的实际意义是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河北唐山·期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（为1~4的整数），函数的图像为曲线．    （1）若曲线过时，的值＝ ； （2）若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，的取值范围是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出各点的坐标是解题的关键． （1）根据每个台阶的高和宽分别是1和2，可得的坐标，然后代入即可解答； （3）分别求得过点和时，过点和时的k值，据此确定k的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴， ∴，即． 故答案为：8． （2）当函数过点和时，， 当函数过点和时，， ∴若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各2个点时，k的取值范围是：． 故答案为：． 3．（2023·江苏盐城·二模）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移 　 　个单位，再向下平移 　　个单位得到，其对称中心坐标为 　　； ②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？ (2)若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案． 【答案】(1)图像见解析；①3，2，；②； (2)， 【分析】 本题考查反比例函数的图象及性质， （1）用描点法画出图象即可． ①根据函数图象的平移规律即可解答； ②先求出时，的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值． 灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键． 【详解】（1）解：画出的图象如图所示： ①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为． 故答案为：3，2，． ②当时，有，即． 由图象可得：当时，． （2）面积扩大两倍后的这块布料周长． 当时，即当，时，取最小值． 4．（23-24九年级上·湖南湘潭·期末）已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． (1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； (2)当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； (3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 【答案】(1)反比例函数 (2) (3)串入的滑动电阻需增加欧姆 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据反比例函数的定义判断即可； （2）利用待定系数法即可求出函数表达式； （3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少A时的电阻，再减去即可． 【详解】（1）解：，且该电路的电源电压为恒值， ， 即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系， 故答案为：反比例函数； （2）， ， ； （3）A， ， 解得， ， 答：滑动电阻需增加10． 5．（22-23九年级·河南·自主招生）某科技小组的同学制作了一个简易台秤（如图1）用来测物体的质量，内部电路如图所示，其中电流表的表盘被改装为台秤的示数已知电源电压为，定值电阻为，电阻为力敏电阻，其阻值与所受压力符合反比例函数关系．        (1)请补全下面的表格，在图中补全点，画出与的关系图象，并写出阻值与压力的函数关系式． ______ ______ (2)已知电路中电流与电阻、电源电压的关系式，当电流表的示数达到最大值时，台秤达到量程的最大值若电流表的量程为，则该台秤最大可称多重的物体？ (3)已知力敏电阻受压力与所测物体的质量的关系为若力敏电阻阻值的变化范围为，则所测物体的质量的变化范围是______ ． 【答案】(1)100，40，图见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据反比例函数中为定值可填表，求出函数关系式，再描点画出图象即可； （2）求出，结合（1）可得的值； （3）用表示出，再代入得关于的不等式组，即可解得答案． 【详解】（1），，补全表格如下： 120 100 60 50 40 30 5 6 10 12 15 20    阻值与压力的函数关系式为； 故答案为：100，40； （2）电流表的示数为时，， 解得， 把代入得： ， 解得， 该台秤最大可称的物体； （3），， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，理解，，，的关系． 6．（22-23九年级上·河南郑州·期中）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)求与（）的函数表达式； (2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】(1) (2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 (3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害 【分析】（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案； （2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案； （3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案． 【详解】（1）解：当时，设双曲线的解析式为， ∵过双曲线， ∴把的坐标代入， 可得：， 解得：， ∴函数表达式为：； （2）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， 代入得， 解得：， ∴解析式为：， ∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长， 当时，代入， 可得：， 解得：， 当，代入， 可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∵（）， ∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为； （3）解：当时，可得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴（）， ∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$