专题04 反比例函数的k值意义60题重难点题型专训（2大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题04 反比例函数k值意义60题重难点题型专训（2大题型） 【精选湖南贵州地区常考题型】 题型一 已知比例系数求图形面积 题型二 根据图形面积求比例系数 【经典例题一 已知比例系数求图形面积】 1．（22-23九年级上·贵州黔西·期末）如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D ，则矩形OABC的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．8 2．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 3．（22-23九年级上·贵州黔南·期末）如图，点B在反比例函数的图象上，轴于点A，连接OB，则△OAB的面积是（    ） A． B． C．3 D．6 4．（22-23九年级上·贵州铜仁·期中）如图，，是函数的图象上的任意两点，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系不能确定 5．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）已知如图，反比例函数，的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．1 D．5 6．（2024·贵州黔东南·一模）如图，已知为反比例函数图象上的两点，连接，则三角形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 7．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）如图所示，如果函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于y轴，垂足为点C，则的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 8．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（22-23九年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接，则四边形的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．24 10．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 11．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）已知反比例函数，在其位于第三像限内的图像上有一点M，从M点向y轴引垂线与y轴交于点N，连接M与坐标原点O，则ΔMNO面积是 ． 12．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为 ． 13．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，点D在轴上，AD与y轴交于点E，若，则的值为 ． 14．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，正比例函数y=－x与反比例函数 的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△AOD的面积为 ． 15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）如图，点在双曲线的图象上，点在双曲线的图象上，且轴，点在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为 ． 16．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，若点M是x轴正半轴上一点，过点M作轴，分别交函数和函数的图像于两点，连接，则的面积为 。 17．（22-23九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，点、分别是轴上的两点，点、分别是反比例函数，图像上的两点，且四边形是平行四边形，则平行四边形的面积为 ． 18．（22-23九年级上·湖南常德·期末）如图，在反比例函数的图像上任取一点，过点作轴的垂线交反比例函数的图像于点，连接，．则的面积为________． 19．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 20．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）根据图甲所示的程序，得到了与的函数图像（如图乙），是轴正半轴上一动点，过点作轴交图像于点，，连结，，则以下结论：①当时，；②的面积为定值；③当时，随的增大而增大；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 21．（22-23九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图双曲线与矩形的边、分别交于、点，、在坐标轴上，且，求． 22．（2024九年级·全国·竞赛）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与另一个正比例函数的图象相交于点，其中点在第一象限．若四边形的面积为24，求点的坐标． 23．（22-23九年级上·湖南张家界·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数的图象经过点(1，6)，菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上． （1）求反比例函数的关系式； （2）求菱形OABC的面积． 24．（22-23九年级上·湖南永州·期末）如图，直线与反比例函数（）的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求、的值及反比例函数的解析式； (2)若点在直线上，且，请求出此时点的坐标． 25．（2023九年级·全国·专题练习）如图，直线与反比例函数的图像交于点，点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），轴于点C． (1)求k的值； (2)求的面积； 26．（2024·湖南益阳·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若于点，求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 27．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)根据图象直接写出时，x的取值范围： (3)求的面积． 28．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 29．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，已知正方形的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积是S．    (1)求点B的坐标； (2)当时，求点P的坐标； (3)写出S关于m的函数解析式． 30．（22-23八年级下·湖南株洲·期末）如图是反比例函数与反比例函数在第一象限中的图象，点P是图象上一动点， PA⊥X轴于点A，交函数图象于点C，PB⊥Y轴于点B，交函数 图象于点D，点D的横坐标为a． （1）用字母a表示点P的坐标； （2）求四边形ODPC的面积； （3）连接DC交X轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形． 【经典例题二 根据图形面积求比例系数】 31．（23-24九年级上·湖南永州·期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（    ） A． B． C．3 D． 32．（2024·湖南·三模）如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴于点B．若，则k的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D．不能确定 33．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图所示（图像在第二象限），若点在反比例函数的图像上，轴于点，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．（22-23九年级下·湖南永州·开学考试）如图所示（图象在第二象限），点是反比例函数上的一点，轴于点，的面积为2，则的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 35．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，A为双曲线图象上一点，轴于B点，若，则的k值是(   )    A．3 B．6 C．9 D．12 36．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值是（    ） A． B．6 C． D． 37．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数（k≠0，x＞0）的图像上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（    ） A． B． C． D． 38．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）如下图，过反比例函数（）图像上的一点A作y轴的平行线交反比例函数（）于点B，连接．若，则k的值为（    ）    A．4 B． C． D． 39．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 40．（2023·湖南衡阳·一模）如图1，已知A，B是反比例函数（，）图像上的两点，轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作轴，垂足为M．设三角形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致如图2，则k的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 41．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图所示，设C为反比例函数图象上一点，且长方形的面积为5，则这个反比例函数的解析式为 ． 42．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知点A在反比例函数图像上，轴于点M，且的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 43．（2023·贵州铜仁·中考真题）如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形的面积为6，，则k的值为 ． 44．（2024·湖南株洲·一模）如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，为的中点，连接，若的面积为，则的值为 ． 45．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，点A是反比例函数y1= （x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2= （x＞0）的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为2，则k的值为 ． 46．（22-23·贵州铜仁·二模）如图，点A是反比例函数（）图象上一点，轴于点且与反比例函数（）的图象交于点B，，连接，，若的面积为8，则 ． 47．（2024·湖南郴州·二模）如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么 ． 48．（23-24九年级上·湖南湘潭·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接，若的面积为3，则k的值为 ．    49．（2023·湖南株洲·一模）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连结，的面积是5，则k的值是 ．    50．（22-23九年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于、，为上一点且为的中位线，的延长线交反比例函数的图象于，，则的值和点的坐标分别为 ． 51．（22-23九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象分别交于点P，Q．    （1）求P点的坐标； （2）若△POQ的面积为9，求k的值． 52．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为点且的面积为． （1）求与的值； （2）若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值的取值范围． 53．（22-23九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 54．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点为A(-2，m)．过点A作AB⊥x轴，且ABO的面积为2． （1）k和m的值； （2）若点C(x，y)也在反比例函数的图象上，当时，直接写出函数值的取值范围． 55．（22-23九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，过点A作轴，垂足为C，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若，是函数图象上的两点，且，写出实数p的取值范围． 56．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，的顶点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第四象限的交点，AB垂直x轴于B，且． (1)求这两个函数的解析式； (2)求出它们的交点A、C的坐标和AOC的面积． 57．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3． (1)试求的值； (2)若，点的坐标． 58．（2023·湖南常德·一模）如图，在平面直角坐标中，直线轴，垂足为，反比例函数的图象与直线交于点，的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)在轴正半轴上取一点，使，求直线的函数表达式． 59．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，一次函数与反比例函数，的图象交于，两点，轴于点，轴于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出>时的的取值范围； (3)求的面积． 60．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点、，直线AB交x轴于点D，的面积等于3． (1)求一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P是直线AB图象上的动点，若CP把分成面积比等于2：3的两部分，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 反比例函数k值意义60题重难点题型专训（2大题型） 【精选湖南贵州地区常考题型】 题型一 已知比例系数求图形面积 题型二 根据图形面积求比例系数 【经典例题一 已知比例系数求图形面积】 1．（22-23九年级上·贵州黔西·期末）如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D ，则矩形OABC的面积为（　　） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义得到OA•OD=2．由D是AB的中点，得到AB=2AD，则矩形的面积=OA•AB=2AD•OA=2×2=4． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，四边形OADC是矩形， ∴OA•AD=2． ∵D是AB的中点， ∴AB=2AD， ∴矩形的面积=OA•AB=2AD•OA=2×2=4． 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 2．（2022·湖南湘潭·中考真题）如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】欲求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=的系数k，由此即可求出S1+S2． 【详解】解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4， ∴S1+S2=4+4-1×2=6． 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质及任一点坐标的意义，有一定的难度． 3．（22-23九年级上·贵州黔南·期末）如图，点B在反比例函数的图象上，轴于点A，连接OB，则△OAB的面积是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【分析】设点B的坐标为，可求得mn=3，据此即可求得． 【详解】解：设点B的坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ，mn=3， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，熟练掌握和运用反比例函数的系数的几何意义是解决本题的关键． 4．（22-23九年级上·贵州铜仁·期中）如图，，是函数的图象上的任意两点，过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为，记的面积为，的面积为，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系不能确定 【答案】A 【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即可得答案． 【详解】解：结合题意可得：，都在双曲线 上， 由反比例函数系数k的几何意义有， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 5．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）已知如图，反比例函数，的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接，则的面积等于（   ） A．2 B．3 C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，解题的关键是连接，和都是正方形，，可得，即可求出． 【详解】解：连接， ∵和都是正方形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．（2024·贵州黔东南·一模）如图，已知为反比例函数图象上的两点，连接，则三角形的面积是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例图象上点的坐标特征，分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，且的延长线交于点．根据求得即可． 【详解】解：分别过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，且的延长线交于点， 都是反比例函数图象上的两点， ， ， ， ， ， 故选：D． 7．（23-24九年级上·湖南·阶段练习）如图所示，如果函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于y轴，垂足为点C，则的面积为（     ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．由题意易得点A、B关于原点对称，则点O为的中点，则有和的面积相等，由反比例函数的几何意义可得的面积为2，进而问题可求解． 【详解】解：由函数与的图象交于A，B两点，则有点A、B关于原点对称； ∴点O为的中点； ∴； ∵轴， ∴由反比例函数k的几何意义可得； ∴； 故选：D． 8．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算． 【详解】解：如图， 连接OA、OB、PC． ∵AC⊥y轴， ∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1， ∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 9．（22-23九年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接，则四边形的面积为（　　） A．4 B．8 C．12 D．24 【答案】C 【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，得出，再根据反比例函数的对称性可知，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为；图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性． 10．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点，    ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 11．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）已知反比例函数，在其位于第三像限内的图像上有一点M，从M点向y轴引垂线与y轴交于点N，连接M与坐标原点O，则ΔMNO面积是 ． 【答案】3 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到：△MNO的面积为|k|，即可得出答案． 【详解】∵反比例函数的解析式为， ∴k=6， ∵点M在反比例函数图象上，MN⊥y轴于N， ∴S△MNO=|k|=3， 故答案为：3 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 12．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）如图，点在反比例函数第一象限内的图象上，点在轴的正半轴上．若是等边三角形，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】过点A作轴于C，根据等边三角形的性质得到，再根据反比例函数系数k的几何意义得到即可求解． 【详解】解：过点A作轴于C， ∵点在反比例函数第一象限内的图象上，是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义、等边三角形的性质，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答的关键． 13．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，点D在轴上，AD与y轴交于点E，若，则的值为 ． 【答案】10 【分析】作AF⊥x轴于F，易得矩形ABOF的面积等于平行四边形ABCD的面积等于三角形BCE面积的2倍等于6，再利用|k|等于矩形ABOF的面积即可． 【详解】解：如图，过点A作AF⊥x轴于F， ∵S△BCE=5， ∴S平行四边形ABCD=2S△BCE=10， ∵S矩形ABOF=S平行四边形ABCD， ∴S矩形ABOF=10， ∴|k|=10， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴k=10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，应用S矩形ABOF=S平行四边形ABCD是解题的关键． 14．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，正比例函数y=－x与反比例函数 的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△AOD的面积为 ． 【答案】4 【分析】根据反比例函数的k的几何意义，可得，根据反比例函数与正比例函数的中心对称性，可知O是BD的中点，即可求出△AOD的面积． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，且AB⊥x轴于点B， ∴， ∵A，C是反比例函数与正比例函数的交点，且CD⊥x轴于点D， ∴O是BD的中点， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数k的几何意义和中心对称性是解题的关键． 15．（22-23九年级上·湖南常德·期中）如图，点在双曲线的图象上，点在双曲线的图象上，且轴，点在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为 ． 【答案】2 【分析】设A的坐标为，则B的坐标为，然后利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点在双曲线的图象上， 设A的坐标为 ， ∴， ∵四边形为矩形，轴， ∴， ∴B的纵坐标为，而点在双曲线的图象上， ∴B的横坐标为， ∴ ∴矩形的面积= 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与矩形的面积公式，反比例函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 16．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，若点M是x轴正半轴上一点，过点M作轴，分别交函数和函数的图像于两点，连接，则的面积为 。 【答案】2.5 【分析】由轴可知，拆分即可得出结论． 【详解】解：∵轴， ∴轴，轴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：2.5 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是通过拆分三角形求出的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由反比例函数系数k的几何意义得出和，再根据三角形之间的关系得出结论． 17．（22-23九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，点、分别是轴上的两点，点、分别是反比例函数，图像上的两点，且四边形是平行四边形，则平行四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】连接OC、OD，根据反比例函数系数k的几何意义求出和的面积，从而求出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，连接OC、OD，CD交y轴于E， ∵点C，D分别是反比例函数，图象上的两点， ，， ， ． 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 18．（22-23九年级上·湖南常德·期末）如图，在反比例函数的图像上任取一点，过点作轴的垂线交反比例函数的图像于点，连接，．则的面积为________． 【答案】 【分析】设点的横坐标为，代入反比例函数中，可得到，由于，可得，从而可得的长，知道的底和高，即可得到答案． 【详解】解：设点横坐标为 ∵点在上 ∴ ∵轴 ∴ ∵在上 ∴，则 ∴． 故填：5． 【点睛】本题考查反比例函数，熟练利用反比例函数的解析式求点的坐标，运用三角形的面积公式是解答此题的关键． 19．（2024·湖南益阳·二模）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可． 【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025， ∴阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 把代入得：，即， ∴， 根据反比例函数中的几何意义，可得：， ∴， 故答案为：． 20．（22-23九年级上·湖南长沙·期中）根据图甲所示的程序，得到了与的函数图像（如图乙），是轴正半轴上一动点，过点作轴交图像于点，，连结，，则以下结论：①当时，；②的面积为定值；③当时，随的增大而增大；④．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】根据题意得到当时，，当时，，设，，求出，，根据三角形的面积公式即可求得的面积是；结合反比例函数的性质即可求解，得出答案． 【详解】解：①当时，；故此选项①错误； ②当时，，当时，， 设，， 则，， ∴的面积是；故此选项②正确； ③当时，，随的增大而减小；此选项③错误； ④设，，则， ，， 故，， 故；此选项④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟练掌握反比例函数的相关性质是解题的关键． 21．（22-23九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图双曲线与矩形的边、分别交于、点，、在坐标轴上，且，求． 【答案】K=-2 【分析】设未知数求解即可. 【详解】解：如图：连接 在双曲线，得 ． 由，得 ， 当时，即． 由，得 ． ， 解得，， ． 【点睛】掌握反比例函数的性质是解题的关键. 22．（2024九年级·全国·竞赛）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点，与另一个正比例函数的图象相交于点，其中点在第一象限．若四边形的面积为24，求点的坐标． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形是平行四边形，由此得；设点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，由，分两种情况即可求得m，进而求得点C的坐标． 【详解】解：根据对称性，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、，如图， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴， 当时，则， ∴， 即， 解得(舍)或， ∴点； 当时，则， ∴， 即， 解得(舍)或， ∴点． 综上，点的坐标为或． 23．（22-23九年级上·湖南张家界·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数的图象经过点(1，6)，菱形OABC的顶点A在函数的图象上，对角线OB在x轴上． （1）求反比例函数的关系式； （2）求菱形OABC的面积． 【答案】（1）；（2）12． 【分析】（1）运用待定系数法，把（1，6）代入即可求解； （2）根据菱形的对角线互相垂直平分，得菱形的两条对角线长分别是2和8，再根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半进行计算． 【详解】解：（1）∵y=的图象经过点（1，6）， ∴k=16=6， ∴所求反比例函数的关系式为y=； （2）连接AC交x轴于点D， ∵四边形OABC是菱形， ∴AD=CD，AD⊥OB，OD=BD， ∴S△AOD=S△ABD=S△OCD=S△BCD， ∵S△OAD=×6=3， ∴S菱形OABC=12． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、以及菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|． 24．（22-23九年级上·湖南永州·期末）如图，直线与反比例函数（）的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点． (1)求、的值及反比例函数的解析式； (2)若点在直线上，且，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)a=-1，b=-1， (2)或 【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a，b，最后用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）设出点P坐标，用三角形的面积公式求出，，进而建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数（）的图象交于，两点， ∴，， ∴，， ∴，， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：设点， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ． ∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 25．（2023九年级·全国·专题练习）如图，直线与反比例函数的图像交于点，点B是此反比例函数图形上任意一点（不与点A重合），轴于点C． (1)求k的值； (2)求的面积； 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）将点，代入反比例函数即可求出，然后将A的坐标代入直线即可求出k的值． （2）根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】（1）∵直线与反比例函数的图像交于点， ∴点，代入反比例函数即可求出， ∴， 将代入，得． （2）设点B的坐标为， ∴， ∵点B在反比例函数上， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数和反比例函数结合问题，反比例函数k的几何意义，解题的关键是根据题意求出a的值． 26．（2024·湖南益阳·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若于点，求的面积； (3)在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)     (3) 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）联立函数式求出点坐标，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，由轴对称可得点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代数所得的解析式解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数比例系数的几何意义，轴对称最短线段问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴； （3）解：由得，或， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得，     ， 解得， ∴直线的解析式为， 令 ，则， ∴点P坐标为． 27．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式： (2)根据图象直接写出时，x的取值范围： (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3)8 【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）根据图象可得结论； （3）求出点的坐标，根据即可求解． 【详解】（1），在的图象上， ， 反比例函数的解析式是． ． ，在函数的图象上， ， 解得：． 则一次函数的解析式是． 所以一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是； （2）由图象得：当或时，； （3）直线与轴相交于点， 的坐标是． ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题关键． 28．（2024九年级·全国·竞赛）如图，过反比例函数图象上的点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点． (1)求四边形周长的最小值，并求出此时点的坐标； (2)过点右边的另一点分别作轴、轴的垂线段，垂足分别为点，如果点的横坐标分别为，试比较四边形与四边形周长的大小． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义，并利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）设四边形的周长为，点的坐标为，则，利用不等式的性质即可求解； （2）设四边形的周长为，四边形的周长为，分，和，三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：设四边形的周长为，点的坐标为， 则， 由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵当且仅当时等号成立， ∴当且仅当时，取得最小值， 此时点的坐标为； （2）解：设四边形的周长为，四边形的周长为， 则， 由题意，， ∴当，即时，， 即，∴四边形的周长小于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长等于四边形的周长； 当，即时，， 即，∴四边形的周长大于四边形的周长． 29．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，已知正方形的面积是9，点O为坐原点，A在x轴上，C在y轴上，B在函数的图像上，点在的图像上异于B的任意一点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别是E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积是S．    (1)求点B的坐标； (2)当时，求点P的坐标； (3)写出S关于m的函数解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据正方形的面积求出边长，即可得到点的坐标； （2）先求出反比例函数解析式，设，分点P位于点B下方和点P位于点B上方两种情况分别讨论解题； （3）用割补法分和求面积． 【详解】（1）∵，且四边形为正方形， ∴， ∴， 所以点B坐标为； （2）由（1）得， ∴反比例函数的解析式为：． 因为矩形和正方形不重合部分的面积是S，且， 设， 当点P位于点B下方时，有， 解得：， ∴P点坐标为：； 当点P位于点B上方时，有， 解得：， ∴P点坐标为：， 综上，P点的坐标为或； （3）用割补法求面积，即可得以下分类讨论： 当时，； 当时，， ∵点P（m，n）在双曲线上， ∴：， 则有； 综上所述，． 【点睛】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候用割补法进行分类讨论是解题的关键． 30．（22-23八年级下·湖南株洲·期末）如图是反比例函数与反比例函数在第一象限中的图象，点P是图象上一动点， PA⊥X轴于点A，交函数图象于点C，PB⊥Y轴于点B，交函数 图象于点D，点D的横坐标为a． （1）用字母a表示点P的坐标； （2）求四边形ODPC的面积； （3）连接DC交X轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形． 【答案】（1）P（2a，）；（2）2；（3）见解析 【分析】（1）先求出点D的纵坐标得到点P的纵坐标，代入解析式即可得到点P的横坐标； （2）利用矩形的面积计算公式及反比例函数k值的几何意义，利用，即可求出答案； （3）证明△DPC≌△EAC，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点D的横坐标为a，且点D在函数图象上， ∴点D的纵坐标， 又PB⊥y轴，且点P在图象上， ∴点P的纵坐标， ∴点P的横坐标为x＝2a， ∴P（2a，）； （2）∵，， ∴； （3）∵PA⊥x轴于点A，交函数图象于点C， ∴点C的坐标为（2a，）， 又P（2a，）， ∴PC＝CA＝， ∵DP∥AE， ∴∠PDE＝∠DEA，∠DPA＝∠PAE， ∴△DPC≌△EAC， ∴DP＝AE， ∴四边形DAEP是平行四边形． 【点睛】此题考查反比例函数的性质，反比例函数图象与几何图形，平行四边形的判定定理，反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质及计算方法是解题的关键． 【经典例题二 根据图形面积求比例系数】 31．（23-24九年级上·湖南永州·期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 连接，根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 32．（2024·湖南·三模）如图，A为反比例函数的图象上的一点，轴于点B．若，则k的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义．根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，然后根据反比例函数性质确定得值． 【详解】解：轴， ， ， ． 故选：A． 33．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图所示（图像在第二象限），若点在反比例函数的图像上，轴于点，的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义（即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为），过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即，据此解答即可．正确理解的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵轴于点，的面积为， ∴，即， ∴， 又∵图像在二象限， ∴， ∴． 故选：D． 34．（22-23九年级下·湖南永州·开学考试）如图所示（图象在第二象限），点是反比例函数上的一点，轴于点，的面积为2，则的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义解答即可. 【详解】解：设点A的坐标为，∵轴于点，的面积为2， ∴， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴； 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，掌握求解的方法是关键. 35．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，A为双曲线图象上一点，轴于B点，若，则的k值是(   )    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可． 【详解】解：∵轴，， ∴， ∴， 故选D ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 36．（23-24九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且，若，则k的值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，等腰三角形的判定和性质，掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，由正比例函数和反比例函数的性质可知，、两点关于原点对称，设，则，，得到，进而得到，再利用等腰三角形三线合一的性质，得到，进而得到，即可求出k的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 函数与反比例函数的图象都关于原点对称， 、两点关于原点对称， 设，则，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， 故选：A． 37．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数（k≠0，x＞0）的图像上，点D的坐标为（﹣3，1），则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的几何意义只要求出矩形OEBF的面积，再根据矩形的性质可得S矩形OGDH＝S矩形OEBF， S矩形OGDH可通过点D（﹣4，1）转化为线段长而求得，最后根据反比例函数的所在的象限，确定k的值即可． 【详解】解：如图，根据矩形的性质可得：S矩形OGDH＝S矩形OEBF， ∵D（﹣3，1）， ∴OH＝3，OG＝1， ∴S矩形OGDH＝OH•OG＝3， 设B（a，b），则OE＝a，OF＝﹣b， ∴S矩形OEBF ＝S矩形OGDH＝OE•OF＝﹣ab＝3， 又∵B（a，b）在函数（k≠0，x＞0）的图像上， ∴k＝ab＝﹣3 故选：B． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征等知识点，灵活地将坐标与线段长进行相互转化是解答本题的关键． 38．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）如下图，过反比例函数（）图像上的一点A作y轴的平行线交反比例函数（）于点B，连接．若，则k的值为（    ）    A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出，再求出，进而求出k的值即可． 【详解】解：∵点A在反比例函数（）的图像上，且轴， ∴， 又∵， ∴， ∴，而， ∴． 故选：C．    【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的关键． 39．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】设点的坐标为，根据矩形对称中心的性质得出延长恰好经过点B，，确定，然后结合图形及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 设点的坐标为， ∵矩形的对称中心M， ∴延长恰好经过点B，，    ∵点D在上，且， ∴， ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 40．（2023·湖南衡阳·一模）如图1，已知A，B是反比例函数（，）图像上的两点，轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为C，过P作轴，垂足为M．设三角形的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图像大致如图2，则k的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】当点P在上运动时，此时S随t的增大而增大，当点P从点A到点B的过程中，三角形的面积S是定值，再根据此时的面积为4，列式计算，即可求解． 【详解】解：由图1可知，点P从点A到点B的过程中，三角形的面积S是定值， 由图2可知：点P从点A到点B的过程中，， ， 解得：， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数k的几何意义及反比例函数的性质，动点问题的函数图象，解题的关键是从函数图象获取相关信息． 41．（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图所示，设C为反比例函数图象上一点，且长方形的面积为5，则这个反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像的性质，熟练掌握反比例函数图像和性质是解答本题的关键． 根据反比例函数的表达式可设C的坐标为，然后根据C点横纵坐标乘积的绝对值等于长方形的面积即可求得a的值，则可写出反比例函数的解析式． 【详解】解：由题意设点C的坐标为，因为长方形的面积为5， 所以有，解得： 所以该反比例函数的解析式是：． 故答案为：． 42．（22-23九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知点A在反比例函数图像上，轴于点M，且的面积为4，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义：过反比例函数图像上一点分别做坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为，据此即可得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图像在第二、四象限， ， 又轴于点M，且的面积为4， ， ， 反比例函数的解析式为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数中比例系数k的几何意义是解此题的关键． 43．（2023·贵州铜仁·中考真题）如图，点A、B在反比例函数的图象上，轴，垂足为D，．若四边形的面积为6，，则k的值为 ． 【答案】3 【分析】设点，可得，，从而得到CD=3a，再由．可得点B，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解∶设点， ∵轴， ∴，， ∵， ∴， ∴CD=3a， ∵．轴， ∴BC∥y轴， ∴点B， ∴， ∵，四边形间面积为6， ∴， 解得：． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 44．（2024·湖南株洲·一模）如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，为的中点，连接，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义（过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为），熟练掌握反比例函数值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵的面积为，为的中点， ∴， ∵轴， ∴， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴． 故答案为：． 45．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，点A是反比例函数y1= （x＞0）图象上一点，过点A作x轴的平行线，交反比例函数y2= （x＞0）的图象于点B，连接OA、OB，若△OAB的面积为2，则k的值为 ． 【答案】5 【详解】延长BA，与y轴交于点C． ∵AB∥x轴， ∴BC⊥y轴． ∵A是反比例函数y1=图象上一点，B为反比例函数y2= (x>0) 的图象上的点， ∴S△AOC= ，S△BOC=   ． ∵S△AOB=2，即， 解得：k=5． 故答案为5． 46．（22-23·贵州铜仁·二模）如图，点A是反比例函数（）图象上一点，轴于点且与反比例函数（）的图象交于点B，，连接，，若的面积为8，则 ． 【答案】 【分析】利用反比例函数比例系数k的几何意义得到，，利用AB=4BC得到S△ABO=4S△OBC=8，所以，解得，再利用，解得，然后计算k1+k2的值． 【详解】解：∵AC⊥x轴于点C，与反比例函数图象交于点B，而k1＜0，k2＜0， ∴，， ∵AB=4BC， ∴S△ABO=4S△OBC=8，即，解得， ∵，解得， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 47．（2024·湖南郴州·二模）如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查已知图形的面积求值，先求出点坐标进而求出的解析式，过点作轴，延长交于点，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为，则：， ∴， ∴， 设， 过点作轴，延长交于点，则： ∵轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 48．（23-24九年级上·湖南湘潭·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连接，若的面积为3，则k的值为 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，首先根据反比例函数中k的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出k的值． 【详解】解：由反比例函数中k的几何意义得：，由反比例函数的对称性可知：， ∴， ∴， 反比例函数图象在一、三象限， ， ． 故答案为：3． 49．（2023·湖南株洲·一模）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连结，的面积是5，则k的值是 ．    【答案】 【分析】作x轴于点，轴于点，设交轴于点，由以及即可求解并结合反比例函数图像即可解答． 【详解】解：如图，作轴于点，轴于点，设交轴于点，    ∵，， ∴， ∵，, ∴,解得：， ∵反比例的图像在第二象限， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 50．（22-23九年级下·湖南株洲·阶段练习）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于、，为上一点且为的中位线，的延长线交反比例函数的图象于，，则的值和点的坐标分别为 ． 【答案】， 【分析】根据三角形的面积是Q点的横纵坐标乘积的一半，且等于，可求出k的值；根据一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B，所以当时，可求出A的横坐标，根据为中位线，可求出C的横坐标，也是Q的横坐标，代入反比例函数可求出纵坐标． 【详解】解：∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∴反比例函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴； ∵是的中位线， ∴轴，即， ∴， ∴Q点的横坐标为2， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∴点Q的坐标为． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查反比例函数的综合运用，熟练掌握并应用反比例函数（）中k的几何意义是解题的关键． 51．（22-23九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，过点M（0，2）的直线l与x轴平行，且直线l分别与反比例函数y＝（x＞0）和y＝（x＜0）的图象分别交于点P，Q．    （1）求P点的坐标； （2）若△POQ的面积为9，求k的值． 【答案】（1）（3，2）；（2）k＝﹣12 【分析】（1）由于PQ∥x轴，则点P的纵坐标为2，然后把y＝2代入y＝得到对应的自变量的值，从而得到P点坐标； （2）由于S△POQ＝S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数k的几何意义得到|k|+×|6|＝9，然后解方程得到满足条件的k的值． 【详解】（1）∵PQ∥x轴， ∴点P的纵坐标为2， 把y＝2代入y＝得x＝3， ∴P点坐标为（3，2）； （2）∵S△POQ＝S△OMQ+S△OMP， ∴|k|+×|6|＝9， ∴|k|＝12， 而k＜0， ∴k＝﹣12． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键. 52．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点作轴，垂足为点且的面积为． （1）求与的值； （2）若点也在反比例函数的图象上，求当时，函数值的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（1）由点A的坐标可知，OB＝4，AB＝m，再由△AOB的面积为4可求出m的值，把A（4，2）代入即可求出k的值； （2）先根据x＝−3与x＝−1时求出y的值，再由此函数的增减性即可求出当−3≤x≤−1时，对应的y的取值范围． 【详解】解：（1）∵A（4，m）， ∴OB＝4，AB＝m， ∴S△AOB＝OB•AB＝×4×m＝4， ∴m＝2， ∴点A的坐标为（4，2）代入，得k＝8； （2）由（1）得，反比例函数的解析式为：， ∵当x＝−1时，y＝-8； 当x＝−3时，y＝， ∵反比例函数在x＜0时y随x的增大而减小， ∴当−3≤x≤−1时，对应的y的取值范围是． 【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义及反比例函数的性质，先根据题意求出m的值是解答此题的关键． 53．（22-23九年级上·湖南益阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过作轴的垂线，垂足为，且的面积为1． (1)求m和k的值； (2)若点也在这个函数的图象上，当时，求y取值范围 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质． （1）根据三角形的面积公式先得到的值，然后把点的坐标代入，可求出的值； （2）先分别求出和3时的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：， ，， ， ； 点的坐标为， 把代入， 解得； （2）解：当时，；当时，， 当时，的取值范围为． 54．（22-23九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数的图象经过点为A(-2，m)．过点A作AB⊥x轴，且ABO的面积为2． （1）k和m的值； （2）若点C(x，y)也在反比例函数的图象上，当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】（1）m=2；；（2）． 【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到m的值，然后把点A的坐标代入，可求出k的值； （2）先分别求出x=1和x=3时，y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】解：（1）∵A（2，m）， ∴OB=2，AB=m， ∴S△AOB=•OB•AB=×2×m=2， ∴m=2； ∴点A的坐标为（2，2）， 把A（-2，2）代入， 得k=2×2=4； （2）∵反比例函数为， ∴当x=1时，y=4；当x=3时，， 又∵反比例函数在x＞0时，y随x的增大而增大， ∴当1≤x≤3时，y的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在图象上，点的横纵坐标满足图象的解析式；也考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式以及代数式的变形能力． 55．（22-23九年级上·湖南湘潭·阶段练习）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点，过点A作轴，垂足为C，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若，是函数图象上的两点，且，写出实数p的取值范围． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)实数p的取值范围是或． 【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义求得，进而求得A、B的坐标，然后利用待定系数法可得一次函数的解析式； （2）根据反比例函数的性质即可求得． 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为C，且， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数，可得， ∴， 把代入一次函数,可得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图可得，当在第三象限时， 要使，则； 当在第一象限时， 要使，则； 故实数p的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键． 56．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，的顶点A是一次函数的图象与反比例函数的图象在第四象限的交点，AB垂直x轴于B，且． (1)求这两个函数的解析式； (2)求出它们的交点A、C的坐标和AOC的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)A(1，-3)，C(-3，1)， 【分析】（1）由反比例函数k的几何意义即可求出k的值，从而即可得出这两个函数的解析式； （2）联立反比例函数和一次函数解析式，再根据点A和点C所在的象限，即可求出其坐标．设直线AC与y轴交于点D，根据一次函数解析式可求出点D坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）∵点A在反比例函数图象上，轴，且， ∴， 解得：． ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2）联立， 解得：，． ∵点A在第四象限，点C在第二象限， ∴A(1，-3)，C(-3，1)． 如图，设直线AC与y轴交于点D， 对于，令，得：， ∴D(0，-2)， ∴OD=2． ∵，， ∴． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合．考查反比例函数k的几何意义，反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标等知识．利用反比例函数k的几何意义求出两个函数的表达式是解题关键． 57．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，且的面积为3． (1)试求的值； (2)若，点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据三角形面积求出的值是解此题的关键． （1）根据反比例函数的几何意义可得，再结合反比例函数所在象限即可确定的值； （2）由可得点的横坐标为2，代入反比例函数求得纵坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 反比例函数的图象位于第一象限， ， ； （2）解：由（1）得：， 反比例函数解析式为：， ， 设， 将代入得：， ． 58．（2023·湖南常德·一模）如图，在平面直角坐标中，直线轴，垂足为，反比例函数的图象与直线交于点，的面积为． (1)求反比例函数的表达式； (2)在轴正半轴上取一点，使，求直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，从而得到，即可求解； （2）先求出，可得B的坐标为（5，0），再利用待定系数法，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：=6， 又∵A点的坐标为（m，3）， ∴，解得：， ∴ A点的坐标为（4，3）         ∴ ，解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：轴    即B的坐标为（5，0）， 设直线AB的解析式为 ，解得 ， ∴直线AB的解析式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，求一次函数解析式，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． 59．（22-23九年级上·湖南永州·期中）如图，一次函数与反比例函数，的图象交于，两点，轴于点，轴于点C． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出>时的的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】（1）把代入可求出的值，即可得出反比例函数的解析式，根据、两点坐标，把代入可求出值，利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）根据、坐标，利用图像找出一次函数图像在反比例函数图形上方时的取值范围即可得答案； （3）设直线交轴于，根据一次函数解析式可求出点坐标，根据即可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴反比例函数为， 把代入的，， ∴ 将和代入得 解得， ∴一次函数的表达式是． （2）∵， ∴观察图象得：>时的的取值范围为． （3）设直线交轴于， ∴时，， 解得：， ∴点， ∴． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、利用图像求不等式的解集，待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，分割法求三角形面积，熟练掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题关键． 60．（22-23八年级下·湖南衡阳·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点、，直线AB交x轴于点D，的面积等于3． (1)求一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点P是直线AB图象上的动点，若CP把分成面积比等于2：3的两部分，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义求得反比例函数的解析式，进而得出A，B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）观察图象，写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可； （3）过点作交延长线于，过作交于，设点的横坐标为，则其纵坐标为，求出，表示出，根据CP把分成面积比等于2：3的两部分分情况列式求出n的值即可解决问题． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，轴于点， ， 反比例函数的解析式为， 把点、两点代入得：，， 、， 一次函数图象经过点、， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）观察图象可得：不等式的解集为：或； （3）轴， ， 当时，解得：， ， ， 如图：过点作交延长线于，过作交于， 设点的横坐标为，则其纵坐标为， ，， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：， 当时，；当时，． 符合条件的点坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，根据函数图象求不等式解集以及一次函数的实际应用等知识，注意数形结合思想的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $$