专题03 用反比例函数解决问题重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题03 用反比例函数解决问题重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 销售问题 题型二 行程问题 题型三 物理问题 题型四 几何图形问题 题型五 工程问题 题型六 表格问题 题型七 反比例函数实际综合问题 【经典例题一 销售问题】 【例1】（2024·河北石家庄·二模）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 1．（2023·山东临沂·二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数（统计数据见下表）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为 元． 售价x（元/双） 200 240 250 400 销售量y（双） 30 25 24 15 3．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）某校组织学生到某品牌运动鞋直销店参加社会实践活动，他们参与了该品牌运动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的成本价为130元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价（元/双） 225 300 375 450 销售量（双） 40 30 24 20 (1)观察表中数据，求出与函数关系式； (2)在（1）的条件下，若直销店计划每天的销售利润为4500元，则其售价应定为多少元？ 【经典例题二 行程问题】 【例1】（22-23九年级·全国·课后作业）随着私家车的增多，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上汽车的行驶速度y（千米/时）与路上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当时，y与x成反比例关系，当车速低于20千米/时时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（    ） A． B． C． D．. 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与平均行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·江西景德镇·期末）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间（分）与骑车速度（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是 千米/分． 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【经典例题三 物理问题】 【例1】（2024·山西临汾·一模）物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触在“人造自由百变泥”下放过程中，测力计示数F与“人造自由百变泥”浸入水中深度h的关系如图2所示．当时，由此可知、“人造自由百变泥”的密度是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山西大同·二模）在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流与电阻之间的函数关系，通过实验得到如下表所示的数据： 根据表中数据，下列描述正确的是（   ） A．在一定范围内，随的增大而增大 B．与之间的函数关系式为 C．当时， D．当时， 2．（2024·山西大同·一模）在物理学中，用电功率表示电流做功的快慢．已知串联电路中，电阻消耗的电功率与电阻的比值成正比；并联电路中，电阻消耗的电功率与电阻的比值成反比．如图1；把阻值不等的两个电阻和串联在符合条件的电路中，与的电功率的比是3：5．当把它们并联在符合条件的电路中．的电功率是60W．则的电功率是 W．    3．（2024·山西临汾·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【经典例题四 几何图形问题】 【例1】（22-23九年级上·湖北十堰·期末）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据，在下列函数中，符合表格中所给数据的是：（   ） （单位：度） … 100 250 400 500 … （单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … A．y=x B．y= C．y=﹣x+ D．y= 1．（22-23八年级下·山西晋城·期末）数学活动课上，同学们根据下列表格中的数据，在直角坐标系中经历描点和连线的步骤，正确绘制了某反比例函数的图象，下列关于该函数的描述错误的是（　　） … -3 -2 -1 … 1 2 3 … … 1 3 6 … -6 -3 -1 … A．图象与坐标轴没有交点 B．图象经过点 C．图象在二、四象限 D．当时， 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）某商品售价y（元/件）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比例根据表格写出y与x的函数关系式 ． 售价y（元/件） 11 10 需求量x（件/月） 100 120 3．（2024·吉林·一模）如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d变化而变化，已知m与d是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 托盘B与点O的距离d/厘米 5 10 15 20 25 托盘B中的砝码质量m/克 30 15 10 6 (1)根据表格数据求出m关于d的函数解析式． (2)当砝码质量为12克时，求托盘B与点O的距离． 【经典例题五 工程问题】 【例1】（2023春·安徽·九年级统考期末）冉冉录入一篇文章，录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）之间的关系如图所示； (1)求与间的函数表达式； (2)若冉冉将原有录入速度提高，结果提前2分钟完成了录入任务，求冉冉原来的录入速度． 1．（2023春·九年级课时练习）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调． （1）在这段时期内，每天组装的数量m（台/天）与组装的时间t（天）之间有怎样的函数关系？ （2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天完成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？比原计划多多少？ 2．（2023春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)该蓄水池的蓄水量为_________； (2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？ 3．（2023春·全国·九年级专题练习）某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为立方米，设运输公司每天运送的土石方为(立方米/天)，完成任务所需要的时间为（天)． （1）与之间有怎样的函数关系？ （2）运输公司共派出辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方立方米，工程进行了天后，如果需要提前天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 4．（2023春·浙江杭州·九年级期中）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调，设每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天）. （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完成，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？ 5．（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 【经典例题六 表格问题】 【例1】在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）是反比例函数关系，平平记录了几次测量所得的数据，由于疏忽，其中有一次记录的数据有误，观察表格，有误的那一次是（    ） 第1次 第2次 第3次 第4次 … 受力面积 0.1 0.2 0.3 0.4 … 压强 1000 500 300 250 … A．第1次 B．第2次 C．第3次 D．第4次 1．近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： （单位：度） 100 250 400 500 （单位：米） 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（    ） A． B． C． D． 2．近视镜镜片焦距（米）是镜片度数（度）的某种函数，下表记录了一些数据： （度） … … （米） … … 利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为度时，镜片焦距为 米． 3．兴趣小组为了解某电路中电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系，测得数据如表，根据数据猜想得到三者之间的关系为：．由此可得，当电阻时，电流 A． R（Ω） … 50 100 200 400 … I（A） … … 4．按相同路线行驶完同一条路，开车的速度不同，所用的时间也不相同．下表列出了几个不同的司机按相同路线行驶完同一条路时速度和时间的一些数据． 速度（千米/小时） 80 150 60 时间（小时） 6 4 12 20 (1)写出时间（小时）关于速度（千米/小时）的函数关系式； (2)将表格填写完整； (3)如果某人上午从这条路的一个端点开始出发，以每小时120千米的速度行驶，那么他行驶完这条路时是什么时候？ 【经典例题七 反比例函数实际综合问题】 【例1】（2022·广东·九年级统考竞赛）2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（    ） A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升 D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒 1．（2020下·江苏苏州·八年级校联考期中）两个反比例函数，在第一象限内的图像如图所示，点、、……反比例函数图像上，它们的横坐标分别是、、……，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点、、……分别作轴的平行线，与反比例函数的图像交点依次是、、……，则等于（    ） A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039 2．（2022上·重庆铜梁·九年级重庆市巴川中学校校考开学考试）瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨． 3．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，过点C(3,4)的直线交轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线过点B，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为 ． 4．（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点．若点的坐标为，且．    (1)求反比例函数的表达式； (2)设点是线段上的动点（不与点、重合），过点且平行轴的直线与反比例函数的图象交于点，求面积的最大值． 5．（2023上·浙江温州·九年级校联考开学考试） 确定有效消毒的时间段 背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段． x … 1 2 3 … y … 3 4 …   表1 问题解决 任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式． 任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围． 任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 1．（22-23九年级下·全国·课后作业）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70千米/时的平均速度行驶了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(时)的函数解析式为(       ) A． B． C． D． 2．（2023·河北石家庄·二模）小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·福建宁德·阶段练习）某药店对一种消毒液5天中的售价与销量进行调查，销量是售价的函数（统计数据见下表）．已知该消毒液的进价为22元/瓶，则下列说法正确的是（　　） 售价x（元/瓶） 24 25 30 32 37.5 销售y（瓶） 200 192 160 150 128 A．销量是售价的正比例函数 B．每天的利润是售价的正比例函数 C．每天的利润是售价的反比例函数 D．要使每天的利润达到1600元，售价应为33元/瓶 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）为保护视力，某公司推出一款亮度可调节的台灯．导体中的电流与导体的电阻和导体两端的电压之间满足关系式．台灯灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻来控制电流的变化实现．如图是通过该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，根据图象判断下列说法错误的是（    ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当电阻减小时，通过该台灯的电流增大 D．当时，的取值范围是 5．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）一项市政工程，需运送土石方106米3，某运输公司承办了这项运送土石方的工程，则运送公司平均每天的工作量y（米3/天）与完成运送任务所需时间x（天）之间的函数关系图象大致是（　　） A A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·全国·单元测试）现有一批救灾物资要从A市运往B市，如果两市的距离为500千米，车速为每小时x千米，从A市到B市所需时间为y小时，那么y与x之间的函数关系式为 ，y是x的 函数. 7．（浙江省衢州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，若点A在反比例函数的一支图象上，轴于点M，则的面积为 ． 8．（22-23九年级上·江苏南通·期中）调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）． 售价（元/双） 销售量（双） 已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为 元． 9．（2023·山西晋城·一模）如表记录了一组物理试验数据，已知当温度不变时，气球内气体的压强（单位：）是气体体积（单位：）的函数，则与的函数关系式是 ． （单位：） （单位：） 10．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．    11．（23-24九年级上·福建莆田·期末）某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系． （元） （个） (1)根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式； (2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？ 12．（2023·吉林·中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（） 10 15 50 波长（m） 30 20 6 (1)求波长关于频率f的函数解析式． (2)当时，求此电磁波的波长． 13．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第二象限内，点在反比例函数的图象上，点、分别在轴、轴上，四边形为正方形，且面积为4． (1)求点的坐标． (2)求反比例函数解析式． (3)当时，的取值范围是________． 14．（2024·广东广州·一模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 用反比例函数解决问题重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 销售问题 题型二 行程问题 题型三 物理问题 题型四 几何图形问题 题型五 工程问题 题型六 表格问题 题型七 反比例函数实际综合问题 【经典例题一 销售问题】 【例1】（2024·河北石家庄·二模）某市有4家专卖店销售同样品牌的羽绒服，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四家专卖店的利润率（利润和成本的比值）与该店成本的情况，其中描述甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上，那么销售同样数量的羽绒服获得利润最多的店是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据图象获取信息，即可得出结果． 【详解】解：∵ 甲、丁两家专卖店对应的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴当销售同样数量的羽绒服时，甲，丁的利润相等， ∵丙在双曲线的上方，乙在双曲线的下方， ∴当销售同样数量的羽绒服时，丙的利润大于甲，丁的利润，乙的利润小于甲，丁的利润． 故选C． 1．（2023·山东临沂·二模）为了环保，某工厂在一段时间内限产并投入资金进行治污改造，如图描述的是月利润（万元）关于月份之间的变化关系，治污改造完成前是反比例函数图象的一部分，治污改造完成后是一次函数图象的一部分，则下列说法：①5月份该厂的月利润最低；②治污改造完成后，每月利润比前一个月增加30万元；③该厂8月份的月利润与2月份相同；④治污改造前后，共有6个月的月利润不超过120万元．其中正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，进而分别分析得出答案． 【详解】解：由函数图象可得，5月份该厂的月利润最低为60万，故①正确，符合题意； 治污改造完成后，从5月到7月，利润从60万到120万，故每月利润比前一个月增加30万元，故②正确，符合题意； 设反比例函数解析式为：，代入得， 故， 当， 解得： ， 则只有3月，4月，5月，6月，7月共5个月的利润不超过120万元，故此④错误，不符合题意． 设一次函数解析式为：， 则， 解得， 故一次函数解析式为：， 把代入， 解得， 则治污改造完成后的第8个月，该厂月利润达到150万， 把代入， 得， 故该厂8月份的月利润与2月份相同，此选项③正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键． 2．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段练习）根据某商场对一款运动鞋五天中的售价与销量关系的调查显示，售价是销量的反比例函数（统计数据见下表）．已知该运动鞋的进价为180元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到2400元，则其售价应定为 元． 售价x（元/双） 200 240 250 400 销售量y（双） 30 25 24 15 【答案】300 【分析】待定系数法确定y与x之间的关系式；根据利润为2400元构建方程求解． 【详解】解：设 ∴． ∴． 设售价为m元，则销量为，于是， 解得， 经检验是方程的解． 所以，售价应定为300元． 故答案为：300． 【点睛】本题考查分式方程的应用，反比例函数应用，根据题意构建方程是解题的关键． 3．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）某校组织学生到某品牌运动鞋直销店参加社会实践活动，他们参与了该品牌运动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的成本价为130元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价（元/双） 225 300 375 450 销售量（双） 40 30 24 20 (1)观察表中数据，求出与函数关系式； (2)在（1）的条件下，若直销店计划每天的销售利润为4500元，则其售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)其售价应定为260元 【分析】本题考查了反比例函数的定义，分式方程的应用； （1）根据表格中数据可知，然后可得函数关系式； （2）根据每天的销售利润为4500元得出方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：由表格中数据可知：， ∴是的反比例函数， ∴与函数关系式为； （2）由题意得：， 把代入得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 答：其售价应定为260元． 【经典例题二 行程问题】 【例1】（22-23九年级·全国·课后作业）随着私家车的增多，交通也越来越拥挤，通常情况下，某段公路上汽车的行驶速度y（千米/时）与路上每百米拥有车的数量x（辆）的关系如图所示，当时，y与x成反比例关系，当车速低于20千米/时时，交通就会拥堵，为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是（    ） A． B． C． D．. 【答案】B 【分析】利用已知反比例函数图象过（8，80），得出其函数解析式，再利用y=20时，求出x的最值，进而求出x的取值范围． 【详解】设反比例函数的表达式为，将代入，得，所以当车速为20千米/时，，解得，故为避免出现交通拥堵，公路上每百米拥有车的数量x应该满足的范围是. 故选B. 【点睛】此题考查反比例函数的应用，解题关键在于结合函数图象进行解答. 1．（23-24九年级下·全国·课后作业）甲、乙两地相距，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与平均行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实际问题的函数图象，根据路程、速度、时间之间的关系得到函数解析式，根据解析式判断其图象，即可解题． 【详解】解：由题意得（），所以函数图象大致是B， 故选：B． 2．（22-23九年级上·江西景德镇·期末）小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间（分）与骑车速度（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是 千米/分． 【答案】 【分析】先求出小宇家到学校的距离和函数关系式，再把t=15代入函数关系式即可得到结果． 【详解】解：由图知小宇家到学校的距离是：0.15×20=3（km）， 设函数的解析式为：（t＞0） 又s=3， ∴（t＞0） 当t=15时，（千米/分）． 故答案为：0.2． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）越来越多的人选择骑自行车这种低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住宝山的骑行爱好者打算骑行去上海蟠龙天地，记骑行时间为t小时，平均速度为v千米/小时（骑行速度不超过40千米/小时）．根据以往的骑行经验，v、t的一些对应值如下表： v（千米/小时） 15 20 25 30 t（小时） 2 1 (1)根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； (2)如果这位骑行爱好者上午8：30从家出发，能否在上午9：10之前到达上海蟠龙天地？请说明理由； (3)若骑行到达上海蟠龙天地的行驶时间t满足，求平均速度v的取值范围． 【答案】(1) (2)不能，理由详见解析 (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据和t的取值范围得出结论． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式； （2）骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地，理由： 从上午8：30到上午9：10，骑行者用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度不超过40千米/小时， 骑行者在上午9：10之前不能到达上海蟠龙天地； （3）， 当时，， 解得， 平均速度v的取值范围为． 【经典例题三 物理问题】 【例1】（2024·山西临汾·一模）物理爱好者小明为了测试不溶于水且不吸水的“人造自由百变泥”的密度，他向一个圆柱体水杯中装入一定量的水，用电子测力计悬挂“人造自由百变泥”并使它的最下端与水面刚好接触，如图1所示．从此处匀速下放“人造自由百变泥”，直至浸没于水中并继续匀速下放但不与水杯的底部接触在“人造自由百变泥”下放过程中，测力计示数F与“人造自由百变泥”浸入水中深度h的关系如图2所示．当时，由此可知、“人造自由百变泥”的密度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，根据求出“人造自由百变泥”排开水的体积，根据物体浸没时排开液体的体积和自身的体积相等求出“人造自由百变泥”的体积，根据求出“人造自由百变泥”的质量，根据密度公式求出“人造自由百变泥”的密度． 【详解】解： 由可知，“人造自由百变泥”排开水的体积： ， “人造自由百变泥”浸没时排开液体的体积和自身的体积相等，则“人造自由百变泥”的体积， “人造自由百变泥”的质量：， 则“人造自由百变泥”的密度： 故选：A． 1．（2024·山西大同·二模）在物理活动课上，某小组探究电压一定时，电流与电阻之间的函数关系，通过实验得到如下表所示的数据： 根据表中数据，下列描述正确的是（   ） A．在一定范围内，随的增大而增大 B．与之间的函数关系式为 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用；根据表格数据得出解析式，进而根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：根据表格数据： ∴与之间的函数关系式为，在一定范围内，随的增大而减小，故A选项错误，不符合题意；B选项正确，符合题意； 当时，，故C选项不正确，不符合题意； 当当时，，故D选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·山西大同·一模）在物理学中，用电功率表示电流做功的快慢．已知串联电路中，电阻消耗的电功率与电阻的比值成正比；并联电路中，电阻消耗的电功率与电阻的比值成反比．如图1；把阻值不等的两个电阻和串联在符合条件的电路中，与的电功率的比是3：5．当把它们并联在符合条件的电路中．的电功率是60W．则的电功率是 W．    【答案】36 【分析】本题考查了成比例线段，解题的关键是理解“正比”与“反比”的含义． 根据两个电阻在串联时与其电功率成正比、在并联时与其电功率成反比求解即可． 【详解】根据题意知，两个电阻串联时，电阻与电功率成正比，则两电阻之比等于其消耗功率之比． ∴ 设与并联时，各自的电功率为与，则，根据并联时电阻与电功率成反比， ∴， ∴， 即的电功率为． 故答案为：． 3．（2024·山西临汾·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式； (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1)反比例函数关系， (2) 【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）由表中数据可知，电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：由表中数据可知，电磁波的波长与频率的乘积为定值， ∴电磁波的波长与频率满足反比例函数关系， 设波长关于频率f的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 【经典例题四 几何图形问题】 【例1】（22-23九年级上·湖北十堰·期末）近视镜镜片的焦距y（单位：米）是镜片的度数x（单位：度）的函数，下表记录了一组数据，在下列函数中，符合表格中所给数据的是：（   ） （单位：度） … 100 250 400 500 … （单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 … A．y=x B．y= C．y=﹣x+ D．y= 【答案】B 【分析】根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例，依此即可求解； 【详解】根据表格数据可得，100×1=250×0.4=400×0.25=500×0.2=100， 所以近视镜镜片的焦距y（单位：米）与度数x（单位：度）成反比例， 所以y关于x的函数关系式是y=． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，关键是掌握反比例函数形如（k≠0）． 1．（22-23八年级下·山西晋城·期末）数学活动课上，同学们根据下列表格中的数据，在直角坐标系中经历描点和连线的步骤，正确绘制了某反比例函数的图象，下列关于该函数的描述错误的是（　　） … -3 -2 -1 … 1 2 3 … … 1 3 6 … -6 -3 -1 … A．图象与坐标轴没有交点 B．图象经过点 C．图象在二、四象限 D．当时， 【答案】D 【分析】根据表格的对应值求出函数的解析式，根据函数的性质依次判断即可. 【详解】设该反比例函数的解析式为， 由表格知：当x=-3时y=1，∴k=xy=-3， ∴反比例函数的解析式为， ∴图象与坐标轴没有交点；当x=-6时，y=；函数图象的两个分支在第二、四象限；因为k=-3<0，所以在每个分支上y随着x的增大而增大，故当时，-1<y<0， 故选：D. 【点睛】此题考查反比例函数的性质，正确理解函数的表达方式表格式，根据表格中对应值求出函数解析式，利用反比例函数的性质进行解答. 2．（22-23九年级上·河北石家庄·期末）某商品售价y（元/件）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比例根据表格写出y与x的函数关系式 ． 售价y（元/件） 11 10 需求量x（件/月） 100 120 【答案】 【分析】直接根据题意假设出函数关系式进而把已知数据代入求出答案． 【详解】解：由题意设y与x的函数关系式为：y＝+b， 则， 解得：， 故y与x的函数关系式为：y＝+5， 故答案为y＝+5． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确假设出函数关系式是解题关键． 3．（2024·吉林·一模）如图，在左边托盘A（固定）中放置一个重物，在右边托盘B（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡．托盘B中的砝码质量m随着托盘B与点O的距离d变化而变化，已知m与d是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 托盘B与点O的距离d/厘米 5 10 15 20 25 托盘B中的砝码质量m/克 30 15 10 6 (1)根据表格数据求出m关于d的函数解析式． (2)当砝码质量为12克时，求托盘B与点O的距离． 【答案】(1) (2)厘米 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）观察可得：m，d的乘积为定值150，故m，d之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式； （2）把代入解析式求解，可得答案； 【详解】（1）解：设m关于d的函数解析式为， 当时，， 所以， 解得， ∴m关于d的函数解析式为． （2）把代入得，解得， 答：托盘B与点O的距离为厘米． 【经典例题五 工程问题】 【例1】（2023春·安徽·九年级统考期末）冉冉录入一篇文章，录入时间（分钟）与录字速度（字/分钟）之间的关系如图所示； (1)求与间的函数表达式； (2)若冉冉将原有录入速度提高，结果提前2分钟完成了录入任务，求冉冉原来的录入速度． 【答案】(1) (2)125字/分钟 【分析】（1）根据录入的时间录入总量录入速度即可得出函数关系式； （2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时分钟，由题意得关于t的分式方程，解方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：设 把代入 得， ， ∴y与x的函数表达式为 ； （2）设冉冉实际用了t分钟，则原计划用时分钟，原来的录入速度为x字/分钟 由题意得， ， 整理得： ， ∵录入速度提高了，则实际录入速度为字/分， 则 即 ， 解得：， 经检验是原方程的解， 冉冉原录入速度为：（字/分钟）， 答：冉冉原来的录入速度为125字/分钟． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用、解分式方程，根据工作量得到等量关系是解决本题的关键． 1．（2023春·九年级课时练习）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调． （1）在这段时期内，每天组装的数量m（台/天）与组装的时间t（天）之间有怎样的函数关系？ （2）原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调提前10天完成组装，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？比原计划多多少？ 【答案】（1）；（2）180台，30台 【分析】（1）首先根据题意，因总工作量为9000台空调，故每天组装的台数与生产时间之间成反比例关系，即； （2）计算出当时，；当时，；比较即可得答案． 【详解】解：（1）每天组装的台数（单位：台天）与生产时间（单位：天）之间的函数关系：； （2）当时，． 所以，这批空调提前10天上市，那么原装配车间每天至少要组装180台空调， 原计划用2个月时间（每月按30天计算）完成这一任务，则每天组装150台， 即比原计划多：台． 【点睛】本题考查反比例函数的解析式、性质与运用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案． 2．（2023春·全国·九年级专题练习）某蓄水池员工对一蓄水池进行排水，该蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系如图所示． (1)该蓄水池的蓄水量为_________； (2)如果每小时排水量不超过，那么排完水池中的水所用的时间满足的条件是_________； (3)由于该蓄水池员工有其他任务，为了提前2小时排完水池中的水，需将原计划每小时的排水量增加25%，求原计划每小时的排水量是多少？ 【答案】(1)18000 (2) (3)1800 【分析】（1）此题根据函数图象为双曲线的一支，可设，再把点（6，3000）代入即可求出答案； （2）根据反比例函数的增减性，即可得出答案； （3）设原计划每小时的排水量是，根据等量关系式列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设， ∵点（6，3000）在此函数图象上， ∴蓄水量为6×3000＝18000m3． 故答案为：18000． （2）蓄水池每小时的排水量与排完水池中的水所用的时间之间的函数关系式为：， ∵每小时排水量不超过， ∴根据反比例函数的增减性可知，时，每小时排水量不超过． 故答案为：． （3）设原计划每小时的排水量是，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是所列方程的解， 答：原计划每小时的排水量是． 【点睛】本题主要考查了从函数图象中获取信息，分式方程的应用，根据等量关系式，列出分式方程，是解题的关键． 3．（2023春·全国·九年级专题练习）某运输公司承担某项工程的运送土石方任务．已知需要运送的土石方总量为立方米，设运输公司每天运送的土石方为(立方米/天)，完成任务所需要的时间为（天)． （1）与之间有怎样的函数关系？ （2）运输公司共派出辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方立方米，工程进行了天后，如果需要提前天才能完成任务，那么该运输公司至少需要增派多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】（1）；（2）至少需要增派辆同样的卡车才能按时完成任务． 【分析】（1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列方程即可． 【详解】解：（1）， ， 是的反比例函数； （2）运输公司共派出20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米， 需要天才能完成任务， 工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车， ， 解得：， 答：公司至少需要增派10辆同样的卡车才能按时完成任务． 【点睛】此题主要考查了反比例函数和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． 4．（2023春·浙江杭州·九年级期中）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装9000台空调，设每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天）. （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）原计划用60天完成这一任务，但由于气温提前升高，厂家决定这批空调至少要提前10天完成，那么装配车间每天至少要组装多少台空调？ 【答案】（1）；（2）装配车间每天至少要组装180台空调． 【分析】（1）直接利用每天组装的空调数量为y（台/天），组装的时间为x（天），总数为9000，进而得出答案； （2）利用反比例函数的增减性进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：，即， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）由题意，得0 < x≤60，即0<x≤50， 对于函数， ∵k=9000>0， ∴当0<x≤50时，y的值随x值的增大而减小 ∴y≥， 答：装配车间每天至少要组装180台空调． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数增减性进行分析是解题关键． 5．（2023春·山东青岛·九年级校联考期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？ (3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在10天内完成任务，那么每天至少要完成多少米？ 【答案】(1)y＝；(2)2台挖掘机需要20天；(3)每天至少要完成120m． 【分析】(1)根据图像找到反比例图象上点的坐标，代入反比例函数的解析式即可求出答案； (2)由第一问可计算出工程的总工作量，再根据题目中的工作效率，可计算出所需的工作时间； (3)第一问中可计算出工作的总量，再由条件中的工作时间，可计算出工程所需的工作效率. 【详解】解：(1)设y＝． ∵点(24，50)在其图象上， ∴所求函数表达式为y＝； (2)由图象，知共需开挖水渠24×50＝1200(m)； 2台挖掘机需要1200÷(2×30)＝20天； (3)1200÷10＝120(m)． 故每天至少要完成120m． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键. 【经典例题六 表格问题】 【例1】在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）是反比例函数关系，平平记录了几次测量所得的数据，由于疏忽，其中有一次记录的数据有误，观察表格，有误的那一次是（    ） 第1次 第2次 第3次 第4次 … 受力面积 0.1 0.2 0.3 0.4 … 压强 1000 500 300 250 … A．第1次 B．第2次 C．第3次 D．第4次 【答案】C 【分析】求出每一次测量所得的数据的反比例函数系数进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴第3次记录的数据有误， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 1．近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据： （单位：度） 100 250 400 500 （单位：米） 在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例，依此即可求解． 【详解】解：根据表格数据可得，， 所以近视镜镜片的焦距(单位：米)与度数x(单位:度)成反比例， 所以y关于x的函数关系式是：， 故选：B． 2．近视镜镜片焦距（米）是镜片度数（度）的某种函数，下表记录了一些数据： （度） … … （米） … … 利用表格中的数据关系计算：当镜片度数为度时，镜片焦距为 米． 【答案】 【分析】根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例，依此即可求解； 【详解】根据表格数据可得，100×1= 250×0.4 =400×0.25=500×0.2=100， 所以近视镜镜片的焦距(单位：米)与度数x(单位:度)成反比例， 所以y关于x的函数关系式是：y=， 将x=200代入解析式y=， 得y== 0.5， 故答案为：0.5. 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求函数值，正确求出函数的解析式是解题的关键. 3．兴趣小组为了解某电路中电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系，测得数据如表，根据数据猜想得到三者之间的关系为：．由此可得，当电阻时，电流 A． R（Ω） … 50 100 200 400 … I（A） … … 【答案】 【分析】 本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出U的值．根据题意和表格中的数据，可以得到的值是一个定值，然后将代入函数解析式，求出的值即可． 【详解】解：由题意可得， ，由表格可知：当时，， ∴， ， 当时，， 故答案为：． 4．按相同路线行驶完同一条路，开车的速度不同，所用的时间也不相同．下表列出了几个不同的司机按相同路线行驶完同一条路时速度和时间的一些数据． 速度（千米/小时） 80 150 60 时间（小时） 6 4 12 20 (1)写出时间（小时）关于速度（千米/小时）的函数关系式； (2)将表格填写完整； (3)如果某人上午从这条路的一个端点开始出发，以每小时120千米的速度行驶，那么他行驶完这条路时是什么时候？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)下午4时 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出关系式，并应用性质解决问题是关键， （1）先求出路程，再列函数关系式即可； （2）根据函数关系式，计算完成填表； （3）根据关系式先求出所需时间，再根据出发时间即可解决问题． 【详解】（1）解：路程为（千米）， 路程一定时，时间和速度成反比例函数关系，即． （2）填表如下： 速度（千米/小时） 100 80 150 50 60 30 时间（小时） 6 4 12 10 20 （3）（小时）， ， 答：他行驶完这条路时是下午4时． 【经典例题七 反比例函数实际综合问题】 【例1】（2022·广东·九年级统考竞赛）2021年新冠肺炎疫情防控形势依然严峻，严格按照防疫要求进行个人防护和环境消杀是防控的重点．已知某种环境消杀使用的消毒液中含有有效成分，每将个单位的溶解在一定量水中，则消毒液的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中当时，，当时，．若多次溶解，则某一时刻水中的浓度为每次溶解的在相应时刻溶解的浓度之和．根据科学实验，当消毒液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效消毒．则下列结论不正确的是（    ） A．一次投放4个单位的，在2分钟时，消毒液的浓度为克/升 B．一次投放4个单位的，有效消毒时间可达8分钟 C．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，第8分钟消毒液的浓度为5克/升 D．若第一次投放2个单位的，6分钟后再投放2个单位的，接下来的4分钟能够持续有效消毒 【答案】C 【分析】根据题意，对于题意根据当时，，当时，，当时，，当时，，根据题意求得时的函数值，即可判断A，令根据上述函数关系式，求得的取值范围，进而判断B选项，根据当时，求得函数关系式，求得当时的函数值即可判断C选项，根据C选项的解析式求得的最小值即可判断D选项． 【详解】对于A，由题意可得，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，故A正确， 对于B，当时，，解得， 故， 当时，，解得， 故， 综上所述，， 若一次投放4个单位的，消毒时间可达8分钟，故B正确， 对于C，当时， ，当时，， 故C错误， 对于D，∵， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴有最小值， ∴接下来的4分钟能够持续消毒，故D正确． 故选C 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的应用，类比反比例函数求解是解题的关键． 1．（2020下·江苏苏州·八年级校联考期中）两个反比例函数，在第一象限内的图像如图所示，点、、……反比例函数图像上，它们的横坐标分别是、、……，纵坐标分别是1，3，5，…，共2020个连续奇数，过点、、……分别作轴的平行线，与反比例函数的图像交点依次是、、……，则等于（    ） A．2019.5 B．2020.5 C．2019 D．4039 【答案】A 【分析】主要是找规律，找出规律即可求出本题答案，先根据已知条件求出分别为1、3、5时的值，即可求出当时的值，再将其代入中即可求出． 【详解】解：当时，、、…分别为6、2、… 将、、…代入， 得：、、… ， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征：反比例函数y=（k≠0）的图像是双曲线；图像上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 2．（2022上·重庆铜梁·九年级重庆市巴川中学校校考开学考试）瑞泰工程组安排甲、乙、丙、丁四辆货车用于一批建筑材料运输，已知这四辆货车每一次的运货量都保持不变且为整数（单位：吨），乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨，甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等、当甲、乙、丙、丁四辆货车运输次数之比为恰好运完这一批建筑材料，此时甲车共运输了120吨，则这批建筑材料最多有 吨． 【答案】376 【分析】设甲车每次运吨，可得乙车每次运（吨，丙车每次运吨，丁车每次运吨，由，，，都是整数，知是6的倍数，最小为6，设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，可得，，，故时，最大为376吨． 【详解】解：设甲车每次运吨， 乙车每次运货量比甲车高，丙车每次运货量比甲车多12吨， 乙车每次运（吨，丙车每次运吨， 甲、丙两车运输2次的货物总量与丁车独自运输3次的货物量相等， 丁车每次运吨， ，，，都是整数， 是6的倍数，最小为6， 设这一批建筑材料共吨，运完这一批建筑材料，丁车运输次，则甲车运输次，乙车运输次，丙车运输次， 甲车共运输了120吨， ， ， 根据题意得： ， 当最小时，取最大值， 时，最大为（吨， 这批建筑材料最多有376吨， 故答案为：376． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意设位置时，列出关系式是解题的关键． 3．（2022·江苏南通·统考中考真题）如图，过点C(3,4)的直线交轴于点A，∠ABC=90°，AB=CB，曲线过点B，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为 ． 【答案】4 【分析】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N．将C(3,4)代入可得b=-2，然后求得A点坐标为(1,0)，证明△ABN≌△BCM，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B(4,1)，即可求出k=4，由A点向上平移后落在上，即可求得a的值. 【详解】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N，则∠M=∠ANB=90°， 把C(3,4)代入，得4=6+b，解得：b=-2， 所以y=2x-2， 令y=0，则0=2x-2，解得：x=1， 所以A(1，0)， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBM+∠ABN=90°， ∵∠ANB=90°， ∴∠BAN+∠ABN=90°， ∴∠CBM=∠BAN， 又∵∠M=∠ANB=90°，AB=BC， ∴△ABN≌△BCM， ∴AN=BM，BN=CM， ∵C(3，4)，∴设AN=m，CM=n， 则有，解得， ∴ON=3+1=4，BN=1， ∴B(4，1)， ∵曲线过点B， ∴k=4， ∴， ∵将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A移动后对应点的坐标为(1，a)， ∴a=4， 故答案为4. 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键. 4．（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴，垂足为点，反比例函数的图象经过的中点，交于点．若点的坐标为，且．    (1)求反比例函数的表达式； (2)设点是线段上的动点（不与点、重合），过点且平行轴的直线与反比例函数的图象交于点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入到中，即可求出值，进而求出反比例函数的表达式； （2）根据点，，点为的中点，求出点坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，设点，由题意得到，得，进而得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求出结果． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：如图，    ，， ， 点是的中点， ， 设直线解析式为， ， ， 直线解析式为， 点在线段上且不与，重合， 设点， ， 点在反比例函数上， 设点， ， ， ， ， 当时，最大，最大值为． 【点睛】本题为一次函数、反比例函数、二次函数的综合应用，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的表达式，二次函数的性质等知识，熟知相关知识并灵活运用是解题关键． 5．（2023上·浙江温州·九年级校联考开学考试） 确定有效消毒的时间段 背景素材 预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与释放时间x（min）成一次函数；释放后，y与x成反比例如图1所示，且2min时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）达到最大值．某兴趣小组记录部分y（mg）与x（min）的测量数据如表1．满足的自变量x（min）的取值范围为有效消毒时间段． x … 1 2 3 … y … 3 4 …   表1 问题解决 任务1 确定y关于x的一次函数及反比例函数的表达式． 任务2 初步确定有效消毒时间段即自变量x的取值范围． 任务3 若实际生活中有效消毒时间段要求满足，其中a为常数，请确定实际生活中有效消毒的时间段． 【答案】任务1：；；任务2：；任务3：或． 【分析】任务1：利用待定系数法求解即可；任务2：求得时，对应的x的值，根据图象即可求解；任务3：分当和、时，三种情况讨论，求解即可． 【详解】任务1：解：设当药物释放阶段（即）时， 设， 把，代入， 得，解得， ∴； 设当药物释放后（即）时，设， 把代入， 得， 解得， ∴； 任务2：把分别代入，得， 解得， 由图象，得； 任务3： （1）当时， 把代入，得， 解得； 把代入，得，满足题意； ． （2）时，把代入， 得， 解得（舍去）； ∴无解； （3）时，（即） ①把代入，得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴； ②把代入， 得， 解得； 把代入，解得，满足要求（）， ∴． 综上，或． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． 1．（22-23九年级下·全国·课后作业）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70千米/时的平均速度行驶了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(时)的函数解析式为(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得路程，再由等量关系“速度=路程÷时间”列出关系式即可． 【详解】解：该司机以70千米/时的平均速度行驶了6小时到达目的地， 行驶的路程为(千米)， 汽车的速度v(千米/时)与时间t(时)的函数解析式为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系． 2．（2023·河北石家庄·二模）小明学习了物理中的欧姆定律发现：电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻．已知某滑动变阻器两端电压恒定，当变阻器的电阻调节为10Ω时，测得通过该变阻器的电流为24A，则通过该滑动变阻器的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻，得到，根据题意，求出的值，得到电流I与电阻R成反比例函数关系，即可得出结论． 【详解】解：∵电阻两端的电压＝电流强度×电流通过的电阻， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴电流I与电阻R成反比例函数关系， 故答案A符合题意， 答案B是一次函数，故不符合题意， 答案C是正比例函数，故不符合题意， 答案D是二次函数，故不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查实际问题与函数图象．解题的关键是确定电流I与电阻R成反比例函数关系． 3．（22-23九年级上·福建宁德·阶段练习）某药店对一种消毒液5天中的售价与销量进行调查，销量是售价的函数（统计数据见下表）．已知该消毒液的进价为22元/瓶，则下列说法正确的是（　　） 售价x（元/瓶） 24 25 30 32 37.5 销售y（瓶） 200 192 160 150 128 A．销量是售价的正比例函数 B．每天的利润是售价的正比例函数 C．每天的利润是售价的反比例函数 D．要使每天的利润达到1600元，售价应为33元/瓶 【答案】D 【分析】根据反比例函数的意义计算售价和销售量的乘积，即可判断A，再求出利润的表达式，即可判断B，C，根据利润为1600元列出方程，解之即可判断D． 【详解】解：由表可知： ， ∴销量是售价的反比例函数，故A不合题意； 每天的利润为： 故每天的利润既不是售价的正比例函数，也不是反比例函数，故B，C不合题意； 要使每天的利润达到1600元， 则， 解得：，即售价为33元/瓶，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数，解答本题的关键是正确利用表格中的数据，掌握销售问题中的等量关系． 4．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）为保护视力，某公司推出一款亮度可调节的台灯．导体中的电流与导体的电阻和导体两端的电压之间满足关系式．台灯灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻来控制电流的变化实现．如图是通过该台灯的电流与电阻的反比例函数图象，根据图象判断下列说法错误的是（    ） A．与的函数关系式是 B．当时， C．当电阻减小时，通过该台灯的电流增大 D．当时，的取值范围是 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据反比例函数的性质逐项分析即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：A、将代入关系式得：， 解得：， ∴与的函数关系式是，故原说法正确，不符合题意； B、当时，，故原说法错误，符合题意； C、当电阻减小时，通过该台灯的电流增大，故原说法正确，不符合题意； D、当时，的取值范围是，即，故原说法正确，不符合题意； 故选：B． 5．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）一项市政工程，需运送土石方106米3，某运输公司承办了这项运送土石方的工程，则运送公司平均每天的工作量y（米3/天）与完成运送任务所需时间x（天）之间的函数关系图象大致是（　　） A A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：首先根据题意列出两个变量之间的函数关系，然后根据函数关系式确定函数的图象． 解：∵xy=106米3， ∴y=（x＞0，y＞0） ∴函数是反比例函数且其图象位于第一象限， 故选A． 点评：本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，正确的列出反比例函数的解析式是解决本题的关键． 6．（22-23八年级下·全国·单元测试）现有一批救灾物资要从A市运往B市，如果两市的距离为500千米，车速为每小时x千米，从A市到B市所需时间为y小时，那么y与x之间的函数关系式为 ，y是x的 函数. 【答案】 y=（x＞0） 反比例 【分析】根据时间=路程÷速度可以列出关系式，注意时间应大于0，进而判断出函数类型． 【详解】由题意得：y与x的函数关系式y=（x＞0），y是x的反比例函数， 故本题答案为：y=（x＞0）；反比例． 【点睛】此题考查了实际问题与反比例函数.根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 7．（浙江省衢州市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）如图，若点A在反比例函数的一支图象上，轴于点M，则的面积为 ． 【答案】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．（22-23九年级上·江苏南通·期中）调查显示，某商场一款运动鞋的售价是销量的反比例函数（调查获得的部分数据如下表）． 售价（元/双） 销售量（双） 已知该运动鞋的进价为元/双，要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，则其售价应定为 元． 【答案】300 【分析】先利用待定系数法求出，再根据“利润（售价进价）销量”建立方程，然后解方程即可得． 【详解】由题意，设， 将代入得：，解得， 则， 设要使该款运动鞋每天的销售利润达到元，其售价应定为元， 则， 整理得：， 解得， 经检验，是所列方程的解， 故答案为：300． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式、分式方程的应用，正确求出售价与销量之间的反比例函数关系式是解题关键． 9．（2023·山西晋城·一模）如表记录了一组物理试验数据，已知当温度不变时，气球内气体的压强（单位：）是气体体积（单位：）的函数，则与的函数关系式是 ． （单位：） （单位：） 【答案】 【分析】观察表格发现，从而确定两个变量之间的关系即可． 【详解】解：观察发现：， 故与的函数关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是能够观察表格并发现两个变量的乘积为常数，难度不大． 10．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示，其中4 小时后y是关于x的反比例函数．由图像计算可知血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时．    【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题的关键．分别求出当和时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求出持续时间即可． 【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时， ∴， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为， 故答案为：． 11．（23-24九年级上·福建莆田·期末）某商场出售一批进价为元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价元与日销售量之间满足某种函数关系． （元） （个） (1)根据表中的数据请你写出请与之间的函数关系式； (2)设经营此贺卡的销售利润为元，试求出与之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的销售价每个最高不能超过元，请你求出当日销售单价定为多少元时，才能使日销售获得最大利润？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的定义，两个变量的积是定值，也考查了根据实际问题和反比例函数的关系式求最大值，解题的关键是根据题意列出等量关系． （1）要确定与之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现与的乘积是相同的，都是，所以可知与成反比例，用待定系数法求解即可； （2）首先要知道纯利润（销售单价进价）日销售数量，确定与的函数关系式，然后根据题目的“售价最高不超过元/张”，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为：， 将代入得：， 解得：， 与之间的函数关系式为：； （2）， 又， 当，最大． 12．（2023·吉林·中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率f（） 10 15 50 波长（m） 30 20 6 (1)求波长关于频率f的函数解析式． (2)当时，求此电磁波的波长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【详解】（1）解：设波长关于频率f的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； （2）解：当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 13．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第二象限内，点在反比例函数的图象上，点、分别在轴、轴上，四边形为正方形，且面积为4． (1)求点的坐标． (2)求反比例函数解析式． (3)当时，的取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质熟练掌握反比例函数的图象和性质，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质是解决问题的关键． （1）根据正方形面积为4得，即可求解； （2）根据反比例函数比例系数的几何意义得：，即可求解； （3）对于，当时，，根据反比例函数的性质即可求解 【详解】（1）∵四边形为正方形，且面积为4 ∴ ∴ ∴ ∵点在第二象限内， ∴点 （2）∵点在反比例函数的图象上，四边形为正方形，且面积为4 ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得： ∵反比例函数的图象在第二、四象限 ∴ ∴ ∴反比例函数解析式为： （3）对于，当时， ∵反比例函数，在每一个象限内，y随x增大而增大，且函数的图象与坐标没有交点 ∴当时， 14．（2024·广东广州·一模）越来越多的人选择骑自行车这种低碳又健康的方式出行．某日，家住东涌的李老师决定用骑行代替开车去天后宫．当路程一定时，李老师骑行的平均速度v（单位：千米/小时）是骑行时间t（单位：小时）的反比例函数．根据以往的骑行两地的经验，v、t的一些对应值如下表： t（小时） 2 1.5 1.2 1 v（千米/小时） 12 16 20 24 (1)根据表中的数据，求李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式； (2)安全起见，骑行速度一般不超过30千米/小时．李老师上午8:30从家出发，请判断李老师能否在上午9:10之前到达天后宫，并说明理由； (3)据统计，汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳．请计算李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量． 【答案】(1) (2)李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由见解析 (3)千克 【分析】本题考查反比例函数的应用，关键是求出反比例函数解析式． （1）由表中数据可得，从而得出结论； （2）把代入（1）中解析式，求出v，从而得出结论； （3）根据得到从东涌骑行到天后宫的距离为24千米，根据汽车行驶1千米会产生约0.2千克的二氧化碳即可得到答案． 【详解】（1）解：根据表中数据可知，， ， 李老师骑行的平均速度v关于行驶时间t的函数解析式为； （2）李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫，理由： 从上午8：30到上午9：10，李老师用时40分钟，即小时， 当时，（千米/时）， 骑行速度一般不超过30千米/小时， 李老师能不能在上午9:10之前到达天后宫； （3）∵， ∴从东涌骑行到天后宫的距离为24千米， ∴李老师从东涌骑行到天后宫的过程中二氧化碳的减排量为（千克）． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为，共有6次达到 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数， 设将代入得： ， 解得， ∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：； （2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为， 依据题意得：，解得， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， 经历时间为分钟， ， ∴当时，， 答：饮水机内水温约为，共有6次达到． 学科网（北京）股份有限公司 $$