精品解析：山东省德州市齐河县2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023-2024学年度第二学期教学质量检测 七年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 本试题分选择题48分；非选择题102分；全卷满分150分，考试时间为120分钟考试结束后，只收答题卡． 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的县（市、区）、学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上， 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3．第Ⅱ卷必须用05毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上∶如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案∶不能使用涂改液、胶带纸，修正带，不按以上要求作答的答案无效 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步聚 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分 1. 下列各数中，最小的是( ) A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点A坐标为，则点A所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 不等式的解在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某中学为了解七年级550名学生的睡眠情况，抽查了其中的200名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是（ ） A. 以上调查属于全面调查 B. 总体是七年级550名学生 C. 所抽取200名学生是总体的一个样本 D. 每名学生的睡眠时间是一个个体 5. 如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，已知，平分，若点B可表示，点C可表示为，则点D可表示为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于，的方程组中，与互为相反数，则的值是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 9 8. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（ ）时，两三角板的边 A. B. C. D. 10. 下列命题中的假命题是（ ） A. 点到x轴的距离是2 B. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 C. 在同一平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线平行 D. 在数中，有理数有4个 11. 1.盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点…，按这样运动规律，第2024次运动后，动点的坐标是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6小题，计24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分 13. 的平方根是_____． 14. 工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个的锐角，然后准备在 处进行第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与保持平行，弯的角度是 ________． 15. 点位于第二、四象限的角平分线上，则_____ 16. 如图，将一条长方形纸条进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则度数为 _______． 17. 已知点、，点P在轴上，且的面积为5，则点P的坐标为__________． 18. 若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______． 三、解答题∶本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 19. 解方程组： （1） （2） 20. （1）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来 （2）解不等式组 21. 为了解初一年级学生的跳绳情况，某校体育老师从初一年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，成绩如下：70，72，79，83，96，97，100，108，110，112，115，118，126，127，129，133，140，143，145，147，149，156，156，158，159，163，165，169，172，174，175，179，180，181，181，182，187，195，203，210，并将测试结果统计后绘制成如图不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题： 组别 次数 频数（人 频率 第1组 4 0.1 第2组 8 0.2 第3组 9 第4组 15 0.375 第5组 合计 1 （1）直接写出频数分布表中的a、b、c的值； （2）请补全频数分布直方图； （3）按规定，跳绳次数x满足时，等级为“良好”．若该校初一年级共有学生800人，则其中跳绳等级为“良好”的学生约有多少人？ 22. 如图，已知在的网格中，每个小正方形的边长都是1，请按下列要求操作或解答： （1）将图中的格点三角形平移，使点A平移至点，画出平移后的，并求出的面积； （2）利用网格找出格点（点A除外），使得以该点及点B、点C为顶点的三角形与三角形面积相等，请画出所满足条件的格点（用字母等表示） 23. 如图，点E、F、G分别在线段BC、AB、AC上，且，，． （1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由； （2）若CD平分，，求的度数． 24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．灯塔市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元，购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元． （1）求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？ （2）若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，则最少能购买A型汽车多少辆？ 25. 线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线． （1）若点P在线段AD上，如图1， ①依题意补全图1； ②判断AM与DN的位置关系，并证明； （2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期教学质量检测 七年级数学试题 考试时间：120分钟；满分：150分 本试题分选择题48分；非选择题102分；全卷满分150分，考试时间为120分钟考试结束后，只收答题卡． 注意事项∶ 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的县（市、区）、学校、姓名、准考证号填写在答题卡和试卷规定的位置上， 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 3．第Ⅱ卷必须用05毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上∶如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案∶不能使用涂改液、胶带纸，修正带，不按以上要求作答的答案无效 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步聚 第I卷（选择题 共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分 1. 下列各数中，最小的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可． 【详解】 最小的数是： 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点A所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特征是解题的关键．根据点A的横坐标，纵坐标，可判断其所在象限． 【详解】解： ， ， 点A的横坐标，纵坐标， 点A在第二象限. 故选：B. 3. 不等式的解在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴数轴表示如下所示： 故选D． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集．正确的求出不等式的解集，是解题的关键．注意在数轴上表示不等式的解集时，含等号，用实心点，不含等号，用空心点． 4. 某中学为了解七年级550名学生的睡眠情况，抽查了其中的200名学生的睡眠时间进行统计，下面叙述正确的是（ ） A. 以上调查属于全面调查 B. 总体是七年级550名学生 C. 所抽取的200名学生是总体的一个样本 D. 每名学生的睡眠时间是一个个体 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．以上调查属于抽样调查，故A不符合题意； B．总体是七年级550名学生的睡眠情况，故B不符合题意； C．所抽取的200名学生的睡眠情况是总体的一个样本，故C不符合题意； D．每名学生的睡眠时间是一个个体，故D符合题意； 故选：D． 5. 如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是6， 即大正方形的边长最接近的整数是6， 故选：D． 6. 如图，已知，平分，若点B可表示为，点C可表示为，则点D可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形性质、角平分线的定义，正确理解题意所给点的表示方法是解题关键，由题意设点D可表示为，其中，根据角角的和差关系以及角平分线的性质求得即可． 【详解】解：由题意设点D可表示为， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 即， ∴点D可表示为． 故选：C． 7. 已知关于，的方程组中，与互为相反数，则的值是（ ） A. 0 B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据x与y互为相反数，得到x+y＝0，与方程组第一个方程联立，组成方程组：，求出x、y的值，再代入第二个方程确定出m的值即可． 【详解】解：根据x与y互为相反数，得到x+y＝0，与方程组第一个方程联立，组成方程组：， 解得：， 代入得：m＝2×3﹣3＝3， 故选：C． 【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据题意列出方程组，掌握消元法解方程组的步骤是解题关键． 8. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x＜2可得关于a的不等式，解之可得． 【详解】解：解不等式组， 由①可得：x＜2， 由②可得：x＜a， 因为关于x的不等式组的解集是x＜2， 所以，a≥2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9. 如图摆放的是一副直角三角板，，，与相交于点，当的度数是（ ）时，两三角板的边 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．过点作，再根据在和中，，，可得，，进而求解的度数，再根据平角的定义即可得出答案． 【详解】解：过点作， ， ， ，， 在和中，，， ，， ，， ， ， 故选：B． 10. 下列命题中的假命题是（ ） A. 点到x轴的距离是2 B. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 C. 在同一平面内，过一点有且只有只有一条直线与已知直线平行 D. 在数中，有理数有4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补、平行公理、有理数，点到直线的距离判断即可． 本题考查了命题与定理，掌握两直线平行，同旁内角互补、平行公理、有理数，点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：、点到轴的距离是2，是真命题，不符合题意； 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，是真命题，不符合题意； 、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，符合题意； 、在数中，有理数有4个，是真命题，不符合题意； 故选：C． 11. 1.盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，根据等量关系式：玩偶A的个数×2=玩偶B的个数，玩偶A用的布料+玩偶B用的布料=136米，列出方程组即可． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，由题意可得， ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出题目中的等量关系式，是解题的关键． 12. 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到点…，按这样的运动规律，第2024次运动后，动点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键． 观察图象，得出点运动的规律，再根据循环规律可得答案． 【详解】解：动点第一次从原点运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五次运动到，第六次运动到，， 横坐标与下标相同，纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，，0，2，0； ， 经过第2024次运动后，动点的横坐标为2024，纵坐标是0，即：． 故选：A． 第II卷（非选择题 共102分） 二、填空题：本大题共6小题，计24分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分 13. 的平方根是_____． 【答案】± 【解析】 【分析】首先计算，再求出2的平方根即可． 【详解】解：，2的平方根是±， ∴的平方根是±． 故答案为±． 【点睛】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键． 14. 工人师傅对如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个的锐角，然后准备在 处进行第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与保持平行，弯的角度是 ________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，从点A处向左边弯和从点A处想右边弯两种情况根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图1所示，当向左拐弯时，由题意得，， ∴； 如图2所示，当向左拐弯时， ， ∴； 综上所述，要保证弯过来的部分与保持平行，弯的角度是或， 故答案为：或． 15. 点位于第二、四象限的角平分线上，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟记各象限角平分线上的点的坐标特征是解题的关键.根据平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上点的特征列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点在平面直角坐标系二、四象限的角平分线上， ∴， 解得， 故答案为 16. 如图，将一条长方形纸条进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为 _______． 【答案】##52度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．延长，由折叠的性质，可得，根据纸条是长方形，可得，，利用平行线的性质，得到，，再结合，可得，由此得到． 【详解】解：如图，延长，由折叠的性质，可得， 纸条是长方形， ，， ，， 又 ， ． 故答案为：． 17. 已知点、，点P在轴上，且的面积为5，则点P的坐标为__________． 【答案】（-4，0）或（6，0） 【解析】 【分析】设P（m，0），利用三角形的面积公式构建绝对值方程求出m即可； 【详解】解：如图，设P（m，0）， 由题意： •|1-m|•2=5， ∴m=-4或6， ∴P（-4，0）或（6，0）， 故答案为：（-4，0）或（6，0） 【点睛】此题考查三角形的面积、坐标与图形性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 18. 若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先解关于的不等式，然后根据只有3个正整数解，来确定关于的不等式组的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：解不等式， 得：， 由题意只有3个正整数解，则分别为：1，2，3， 故：， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了关于不等式的正整数解及解一元一次不等式组的解集问题，解题的关键是：根据关于不等式的正整数解的情况来确定关于的不等式组的取值范围，其过程需要熟练掌解不等式的步骤． 三、解答题∶本大题共7小题，共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 19. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 20. （1）解不等式：，并把其解集在数轴上表示出来 （2）解不等式组 【答案】（1），图见解析；（2）； 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质进行化简计算即可，然后在数轴上表示解集，注意空心点和实心点所对应的含义即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，然后再求其解集公共部分即得到不等式组的解集； 【详解】解：（1） 解得． 不等式的解集为． 数轴表示为： （2）由不等式得， 解得， 由不等式得， 解得， 不等式组的解集为． 21. 为了解初一年级学生的跳绳情况，某校体育老师从初一年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，成绩如下：70，72，79，83，96，97，100，108，110，112，115，118，126，127，129，133，140，143，145，147，149，156，156，158，159，163，165，169，172，174，175，179，180，181，181，182，187，195，203，210，并将测试结果统计后绘制成如图不完整的统计图表，请根据图表中的信息解答下列问题： 组别 次数 频数（人 频率 第1组 4 01 第2组 8 0.2 第3组 9 第4组 15 0375 第5组 合计 1 （1）直接写出频数分布表中的a、b、c的值； （2）请补全频数分布直方图； （3）按规定，跳绳次数x满足时，等级为“良好”．若该校初一年级共有学生800人，则其中跳绳等级为“良好”的学生约有多少人？ 【答案】（1），， （2）见解析 （3）其中跳绳等级为“良好”的学生约有480人． 【解析】 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）由第1组频数及频率，依据总数频数频率计算可得的值，用第3组频数除以总数即可得出的值，再根据题目所给具体数据可得的值； （2）根据题目所给数据得出第4组的频数，结合的值即可补全图形； （3）用总人数乘以样本中第3、4组的频率和即可得． 【小问1详解】 解：，， ， ，，； 【小问2详解】 解：补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：跳绳等级为“良好”的学生约有（人）． 答：其中跳绳等级为“良好”的学生约有480人． 22. 如图，已知在的网格中，每个小正方形的边长都是1，请按下列要求操作或解答： （1）将图中的格点三角形平移，使点A平移至点，画出平移后的，并求出的面积； （2）利用网格找出格点（点A除外），使得以该点及点B、点C为顶点的三角形与三角形面积相等，请画出所满足条件的格点（用字母等表示） 【答案】（1）图见解析，3 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变换——平移，平行线的性质： （1）根据平移的性质找到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）过点A，作的平行线，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求． 23. 如图，点E、F、G分别在线段BC、AB、AC上，且，，． （1）试判断DG与BC的位置关系，并说明理由； （2）若CD平分，，求的度数． 【答案】（1）DG//BC，理由见解析 （2）35″ 【解析】 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得EF//CD，由平行线的性质可得，由可得，从而可证明结论； （2）根据DG//BC可得 根据角平分线的意义可得，最后根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【小问1详解】 DG//BC，理由如下： ∵，， ∴EF//CD， ∴ ∵， ∴， ∴DG//BC 【小问2详解】 ∵DG//BC， ∴ ∵ ∴， ∵平分, ∴∠BCD=， ∵ 即, ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质,角平分线的定义,以及直角三角形两锐角互余等知识,证明出DG//BC是解答本题的关键． 24. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．灯塔市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，已知购买3辆A型汽车和1辆B型汽车共需要55万元，购买2辆A型汽车和4辆B型汽车共需要120万元． （1）求购买每辆A型和B型汽车各需要多少万元？ （2）若该公司计划购买A型汽车和B型汽车共15辆，且总费用不超过220万元，则最少能购买A型汽车多少辆？ 【答案】（1）每辆A型汽车10万元，每辆B型汽车25万元． （2）最少能购买A型汽车11辆 【解析】 【分析】（1）设每辆A型汽车x万元，每辆B型汽车y万元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆，根据总费用不超过220万元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆A型汽车x万元，每辆B型汽车y万元． 根据题意， 解得：， 答：每辆A型汽车10万元，每辆B型汽车25万元． 【小问2详解】 设购买A型汽车m辆，则购买B型汽车辆． 根据题意， 解得， ∵m取正整数， ∴m最小取11， 答：最少能购买A型汽车11辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组或不等式是解题的关键． 25. 线段AB与线段CD互相平行，P是平面内的一点，且点P不在直线AB，CD上，连接PA，PD，射线AM，DN分别是∠BAP和∠CDP的平分线． （1）若点P在线段AD上，如图1， ①依题意补全图1； ②判断AM与DN的位置关系，并证明； （2）是否存在点P，使AM⊥DN？若存在，直接写出点P的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①图见解析；②，证明见解析；（2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时，． 【解析】 【分析】（1）①先连接AD，再在AD上取一点P，然后分别作和的平分线即可； ②先根据角平分线的定义可得，，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时，．理由：先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据对顶角相等可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得证． 【详解】（1）①先连接AD，再在AD上取一点P，然后分别作和的平分线，如图1所示： ②，证明如下： ∵AM平分，DN平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）当P点直线AD上，且位于AB与CD两平行线之外时，，证明如下： 如图2，设DN交BA延长线于点F，延长MA交DN于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵AM平分，DN平分， ∴，， ∴， ∵（对顶角相等）， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线的定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$