精品解析：甘肃省陇南市西和县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度春季学期学习效果评估 八年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，解不等式即可得到答案. 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，， 解得， 故选：B 2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 2，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理得， 选项，，不能构成直角三角，不符合题意； 选项，，能构成直角三角，符合题意； 选项，，不能构成直角三角，不符合题意； 选项，，不能构成直角三角，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加法法则可判断A和B；根据二次根式的除法法则可判断C；根据二次根式的乘法法则可判断D； 【详解】和不是同类二次根式，不能合并，故A计算错误，不符合题意； 和2不是同类二次根式，不能合并，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的加法、除法和乘法计算．掌握各运算法则是解题关键． 4. 如图，在知形中，，对角线相于点，，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，再证明是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 5. 不在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特点，熟知正比例图象上各点的坐标一定合适此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解；A．当时，，此点在函数图象上，不符合题意； B．当时，，此点在函数图象上，不符合题意； C．当时，，此点不在函数图象上，符合题意； D．当时，，此点在函数图象上，不符合题意． 故选：C． 6. 如图，在中，于点，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，根据平行线的性质可得∠ADB＝∠DBC＝50°，再根据三角形内角和定理即可求得∠DAE得度数． 【详解】解：在平行四边形ABCD中 ∵AD∥BC，∠DBC＝50°， ∴∠ADB＝∠DBC＝50°， 在△ADE中， ∵AE⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝180°－90°－50°＝40° 故选：B 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是根据平行线的性质求得∠ADB＝50°． 7. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，下列说法错误的是（　　） A. 点A的坐标是 B. 的面积是3 C. 当时，函数值 D. y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】A．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A的坐标； B．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积； C．利用不等式的性质，可得出当当时，； D．利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大． 【详解】解：A．当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，选项A不符合题意； B．当时，， ∴点B的坐标为， ∴的面积为，选项B不符合题意； C．当时，， ∴当时，，选项C不符合题意； D．∵， ∴y随x的增大而增大，选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质以及三角形的面积，注意分析各选项的正误是解题的关键． 8. 某校学生会招募新会员，小刚同学的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分，若依次按照的比例确定成绩，则小刚同学的最终成绩为（ ） A 80 B. 78 C. 77 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】由加权平均数的含义列式列式计算即可． 【详解】解：由题意得（分）， 所以小刚同学的最终成绩为78分． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是加权平均数的含义及计算，掌握加权平均数的含义是解题的关键． 9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，当无人机上升时间为10s时，两架无人机的高度差为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别解出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与无人机上升的时间的函数关系式，即可求解． 【详解】解：设甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度与无人机上升的时间的函数关系式分别为，， 过点， ，解得， ； 过点，， ，解得， ， 当时，，， 两架无人机的高度差为， 故选C． 【点睛】本题主要考查求一次函数的解析式，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． 10. 如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∵垂线段最短， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选：D． 二、填空题 （本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知y和成正比例，当时，，则y关于x的函数解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设正比例函数的解析式为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，正确计算是解题的关键． 12. 如图，所有的四边形部是正方形，三角形是直角三角形，则字母代表的正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出字母所代表的正方形的面积，根据正方形的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图， ∵是直角三角形， 则由勾股定理得：， ∴字母所代表的正方形的面积， ∴字母所代表的正方形的边长为， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解决问题的关键． 13. ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用算术平方根有意义的条件得出m，n的值进而得出答案． 【详解】∵， ∴， 故 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了算术平方根有意义的条件，正确得出m，n的值是解题关键． 14. 如图，在中，，，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质可得，根据勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴， 在中，， ∵是的中点， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】将点代入一次函数，可求得的值为8，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：一次函数的图像经过点， ， ， 一次函数解析式为， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及求一元一次不等式解集的知识，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题关键． 16. 如图，正方形的对角线相交于点O，平分交于点E，若，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分析题目需要添加辅助线，先过作于，由平分线的性质得出，再在中，根据勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，过E作于， ， 在正方形中，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即：， ∴， ∴线段的长为． 故答案为：. 【点睛】此题考查正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理进行计算求解即可． 三、解答题 （本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行计算即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证△AED≌△CFB（AAS），得AD=BC，又由AD∥BC，即可得出四边形ABCD是平行四边形． 【详解】证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠BCF， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠AED=∠CFB=90°， 在△AED和△CFB中， ∴△AED≌△CFB（AAS）， ∴AD=BC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 19. 如图，在中，D是边上的一点，已知，，，，求边的长． 【答案】的长为13 【解析】 【分析】根据已知可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的长为13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理和勾股定理是解题的关键． 20. 一次函数的图象经过点和两点． （1）求出该一次函数的表达式； （2）若直线AB与x轴交于点C，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 设一次函数解析式为， ∵图象经过，两点， ∴ 解得：， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 当时，， ∴， ∴ ∴， 答：的面积为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 21. 如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍． （1）求此时船离岸边的长；（结果保留根号） （2）若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理即可得出的长； （2）根据收绳的速度与时间得出收起绳的长度，即可得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 熟记勾股定理是解题关键． 【小问1详解】 开始时绳子的长度为的3倍． 米， （米； 【小问2详解】 如图，连接， 此人以0.5米秒速度收绳，12秒后船移动到点的位置． 船移动到点的位置时绳长（米， （米， 船向岸边移动的距离为（米， 答：船向岸边移动了大约6.5米． 22. 如图，平行四边形中，点E、F分别是边上的点，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，再由即可证明； （2）先证明，，则四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别是边上的点， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 80.8 a 70 八年级 b 80 c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数； （3）请你对两个年级学生的“国家安全法”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）． 【答案】（1）70；80；80 （2）210人 （3）见解析（答案不唯一，只要合理即可） 【解析】 【分析】（1）由图标中的数据，以及中位数、平均数、众数的求法可求解； （2）利用样本估计总体思想求解即可； （3）可从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面进行比较，评价即可． 【小问1详解】 解：七年级的中位数为（分）； 八年级的平均数为（分），众数为80分． 故答案为：70，80，80； 【小问2详解】 解：由题意知，抽取的七年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）； 抽取的八年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）， ∴七、八年级共600名学生竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）． 答：该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为210人． 【小问3详解】 解：从平均数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的平均数分别为分，80分，说明七年级学生竞赛成绩的平均数大于八年级学生竞赛成绩的平均数，故七年级学生的竞赛成绩较好． 从中位数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的中位数分别为70分，80分，说明八年级学生竞赛成绩的中位数大于七年级学生竞赛成绩的中位数，故八年级学生的竞赛成绩较好． 从众数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的众数分别为70分，80分，说明七年级学生竞赛成绩中70分最多，八年级学生竞赛成绩中80分最多，故八年级学生的竞赛成绩较好． 【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解各个概念的内涵和计算的方法，是解题的关键． 24. 水龙头关闭不紧会造成滴水，刘华同学用可以显示水量的容器做试验，并根据试验数据绘制出容器内盛水量与滴水时间的函数关系图象（如图）．已知滴水的速度是，请结合图象解答下列问题： （1）求a的值； （2）求W与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天滴水的总量． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据滴水的速度是，结合a小时一共滴水列出方程求解即可； （2）用待定系数法求出函数解析式，计算出时W的值，再减去容器内原有的水量即可． 【小问1详解】 解由题意，得， 解得 【小问2详解】 解：设W与t的函数关系式为． ∵图象经过点，， ∴， 解得，． ∴W与t之间的函数关系式为． 当时，， ∴一天滴水总量是． 【点睛】本考查了一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，关键是利用待定系数法正确求出一次函数的解析式． 25. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）4680元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用： （1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，长方形空地的周长 ； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ∴ 元， 答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元． 26. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形性质、矩形的判定、勾股定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）证明，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出的值，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴，， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中， 在中， ∵四边形是菱形， ∴， ∴在中，． 27. 为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校计划购买A、B两种型号的劳动教育教学设备．已知购买1台4型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元． （1）求A、B两种型号的设备单价分别是多少元？ （2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的，设购买a台A型设备，购买A、B型两种设备的总费用为w元，求w关于a的函数表达式，并求出购买两种设备的总费用最少需要多少元？ 【答案】（1）A型设备单价是3000元，B型设备单价是2500元 （2）w关于a的函数表达式是，购买两种设备的总费用最少需要157500元 【解析】 【分析】（1）设A型设备单价是x元，B型设备单价是y元，根据购买1台4型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元，列出方程组进行求解即可； （2）根据A型设备数量不少于B型设备数量的，列出不等式，求出的取值范围，根据总费用等于A型设备的费用加上B型设备的费用，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A型设备单价是x元，B型设备单价是y元， 根据题意得：，解得：， ∴A型设备单价是3000元，B型设备单价是2500元； 【小问2详解】 ∵A型设备数量不少于B型设备数量的， ∴，解得：， 根据题意得： ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴时，w取最小值，最小值为（元） 答：w关于a的函数表达式是，购买两种设备的总费用最少需要157500元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解题的关键是读懂题意，正确的列出方程组和一次函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度春季学期学习效果评估 八年级数学 考生注意：本试卷满分150分，考试时间120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 6，8，10 C. 2，， D. ，， 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在知形中，，对角线相于点，，则的长为（ ） A. 8 B. 4 C. D. 2 5. 不在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，于点，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，下列说法错误的是（　　） A. 点A坐标是 B. 的面积是3 C. 当时，函数值 D. y随x的增大而减小 8. 某校学生会招募新会员，小刚同学的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分，若依次按照的比例确定成绩，则小刚同学的最终成绩为（ ） A. 80 B. 78 C. 77 D. 82 9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，当无人机上升时间为10s时，两架无人机的高度差为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、填空题 （本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知y和成正比例，当时，，则y关于x的函数解析式为_____． 12. 如图，所有的四边形部是正方形，三角形是直角三角形，则字母代表的正方形的边长是______． 13. ，则______． 14. 如图，在中，，，分别是，的中点，连接，．若，，则的长为______． 15. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是_________． 16. 如图，正方形的对角线相交于点O，平分交于点E，若，则的长为______． 三、解答题 （本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，求证：四边形ABCD是平行四边形． 19. 如图，在中，D是边上的一点，已知，，，，求边的长． 20. 一次函数的图象经过点和两点． （1）求出该一次函数的表达式； （2）若直线AB与x轴交于点C，求面积． 21. 如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍． （1）求此时船离岸边的长；（结果保留根号） （2）若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 22. 如图，平行四边形中，点E、F分别是边上点，且． （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形． 四、解答题（本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 每年4月15日是我国全民国家安全教育日．某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下． 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 80.8 a 70 八年级 b 80 c 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数； （3）请你对两个年级学生的“国家安全法”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）． 24. 水龙头关闭不紧会造成滴水，刘华同学用可以显示水量的容器做试验，并根据试验数据绘制出容器内盛水量与滴水时间的函数关系图象（如图）．已知滴水的速度是，请结合图象解答下列问题： （1）求a的值； （2）求W与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天滴水的总量． 25. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？ 26. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长度． 27. 为深入贯彻习近平总书记关于劳动教育的重要论述，全面落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某学校计划购买A、B两种型号的劳动教育教学设备．已知购买1台4型设备和1台B型设备需5500元，购买2台A型设备和1台B型设备需8500元． （1）求A、B两种型号的设备单价分别是多少元？ （2）该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的，设购买a台A型设备，购买A、B型两种设备的总费用为w元，求w关于a的函数表达式，并求出购买两种设备的总费用最少需要多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$