专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 判断（画）反比例函数图象 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型五 判断反比例函数的增减性 题型六 判断反比例函数图象所在的象限 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十 根据图形面积求比例系数（解析式） 题型十二 反比例函数与几何综合 题型十三 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十四 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十五 一次函数与反比例函数的实际应用 题型十六 一次函数与反比例函数的其他综合应用 知识点一、反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 知识点三、反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【经典例题一 判断（画）反比例函数图象】 【例1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 1．（2024·湖北武汉·三模）正弦函数在的图象如图所示，若点P在该函数图象上，且（k是常数，），则满足条件的点P的个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为 ． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式；判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． (2)在平面直角坐标系中画出图象． 【经典例题二 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【例1】（2023九年级·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 1．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（﹣4，2），那么下列四个点中，在这个函数图象上的是（　　） A．（1，8） B．（3，） C．（，6） D．（﹣2，﹣4） 2．22-23八年级下·浙江湖州·期末）如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则 ． 3．（2023·山东德州·二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限交于点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点． （1）求点C的坐标及k、b的值． （2）求出一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点的坐标，并直接写出当时，x的取值范围． 【经典例题三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例1】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）反比例函数（，k为常数）的图象经过点，则它的图象还经过点（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）正比例函数y＝kx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（      ） A．（－1，－2） B．（－2，－1） C．（1，2） D．（2，1） 2．（2023·北京房山·一模）已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为 ． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程． 利用描点法画图象： 列表： x … -6 -2 0 1 1．5 2．5 3 4 6 10 … y … 0．5 0 -1 -3 -7 9 5 3 2 1．5 … 描点、连线： 任务： (1)函数的自变量的取值范围为______． (2)由图可知，该函数图象的对称中心是______． (3)由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式． 【经典例题四 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例1】（22-23九年级上·山西大同·期末）反比例函数（m为常数）的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·浙江温州·二模）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ． 3．（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知是反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第二、四象限，求m的值． 【经典例题五 判断反比例函数的增减性】 【例1】（2024·湖南岳阳·二模）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．图象与x轴没有交点 B．当时 C．函数图象关于原点成中心对称 D．y随x的增大而减小 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 3．（2024·山东济宁·二模）对于某一个函数，自变量x在规定的范围内，若任意取两个值和，他们的对应函数值分别为和．若时，有，则称该函数单调递增；若时，有，则称该函数单调递减．例如二次函数，在时，该函数单调递增；在时，该函数单调递减． (1)反比例函数：在自变量时，该函数单调递减或递增？答：______ (2)证明：函数：在的取值范围内，该函数单调递增． (3)若存在两个关于x的一次函数，分别记为：和，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减．记第三个一次函数，则比例系数和满足何种条件时，函数y在实数范围内单调递增？（请直接写出答案） 【经典例题六 判断反比例函数图象所在的象限】 【例1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若在反比例函数图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）关于反比例函数，下列说法：①图像位于第一、三象限；②图像不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有 个． 3．（22-23八年级下·江苏·期中）我们知道，一次函数的图像可以由正比例函数的图像向下平移一个长度单位得到，也可以由正比例函数的图像向左平移一个长度单位得到． （1）函数的图像与反比例函数有什么关系？ （2）请根据图像，直接写出的的取值范围； （3）已知点在反比例函数的图像上，且．试比较与的大小关系． 【经典例题七 已知反比例函数的增减性求参数】 【例1】（2024·河南平顶山·二模）小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（　　）    A．， B．， C．， D．， 1．（2024·海南省直辖县级单位·二模）已知反比例函数，当时，，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象经过点，当时，所对应的函数值的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若函数图象经过点，求的值； (2)若时，随的增大而减小，求的取值范围． 【经典例题八 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例1】 （23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知点 在反比例函数 的图象上，当 时，则下列判断正确的是 (   ) A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）反比例函数图象上有三个点，，，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2023·江苏南京·一模）已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则 ．（填“”“ ”或“＝”） 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知是反比例函数图象上的三点． (1)请直接写出的大小关系，并用“＜”连结； (2)请判断与之间的大小关系，并说明理由． 【经典例题九 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例1】（2024·海南海口·模拟预测）如图，直线平行于轴，且分别与反比例函数、的图象交于点、，则面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．4.5 2．（2024·河南南阳·三模）如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作轴于点B，点Q是x轴上任意一点，连接，则的面积为 ．    3．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【经典例题十 根据图形面积求比例系数】 【例1】 （2023上·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（    ）．    A．3 B．6 C．9 D．12 1．（2023·江西南昌·阶段练习）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则k 的值是  （   ） A．2 B．4 C．3 D．6 2．（2023·湖北黄冈·阶段练习）如图， 的顶点A在x轴上， 对角线，相交于点D，且点C，D在反比例函数 的图象上． 若的面积为4， 则k= ． 3．（2023·江苏盐城·阶段练习）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知． (1)求k的值； (2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积． 【经典例题十一 求反比例函数解析式】 【例1】（2023下·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点轴于点轴于点，交于点．若，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 1．（2023·云南昆明·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点轴，延长交轴于点．若，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2023·云南昆明·暑假作业）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，将绕点B顺时针旋转某个角度后，点A落在y轴的正半轴上，此时点C恰好落在反比例函数（k为常数，且）的图像上，则k的值为 ． 3．（2023·安徽淮南·暑假作业）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为3时，求点P的坐标． 【经典例题十二 反比例函数与几何综合】 【例1】（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·江苏淮安·课后作业）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象经过矩形的对称中心，与边交于点，且，连接，，，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西柳州·模拟）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，点在轴上，若的面积为10，则的值为 ． 3．（2024·云南昆明·三模）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式． (2)连接，在线段上是否存在点E，使的面积等于3，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若P是y轴上的一个动点，请直接写出当的周长最小时点P的坐标． 【经典例题十三一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（2023上·山东烟台·九年级统考期中）反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·宁夏银川·校考三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 2．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求n，a与b的值； (2)若，请直接写出x的取值范围； (3)求的面积． 【经典例题十四 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例1】（2023上·浙江·九年级周测）观察函数和的图像可知，不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，函数与函数（）的图像交于点A，则根据图像可得不等式的解集是 ． 2．（2023上·四川泸州·九年级校考期中）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【经典例题十五 一次函数与反比例函数的实际应用】 【例1】（2023下·江苏苏州·八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 1．（2023上·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 2．（2023上·云南红河·九年级统考期末）国家卫健委官方网站消息，截至2022年11月25号，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗344311.4万剂次，疫苗在2021年经过三期临床试验时，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度与注射时间天之间的函数关系如图所示． (1)根据图象求与之间的函数关系式； (2)体内抗体浓度不低于的持续时间为多少天？ 【经典例题十六 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例1】（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图，是坐标原点，的直角顶点，，反比例函数的图象经过斜边的中点，为该反比例函数图象上的一点，若则下列说法错误的是（    ） AI    A． B． C． D． 1．（2023上·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在反比例函数的图象上，对角线与相交于坐标原点O，若点，菱形的边长为5，则k的值是 ．    2．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）如图，已知，是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积； (4)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）下列关于反比例函数的说法正确的是（    ） A．它的图象在第二、四象限 B．它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 C．当时， D．y随x的增大而减小 2．（2024·云南昆明·三模）已知反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．5 B．3 C．0 D． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点是轴上任意一点，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024·河北石家庄·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数 如果 那么k 0．（填“”或“” ） 7．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 8．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于点A、B，已知A的坐标为，则点B的坐标为 ． 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 10．（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    11．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 12．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图象的左支如图6-3所示，它经过点． (1)判断k是正数还是负数． (2)求这个反比例函数的表达式． (3)补画这个反比例函数图象的另一支． 13．（23-24九年级上·广东阳江·期末）如图是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)判断该反比例函数图象的另一支位于哪个象限，并求出的取值范围． (2)在该反比例函数图象的某一支上任取和两点，如果，那么和有怎样的大小关系？ 14．（2023·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 15．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 反比例函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 判断（画）反比例函数图象 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 题型五 判断反比例函数的增减性 题型六 判断反比例函数图象所在的象限 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 题型十 根据图形面积求比例系数（解析式） 题型十二 反比例函数与几何综合 题型十三 一次函数与反比例函数图象综合判断 题型十四 一次函数与反比例函数的交点问题 题型十五 一次函数与反比例函数的实际应用 题型十六 一次函数与反比例函数的其他综合应用 知识点一、反比例函数的定义 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 特别说明： （1） 在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变 量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无 交点. （2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解 决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比 例系数，从而得到反比例函数的解析式. 知识点二、确定反比例函数的关系式 确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式. 　　用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 　（1）设所求的反比例函数为： ()； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数的值； （4）把求得的值代回所设的函数关系式中. 知识点三、反比例函数的图象和性质 　　1、反比例函数的图象特征： 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 特别说明： （1） 若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反 比例函数的图象关于原点对称； （2） 在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支 都无限接近但永远不能达到轴和轴． 2、画反比例函数的图象的基本步骤： （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交； （4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质 （1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小； 　（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大； 特别说明：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号. 【经典例题一 判断（画）反比例函数图象】 【例1】（23-24八年级下·山西临汾·期末）某中学要在校园内划出一块面积是的矩形土地作为花园，设这个矩形相邻两边长分别为米和米，则与之间的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据题意可得，得到是反比例函数，又根据，，得到图象分布在第一象限，据此即可求解． 【详解】解：由矩形的面积可得，， ∴， ∴是反比例函数， ∵，， ∴图象分布在第一象限， 故选：． 1．（2024·湖北武汉·三模）正弦函数在的图象如图所示，若点P在该函数图象上，且（k是常数，），则满足条件的点P的个数最多是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据点，，k是常数，，可知点P在函数的图象上，在同一坐标系中画出两者的函数图象，观察反比例函数图象和正弦函数在的图象最多能有几个交点即可求解． 【详解】解： ，k是常数，， 点P在函数（）的图象上，在同一坐标系中画出两者的函数图象如图所示， 根据图象可知，反比例函数（）图象和正弦函数在的图象交点最多为4个， 满足条件的点P的个数最多是4个． 故选：C． 2．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出图象，找到临界状态，会发现，当时，是8个整点，满足条件． 【详解】解：如图， 当时，是5个整点，当时，是8个整点． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键． 3．（2023九年级下·全国·专题练习）反比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式；判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． (2)在平面直角坐标系中画出图象． 【答案】(1)；在，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）设反比例函数的解析式是y=，只需把已知点的坐标代入，根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断，即可求得函数解析式； （2）由（1）中的解析按照画函数图象的步骤画出图象即可． 【详解】（1）设反比例函数的解析式是， 则， 得． 则这个函数的表达式是； 因为， 所以点在函数图象上． （2）图象为： 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数象的画法． 【经典例题二 已知反比例函数的图象，判断其解析式】 【例1】（2023九年级·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可以为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数图象确定k的取值范围． 【详解】解：如图所示， 反比例函数的图象位于第二、四象限，则． 又，即． 观察选项，只有选项合题意． 故选：． 【点睛】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点． 1．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（﹣4，2），那么下列四个点中，在这个函数图象上的是（　　） A．（1，8） B．（3，） C．（，6） D．（﹣2，﹣4） 【答案】B 【分析】根据反比例函数y=（k≠0）的图象经过（-4，2），可以得到k的值，从而可以判断各个选项是否符合题意． 【详解】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过（﹣4，2）， ∴k＝xy＝（﹣4）×2＝﹣8， ∵1×8＝8≠﹣8，故选项A不符合题意， ∵3×（）＝﹣8，故选项B符合题意， ∵×6＝3≠﹣8，故选项C不符合题意， ∵（﹣2）×（﹣4）＝8≠﹣8，故选项D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2．22-23八年级下·浙江湖州·期末）如图，反比例函数的图象上有一点C，作轴，轴，交函数图象上点A，B，且，，则 ． 【答案】4 【分析】设，由，，则，，，，然后根据建立方程，得出C的横坐标和纵坐标的关系，再根据C在反比例函数，即可求出C的坐标，代入即可求得k的值． 【详解】解：设， 则，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵C在反比例函数，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的特征，根据反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标之积为常数，列出方程是解答本题的关键． 3．（2023·山东德州·二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝﹣的图象在第二象限交于点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点． （1）求点C的坐标及k、b的值． （2）求出一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点的坐标，并直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）C（﹣2，4）；；（2）另一个交点坐标为（4，﹣2），x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4． 【分析】（1）由A（2，0）利用平行线等分线段定理，可求出点C的横坐标，代入反比例函数关系式，可求其纵坐标；用两点法确定一次函数的关系式，即待定系数法确定函数的关系式，求出k、b的值； （2）可将两个函数的关系式联立成方程组，解出方程组的解，若有两组解，说明两个函数的图象有两个交点，根据图象可以直观看出一次函数值大于反比例函数值时，自变量的取值范围． 【详解】（1）过点C作CD⊥x轴，垂足为D， ∵CD∥OB， ∴， 又∵B是AC的中点． ∴AB＝BC， ∴OA＝OD ∵A（2，0）， ∴OA＝OD＝2， 当x＝﹣2时，y＝﹣＝4， ∴C（﹣2，4） 把A（2，0），C（﹣2，4）代入y＝kx+b得： 解得：， ∴一次函数的关系式为：y＝﹣x+2； 因此：C（﹣2，4），k＝﹣1，b＝2． （2）由题意得： 解得：； ∵一个交点C（﹣2.4） ∴另一个交点E（4，﹣2）； 当时，即：y一次函数＞y反比例函数， 由图象可以直观看出自变量x的取值范围：x＜﹣2或0＜x＜4． 因此：另一个交点坐标为（4，﹣2），x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4． 【点睛】反比例函数图象上的点坐标的特征，待定系数法求函数的关系式，解方程组以及数形结合思想的应用是解题关键． 【经典例题三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标】 【例1】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）反比例函数（，k为常数）的图象经过点，则它的图象还经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵，则不经过， ∵，则不经过， ∵，则经过， ∵，则不经过． 故选：C． 【点睛】此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 1．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）正比例函数y＝kx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（      ） A．（－1，－2） B．（－2，－1） C．（1，2） D．（2，1） 【答案】A 【分析】根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y=2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数y=2x和反比例函数的一个交点为（1，2）， ∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称， ∴另一个交点是（-1，-2）． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性．关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数． 2．（2023·北京房山·一模）已知点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，若OA=OB，则点B的坐标为 ． 【答案】（2，1） 【分析】根据点A，B关于y=x（y-x=0）的对称，求解即可 【详解】解：∵点A(1，2)，B在反比例函数的图象上，OA=OB， ∴点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称， 设点（1，2）关于直线y=x（y-x=0）的对称点设为（a，b） 由两点中点在直线y=x上及过两点的直线垂直直线y=x（斜率之积为-1） 可以得到：， 解得：a=2，b=1， ∴点B的坐标为（2,1） 故答案为：（2，1） 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用已知条件得出：点A，B关于直线y=x（y-x=0）的对称是解题的关键． 3．（23-24八年级下·山西临汾·期中）阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程． 利用描点法画图象： 列表： x … -6 -2 0 1 1．5 2．5 3 4 6 10 … y … 0．5 0 -1 -3 -7 9 5 3 2 1．5 … 描点、连线： 任务： (1)函数的自变量的取值范围为______． (2)由图可知，该函数图象的对称中心是______． (3)由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式． 【答案】(1) (2) (3)该函数的图象是由函数的图像先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的． 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用函数解析式求自变量的取值范围即可； （2）根据图象解答问题即可； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：∵函数有意义， ∴， 解得：； （2）∵，， ∴的对称中心为． （3）函数的图象是由函数的图象向右平移个单位，向上平移个单位得到． 【经典例题四 已知双曲线分布的象限，求参数范围】 【例1】（22-23九年级上·山西大同·期末）反比例函数（m为常数）的图象在第二、四象限，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用反比例函数的性质：当时，图象过一、三象限；当时，图象过二、四象限可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的意义以及相对应图象所在象限的位置是解题的关键． 1．（2023·浙江温州·二模）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k-1＜0， 解得k＜1， 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在（k≠0）中，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限是解题的关键． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）反比例函数的图象经过第二、四象限，实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数时，图象在第一、三象限，呈下降趋势，当时，图象在第二、四象限，呈上升趋势．根据反比例函数的图象经过第二、四象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、第四象限， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（22-23八年级下·福建泉州·期末）已知是反比例函数，且该函数图象的两个分支分布在第二、四象限，求m的值． 【答案】 【分析】直接利用反比例函数的定义得出m，再利用反比例函数图象分布在第二、四象限，得出m的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， ∴， 解得：， ∵该函数图象的两个分支分布在第二、四象限， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的定义与性质，解题的关键是正确掌握反比例函数图象分布的规律． 【经典例题五 判断反比例函数的增减性】 【例1】（2024·湖南岳阳·二模）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．图象与x轴没有交点 B．当时 C．函数图象关于原点成中心对称 D．y随x的增大而减小 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据函数图象对各项进行判断，即可解题． 【详解】解：A、图象与x轴没有交点，正确，符合题意； B、当时，B项错误，不符合题意； C、函数图象关于原点成中心对称，错误，不符合题意； D、当或时，y随x的增大而减小，D项错误，不符合题意； 故选：A． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）下列函数中，y随x的增大而增大的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据一次函数和反比例函数的增减性逐项判定即可得． 【详解】解：A、一次函数中，，所以随的增大而增大，则此项符合题意； B、一次函数中，，所以随的增大而减小，则此项不符合题意； C、反比例函数中，，所以函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，则此项不符合题意； D、反比例函数中，，所以函数图象位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，则此项不符合题意； 故选：A． 2．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由点在反比例函数的图象上，可知反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，然后作答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在第一象限，随着的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 3．（2024·山东济宁·二模）对于某一个函数，自变量x在规定的范围内，若任意取两个值和，他们的对应函数值分别为和．若时，有，则称该函数单调递增；若时，有，则称该函数单调递减．例如二次函数，在时，该函数单调递增；在时，该函数单调递减． (1)反比例函数：在自变量时，该函数单调递减或递增？答：______ (2)证明：函数：在的取值范围内，该函数单调递增． (3)若存在两个关于x的一次函数，分别记为：和，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减．记第三个一次函数，则比例系数和满足何种条件时，函数y在实数范围内单调递增？（请直接写出答案） 【答案】(1)递增 (2)见解析 (3)比例系数和满足，，时，函数y在实数范围内单调递增． 【分析】（1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据y随x的增大而增大，可得证明的结论； （3）根据一次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）∵中， ∴图象在二，四象限内，且在每个象限内y随x的增大而增大， 故答案为：递增； （2）证明：任取 ， 则 因为， 所以 所以 ∴函数在的取值范围内，该函数单调递增． （3）和，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减． ∴， 即 ∵单调递增， ∴， 一次函数，则比例系数和满足，，时，函数y在实数范围内单调递增． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质及一次函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质及一次函数的性质是解题的关键 【经典例题六 判断反比例函数图象所在的象限】 【例1】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若点、、都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了，反比例函数所在象限，反比例函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的增减性．由反比例函数，得到，反比例函数经过一、三象限，由三点纵坐标的符号，得到，，，由反比例函数在第一象限，随的增大而减小，得到，即可求解． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图像上，， ∴反比例函数经过一、三象限， ∵，，， ∴，，， ∵反比例函数在第一象限，随的增大而减小，， ∴， ∴， 故选：B． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若在反比例函数图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质判断即可，熟知反比例函数中,当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当 时，在每一个象限，随的增大而增大是解题的关键． 【详解】解：因为在反比例函数 图象的任一支上，都随的增大而增大， ∴ A、故A不符合题意； B、故B不符合题意； C、故C符合题意； D、故D不符合题意． 故选：． 2．（23-24八年级下·四川宜宾·期中）关于反比例函数，下列说法：①图像位于第一、三象限；②图像不与坐标轴相交；③在每个象限内，y随x的增大而增大；④当时，，其中正确的说法有 个． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质．根据反比例函数的图像与性质逐一判断． 【详解】解：在反比例函数中，；图像不与坐标轴相交， ， 图像位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，； 正确的说法有个， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·江苏·期中）我们知道，一次函数的图像可以由正比例函数的图像向下平移一个长度单位得到，也可以由正比例函数的图像向左平移一个长度单位得到． （1）函数的图像与反比例函数有什么关系？ （2）请根据图像，直接写出的的取值范围； （3）已知点在反比例函数的图像上，且．试比较与的大小关系． 【答案】（1）向左平移1个单位后，得到了；（2）；（3）或时；时 【分析】（1）根据函数图象平移的规律可得答案． （2）根据图象即可求得； （3）根据反比例函数的增减习惯，即可得出结论． 【详解】解：（1）向左平移1个单位后，得到了 （2）如图, 由图得 （3）∵反比例函数的图象的每一条曲线都是单调递减， ①或时 ②时 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化-平移，熟练掌握图象平移的规律是解题的关键． 【经典例题七 已知反比例函数的增减性求参数】 【例1】（2024·河南平顶山·二模）小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（　　）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道，结合图象可以知道函数的取不到的值大概是在1的位置，所以． 【详解】解：由图象可知，当时，， ； ，结合图象可以知道函数的取不到的值大概是在1的位置， ． 故选：C 1．（2024·海南省直辖县级单位·二模）已知反比例函数，当时，，则的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由当时，，可知随着的增大而减小，则，可求，然后判断作答即可． 【详解】解：∵当时，， ∴随着的增大而减小， ∴， 解得，， ∴的值可以是4， 故选：D． 2．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）已知反比例函数的图象经过点，当时，所对应的函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是求出反比例函数的解析式．利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再结合图象即可求解． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， 反比例函数的图象经过点， ， ， 当时，， 结合图象可得当时，， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（为常数）． (1)若函数图象经过点，求的值； (2)若时，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数图象上点的坐标特征． （1）将点A的坐标代入即可求得m的值； （2）根据增减性确定的符号，从而确定m的取值范围． 【详解】（1）∵函数图象经过点， ∴， 解得：， ∴m的值是2； （2）∵若时，y随x的增大而减小， ∴， 解得：， ∴m的取值范围是 【经典例题八 比较反比例函数值或自变量的大小】 【例1】 （23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知点 在反比例函数 的图象上，当 时，则下列判断正确的是 (   ) A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由可得反比例函数图象在第二四象限，根据选项一一分析即可； 【详解】解：在反比例函数中，，图象在第二四象限， 当 时， 若 ，则且，或，故或，故A错误； 若，则或，故B错误； 若 ，则且，或，故，故C正确； 若，则，则，故D错误； 故选：C． 1．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）反比例函数图象上有三个点，，，下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键． 根据点，，都在反比例函数的图象上，且，分为和，再分别对若，若，若，若，分别判断即可求解； 【详解】解：∵点，，，都在反比例函数的图象上， 且， 若，则在一三象限y随x的增大而减小， 若，则， 若，则， 若，则， 若，则； 若，则在二四象限y随x的增大而增大， 若，则， 若，则， 若，则， 若，则； 综上，若，则，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D错误； 故选：C． 2．（2023·江苏南京·一模）已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表： … 1 2 … … … 若，则 ．（填“”“ ”或“＝”） 【答案】 【分析】根据题意可知在每一象限内，y随x的增大而减小，根据性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，正确理解性质是解题的关键． 【详解】根据题意，得当时，函数自变量变大，其对应函数值减小，当时，自变量变大，函数值将变小， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知是反比例函数图象上的三点． (1)请直接写出的大小关系，并用“＜”连结； (2)请判断与之间的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用反比例函数的性质求求解即可； （2）先由反比例函数图象上点的坐标特征表示出，再计算，根据进行求解即可． 【详解】（1）∵， ∴在第一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴； （2）是反比例函数的图象的三点， ， ，， ， ， ， ． 【经典例题九 已知比例系数求特殊图形的面积】 【例1】（2024·海南海口·模拟预测）如图，直线平行于轴，且分别与反比例函数、的图象交于点、，则面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，令直线交轴于，根据反比例函数值的几何意义解答即可，熟练掌握反比例函数值的几何意义是解此题的关键． 【详解】解：如图，令直线交轴于， ， ∵直线平行于轴，且分别与反比例函数、的图象交于点、， ∴，， ∴， 故选：A． 1．（2024·内蒙古·二模）如图．已知双曲线经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若点A的坐标为，则的面积为（    ） A．12 B．9 C．6 D．4.5 【答案】D 【分析】此题主要考查线段的中点坐标、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的比例系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的比例系数k的几何意义是解题关键．先根据线段的中点坐标公式得到D点坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用的面积进行计算，进而求出结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，点D为的中点， ∴D点坐标为， ∴，即反比例函数解析式为， ∴， ∴的面积， ∵点D为的中点， ∴的面积． 故选：D． 2．（2024·河南南阳·三模）如图，点A是反比例函数 图象上的一点，过点A作轴于点B，点Q是x轴上任意一点，连接，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，连接，根据反比例函数值的几何意义解答即可，熟练掌握值的几何意义是关键． 【详解】解：如图，连接， 过点A作轴于点B， 轴， ， 故答案为：4．    3．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，点在轴的正半轴上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，过点作轴的平行线，交轴于点，记四边形的面积为． (1)若点的纵坐标为2，求的值； (2)求证：无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义，熟知反比例函数图像上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据题意求得、点的坐标，即可求得，，然后根据矩形的面积公式即可求解； （2）利用反比例函数系数的几何意义即可证得结论． 【详解】（1）解：由题意可知点的纵坐标为2， 把代入， 可得 ，解得 ， ∴， ∴点的横坐标为3， 把代入得，， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：延长，交轴于， ∵轴，轴， 又∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上， ∴，， ∴， ∴无论点在轴正半轴的何处，的值不变． 【经典例题十 根据图形面积求比例系数】 【例1】 （2023上·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点、均在反比例函数的图象上，若的面积为8，则k的值为（    ）．    A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是求解反比例函数的解析式，如图，过作轴于，过作轴于，证明，再利用面积公式列方程求解即可，熟记反比例函数比例系数的性质是解本题的关键. 【详解】：如图，过作轴于，过作轴于，      ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴,，，, ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴， 故选B 1．（2023·江西南昌·阶段练习）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则k 的值是  （   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键．连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连结、，    ∵轴， ∴． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵图象位于第一象限，则， ∴． 故选B． 2．（2023·湖北黄冈·阶段练习）如图， 的顶点A在x轴上， 对角线，相交于点D，且点C，D在反比例函数 的图象上． 若的面积为4， 则k= ． 【答案】/ 【分析】设A点坐标为，设C点坐标为，进而得到，根据D点在反比例函数上可得，根据平行四边形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解： 设A点坐标为，设C点坐标为， ∵C点在反比例函数上，因此代入C点坐标，得C点坐标为 ∵点D是线段的中点， ∴ ∵D点在反比例函数上， ∴，化简得：，即 根据平行四边形的面积公式可得：，即 联立得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及反比例函数系数k的几何意义，灵活运用所学知识是解决问题的关键． 3．（2023·江苏盐城·阶段练习）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，连接，交反比例函数的图象于点C，已知． (1)求k的值； (2)连接，若点A的横坐标为4，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，求反比例函数的解析式； （1）延长交轴于点，根据反比例函数的几何意义直接计算即可； （2）过点作，先求出正比例函数的解析式，然后求出点的坐标，从而求出，最后根据计算即可； 熟知反比例函数的几何意义是关键． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点， ∵点A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数的图象于点B，且 ∴， 解得， 故k的值为； （2）如图，过点作， ∵点A的横坐标为4，点A是反比例函数图象上一点， ∴， ∵平行于y轴， ∴点的横坐标为4， 解得， ∴正比例函数的图象与反比例函数图象的交点的坐标为 ， 故的面积为． 【经典例题十一 求反比例函数解析式】 【例1】（2023下·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点轴于点轴于点，交于点．若，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据A、B两点的坐标求出，由得到，再由反比例函数的性质得到，由此求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵反比例函数的图象经过点、， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，正确推出以及是解题的关键． 1．（2023·云南昆明·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点轴，延长交轴于点．若，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】设点，用含的代数式表示出点坐标，将、代入，即可求解， 本题考查了求反比例函数解析式，解题的关键是：表示出、的坐标． 【详解】解：∵， 设点，则，代入，得：，解得：， 故选：D． 2．（2023·云南昆明·暑假作业）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，将绕点B顺时针旋转某个角度后，点A落在y轴的正半轴上，此时点C恰好落在反比例函数（k为常数，且）的图像上，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求反比例函数解析式，设点A的对应点E坐标为，点C的对应点F坐标为，利用勾股定理求出，，，由旋转的性质可得；据此可得，解方程求出，进而可得，解方程可得，则． 【详解】解：设点A的对应点E坐标为，点C的对应点F坐标为， ∵点，点，点， ∴，，， 由旋转的性质可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 3．（2023·安徽淮南·暑假作业）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴相交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为3时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】主要考查了反比例函数几何综合题，求反比例函数解析式，根据一次函数与反比例函数的图象交点求不等式解集． （1）利用一次函数求出，问题随之得解； （2）反比例函数值大于一次函数值时自变量的取值范围即是不等式的解集，数形结合作答即可； （3）先求出，表示出，根据的面积为3，表示出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）函数的图象经过， ， 解得：， ， ， 反比例函数表达式为：； （2）函数的图象经过， ， ， 由图可得，不等式的解集是：或； （3）如图： 在中，当时，得， 解得：， ， ， ， ，， ， 解得：或8， 点P的坐标为或． 【经典例题十二 反比例函数与几何综合】 【例1】（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，由题意，首先根据的坐标求出，然后可设，再由正方形，建立关于的方程，进而得解． 【详解】点的坐标为在反比例函数上， ． ． 反比例函数的解析式为． 点在反比例函数图象上， 可设． ． ∵正方形， ∴ ，． ， ． ． 故选：B． 1．（2024·江苏淮安·课后作业）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象经过矩形的对称中心，与边交于点，且，连接，，，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数的图像上顶点的坐标特征，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握这些知识．设点，根据矩形的对称中心的性质得出延长恰好经过点，，确定，然后结合图像及反比例函数的意义，得出，代入求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，设点， 矩形的对称中心， 延长经过点，， ， ， ， ， 点在反比例函数图像上， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2024·广西柳州·模拟）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，点在轴上，若的面积为10，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象及性质，反比例函数和几何结合．根据题意连接，，继而得，即可求得值． 【详解】解：连接，， 轴， ， ， ， ， ， ． 3．（2024·云南昆明·三模）如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式． (2)连接，在线段上是否存在点E，使的面积等于3，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若P是y轴上的一个动点，请直接写出当的周长最小时点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，解题的关键是求出函数解析式，根据反比例函数的性质解题. （1）将点A，点B坐标代入可求，由，即可求解； （2）由面积和差关系列出等式，即可求解； （3）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，此时有最小值，求出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， ，， 点，点， ， 反比例函数的表达式为； （2）设点， ，，，， ， ， 点； （3）的周长， 又是定值， 当的值最小是，的周长最小， 如图，作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，此时有最小值， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点． 【经典例题十三一次函数与反比例函数图象综合判断】 【例1】（2023上·山东烟台·九年级统考期中）反比例函数与一次函数（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案，要掌握它们的性质才能灵活解题． 【详解】解：A、由函数的增减性可知，但从函数图象与y轴的交点来看，相矛盾，故A错误； B、由函数的增减性可知，但从函数图象与y轴的交点来看，相矛盾，故B错误； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，故C正确； D、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，故D错误； 故选：C． 1．（2023·宁夏银川·校考三模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 解得：， ∴反比例函数为， 将点代入得： ∴点的坐标是， ∴要使得不等式，只需要一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合两个函数图象的交点，可得：或 故答案为：或 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键． 2．（2023上·湖南常德·九年级校联考期中）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求n，a与b的值； (2)若，请直接写出x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）把代入反比例函数，求出k值，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出n的值，然后利用待定系数法即可确定a、b的值； （2）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． （3）求出直线与x轴的交点C的坐标，分别求出和的面积，然后相加即可． 【详解】（1）把点代入反比例函数， 得， ∴反比例函数为， ∵点也在反比例函数， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得； （2）∵的x取值范围反映在图象上就是直线位于双曲线上方部分所对应的自变量的取值范围， ∴根据图象可知：的x的取值范围为或． （3）如图，设直线与x轴的交点为C， 当时，， ∴， ∴． 【点睛】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【经典例题十四 一次函数与反比例函数的交点问题】 【例1】（2023上·浙江·九年级周测）观察函数和的图像可知，不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】联立函数解析式求出交点坐标，再根据图象即可得到不等式的解集． 【详解】解：联立函数和得到， ， 解得或， 即函数和的图像的交点为和，如图，    观察图象可知，不等式的解集为或， 故选：A 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数图象交点问题、图象法解不等式，准确求出交点坐标是解题的关键． 1．（2023下·全国·八年级专题练习）如图，函数与函数（）的图像交于点A，则根据图像可得不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图像上得到函数y＝﹣x+1与函数（x＞0）的图像交点坐标，再根据两个函数的增减性，即可得到不等式的解集． 【详解】解：函数与函数（）的图像交于点， 当时，函数（）的图像对应的点在函数的点的上边，不等式成立， ∴不等式的解集是． 故本题答案为：． 2．（2023上·四川泸州·九年级校考期中）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题（求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点），待定系数法求一次函数的解析式，两点之间线段最短， （1）把点代入中求出，即，代入中求出即可； （2）求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，求出点即可； 理解求反比例函数与一次函数的交点坐标的实质和对称的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点， ∴， 此时的周长最小，则点即为所作， ∵一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的函数交于，两点， ∴， 解得：，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴存在点，使的周长最小． 【经典例题十五 一次函数与反比例函数的实际应用】 【例1】（2023下·江苏苏州·八年级校考期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 1．（2023上·河北邢台·九年级校考期末）某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间x分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间x分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至……重复上述过程，如图，根据图像提供的信息，则 （1）当时，水温开机时间x分钟的函数表达式 ； （2）当水温为时， ； （3）通电分钟时，热水器中水的温度y约为 ． 【答案】 【分析】（1）设直线解析式为，结合图像点，代入即可得到答案； （2）设反比例函数解析式为，结合图像点代入求出k，将代入即可得到答案； （3）根据（1）（2）解析式得到从℃加热到℃，需要的时间，从而得到相应时间段，然后利用第一段反比例函数求值即可得到答案． 【详解】解：（1）设直线解析式为，将点，代入可得， ，解得， 故答案为：； （2）设反比例函数解析式为，将点代入可得， ， ∴， 当时， ，解得， 故答案为； （3）当时，，解得， ∴从℃加热到℃，需要分钟，，，，将 代入，，可得． 【点睛】本题考查反比例函数图像与一次函数图像共存问题，解题的关键是求出两个解析式及周期对应的时间． 2．（2023上·云南红河·九年级统考期末）国家卫健委官方网站消息，截至2022年11月25号，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗344311.4万剂次，疫苗在2021年经过三期临床试验时，测得成人注射一针疫苗后体内抗体浓度与注射时间天之间的函数关系如图所示． (1)根据图象求与之间的函数关系式； (2)体内抗体浓度不低于的持续时间为多少天？ 【答案】(1) (2)体内抗体浓度不低于的持续时间为31天 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）分别求出当时，当时的x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得：， 与之间的函数关系式是： 当时，设与之间的函数关系式是，图象过，， 解得：，与之间的函数关系式是 （2）当时，，解得：． 当时，，解得： （天） 答：体内抗体浓度不低于的持续时间为31天． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值，正确理解题意是解题的关键． 【经典例题十六 一次函数与反比例函数的其他综合应用】 【例1】（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图，是坐标原点，的直角顶点，，反比例函数的图象经过斜边的中点，为该反比例函数图象上的一点，若则下列说法错误的是（    ） AI    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得出的坐标，根据中点坐标公式得出的坐标，进而即可求解k的值，求得直线，联立与反比例函数解析式，得出的坐标，进而根据两点距离公式求得，，进而即可求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，，则， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵反比例函数的图象经过斜边的中点． ∴；故A不符合题意； ∴反比例数解析式为 ∵，， 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为，将点代入并解得， ∴直线的解析式为， ∵反比例数解析式为， 联立， 解得：或， ∵D的横坐标大于2，则，故B不符合题意； 当时， ，故C不符合题意； 而， ∴，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数与一次函数交点问题，平行线的性质，求解一次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 1．（2023上·重庆·九年级重庆市凤鸣山中学校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B、D在反比例函数的图象上，对角线与相交于坐标原点O，若点，菱形的边长为5，则k的值是 ．    【答案】8 【分析】根据菱形的性质得到，根据勾股定理得到，，求得直线的解析式为，求得的解析式为，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点， ∴， ∵菱形的边长为5， ， ∴， ∵对角线与相交于坐标原点O， ∴直线的解析式为， ∴的解析式为， 设， ， 或（舍去）， ， ∵D在反比例函数的图象上， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）如图，已知，是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围； (3)求的面积； (4)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)存在，P点坐标为，，， 【分析】（1）首先把A点的坐标代入反比例函数解析式中，求得反比例函数解析式，然后把B点坐标代入反比例函数解析式中求得B点的坐标，再根据待定系数法求得一次函数的解析式； （2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围，就是一次函数的图像在反比例函数的图像的上方部分自变量的范围； （3）设一次函数与y轴交点为C，由一次函数解析式可得，所以，进而可得和，所以可得答案； （4）当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求P点坐标即可． 【详解】（1）将代入得：，   则反比例函数的解析式是， 将代入得：，      则B的坐标为，   将，代入得：   ， 解得：，   ∴一次函数的解析式为． （2）根据图像，结合题意，得或． （3）设一次函数与y轴交点为点C，由一次函数解析式， 当时，代入解析式得， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为； （4）在x轴上存在点P，使是等腰三角形 由可得：， 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时，过点A作轴于点S，由，等腰三角形三线合一的性质得：    ，由 ，， ∴， 故； ②当时，根据题意，得， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ③当时，P点在O点左侧时，， P点在O点右侧时，， 综上所述，当P点坐标为，，，时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，分类思想，勾股定理，熟练掌握待定系数法，勾股定理和分类思想是解题的关键． 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）下列关于反比例函数的说法正确的是（    ） A．它的图象在第二、四象限 B．它的图象既是轴对称图形也是中心对称图形 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解和掌握反比例函数的图象和性质是正确判断的前提．根据反比例函数的图象和性质逐个进行判断即可得出答案． 【详解】解：A．反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分布在一、三象限，因此选项A不符合题意； B．反比例函数的图象是关于原点为对称中心的中心对称图形，同时也是以直线，直线为对称轴的轴对称图形，故选项B符合题意； C．把代入得：，故选项C不符合题意； D．函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减少，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．（2024·云南昆明·三模）已知反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．5 B．3 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质．先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象分别位于第二、四象限， ∴， ∴k的值可以是． 故选：D． 3．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分别把点，，代入，算出，然后比较，即可作答． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上 ∴分别把点，，代入， 则， ∵， ∴, 故选：C 4．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点是轴上任意一点，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义，过作轴于，连接，如图所示，即可得到，从而得到答案，熟记反比例函数中的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：过作轴于，连接、，如图所示： 过点作轴的垂线交轴于点， ，解得， 故选：A． 5．（2024·河北石家庄·一模）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】若直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则取，此时反比例函数过整点，，，则这5个整点是，，，，，从而得到当的值是4，满足题意，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 直线一定过点，， 把代入得，，此时反比例函数过整点，，， 阴影部分（不位括边界）有，，，，，5个整点， 的取值可能是4， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象，一次函数图象上点的坐标特征，利用图象确定的值是解题的关键． 6．（23-24八年级下·河南周口·期末）已知反比例函数 如果 那么k 0．（填“”或“” ） 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定的符号．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和图象与的关系，先根据题意判断出函数的图象所在的象限是解题的关键． 【详解】解：，， 点，和点，在第二象限， ． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，利用数形结合是解答此题的关键． 根据图象得出结论． 【详解】解：由图可知，当时，． 故答案为：． 8．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于点A、B，已知A的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【详解】解：∵点A与B关于原点对称，A的坐标为 ∴B点的坐标为． 故答案为：． 9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 10．（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 11．（23-24九年级上·吉林长春·期末）在反比例函数的图象上有不重合的两点、，点的纵坐标为2． (1)求点的横坐标； (2)过点向轴作垂线，垂足是，试求． 【答案】(1)点的横坐标为4； (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． （1）将点的横坐标代入求解即可； （2）设，则有，，根据三角形面积公式可得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象上的点纵坐标为2， ∴， ∴， ∴点的横坐标为4； （2）解：设则有， ，， ∴． 12．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知反比例函数的图象的左支如图6-3所示，它经过点． (1)判断k是正数还是负数． (2)求这个反比例函数的表达式． (3)补画这个反比例函数图象的另一支． 【答案】(1)负数 (2) (3)见解析 【分析】（1）由图像上的点第二象限，可以判断k的取值； （2）把点B的坐标代入解析式，求k的值，写出解析式； （3）利用图像的对称性，取四个点，找到它们的中心对称点，用平滑曲线作出另一分支． 【详解】（1）因为反比例函数的图象的一支在第二象限，所以图象上的点的横坐标与纵坐标异号，即． （2）将图象上点B的横坐标，纵坐标2分别代入表达式，得，解得． 所以所求的反比例函数的表达式是． （3）在已知图象上分别取一些点作出它们关于原点中心对称的点，然后用光滑曲线把它们依次连结，这样就得到反比例函数的图象中的另一分支． 【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键． 13．（23-24九年级上·广东阳江·期末）如图是反比例函数（为常数，且）图象的一支． (1)判断该反比例函数图象的另一支位于哪个象限，并求出的取值范围． (2)在该反比例函数图象的某一支上任取和两点，如果，那么和有怎样的大小关系？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质． （1）根据反比例函数的对称性可得另一支在第三象限，根据反比例函数反比例函数图象在第一、三象限得到，可得； （2）根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：该反比例函数图象的一支在第一象限，根据对称性可知另一支位于第三象限． ∵该反比例函数图象在第一、三象限， ∴， 解得； （2）解：∵该反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一个象限内，随的增大而减小． ∵， ∴． 14．（2023·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 【答案】(1)，反比例函数的关系式为 (2) 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数、反比例函数交点坐标的计算方法是正确解答的前提． （1）根据一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征确定点的坐标，进而确定反比例函数关系式； （2）根据图象以及两个函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与过点， ， 即， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 答：，反比例函数的关系式为； （2）由于点，即， 当，反比例函数中的值取值范围为． 15．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 学科网（北京）股份有限公司 $$