构造函数解不等式例题 讲义-2025届高三数学一轮复习

构造函数解不等式知识点及例题 类型一： ，构造函数： ，构造函数： 1.已知定义在上的奇函数，导函数为，且当时，，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 类型二：，构造函数： ，构造函数： 2. 已知函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是  ． A. B. C. D. 类型三：，构造函数： ，构造函数： ，构造函数： ，构造函数： 3.已知函数上可导且满足，则下列式子一定成立的是    A. B. C. D. 4.定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，，若，则必有(    ) A. B.   C. D.   类型四：，构造函数： 5. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 类型五： 构造函数： 6. 已知函数对任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 类型六： ， 即，构造函数： 定义在上的函数，其导函数在上总使得成立，则下列各式中一定成立的是(    ) A. B. C. D. 【补充练习】 1.设是定义域上的连续可导函数，且，若对任意实数，，则当时有(    ) A. B. C. D. 2.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式 其中为自然对数的底数的解集是(    ) A. B. C. D. 3.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则 A. B. C. D. 4.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 5.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则(    ) A. B. C. D. 6.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为(    ) A. B. C. D. 7.设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 8.已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】 1.已知定义在上的奇函数，导函数为，且当时，，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：令，因为当时，， 则，即在上单调递增， 又，则，即为奇函数， 在上单调递增， 由可得，即， 所以，即，令，则， 当时，单调递增，当时，函数单调递减， 故当时，函数取得最小值，故． 2. 已知函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是  ． A. B. C. D. 【答案】A  解：设，则， 所以单调递增，所以，即，即． 3.已知函数上可导且满足，则下列式子一定成立的是    A. B. C. D. 【答案】A  解：令，则  由已知恒成立得，当时，．故函数在上是增函数， 又，故，即，． 4.定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，，若，则必有(    ) A. B.   C. D.   【答案】D  解：设，，则，在区间单调递减． ，，即． 5. 已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  解：设，则由已知当时，， 函数在上单调递增， ，则当时，，又，， 当时，，又，， 又为奇函数，，则在区间和上，都有， 等价于或解得或， 不等式的解集是. 6. 已知函数对任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：构造函数，则， 对任意的满足，，即函数在单调递增， 则，即，，即，故D正确． 定义在上的函数，其导函数在上总使得成立，则下列各式中一定成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：，，．由，得， 即．令，，则． 函数在上为增函数，则，即， ，即故选：． 【补充练习】 1.设是定义域上的连续可导函数，且，若对任意实数，，则当时有(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：，，函数在上为单调增函数， ，，，．故选D． 2.设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式 其中为自然对数的底数的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】解：设， ，即，， 在上单调递减，又， 不等式，即，， 原不等式的解集为． 3.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则 A. B. C. D. 【答案】B  解：令， 则， 所以函数在上为增函数，  则，即，所以．故选B． 4.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设， 则，，， 在定义域上单调递减 又故选：． 5.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  解：定义在上的函数，恒有成立，即， 设，则， 则函数在上单调递减，则，即，即，故选： 6.已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则函数的零点个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：依题意，，故， 则，即， 故，令，则，解得，故， 故 令，则， 当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增， 故， 故当时，，当时， 作出函数的大致图象如图所示观察可知，与有个交点，即函数有个零点， 故选：． 7.设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  解：令，则， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增， 而可化为，又，即，解得， 所以不等式的解集是 ． 8.已知函数的导函数满足：对任意的都有，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  解：由题意，构造函数， 则，得在上单调递增， 又由条件得， 所以， 因为，即， 所以，根据函数在上单调递增，可得，解得． 学科网（北京）股份有限公司 $$