专题1.3 复数（考点精讲）-【中职专用】2025年春季高考数学一轮复习讲练测（山东专用）

专题1.3 复数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 6 考点一：复数的概念与几何意义 6 考点二：复数的运算 7 考点三：实系数一元二次方程的解法 8 【考纲要求】 理解复数的有关概念，掌握复平面内复数的几何意义. 1. 会求复数的模，能判断两个复数是否相等、是否互为共轭复数. 2. 会对两个复数做加、减和乘法运算，了解复数加法和减法的几何意义. 3. 会在复数范围内求解实系数一元二次方程. 【考向预测】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 1.复数的概念与几何意义 ①复数的实部与虚部 ②复数相等 ③复数分类 ④共轭复数 ⑤复数的模 ⑥复数的几何意义 2.复数的运算 3.实系数一元二次方程的解法 ①根的判定、根与系数的关系 ②复数范围内一元二次方程的解法 【知识导图】 【知识清单】 知识点一：复数的概念与几何意义 1. 复数的概念 (1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝-1，我们把i叫作虚数单位． (2)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，表示为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部是，虚部是. (3)复数集为. 2.复数的分类 对于复数a＋bi， (1)当且仅当b＝0时，它是实数； (2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； (3)当b≠0时，叫做虚数； (4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下： 注意：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3.复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 4.复数的几何意义 (1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数的几何意义 复数复平面内的点 平面向量 (3)复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 注意：时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). (4)共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点二：复数的运算 1．复数的加法及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和 . (2)复数加法的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： (3)复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量. 2．复数的减法及其几何意义 (1)复数的减法法则 复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的和或差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)复数减法的几何意义 复数 向量 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 (2)复数乘法的运算律 (交换律) (结合律) (分配律) (3)共轭复数的性质 设，（）  ①为实数     ②且为纯虚数  ③，， 4．复数的除法运算 (1)定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 (2)复数的除法法则 （） 知识点三：复数范围内实系数一元二次方程的解法 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程称为实系数一元二次方程， (1)当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当4=b2- 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当=b2- 4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 2．根与系数的关系 如果x1，x2是实系数一元二次方程的解，那么x1＋x2=，x1x2=， 3．在复数范围内，实数系方程的求解方法 ①时， ②<0时， 【考点分类剖析】 考点一：复数的概念与几何意义 例1．复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 【变式探究】已知复数 的实部和虚部分别为 和4， 则实数和的值分别是 （    ） A． B． C． D． 例2．在，2i，i，i，i，0，i，i中，是实数的有 ；是虚数的有 ；是纯虚数的有 . 【变式探究】“复数为纯虚数”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 例3.若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式探究】已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4. 若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例5.已知为虚数单位，若复数，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】设，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 例6.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数（     ） A． B． C． D． 【变式探究】已知复数满足，且的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C．4 D．3 例7．下列说法正确的是（    ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 【变式探究】已知为虚数单位，复数，则下列命题不正确的是（    ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C．在复平面内对应的点在第一象限 D． 考点二：复数的运算 例8. 已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】若复数，则 （    ） A． B． C． D． 例9. 若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知z1、z2∈C，且z1＝2+i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则z1﹣z2＝ ． 例10. 复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知复数的实部与虚部的和为12，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例11.若复数，则（    ） A． B．2 C．1 D．3 【变式探究】若复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 考点三：实系数一元二次方程的解法 例12.若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式探究】方程的解为 ． 例13.“”是“关于的方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式探究】.“”是“关于的实系数方程有虚根”的_____条件. 例14.已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝ ． 【变式探究】实系数一元二次方程的一根为（其中为虚数单位），则 . $$专题1.3 复数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 6 考点一：复数的概念与几何意义 6 考点二：复数的运算 9 考点三：实系数一元二次方程的解法 11 【考纲要求】 理解复数的有关概念，掌握复平面内复数的几何意义. 1. 会求复数的模，能判断两个复数是否相等、是否互为共轭复数. 2. 会对两个复数做加、减和乘法运算，了解复数加法和减法的几何意义. 3. 会在复数范围内求解实系数一元二次方程. 【考向预测】 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 1.复数的概念与几何意义 ①复数的实部与虚部 ②复数相等 ③复数分类 ④共轭复数 ⑤复数的模 ⑥复数的几何意义 2.复数的运算 3.实系数一元二次方程的解法 ①根的判定、根与系数的关系 ②复数范围内一元二次方程的解法 【知识导图】 【知识清单】 知识点一：复数的概念与几何意义 1. 复数的概念 (1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝-1，我们把i叫作虚数单位． (2)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，表示为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中实部是，虚部是. (3)复数集为. 2.复数的分类 对于复数a＋bi， (1)当且仅当b＝0时，它是实数； (2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； (3)当b≠0时，叫做虚数； (4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下： 注意：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3.复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 4.复数的几何意义 (1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. ①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. (2)复数的几何意义 复数复平面内的点 平面向量 (3)复数的模 向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 注意：时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). (4)共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数的共轭复数用表示，即如果，则. 知识点二：复数的运算 1．复数的加法及其几何意义 (1)复数的加法法则 设，，（）是任意两个复数，那么它们的和 . (2)复数加法的运算律 对任意，有 交换律： 结合律： (3)复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量. 2．复数的减法及其几何意义 (1)复数的减法法则 复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 注意：①两个复数的和或差是一个确定的复数； ②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减. (2)复数减法的几何意义 复数 向量 3．复数的乘法运算 (1)复数的乘法法则 我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为 ， 即 (2)复数乘法的运算律 (交换律) (结合律) (分配律) (3)共轭复数的性质 设，（）  ①为实数     ②且为纯虚数  ③，， 4．复数的除法运算 (1)定义 规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或 (2)复数的除法法则 （） 知识点三：复数范围内实系数一元二次方程的解法 1．根的判定 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程称为实系数一元二次方程， (1)当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当4=b2- 4ac=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当=b2- 4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根. 2．根与系数的关系 如果x1，x2是实系数一元二次方程的解，那么x1＋x2=，x1x2=， 3．在复数范围内，实数系方程的求解方法 ①时， ②<0时， 【考点分类剖析】 考点一：复数的概念与几何意义 例1．复数的虚部是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】复数的虚部是. 故选：A 【变式探究】已知复数 的实部和虚部分别为 和4， 则实数和的值分别是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，复数 的实部和虚部分别为 和 4，因此，解得， 所以实数 和 的值分别是. 故选：D. 例2．在，2i，i，i，i，0，i，i中，是实数的有 ；是虚数的有 ；是纯虚数的有 . 【答案】 ，0， 2i，i，i，i，i，i 2i， i， i，i 【分析】由复数的概念和分类进行求解 【详解】解：在，2i，i，i，i，0，i，i中， 是实数的有，0； 是虚数的有2i，i，i，i，i，i 是纯虚数的有2i， i， i，i 故答案为：，0；2i，i，i，i，i，i；2i， i， i，i 【变式探究】“复数为纯虚数”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】由纯虚数的概念可知，若复数为纯虚数，则且，故“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 例3.若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】确定复数对应的点的坐标，根据复数的几何意义，可得答案. 【详解】由于复数，则z在复平面内对应的点为， 该点在第四象限， 故选：D 【变式探究】已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得. 故选：D. 例4. 若，是虚数单位，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，，即，，所以． 故选：D． 【变式探究】已知x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用复数相等的概念，以及条件的变化，再用是否推出思想来判断充分不必要条件. 【详解】当时，显然成立，所以是的充分条件； 当时，， 则是的不必要条件； 故选：A. 例5.已知为虚数单位，若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用模长公式求出复数的模长. 【详解】. 故选：B 【变式探究】设，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】首先求出，再根据复数模的计算公式计算可得； 【详解】解：因为，所以， 所以； 故选：C 例6.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数z的共轭复数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义可得，即可由共轭复数的定义求解. 【详解】由题意可得，故， 故选：A 【变式探究】已知复数满足，且的共轭复数为，则（    ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【解析】因为，所以，所以．故选：B. 例7．下列说法正确的是（    ） A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数 B．的平方根是 C．是纯虚数 D．若，则复数没有虚部 【答案】B 【分析】用复数的相关概念判断即可 【详解】A： 表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误； B： 由，可知的平方根是，故B正确； C： 当是实数，故C错误； D： 若，则复数虚部为0，故D错误； 故选：B 【变式探究】已知为虚数单位，复数，则下列命题不正确的是（    ） A．的共轭复数为 B．的虚部为 C．在复平面内对应的点在第一象限 D． 【答案】B 【解析】由题知，复数的共轭复数为，虚部为1，在复平面内对应的点为在第一象限，，故B错误 故选：B 考点二：复数的运算 例8. 已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以. 故选：A 【变式探究】若复数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数加法的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由复数，则. 故选：A. 例9. 若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则，所以，得， 所以. 故选：B. 【变式探究】已知z1、z2∈C，且z1＝2+i，z2＝3﹣4i（其中i为虚数单位），则z1﹣z2＝ ． 【答案】 【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】解：z1﹣z2＝2+i﹣3+4i＝﹣1+5i． 故答案为：﹣1+5i． 例10. 复数的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 则. 故选：B. 【变式探究】已知复数的实部与虚部的和为12，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由复数的乘法运算可知，，因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，，故选：B. 例11.若复数，则（    ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】C 【分析】计算得到，再计算模长得到答案. 【详解】，. 故选：C 【变式探究】若复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故，故选：A. 考点三：实系数一元二次方程的解法 例12.若关于x的实系数方程有一个复数根是，则另一个复数根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】若关于x的实系数方程有两个复数根，则两复数根互为共轭复数， 故该方程的另一个复数根是. 故选：A. 【变式探究】方程的解为 ． 【答案】 【解析】∵，∴由求根公式得， 故答案为：． 例13.“”是“关于的方程有虚根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】当时，关于的方程有两个相等的实根， 当关于的方程有虚根时，成立， 所以“”是“关于的方程有虚根”的必要不充分条件， 故选：B 【变式探究】.“”是“关于的实系数方程有虚根”的_____条件. 【答案】必要不充分 【解析】关于的方程有虚根等价于判别式，即，解得， 所以“”是“关于的方程有虚根”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 例14.已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝ ． 【答案】19 【解析】因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根， 所以，解得，所以，故答案为：19. 【变式探究】实系数一元二次方程的一根为（其中为虚数单位），则 . 【答案】4 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再代入到方程求得，，从而求出答案． 【详解】解：， ∴，即， ∴，， ， 故答案为：4． $$