第五讲 一元二次方程根与系数之间的关系 预习讲义 【暑假衔接】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

一元二次方程根与系数之间的关系 【同步知识梳理】 ①一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，_△=b2-4ac___叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即△=__b2-4ac____ 四种说法：1、有两个不相等的实数根⇔_______ 2、有两个相等的实数根⇔______ 3、无实数根⇔______ 4、有实数根⇔______ 补充：一元一次方程(ax=b)有关解的三种说法： 1、有解⇔__a≠0____ 2、无解⇔__a=0，b≠0____ 3、有无数组解⇔_a=0，b=0_____ 例：关于x的方程有实数根，则k的取值范围是______ ②一元二次方程根与系数的关系（了解） 如果方程的两个实数根是，那么x1+x2=__-___，x1x2=______。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。韦达定理成立的前提条件：____ _____（解出答案要检验） =__________（后面都用x1，x2填空） =___________ =______________________ （）2=___________________ =________________________ =________________________ x1-x2=2（怎么处理）____________________ |x1-x2|=2（怎么处理）__________________ 例：已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【精题精练精讲】 题型一：根与判别式 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 2．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 3．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 4.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是____________ 题型二：一元二次方程证明题 1．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 2．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求k的取值范围； (2)若方程有两个实数根为和，且，求k的值． 3．已知有关于x的一元二次方程． (1)求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值． 4．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根且都是整数，求整数m的值． 题型三：一元二次方程和三角形 1．已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值． 3．已知关于的一元二次方程，其中，，分别是三边的长． (1)若该方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (2)若是等边三角形，请求出该方程的实数根． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值． 题型四：韦达定理 1．设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为_______ 2．已知 是一元二次方程的两个根，则的值是_______ 3．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两根为、且，求m的值． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 5．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)试求的取值范围； (2)若，求的值； (3)若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值． 【能力拓展训练】 1.已知a2+2a-1=0，b2+2b-1=0，求a+b=____________ 2．阅读材料，解答问题： 材料一：已知实数a，满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 材料二：已知实数a，满足，，将两边同除以，得，即，则可将a，看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： (1)已知实数a，满足，，求的值； (2)已知实数a，b满足，，且，求的值． 【课后知识应用】 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________ 2．已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7) (8)． 3．已知关于x的方程． (1)请你判断方程的解的情况； (2)若等腰三角形ABC的一边长 ，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 的周长． 4．已知关于的方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，决出k的值；如果不存在，请说明理由． 5,已知x2-8x+16-m2=0是关于的一元二次方程 （1）证明：此方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、是该方程的两个实数根，求m． （3）若Rt的一边长，另两边长、是该方程的两个实数根，求m． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程根与系数之间的关系 【同步知识梳理】 ①一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，_△=b2-4ac___叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即△=__b2-4ac____ 四种说法：1、有两个不相等的实数根⇔_△＞0____ 2、有两个相等的实数根⇔__△=0____ 3、无实数根⇔__△＜0____ 4、有实数根⇔_△≥0_____ 补充：一元一次方程(ax=b)有关解的三种说法： 1、有解⇔__a≠0____ 2、无解⇔__a=0，b≠0____ 3、有无数组解⇔_a=0，b=0_____ 例：关于x的方程有实数根，则k的取值范围是_k≥-2_____ ②一元二次方程根与系数的关系（了解） 如果方程的两个实数根是，那么x1+x2=__-___，x1x2=______。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。韦达定理成立的前提条件：____△≥0_____（解出答案要检验） =______（后面都用x1，x2填空） =_（）2-2x1x2___ =________ （）2=_（）2_-4x1x2____ =__±___________ =__±（）______ x1-x2=2（怎么处理）_两边同时平方，再变形______ |x1-x2|=2（怎么处理）__两边同时平方，再变形_____ 例：已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∵无论为何实数，， ∴， ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)由一元二次方程根与系数的关系得： ，， ∵， ∴， ∴， ∴，化简得：， 解得，． 【精题精练精讲】 题型一：根与判别式 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 2．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵一元二次方程没有实数根， ∴且， 解得， 故答案为：． 3．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 4.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是____________ 【答案】k≥-2且k≠0 题型二：一元二次方程证明题 1．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果方程有一个根为正数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明： 无论m取何值，， ∴方程总有两个实数根． （2）解：由原方程得：， 解得，， ∵方程有一个根为正数，， ， ． 2．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求k的取值范围； (2)若方程有两个实数根为和，且，求k的值． 【答案】(1)(2)k的值为1或2 【详解】（1）解：a=1，b=-2，c=k-1， ∵方程有实数根， ， ． （2）∵原方程的两实数根为和，且由得， 或， 当时，代入方程可得，解得k=1； 当时， ， 故k的值为1或2． 3．已知有关于x的一元二次方程． (1)求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值． 【答案】(1)，方程有两个实数根(2)，方程的另一个解为1(3)或． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴； 而 ， ∴原方程方程有两个实数根． （2）∵方程有一个根为， ∴， 解得：， ∴方程为：， ∴， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个解为1． （3）∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵方程的一个根是另一个根3倍， 当时，解得：，经检验符合题意； 当时，解得：，经检验符合题意； 综上：或． 4．已知关于x的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)若方程有两个实数根且都是整数，求整数m的值． 【答案】(1)见解析(2)或 【详解】（1）证明：当时，关于x的方程为， 此时，方程有一个实数根； 当时，方程为一元二次方程， ∴ ， ∴此方程总有两个不相等的实数根； 综上，关于x的方程总有实数根； （2）∵方程有两个实数根 ∴方程为一元二次方程， ∴ ∴， ∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数， ∴或． 题型三：一元二次方程和三角形 1．已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形一腰长为5，另外两边长度为该方程的两根，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析；(2)12． 【详解】（1）证明：， ∵，即， ∴无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：∵等腰三角形一腰长为5， ∴另外一边长度为5， ∴方程一个根为5， ∴， 解得， ∴方程为， ∴， 解得，， 故的周长． 2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0． (1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值． 【答案】(1)见解析(2)m的值为4或3 【详解】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2． ∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0， ∴无论m取任何实数，方程总有实数根； （2）解：当腰为4时， 把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0， 得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4； 当底为4时， 则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根， ∴Δ＝0， ∴（m﹣3）2＝0， ∴m＝3， 综上所述，m的值为4或3． 3．已知关于的一元二次方程，其中，，分别是三边的长． (1)若该方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (2)若是等边三角形，请求出该方程的实数根． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析；(2)，． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：当是等边三角形时，， 原方程可化为， ∴， ∴， 解得：，． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根、是斜边长为5的直角三角形两直角边长，求k的值． 【答案】(1)见解析；(2)3 【详解】（1）证明：， 所以无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，， ∵、是斜边长为5的直角三角形两直角边长， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得：，， ∵，， ∴k的值为3． 题型四：韦达定理 1．设一元二次方程 的两根为 ，则 的值为_______ 【详解】解：根据根与系数的关系，得，， ， 2．已知 是一元二次方程的两个根，则的值是_______ 【详解】解：根据题意得，， 则＝＝． 3．关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两根为、且，求m的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2），是一元二次方程的两个实数根， ，， ，即， 整理得：， 解得：，． 又， ． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴，整理得，解得， ∴实数m的取值范围是． （2）解：由题意得：， ∵， ∴，即 ∴，整理得：，解得：（不符合要求，舍去）或， ∴． 5．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)试求的取值范围； (2)若，求的值； (3)若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或者， ∵根据（1）有， 即； （3）由（2）可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵根据（1）有， 即． 【能力拓展训练】 1.已知a2+2a-1=0，b2+2b-1=0，求a+b=____________ 答案： a和b是一元二次方程x2+2x-1=0的两个根 当a=b时，a==-1± 原式=2a=-2±2 当a≠b时，a+b=-2（韦达定理） 2．阅读材料，解答问题： 材料一：已知实数a，满足，，则可将a，b看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 材料二：已知实数a，满足，，将两边同除以，得，即，则可将a，看作一元二次方程的两个不相等的实数根． 请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： (1)已知实数a，满足，，求的值； (2)已知实数a，b满足，，且，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵实数，满足，， ∴可将，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ； （2）解：在方程的两边同时除以得， 又∵实数满足，且， ∴可将，看作方程的两个不相等的实数根， ，， ． 【课后知识应用】 1．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________ 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且， 2．已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7) (8)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)7(6)5(7)3(8)7 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 3．已知关于x的方程． (1)请你判断方程的解的情况； (2)若等腰三角形ABC的一边长 ，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 的周长． 【答案】(1)方程有两个实数根(2)5 【详解】（1）由题意知：， ∵，即， ∴方程有两个实数根； （2）当时，，则， 方程化为，解得， ∴的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 不符合三角形三边的关系，此情况舍去； 综上所述，的周长为5． 4．已知关于的方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，决出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）且；（2）k不存在．理由见解析． 【详解】解：（1）方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2， 可得k-1≠0， ∴k≠1且Δ=-12k+13＞0， 可解得且k≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2， ∵x1+x2=0， ∴， ∴， 又∵且； ∴k不存在． 5,已知x2-8x+16-m2=0是关于的一元二次方程 （1）证明：此方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、是该方程的两个实数根，求m． （3）若Rt的一边长，另两边长、是该方程的两个实数根，求m． 答案：（1）△=64-4（16-m2） =4m2 ≥0 ∴此方程总有实数根 （2） 当a为底边时 △=64-4（16-m2）=4m2=0 m=0 检验一下：当m=0时，x2-8x+16=0 x1=x2=4（4,4,6可以） 当a为腰时，另一个腰为6，6是方程的根 36-48+16-m2=0 m=±2 检验一下：当m2=4时，x2-8x+12=0 x1=2，x2=6（6，6，2可以） ∴m=0或±2 （3） 当a为直角边时 c2-b2=62 （c-b）（c+b）=36 ∵c+b=8 ∴c-b= ∴c= b= 将b=代入方程得 m=± 当a为斜边时 c2+b2=62 （c+b）2-2bc=36 64-2（16-m2）=36 m=± 学科网（北京）股份有限公司 $$