精品解析：陕西省铜川市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

陕西省铜川市一中高一期末考试 数学试题 命题人：陈娣 考生注意：本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则不垂直于 5. 若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（ ） A. 10，12 B. 10，14 C. 4，3 D. 6，3 6. 已知空间向量,若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 如图，在中，已知，将以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．如图是某地5月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10天中PM2.5的日均值的极差为50 B. 这10天中PM2.5的日均值的中位数为43 C. 这10天中PM2.5的日均值的平均数为47.8 D. 这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为69 10. 已知为复数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（ ） A. B. 异面直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 的面积是 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为______． 13. 已知平面的法向量为，点为平面内一点，点为平面外一点，则点P到平面的距离为____________． 14. 如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，． （1）若与的夹角为，求的值； （2）求在方向上的投影向量的模． 16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）； （2）现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数． 17. 如图，在四棱锥中，平面PBC，底面ABCD为菱形，且，E，F分别为BC，CD的中点． （1）求证：； （2）已知Q为棱BP上一点，且，求证：‖平面QAF． 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省铜川市一中高一期末考试 数学试题 命题人：陈娣 考生注意：本试卷分为第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解. 【详解】由， 得． 故选：D． 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由数量积的坐标表示列方程即可求解. 【详解】向量，则，解得. 故选：C. 3. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直，可知，由此可得两向量坐标之间有倍数关系，即可求得答案. 【详解】当时，，所以， 则，解得，． 故选：C． 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则不垂直于 【答案】D 【解析】 【分析】由平面平行的判定定理可判断A错误，由线面垂直性质可判断B错误，利用面面垂直的性质定理可判断C错误；由反证法可得D正确. 【详解】对于A，由平面平行的判定定理易知当两个平面内的两条直线平行时，不能得出两平面平行，即A错误； 对于B，若，则可得或，故B错误； 对于C，由面面垂直的性质知，两个平面垂直时，仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与另一个平面垂直， 而C中直线与平面的关系不确定，故与不一定垂直，故C错误； 对于D，若，由条件易得，与二者异面矛盾，故D正确． 故选：D． 5. 若一组数据的平均数为4，方差为3，那么数据的平均数和方差分别是（ ） A. 10，12 B. 10，14 C. 4，3 D. 6，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数、方差的性质计算可得. 【详解】因为一组数据的平均数为4，方差为3， 所以数据的平均数为，方差为. 故选：A 6. 已知空间向量,若共面，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用三个向量共面，即可列出方程求出实数的值. 【详解】因为共面，所以存在实数对,使得, 即， 所以解得 故选：D． 7. 如图，在中，已知，将以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，以为轴旋转一周形成的几何体的体积为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转体定义可得形成的几何体都可以看做一个大圆锥挖去一个小圆锥，再由锥体体积公式可得结果. 【详解】分别过顶点向对边作垂线，垂足分别为点，如图所示， 设，，则， 则形成的几何体都可以看做一个大圆锥挖去一个小圆锥，所以可得 ， ； 所以，即． 故选：A． 8. 已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于，的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，找到即为二面角的平面角，即，并利用勾股定理求出各边长，求出三角形面积. 【详解】由题意得， 设底面圆圆心为，取的中点，连接， 则，故， 因为，，所以⊥，⊥， 故即为二面角的平面角，即， 故，， 由勾股定理得，， 所以的面积为 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. PM2.5是指大气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物．PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．如图是某地5月1日至10日PM2.5的日均值（单位：）变化的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 这10天中PM2.5的日均值的极差为50 B. 这10天中PM2.5的日均值的中位数为43 C. 这10天中PM2.5的日均值的平均数为47.8 D. 这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为69 【答案】ABD 【解析】 【分析】由极差定义可判断A正确，将数据按从小到大排序由中位数、平均数、百分位数定义计算可得C错误，BD正确. 【详解】对于A，这10天日均值的最大值为80，最小值为30，所以极差为，故A正确； 将10天中PM2.5日均值按从小到大排序为30，32，34，40，41，45，48，60，78，80， 所以这10天中PM2.5的日均值的中位数为，故B正确； 这10天中PM2.5的日均值的平均数为 ，故C错误； 因为为整数，所以这10天中PM2.5的日均值的第80百分位数为第8个和第9个数的平均数，即为，故D正确． 故选：ABD． 10. 已知为复数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】易知时满足可得A错误，利用复数的运算法则可判断B正确，C正确，易知，可得D错误. 【详解】对于A，若，则，而此时，故A错误； 对于B，因为，所以，又，所以，即，故B正确； 设，则， 所以， 所以， ，所以，故C正确； 对于D，取，，满足，而，故D错误． 故选：BC． 11. 如图，四边形，都是边长为2的正方形，平面平面，，分别是线段，的中点，则（ ） A. B. 异面直线，所成角为 C. 点到直线的距离为 D. 的面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】先利用面面垂直的性质推得，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，进而利用向量法逐一分析判断各选项即可. 【详解】因为四边形，都是正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，则， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 又，分别是线段，的中点，所以，， 所以，， 又，不共线，所以，故A正确； ，，设异面直线，所成角为， 则，又，所以， 即异面直线，所成角为，故B错误； 由，，得， 所以点到直线的距离为，故C正确； 因为，所以到的距离即为到的距离， 所以的面积，故D正确． 故选：ACD． 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某圆柱的表面积是其下底面面积的4倍，则该圆柱的母线与底面直径的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的表面积公式计算，再求母线及底面直径的比. 【详解】设圆柱的底面半径为r，母线为l，则，所以，所以． 故答案为：. 13. 已知平面的法向量为，点为平面内一点，点为平面外一点，则点P到平面的距离为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用空间向量计算点面距离即可. 【详解】由题意得，故点P到平面的距离 故答案为：1 14. 如图，在棱长为3的正方体中，点M，N分别为棱AB，上的点，且，点P是正方体表面上的一点，若平面，则点P的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件分别在棱取点，证明平面，同理平面，进而可得平面平面，从而P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为，进一步即可得解. 【详解】在棱上取一点E，使得，连接，EM，如图所示，易得，， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面， 平面，所以平面． 在棱上取一点F，使得，连接FN，FE，， 如图所示．同理可得平面， 又，平面，所以平面平面． 所以P点在正方体表面上运动所形成的轨迹为． 因为正方体的棱长为3，所以， ， 所以点P的轨迹长度为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，． （1）若与的夹角为，求的值； （2）求在方向上的投影向量的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两边同时平方化简可得，再根据向量的夹角公式计算即可； （2）先求出，再利用向量数量积的几何意义即可求得结果； 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，，所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 所以向量在方向上的投影向量的模为：． 16. 某公司为了解员工对食堂的满意程度，随机抽取了200名员工做了一次问卷调查，要求员工对食堂的满意程度进行打分，所得分数均在[40，100]内，将所得数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值，并估计这200名员工所得分数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）和中位数（精确到0.1）； （2）现从[70，80），[80，90），[90，100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人，求[70，80）这组中抽取的人数． 【答案】（1）平均数为72.5，中位数为72.9 （2）14 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质求得参数，结合平均数公式直接计算即可； （2）算出各个区间的人数，用总抽取人数乘以抽样比即可. 【小问1详解】 由题意知， 解得． 估计这200名员工所得分数的平均数． [40，70）的频率为， [40，80）的频率为， 所以中位数落在区间[70，80），设中位数为m，所以， 解得，即估计这200名员工所得分数的中位数为72.9． 【小问2详解】 [70，80）的人数：，[80，90）的人数：， [90，100]的人数：， 所以[70，80）这组中抽取的人数为：． 17. 如图，在四棱锥中，平面PBC，底面ABCD为菱形，且，E，F分别为BC，CD的中点． （1）求证：； （2）已知Q为棱BP上一点，且，求证：‖平面QAF． 【答案】（1） 如图，连接AC． 因为底面ABCD为菱形，且， 所以为正三角形，‖， 因为E为BC的中点，所以． 又因为平面PBC，平面PBC，所以． 因为，AP，平面APE，所以平面． 因为平面APE，所以， 因为‖，所以． （2） 连接BD交AF于点M，连接QM． 因为‖，所以， 因为， 所以，又， 所以． 所以在中，‖． 又因为平面QAF，平面QAF， 所以‖平面QAF． 【解析】 【分析】（1）连接AC，由题意可得为正三角形，则，再由平面PBC，得，所以由线面垂直的判定定理得平面，则，再由‖，可证得结论； （2）连接BD交AF于点M，连接QM，则可得，则，所以结合已知可得，所以‖，再利用线面平行的判定定理可结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，再利用辅助角公式可得； （2）利用正弦定理可得，再由并利用三角函数单调性可求得的取值范围． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，因为， 所以，即， 可得． 【小问2详解】 由正弦定理得， 即，且， 所以． 因为为锐角三角形，，所以， 所以，即． 可得， 即的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，． （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由． 【答案】（1）证明：在中，，，由余弦定理，得 ，所以，即． 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明平面平面； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，的中点分别为，，连接，， 因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以． 因为，分别为，的中点，所以，又，所以，即，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，， 设，则，所以． ，，设是平面的法向量，则即令，则，，即平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，又， 则， 即，解得． 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $