专题2.17 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.17 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】正数与负数及相关概念 1、认识正数、负数、零 （1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0； （2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 2、有理数的概念及分类 （1）整数和分数统称有理数. （2）有理数的分类 【知识点二】数轴、相反数与绝对值 1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 3．绝对值： （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【知识点三】有理数的运算 1.有理数运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律： ① 加法交换律：a+b=b+a； ②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律： ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【知识点四】有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法． 【知识点四】科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的相关概念 【例1】（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）画一条数轴，并在数轴上表示：和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，并把这些数由小到大用“”号连接起来． 【变式1】（2024·广东肇庆·一模）如图，数轴上点表示向东走了，则点表示（    ） A．向东走 B．向南走 C．向西走 D．向北走 【变式2】（2024·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ． 【例2】（23-24九年级上·贵州毕节·期中）点A，B，C，D在数轴上表示的有理数如图所示．    （1）点A表示的数的倒数是 　 ；点C表示的数的相反数是 　 ． （2）①A，B两点间的距离为　 ； ②分别计算A，D两点间的距离和B，C两点间的距离． 【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小： ． 【题型2】有理数的运算 【例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级上·河北沧州·期中）在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 【变式2】（23-24六年级下·上海普陀·期中）一般情况下，海拔每上升1千米，气温下降约一座山海拔高度为2千米，如果小明在山脚下测得的气温是，那么小明乘缆车到山项后测得的气温约是 ． 【例4】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；，当时．如下面一组等式： ，；根据以上阅读内容完成： （1）的结果是 　 　，的结果是 　 　． （2）计算：． 【变式1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算，最适当的方法是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·四川达州·期中）计算：已知，在此条件下，计算：… ． 【例5】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 【变式1】（2023·河北石家庄·二模）与互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ． 【题型3】有理数的运算的应用 【例6】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着尔滨今年冬天的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，如果每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好的服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒套装，如果每天购买礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的游园人数以及购买礼盒数量的变化， 星期 一 二 三 四 五 六 日 相对于标准人数 （单位：万人） 相对于实际游园人数 （单位：万盒） 0 （1）求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数； （2）如果门票为每人150元，那么门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？ （3）如果礼盒套装每盒350元，那么计算这一周冰雪大世界在门票和礼盒套装上的总收入是多少钱？ 【变式1】（23-24七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．132天 B．72天 C．60天 D．42天 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作 ． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： （1）当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； （2）已知，，求的值； （3）已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【例2】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． （2）化简：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.17 有理数（全章知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】正数与负数及相关概念 1、认识正数、负数、零 （1）正数：大于0的数叫做正数，正数大于0； （2）负数：正数前面加个符号“－”（负号）的数叫做负数，负数小于0； （3）0：既不是正数也不是负数，正负数以0为界。规定：0是最小的自然数。 2、有理数的概念及分类 （1）整数和分数统称有理数. （2）有理数的分类 【知识点二】数轴、相反数与绝对值 1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 2．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 3．绝对值： （1）代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 【知识点三】有理数的运算 1.有理数运算法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． 　 (6）有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律： ① 加法交换律：a+b=b+a； ②乘法交换律：ab=ba； （2）结合律： ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【知识点四】有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；（3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5）倒数比较法． 【知识点四】科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的相关概念 【例1】（22-23七年级上·广东佛山·阶段练习）画一条数轴，并在数轴上表示：和它的相反数，和它的倒数，绝对值等于的数，并把这些数由小到大用“”号连接起来． 【答案】作图见解析， 【分析】根据相反数定义、倒数定义及绝对值定义求出各个数，然后在数轴上表示，并利用数轴比较大小即可得到答案． 解：的相反数为，的倒数为，绝对值等于的数为， 将在数轴上表示，如图所示： 把这些数由小到大用“”号连接起来为：． 【点拨】本题考查用数轴表示有理数，并利用数轴比较有理数大小，涉及相反数定义、倒数定义及绝对值定义等知识，熟练掌握数轴定义及用数轴比较大小的方法是解决问题的关键． 【变式1】（2024·广东肇庆·一模）如图，数轴上点表示向东走了，则点表示（    ） A．向东走 B．向南走 C．向西走 D．向北走 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，根据数轴可得点、点分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等，得出表示相反意义的量，即可得出答案． 解： 数轴可得，点、点分别在数轴原点的两边，且距离原点的距离相等， 点表示向东走了，则点表示向西走， 故选：C． 【变式2】（2024·陕西榆林·三模）如图，数轴的单位长度为1，若点表示的数与点表示的数互为相反数，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上数的表示及相反数，根据A、B所表示的数互为相反数可得原点的位置，然后求解C即可． 解：由数轴的单位长度为1，点、所表示的数互为相反数，可得数轴的原点在点A和点B的中点处，如图所示， 点C表示的数为； 故答案为：． 【例2】（23-24九年级上·贵州毕节·期中）点A，B，C，D在数轴上表示的有理数如图所示．    （1）点A表示的数的倒数是 　 ；点C表示的数的相反数是 　 ． （2）①A，B两点间的距离为　 ； ②分别计算A，D两点间的距离和B，C两点间的距离． 【答案】(1)； (2)①1.5；②7，1.25 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数，倒数，数轴上两点之间的距离， （1）观察数轴得出点A、点C表示的数，再求点A表示的数的倒数，点C表示的数的相反数即可； （2）①根据绝对值的定义计算即可； ②根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 熟练掌握“数轴上两点之间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值”是解题的关键． 解：（1）由数轴得，点A表示的数是，其倒数是； 点C表示的数是，其相反数是； 故答案为：；； （2）①A，B两点间的距离为， 故答案为：1.5； ②A，D两点间的距离为； B，C两点间的距离为． 【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【变式2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和有理数的大小比较，熟练掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解题关键．先简化绝对值，再根据有理数的大小比较方法求解即可得． 解：因为，，， 所以， 故答案为：． 【题型2】有理数的运算 【例3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键． （1）把原式写成去掉括号的形式，分别计算正数和负数的和，即可得到答案； （2）应用加法的交换，结合律，即可计算． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（23-24七年级上·河北沧州·期中）在计算时通常转化成：，这个变形的依据是（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．乘法交换律 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，由变形可知与3交换位置，所以在计算时通常转化成，这个变形的依据是：加法交换律． 解：在计算时通常转化成， 这个变形的依据是：加法交换律． 故选：A． 【变式2】（23-24六年级下·上海普陀·期中）一般情况下，海拔每上升1千米，气温下降约一座山海拔高度为2千米，如果小明在山脚下测得的气温是，那么小明乘缆车到山项后测得的气温约是 ． 【答案】 【分析】根据有理数加减混合运算计算即可，本题考查了有理数加减乘法混合运算，，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：根据题意，得， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·山东枣庄·阶段练习）阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当时；，当时．如下面一组等式： ，；根据以上阅读内容完成： （1）的结果是 　 　，的结果是 　 　． （2）计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1），，即可求解； （2）可得，可化为，即可求解． （1）解： ， ； 故答案：，． （2）解：原式 ． 【点拨】本题考查了绝对值的性质，有理数加减中的简便运算，理解性质，掌握简便解法是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算，最适当的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法的交换律和结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算律． 解：． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级上·四川达州·期中）计算：已知，在此条件下，计算：… ． 【答案】 【分析】由绝对值的结果为非负数，且两非负数之和为可得两个绝对值同时为，可得且，把代入可求出的值为，把求出的与代入所求的式子中，利用把所求式子的各项拆项后，去括号合并即可求出值． 解：，，且， 且， 解得且， 把代中， 解得， 则 ． 故答案为：． 【例5】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题． （2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2023·河北石家庄·二模）与互为倒数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将每个式子计算出结果，再根据倒数的概念，逐一判断即可． 解：， ，的倒数为，故A不符合题意； ，的倒数为，故B符合题意； ，的倒数为，故C不符合题意； ，的倒数为，故D不符合题意， 故选：B． 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，倒数的概念，熟练计算出每一个式子的结果是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算： ． 【答案】135 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，可以将分成，再利用乘法的分配律，通过约分恰好是整数．同理将可以分为，可以分为，最后利用分配律得出几个整数相加． 解： ． 【题型3】有理数的运算的应用 【例6】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）随着尔滨今年冬天的爆火，冰雪大世界的游园人数也迎来了历史的新高，如果每天游园人数以1万人作为标准，实际游园人数超过标准的人数记为正，少于标准的人数记为负．为了更好的服务来游玩的客人，冰雪大世界准备了具有东北特色的礼盒套装，如果每天购买礼盒的数量超过当天实际游园人数的记为正，少于当天实际游园人数的记为负．下表体现了一周连续7天的游园人数以及购买礼盒数量的变化， 星期 一 二 三 四 五 六 日 相对于标准人数 （单位：万人） 相对于实际游园人数 （单位：万盒） 0 （1）求本周内来到冰雪大世界游园的人数最多的一天的人数； （2）如果门票为每人150元，那么门票收入最高的一天比最低的一天多多少钱？ （3）如果礼盒套装每盒350元，那么计算这一周冰雪大世界在门票和礼盒套装上的总收入是多少钱？ 【答案】(1)万人 (2)165万元 (3)6605万元 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）由超过标准人数最多的1天可得答案； （2）由星期二收入减去星期三的门票收入即可得到答案； （3）由门票收入加上礼盒收入可得总收入． 解：（1）解：∵星期二超过标准人数最多， ∴星期二的游客人数最多为：（万人）． （2）星期二的收入最多为：（万元）， 星期三的收入最小为：（万元）， ∴门票收入最高的一天比最低的一天多（万元）． （3）∵游客总人数为：（万人）， ∴门票总收入为：（万元）； ∵购买礼盒总数量为： （万盒）， ∴收入为：（万元）， ∴总收入为：（万元）． 【变式1】（23-24七年级上·河南安阳·期末）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（    ） A．132天 B．72天 C．60天 D．42天 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据“满七进一”可知最左边的每个结表示，中间的每个结表示7，最右边每个结表示1，由此可解． 解：孩子已经出生天数为：（天）， 故选B． 【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第6天截取后木棍剩余的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解题意，正确找出数式规律，是解答本题的关键． 根据题意，先分别求出第一、二、三天截取后木棍剩余的长度，从而找出规律，由此得到答案． 解：根据题意得： 第一天截取后木棍剩余长度为：， 第二天截取后木棍剩余长度为：， 第三天截取后木棍剩余长度为：， 第天截取后木棍剩余长度为：， 第6天截取后木棍剩余长度为：． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 【例2】（2024·湖北武汉·中考真题）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若零上记作，则零下记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 解：零上记作，则零下记作．， 故答案为：． 2、拓展延伸 【例1】（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： （1）当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______； （2）已知，，求的值； （3）已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【答案】(1)，1， (2)或3 (3) 【分析】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． （1）根据绝对值的应用解即可； （2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可； （3）个正数，负数由个，式子中由个正1，个，相加得答案． （1）解： ，，， 故答案为：，1，． （2）， ∴， ，， ，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时：原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式， 原式或3． （3）个正数，负数的个数为， ． 故答案为：． 【例2】（23-24六年级下·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． （1）用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． （2）化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． （1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$