新课预习衔接：长方体和正方体（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学苏教版

长方体和正方体 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．正方体的特征 【知识点归纳】 正方体的特征： ①8个顶点． ②12条棱，每条棱长度相等． ③相邻的两条棱互相垂直． 3．长方体的展开图 【知识点归纳】 长方体展开图形如下情况： 4．长方形、正方形的面积 【知识点归纳】 长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab 正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2． 【解题思路点拨】 （1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢． （2）其他求法可通过分割补，灵活性高． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第二部分 典型例题 例题1：商店营业员用一根塑料带为顾客捆扎两个食品盒，每个食品盒的长、宽、高分别是17厘米、11厘米、4厘米，如图那样捆扎一道并留下18厘米长为手提环，这样一共需要多长的塑料带？ 【答案】106厘米 【分析】由题意可知，把2个大小相同的食品盒摞在一起，拼成的长方体的长是17厘米，宽是11厘米，高是（4×2）厘米，由图形可知，塑料带在盒上是交叉捆绑，塑料带的长度等于2条长棱＋2条宽棱＋4条高棱＋打结部分用的18厘米，由此列式解答 【详解】2个食品盒摞在一起高是：4×2＝8（厘米） 17×2＋11×2＋4×8 ＝34＋22＋32 ＝56＋32 ＝88（厘米） 88＋18＝106（厘米） 答：这样一共需要106厘米长的塑料袋。 【点睛】此题主要考查长方体的特征，搞清塑料带是如何捆绑的，再根据棱长和的计算方法解决问题 例题2：在一个长20分米、宽10分米,高8分米(从里面量)的无盖水槽中注入6分米深的水,然后放入一个棱长3分米的正方体铁块(铁块完全浸没),放入铁块后水位高度是多少分米? 【答案】6.135分米 【详解】3×3×3÷(20×10)=0.135(分米) 6+0.135=6.135(分米) 例题3：一个长方体的高是7厘米，底面是边长6厘米的正方形，这个长方体的体积和表面积各是多少？ 【答案】216立方厘米；240平方厘米 【分析】根据长方体的体积公式：v＝abh，把数据代入公式可得长方体的体积；因为底面是正方形，所以它的表面积为：6×7×4＋6×6×2。由此即可解答。 【详解】6×6×7＝252（立方厘米） 6×7×4＋6×6×2 ＝168＋72 ＝240（平方厘米） 答：这个长方体的体积是216立方厘米，表面积是240平方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的体积公式和表面积公式的熟练运用。 例题4：学校要砌一道长20米，厚0.25米，高3米的砖墙，如果每立方米用砖500块，一共要用多少块砖？ 【答案】7500块 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，据此求出砖墙的体积，再乘单位体积用砖的块数即可。 【详解】20×0.25×3×500 ＝5×3×500 ＝15×500 ＝7500（块） 答：一共要用7500块砖。 【点睛】此题考查了长方体体积计算，牢记公式并能灵活运用是解题关键。 第三部分 高频真题 1．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面部分分成了两部分。现在从左右两边同时向水槽里注水，已知左面每分钟注水2升，注水3分钟后，右面水面高度正好与隔板齐平，又经过1.5分钟后，左面水面高度也正好与隔板齐平。 （1）注满水槽共需多少分钟？ （2）水槽的容积是多少升？ 2．一个长方体游泳池长30米，宽10米，深1.2米，在这个游泳池的四周和底面贴瓷砖，如果选用边长1分米的正方形瓷砖，那么至少需要这种瓷砖多少块？ 3．下图是一个长方体的展开图，测量需要的数据，并计算长方体的表面积。 4．有一的正方体，棱长是6厘米，如果把这个正方体切成棱长是2厘米的小正方体，表面积增加多少平方厘米？ 5．把一块棱长8厘米的正方体钢坯锻造成高和宽都是4厘米的长方体钢材，这块长方体钢材长是多少厘米？ 6．长方体的长是10厘米、宽是6厘米、高是5厘米．计算它的表面积与体积． 7．一个长方体水槽的长、宽、高分别是45厘米、24厘米、10厘米。那么这个水槽的容积是多少升？表面积是多少平方分米？（水槽的厚度忽略不计） 8．下图是一个无盖的长方体纸盒的部分展开图，画出纸盒的另外两个面并标出名称，求出这个纸盒的表面积和容积．（每个小方格的边长表示1厘米） 9．明明家客厅里摆放着个长方体金鱼缸，从外面量，长7.2分米，宽4.2分米，高3.9分米。玻璃厚0.1分米。 （1）这个鱼缸占地多少平方分米？ （2）如果用水装满这个鱼缸，能装多少升？ 10．一个正方体的高增加2厘米，得到的新长方体的表面积比原正方体的表面积增加了64平方厘米。原来正方体的体积是多少立方厘米？ 11．把45升水倒入长5分米、宽3分米、高4分米的鱼缸内，这时水与容器接触的面积是多少平方分米？ 12．一种礼品盒长5厘米，宽4厘米，高3厘米．乐乐想把这样的四个礼品盒包装成一个长方体．请算一算：怎样包装才能最省包装纸？最少需要多少平方厘米的包装纸？ 13．要粉刷一间长8米，宽6米，高4.2的教室顶面和四面墙壁，教室的门窗和黑板的面积一共是25.6平方米。一共要粉刷多少平方米？如果每平方米用0.6千克涂料，共需要多少千克涂料？ 14．同学们用硬纸板做一个学具盒，设计裁剪后如图所示。（不考虑重叠等情况） （1）这个学具盒的表面积是多少平方厘米？ （2）这个学具盒里放进12个同样大小的正方体学具，刚好放满。每个正方体学具的体积是多少立方厘米？ 15．（1）下图中，哪个是正方体，哪个是长方体？ （2）正方体的棱长是多少？有几个面完全相同？ （3）这个长方体的长、宽、高各是多少？有几个面是正方形？其余几个面完全相同吗？ 16．一个底面是正方形的长方体纸盒，高60厘米，如果把它的侧面展开，那么正好是一个正方形。这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 17．一个无盖长方体玻璃金鱼缸，长是4分米，宽是3分米，高是2分米，做这个金鱼缸至少要用多少的玻璃？如果盛满水，水重是多少千克？（每立方分米水重1千克） 18．六一儿童节，张老师给全班小朋友准备了一个长方体形状的蛋糕，糕点店的刘阿姨把这个蛋糕装在一个长方体礼品盒里．再用丝带捆扎礼品盒，接头处长30厘米，刘阿姨至少要用多少米的丝带捆扎这个礼品盒？ 19．一个长方体汽油箱，长和宽都是6分米，高是5分米。 （1）做这个汽油箱至少需要多少平方分米铁皮？ （2）如果每升汽油的价格是5.75元，将这个空油箱加满汽油一共要付多少元？ 20．一种长方体硬纸盒，长10厘米，宽6厘米，高5厘米，有2平方米的硬纸板210张，可以做这样的硬纸盒多少个？ 21．在一个棱长为20厘米的正方体容器中有16厘米深的水，现在将沉入水中的两根长1分米，横截面为40平方厘米的长方体铁棒取出，水面会下降多少厘米？ 22．一个长方体玻璃缸,从里面量长9分米、宽4分米、高7分米,水深4分米．如果放入一个棱长是3分米的正方体铁块且全部浸入,那么水面上升了多少分米? 23．一根长方体木料，长3米，横截面是一个边长0.3米的正方形。这根木料的横截面面积是多少平方米？体积是多少立方米？ 24．一个长方体铁盒，从里面量高8分米，底面是边长4分米的正方形，这个铁盒的容积大约是多少立方分米？ 25．把一根72米长的长方体木料平均截成3段，表面积正好增加48平方分米。这根木料的体积是多少立方米？ 26．一个正方体的棱长总和是36分米，这个正方体的表面积和体积各是多少？ 27．如图，把一个表面涂满红色的正方体木块，切成64个大小相同的小正方体．则切开的小正方体中：(1)三面涂有红色的小正方体有几个？(2)两面涂有红色的小正方体有几个？(3)一面涂有红色的小正方体有几个？(4)所有面都没有涂色的小正方体有几个？ 把一个表面涂色的大正方体等距离切成若干个完全相同的小正方体，如果每条棱被切成n段，则三面涂色的小正方体一定是8个；两面涂色的小正方体有(n－2)×12个；一面涂色的小正方体有(n－2)2×6个；每个面都没涂色的小正方体有(n－2)3个． 28．一个长方体玻璃缸，长是8分米，宽是6分米，高是4分米，水深2.9分米。如果将一个棱长是4分米的正方体铅块放入玻璃缸中，那么玻璃缸里会溢出多升的水？ 29．一节通风管长1.8米，横截面是一个边长是2分米的正方形，做5节这样的通风管共需铁皮多少平方分米？ 30．青阳小学准备建一个长方体游泳池，长50米，宽15米，深2米。请你算一算。 （1）在游泳池底面积和四周内壁抹一层水泥，抹水泥面积是多少平方米？ （2）如果游泳池放水到离池口0.2米处，需要多少立方米的水？ 31．一个长方形铁皮长12分米，宽8分米从它的四角剪去棱长为1分米的正方形，然后把它折成一个长方体容器。容器的容积是多少立方分米？ 32．一个用硬纸板做成的长方体影集封套，长30厘米，宽25厘米，高12厘米，封套的左面不封口（如图）。做这个封套至少需要多少平方厘米硬纸板？ 33．光明小学准备修建一个长6米，宽3米，深50厘米的沙坑。 （1）如果要在沙坑的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ （2）如果要在沙坑里填满黄沙，准备黄沙9吨，够不够？（每立方米黄沙重2.4吨） 34．同学们都知道“乌鸦喝水”的故事吧．一个正方体的水槽里装了一些水（如图），乌鸦只能够到水槽最上沿，在水槽的旁边有大小不一的三块石头．同学们，你能选择其中的两块石头，帮助乌鸦喝到水吗？你打算怎么做． 35．小明想制作一个长6米，宽3.5米，高4米的无盖鱼缸，请你帮他计算一下制作这个鱼缸最少需要多少平方米的玻璃？这个鱼缸最多能装多少立方米的水？ 36．一个游泳池长50m，宽25m，深2m。 （1）这个游泳池占地多少平方米？     （2）小明沿游泳池的四周走两圈，共走多少米？ （3）在游泳池的四壁和底面贴上面积是4dm2的瓷砖，共需多少块？ （4）为了举行一次游泳比赛，要将游泳池分成8个泳道，每两个泳道间装上隔离带，一共要准备多少米的隔离带？ （5）现在用一根粗水管向空游泳池里注水，水管的横截面面积是2dm2，每分钟流水长度达5m，多长时间可以注这池水的40%？ 37．一个长7分米的长方体，横截成两个长方体，表面积增加12平方分米，原来这个长方体的体积是多少？ 38．小明要给电视机做一个布罩，电视机的长是5dm，宽是45cm，高是32cm，做这个布罩需要多少布？ 39．一间平顶教室长8米,宽6米,高4.2米,教室门窗和黑板的面积一共是35.8平方米．给这间教室的顶面和四面墙壁粉刷涂料,粉刷的面积是多少平方米? 40．一个底面是正方形的长方体，侧面积（四周）是72平方分米，高6分米，长方体表面积是多少？ 41．一根长方体木料，长16分米，横截面是边长1.5分米的正方形，这根木料横截面的面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 42．一个长方体木块，如图切成三块，中间的正方体木块比原长方体的表面积少96平方厘米，那么原来长方体的体积是多少立方厘米？ 43．小明用一张长60厘米，宽40厘米的长方形硬纸板，在四角剪去边长为5厘米的正方形，再折成一个长方体的盒子，盒子的容积是多少立方厘米？（用纸板厚度忽略不计） 44．在一个长25厘米、宽12厘米、高20厘米的长方体玻璃缸中放入一个棱长9厘米的正方体铁块，然后再玻璃缸中加入一些水，使铁块完全浸没在水中。当铁块从水中取出时，玻璃缸中的水会下降多少厘米？ 45．一块长方体钢材，长30分米，宽6分米，高5分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，这块钢材的质量是多少吨？ 46．一个长方体的有盖油桶，底面是边长40厘米的正方形，高60厘米，做这个油桶至少需要铁皮多少平方分米？如果每升汽油重0.75千克，这个油桶能装汽油多少千克？ 47．一块棱长为11分米的正方体铁块,它的体积是多少立方分米?如果1立方分米的铁块重3.2千克,这块铁块重多少千克? 48．现有四种不同规格的长方形和正方形玻璃。①长5分米、宽3分米；②长5分米、宽2分米；③长3分米、宽2分米；④边长3分米。请你从中选出几块玻璃，粘成一个无盖的长方体（或正方体）形状的金鱼缸，各需要选几块？在下表中填一填（要求写出两种不同的选法）。 规格① 规格② 规格③ 规格④ 容积/毫升 选法一 （    ）块 （    ）块 （    ）块 （    ）块 选法二 （    ）块 （    ）块 （    ）块 （    ）块 49．一种铁皮油箱，长80厘米，宽60厘米，高50厘米。 （1）做这个油箱至少需要多少平方分米的铁皮？ （2）如果每升油重0.75千克，这个油箱可装油多少千克？ 50．用5个体积是1立方分米的正方体粘合成一个长方体，粘合后的长方体表面积是多少平方分米，体积是多少立方分米． 参考答案： 1．（1）7.5分钟 （2）60升 【分析】本题可以先解答第（2）小题，求出水槽的容积，根据“水槽正中间有一块高6厘米的隔板”可知，长方体水槽被隔板分成容积相同的两部分，可设右面的注水速度是每分钟x升，根据左右两部分容积相同列出方程，求出右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积，最后用长方体水槽容积除以左右两面注水的速度和，即可求出注满水槽共需的时间。 【详解】解：设右面每分钟注水x升，根据分析列方程如下： 3×2＋1.5×（2＋x）＝3x 6＋3＋1.5x＝3x 1.5x＝9 x＝6 3x＝3×6＝18（升）＝18000（立方厘米） 18000÷6÷40＝75（厘米） 长方体水槽长：75×2＝150（厘米） （2）长方体水槽容积：150×40×10＝60000（立方厘米）＝60（升） （1）60÷（2＋6） ＝60÷8 ＝7.5（分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟，水槽的容积是60升。 【点睛】本题考查长方体体积（容积）的应用，关键是根据右边的注水速度，进而求出长方体水槽的长和容积。 2．39600块 【分析】游泳池没有上面，应先求5个面的面积，再除以正方形瓷砖的面积；1平方米＝100平方分米。 【详解】30×10＋2×（30×1.2＋10×1.2） ＝300＋96 ＝396（平方米） 1×1＝1（平方分米）＝0.01（平方米） 396÷0.01＝39600（块） 答：至少需要这种瓷砖39600块。 【点睛】本题主要考查长方体表面积公式的实际应用，注意单位。 3．；9.5cm2 【详解】表面积：（2×1.5+2×0.5+1.5×0.5）×2=9.5（cm2） 4．432平方厘米 【详解】2×2×6×（6÷2）3-6×6×6=432（平方厘米） 5．32 【详解】略 6．长方体的表面积是280平方厘米、体积是300立方厘米 【详解】解：（10×6+10×5+6×5）×2 =（60+50+30）×2 =140×2 =280（平方厘米）； 10×6×5 =60×5 =300（立方厘米）； 答：这个长方体的表面积是280平方厘米、体积是300立方厘米 根据长方体的表面积公式：S=（ab+ah+bh）×2，体积公式：V=abh，把数据分别代入公式解答． 7．10.8升 ；24.6平方分米 【详解】略。 8． 表面积：(9×2+4×2)×2+9×4=88(平方厘米) 容积：9×4×2=72（立方厘米） 【解析】略 9．（1）30.24平方分米 （2）106.4升 【分析】（1）求鱼缸占地面积就是求底面积，用长×宽即可； （2）先求出鱼缸内部长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，求出鱼缸容积即可。 【详解】（1）7.2×4.2＝30.24（平方分米） 答：这个鱼缸占地30.24平方分米。 （2）（7.2－0.1×2）×（4.2－0.1×2）×（3.9－0.1） ＝（7.2－0.2）×（4.2－0.2）×（3.9－0.） ＝7×4×3.8 ＝106.4（立方分米） ＝106.4（升） 答：能装106.4升。 【点睛】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。求长方体的容积时，找准长方体的长、宽、高是解题关键。 10．512立方厘米 【分析】由题意可知：将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积，所以得到该长方形的长（也就是正方体的棱长）＝64÷4÷2＝8厘米；根据正方体的体积公式：棱长×棱长×棱长；代入数据，据此解答 【详解】64÷4÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 答：原来正方体的体积是512立方厘米。 【点睛】本题考查了正方体的拼接与体积，此题的关键是要理解将正方体的高增加2厘米后，增加了四个相同的宽为2厘米的长方形的面积（也就是增加的表面积）。 11．63平方分米 【分析】先把单位“升”转化为“立方分米”，1升＝1立方分米，把45升水倒入鱼缸内，计算出水的高度45÷5÷3＝3分米。水与鱼缸接触的面有一个底面、前后两个面、两个侧面，求出这五个面的面积之和，据此计算即可。 【详解】45升＝45立方分米 （分米） ＝15＋30＋18 ＝63（平方分米） 答：这时水与容器接触的面积是63平方分米。 12．由此先把四个礼品盒2盒分成1组，两个礼品盒的最大面4×5面相粘合，再把两个长方体拼组后得到最大面（3+3）×5面相粘合，这样拼组后的长方体比原来四个长方体答表面积之和减少的表面积最多，所以得到的大长方体的表面积最小，最能节省包装纸； 236平方厘米 【详解】试题分析：要想使包装纸最省，那么只要把礼品盒的最大面相粘合，使它们粘合在一起后的表面积减少的最多即可：由此先把四个礼品盒2盒分成1组，两个礼品盒的最大面4×5面相粘合，再把两个长方体拼组后得到最大面（3+3）×5面相粘合，这样拼组后的长方体比原来四个长方体答表面积之和减少的表面积最多，所以得到的大长方体的表面积最小，最能节省包装纸，由此再利用长方体的表面积公式即可解答． 解：根据题干分析可得，按照上面图示进行包装最能节省包装纸，最少需要的包装纸是： 4+4=8（厘米） 3+3=6（厘米） （8×6+5×8+5×6）×2 =（48+40+30）×2 =118×2 =236（平方厘米） 答：最少需要包装纸236平方厘米． 13．140平方米；84千克 【分析】根据长方体5个面的表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把数代入求出教室要粉刷的表面积，再减去门窗和黑板的面积25.6平方米即可，之后用粉刷的面积乘0.6即可求解。 【详解】8×6＋（8×4.2＋6×4.2）×2 ＝48＋（33.6＋25.2）×2 ＝48＋117.6 ＝165.6（平方米） 165.6－25.6＝140（平方米） 140×0.6＝84（千克） 答：一共要粉刷140平方米；共需84千克涂料。 【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式，熟练掌握长方体的表面积公式并灵活运用。 14．（1）608平方厘米； （2）64立方厘米 【分析】（1）由图可知：这个学具的长为16厘米，宽为12厘米，高为4厘米，代入表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2计算即可； （2）将数据代入长方体体积公式：V＝abh，求出12个同样大小的正方体学具的体积和，再除以12即可。 【详解】（1） （平方厘米） 答：这个学具盒的表面积是608平方厘米。 （2） （立方厘米） 答：每个正方体学具的体积是64立方厘米。 【点睛】本题考查长方体展开图、表面积公式、体积公式，明确长、宽、高的值是解题的关键。 15．（1）右边正方体；左边长方体 （2）5厘米；6个 （3）5厘米；4厘米；5厘米；2个；4个 【分析】长方体的特征：长方体有6个面，每个面都是长方形，也可能相对的两个面是正方形；相对的面完全相同；长方体有12条棱，相对的棱长相等；长方体有8个顶点；长方体中相较于一个顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高，一般情况下，把底面中较长的一条棱叫做长，较短的一条棱叫做宽，垂直于底面的棱叫做高。 正方体：6个面，6个面完全相同的正方形，12条棱，棱的长度相等，据此解答。 【详解】（1）右边是正方体，左边是长方体。 （2）正方体棱长是5厘米，有6个面完全相同。 （3）这个长方体的长是5厘米，宽是4厘米，高是5厘米；有2个面是正方形，其余4个面完全相同。 16．13500立方厘米 【分析】长方体的侧面展开后是正方形，可知长方体的底面周长等于高，因为底面是正方形，底面周长÷4＝底面正方形的边长，据此可求出底面积，根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据解答即可。 【详解】60÷4＝15（厘米） 15×15×60 ＝225×60 ＝13500（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是13500立方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体体积的计算，解题关键是明确此长方体的高等于底面周长。 17．40平方分米；24千克 【分析】鱼缸上面的一个面没有盖，所以计算表面积时要减去一个面。 【详解】3×4＋3×2×2＋4×2×2 ＝12＋12＋16 ＝40（平方分米） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（千克） 【点睛】本题考查长方体表面积和体积。 18．2.4米 【详解】试题分析：根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于两条长+两条宽+4条高+接头用的30厘米，由此列式解答． 解：1米=100厘米， 40×2+25×2+20×4+30， =80+50+80+30， =240（厘米）， 240厘米=2.4米， 答：至少要用2.4米的丝带捆扎这个礼品盒． 点评：此题属于长方体的棱长总和的实际应用，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答． 19．（1）192平方分米； （2）1035元 【分析】（1）根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”解答即可 （2）根据 “长方体的容积＝长×宽×高”求出汽油箱的容积，再乘每升汽油的价格即可。 【详解】（1）（6×6＋6×5＋6×5）×2 ＝96×2 ＝192（平方分米）； 答：做这个汽油箱至少需要192平方分米铁皮； （2）6×6×5×5.75 ＝180×5.75 ＝1035（元）； 答：将这个空油箱加满汽油一共要付1035元。 【点睛】熟练掌握长方体的表面积和体积的计算公式是解答本题的关键。 20．15000个 【分析】先把2平方米换算成20000平方厘米，再根据长方体表面积＝（长＋宽＋高）×2，计算出制作一个长方体硬纸盒所需使用的硬纸板的面积，即计算出长方体的表面积；接着根据每个硬纸板的面积和硬纸板的数量，计算出硬纸板的总面积；然后用可用于制作的硬纸板的总面积除以制作每个硬纸盒所需的硬纸板面积，即可求得制作出的硬纸盒的数量。 【详解】2平方米＝20000平方厘米 （10×6＋10×5＋6×5）×2 ＝（60＋50＋30）×2 ＝140×2 ＝280（平方厘米） 20000×210÷280 ＝4200000÷280 ＝15000（个） 答：可以做这样的硬纸盒15000个。 【点睛】熟练掌握长方体表面积计算公式及体积单位之间的换算，是解答此题的关键。 21．2厘米 【分析】由于1分米＝10厘米，根据长方体体积公式：横截面积×长＝长方体的体积，把数代入求出铁棒的体积，再乘2即可求出两根铁棒的体积，再根据水面变化的高度＝物体的体积÷容器的底面积，把数代入即可求解。 【详解】1分米＝10厘米 10×40×2÷（20×20） ＝800÷400 ＝2（厘米） 答：水面会下降2厘米。 【点睛】本题主要考查长方体的体积公式，熟练掌握它的体积公式并灵活运用。 22．0.75分米 【详解】9×4×4=144(立方分米) 3×3×3=27(立方分米) (144+27)÷(9×4)=4.75(分米)　 4.75-4=0.75(分米) 答:水面上升了0.75分米． 23．0.09平方米；0.27立方米 【分析】求横截面的面积，就是求边长为0.3米的正方形面积，根据正方形面积＝边长×边长，代入数据，求出横截面的面积；再根据长方体的体积＝底面积×高；底面积就是横截面积，高是3米，代入数据，即可解答。 【详解】0.3×0.3＝0.09（平方米） 0.09×3＝0.27（立方米） 答：这根木料的横截面面积是0.09平方米，体积是0.27立方米。 24．128立方分米 【分析】长方体的容积＝长×宽×高，由此解答即可。 【详解】4×4×8＝128（立方分米） 答：这个铁盒的容积大约是128立方分米。 【点睛】熟练掌握长方体的体积（容积）公式是解答本题的关键，求容积时从里面测量。 25．0.864立方米 【分析】根据题意，把长方体木料平均截成3段，表面积增加了4个横截面面积，则长方体的横截面面积＝48÷4＝12（平方分米）。长方体的体积＝横截面面积×长，据此解答。 【详解】48÷4＝12（平方分米） 12平方分米＝0.12平方米 0.12×7.2＝0.864（立方米） 答：这根木料的体积是0.864立方米。 【点睛】本题考查长方体体积的应用。明确“表面积增加的部分是4个横截面面积”是解题的关键。 26．表面积是54平方分米；体积是27立方分米 【分析】首先用棱长总和除以12求出棱长，正方体的表面积公式：，体积公式：，把数据分别代入公式解答。 【详解】（分米）， （平方分米）， （立方分米）， 答：这个正方体的表面积是54平方分米，体积是27立方分米。 【点睛】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 27．(1)三面涂有红色的小正方体有8个 (2)两面涂有红色的小正方体有：(4－2)×12＝24(个) (3)一面涂有红色的小正方体有：(4－2)2×6＝24(个) (4)所有面都没有涂色的小正方体有：(4－2)3＝8(个) 【详解】略 28．11.2升 【分析】根据题意，这个玻璃缸的水没有装满，则溢出水的体积和玻璃缸中缺少的水的体积之和等于正方体铅块的体积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出铅块的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，求出玻璃缸中缺少的水的体积。再把两者相减即可。 【详解】铅块的体积：4×4×4＝64（立方分米） 玻璃缸中缺少的水的体积：8×6×（4－2.9） ＝8×6×1.1 ＝52.8（立方分米） 溢出水的体积：64－52.8＝11.2（立方分米）＝11.2升 答：玻璃缸里会溢出11.2升的水。 【点睛】因为玻璃缸的水不满，所以溢出的水的体积等于正方体铅块的体积减去玻璃缸中缺少的水的体积。 29．720平方分米 【分析】通风管道没有上、下底，根据长方体表面积公式求出侧面积，再乘5即可求出做5节这样的通风管需要的铁皮面积。 【详解】1.8米＝18分米 2×4×18×5 ＝8×18×5 ＝720（平方分米） 答：做5节这样的通风管共需铁皮720平方分米。 【点睛】解题时要明确通风管道没有上、下底。 30．（1）1010平方米 （2）1350立方米 【分析】（1）在游泳池底面积和四周内壁抹一层水泥，求抹水泥面积实质上是求长方体的表面积； （2）根据长方体的体积公式求出水的体积即可。 【详解】（1） （平方米） 答：抹水泥面积是1010平方米。 （2） （立方米） 答：需要1350立方米的水。 【点睛】本题考查长方体表面积 、体积，解答本题的关键是掌握长方体表面积 、体积公式。 31．60立方分米 【分析】根据题意，把长方形四角剪去棱长为1分米的正方形，长方形变成如下图，对折后变成一个长方体，由图形可知，长方体的长为（12－1－1）分米，宽为（8－1－1）分米，高是1分米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据和，即可解答。 【详解】（12－1－1）×（8－1－1）×1 ＝10×6×1 ＝60×1 ＝60（立方分米） 答：容器的容积是60立方分米。 【点睛】本题考查长方体的容积的计算，关键是先求出长方体的长、宽、高，再利用长方体的体积公式，进行解答。 32．2460平方厘米 【分析】由题意知：这个封套左面的面积是30×12＝360平方厘米，那么求得这个长方体影集的表面积后，减去360，即可得做这个封套至少需要硬纸板的面积数值。 【详解】（30×25＋30×12＋25×12）×2－30×12 ＝（750＋360＋300）×2－360 ＝1410×2－360 ＝2820－360 ＝2460（平方厘米） 答：做这个封套至少需要2460平方厘米硬纸板。 【点睛】本题考查了长方体表面积计算的灵活应用。掌握长方体的表面积计算公式是解答本题的关键。 33．（1）27平方米；（2）不够 【分析】（1）求出沙坑四周的面积和底面的面积之和，即为需要抹水泥的面积； （2）该沙坑看成是一个长为6米，宽为3米，高为50厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，计算出该沙坑的体积，用体积乘2.4吨，所得结果为将沙坑填满需要的黄沙重量，再与9吨比较，即可得出结论。 【详解】（1）50厘米＝0.5米 6×3＋6×0.5×2＋3×0.5×2 ＝18＋6＋3 ＝27（平方米） 答：抹水泥的面积是27平方米。 （2）6×3×0.5×2.4＝21.6（吨） 21.6＞9，不够。 答：如果要在沙坑里填满黄沙，准备黄沙9吨不够。 【点睛】解答本题的关键是将沙坑看成一个长方体，利用长方体的表面积及体积的计算公式，注意题目中单位的换算。 34．能；将②、③号放入水槽里 【详解】20×20×（20-18）=800（立方厘米） 358+454=812（立方厘米） 812>800 将②、③号放入水槽里，能够帮助乌鸦喝到水． 35．97平方米；84立方米 【分析】“需要多少平方米的玻璃”即计算这个盖鱼缸的表面积；“最多能装多少立方米的水”即计算这个鱼缸的容积。根据长方体的表面积和体积公式计算即可。 【详解】（6×4＋3.5×4）×2＋6×3.5 ＝（24＋14）×2＋21 ＝76＋21 ＝97（平方米） 6×3.5×4 ＝21×4 ＝84（立方米） 答：制作这个鱼缸需要97平方米的玻璃，这个鱼缸能装84立方米的水。 【点睛】本题主要考查了长方体的表面积和体积的实际应用。在计算表面积时，要分清需要计算几个长方体的面积，缺少的是哪一个面的面积。 36．（1）1250平方米； （2）300米； （3）38750块； （4）350米； （5）10000分钟 【分析】（1）游泳池的占地面积等于它的底面积，把数据代入公式解答； （2）根据长方形的周长公式：c＝（a＋b）×2，求出底面周长再乘2即可； （3）首先根据长方体的表面积公式求出这5个面的总面积，然后用这5个面的总面积除以每块瓷砖的面积即可； （4）要将游泳池分成8个泳道，则需要7条隔离带，每条50米，由此解答； （5）根据水管的横截面面积×流水长度＝每分钟水的体积，再根据长方体的体积公式求出游泳池的容积，进而求出池水的40%是多少，用池水的40%的体积÷每分钟水的体积＝需要的时间。 【详解】（1）50×25＝1250（平方米） 答：这个游泳池占地1250平方米。 （2）（50＋25）×2×2 ＝75×4 ＝300（米） 答：共走300米。 （3）4dm2＝0.04m2 （50×25＋50×2×2＋25×2×2）÷0.04 ＝1550÷0.04 ＝38750（块） 答：共需38750块。 （4）7×50＝350（米） 答：一共要准备350米的隔离带。 （5）2dm2＝0.02m2 （50×25×2×40%）÷（0.02×5） ＝1000÷0.1 ＝10000（分钟） 答：10000分钟可以注这池水的40%。 【点睛】本题主要考查学生分析问题、解决问题的能力，牢记长方体表面积、体积公式是解题的关键。 37．42立方分米 【详解】12÷2×7=42（立方分米） 38．83.3dm2 【分析】做这个布罩需要需要5个面，运用长×宽＋（长×高＋宽×高）×2代入数据计算，就是做这个布罩需要多少布。 【详解】45cm＝4.5dm；32cm＝3.2dm 5×4.5＋（5×3.2＋4.5×3.2）×2 ＝22.5＋（16＋14.4）×2 ＝22.5＋60.8 ＝83.3（dm2） 答：做这个布罩需要83.3dm2布。 【点睛】本题考查了长方体的表面积公式的灵活应用，计算时要认真。 39．8×6+(8×4.2+6×4.2)×2-35.8=129.8(平方米) 【解析】略 40．90平方分米 【分析】侧面积＝底面周长×高，先求出底面周长，再求出底面边长，进而求出底面面积，用2×的底面面积＋侧面积即可。 【详解】72÷6＝12（分米） 12÷4＝3（分米） 3×3×2＋72 ＝18＋72 ＝90（平方分米） 答：长方体表面积是90平方分米。 【点睛】本题主要考查长方体表面积公式的实际应用，求出底面边长是解题的关键。 41．1.5×1.5＝2.25(平方分米) 2.25×16＝36(立方分米) 【详解】略 42．360立方厘米 【分析】根据题意可知，减少的面积，就是上面长方体4个侧面面积和下面长方体4个侧面积面积，根据中间是正方体，上面的长方体的长和宽和下面的长方体的长和宽都等于正方体的棱长，用96除以4，就是高为3厘米和高为1厘米的长方体侧面的和，长和宽相等，进而求出这个长方体的长和宽，高等于3厘米＋长方体的长＋1厘米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，即可解答。 【详解】96÷4＝24（平方厘米） 长：24÷（3＋1） ＝24÷4 ＝6（厘米） 长方体的长是6厘米，宽是6厘米，高是3＋6＋1＝10厘米 体积：6×6×10 ＝36×10 ＝360（立方厘米） 答：原来这个长方体的体积是360立方厘米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，关键是减少的面积是上面长方体4个侧面积和下面长方体4个侧面之和。 43．7500立方厘米 【分析】长方体的容积（体积）＝长×宽×高，其中长是60－2×5厘米，宽是40－2×5厘米，高是5厘米，代入数据解答即可。 【详解】（60－2×5）×（40－2×5）×5 ＝50×30×5 ＝7500（立方厘米） 答：盒子的容积是7500立方厘米。 【点睛】此题主要考查长方体的容积（体积）计算，培养学生的空间想象能力，找出长方体的长、宽和高是解题关键。 44．2.43厘米 【分析】根据题意，正方体铁块的体积＝下降的水的体积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出铁块的体积，即是下降的水的体积。水的体积以玻璃缸的底面为底面的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，即可求出下降的水的高度。 【详解】正方体的体积：9×9×9＝729（立方厘米） 下降的水的高度：729÷25÷12 ＝29.16÷12 ＝2.43（厘米） 答：玻璃缸中的水会下降2.43厘米。 【点睛】本题考查长方体和正方体体积的实际应用，理解下降的水的体积是以玻璃缸的底面为底面的长方体的体积是解题的关键。 45．7.02吨 【分析】根据“长方体体积＝长×宽×高”求出长方体钢材的体积，再乘每立方分米钢材的质量即可。 【详解】30×6×5×7.8 ＝900×7.8 ＝7020（千克） 7020千克＝7.02吨 答：这块钢材的质量是7.02吨。 【点睛】熟练掌握长方体的体积计算公式是解答本题的关键。 46．128平方分米；72千克 【分析】根据题意可知，长方体油桶有盖，求做这个油桶需要铁皮的面积，就是求这个长方体的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出需要铁皮的面积；再根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体油桶的容积，再乘0.75即可解答。注意单位名数的换算。 【详解】40厘米＝4分米；60厘米＝6分米 （4×4＋4×6＋4×6）×2 ＝（16＋24＋24）×2 ＝（40＋24）×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（立方分米） 96立方分米＝96升 96×0.75＝72（千克） 答：做这个油桶至少需要铁皮128平方分米，这个油桶能装汽油72千克。 47．11×11×11=1331(dm3) 1331×3.2=4259.2(千克) 【详解】略 48．见详解 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面积相等，可以选择规格①的长方形1张，规则②的长方形2张、规格③的长方形2张，粘成一个无盖的长方体形状的金鱼缸；也可以选择规格④的正方形1张，规格③的长方形4张，粘成一个无盖的长方体形状的金鱼缸；再根据长方体体积公式：长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】 规格① 规格② 规格③ 规格④ 容积/毫升 选法一 （  1  ）块 （  2  ）块 （  2  ）块 （    ）块 30 选法二 （    ）块 （    ）块 （  4  ）块 （  1  ）块 18 【点睛】本题考查长方体特征，以及长方体的体积公式的应用。 49．（1）236平方分米 （2）180千克 【分析】（1）求做这个油箱至少需要铁皮的面积，就是求长方体的表面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可；注意单位的换算：1分米＝10厘米； （2）先根据长方体的体积＝长×宽×高，求出油箱的体积，再根据进率“1立方分米＝1升”进行单位的换算。 【详解】80厘米＝8分米 60厘米＝6分米 50厘米＝5分米 （1）（8×6＋8×5＋6×5）×2 ＝（48＋40＋30）×2 ＝118×2 ＝236（平方分米） 答：做这个油箱至少需要236平方分米的铁皮。 （2）8×6×5 ＝48×5 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 0.75×240＝180（千克） 答：这个油箱可装油180千克。 【点睛】本题考查长方体的表面积、体积计算公式的应用以及单位的换算。 50．长方体表面积是22平方分米，体积是5立方分米. 【详解】 正方体棱长是1分米 1×1×6=6(平方分米) 6×5-1×1×8=22(平方分米) 1×5=5(立方分米) 答：粘合后长方体表面积是22平方分米，体积是5立方分米. 粘合后长方体的表面积比5个正方体表面积之和少了8个正方形的面的面积，由此用正方体表面积之和减去8即可求出长方体的表面积；粘合后长方体的体积就是5个正方体的体积. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$