专题12 复数及线性规划-【中职专用】湖南省十年（2015-2024）对口招生数学真题分类汇编

专题12 复数及线性规划 【考点考法】 【考查要点】　运用线性规划(二元)的知识(图解法或表格法)解决简单的实际问题的能力． 1．二元线性规划问题的图解法． (1)设出所求的决策变量； (2)列出约束条件(即不等式组)； (3)建立目标函数； (4)作出可行域； (5)运用图解法求出最优解． ①作0等值线；②平移等值线找最优解；③解方程组求出最优解；④将最优解代入目标函数求出最值． 2．二元线性规划问题的表格法． 一个线性规划问题如果存在最优解，其最优解一定在可行域的某个顶点(唯一最优解)或某两个顶点及其连线(无穷多个最优解)上得到．因此，对于两个决策变量的线性规划问题，在画出可行域以后，我们可以通过列表查点的方法得到它的最优解． 【失分剖析】　①对于“最多”“不超过”等词语所表达的不等关系理解不到位，导致建立的不等式出现错误．②由于画错边界直线、不等式表示的平面区域在边界直线的左侧还是右侧判断出错等原因导致可行域画错．③由于可行域及初始直线画得不够准确，导致找错最优解． 【规律方法】　二元线性规划问题的两种常用方法： (1)图解法：画出可行域，通过平移等值线的方法找到最优解，然后代入目标函数求出其最值． (2)表格法：画出可行域，通过计算得出可行域的各顶点对应的目标函数值，然后比较它们的大小，从而得出目标函数的最值． 【真题检测】 1.(2024湖南对口升学高考)某公司生产甲、乙两种产品，知生产1件甲产品需要A原料1千克，B原料2千克，生产1件乙产品需要A原料2千克，B原料1千克．每件甲产品利润是150元，每件乙产品利润是200元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过8千克，原料不超过10千克，该公司应如何安排甲、乙两种产品每天的生产任务，才能使公司从这两种产品中获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设甲、乙两种产品每天的生产件数分别为,,利润为,根据题意列出约束条件和目标函数，作出可行域，利用目标函数的几何意义即可求解. 【详解】分析：设甲、乙两种产品每天各生产件、件，获得的利润为．则： ， 其图像为 且目标函数为，作出可行域，如图中阴影部分所示. 由，解得， 由得， 平移直线，当直线经过点时，取最大值， 所以当时，. 所以该公司每天生产甲产品4件，乙产品2件时，能获得最大利润，最大利润为1000元. 2.(2023湖南对口升学高考)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲地至乙地的长途客运业务，每车每天出车一次，A，B两种型号的车辆的载客量分别为30人和50人，营运成本分别为1200元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过28辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车8辆．如果要求每天运送从甲地去乙地的旅客不少于1000人，那么公司应配备A型车、B型车各多少辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是多少元？ 【答案】公司应配备A型车20辆，B型车8辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是43200元. 【解析】 【分析】根据题意作出可行域，进而求解. 【详解】设应配备A型车，B型车各x辆，y辆，营运成本为z元， 则有 作出平面区域图 由得， 平移， 当直线过的交点时， 在y轴上截距最小， 联立， 则， 所以公司应配备A型车20辆，B型车8辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是43200元. 3.(2022湖南对口升学高考)某工厂生产甲、乙两种电子产品，每生产一件甲产品需要，配件分别为4件和2件；每生产一件乙产品需要，配件分别为4件和6件.该厂每天可从配件厂最多获得配件20件和配件18件，且生产一件甲产品利润为4千元，生产一件乙产品的利润为5千元.问如何安排生产，才能使工厂每天利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】生产甲种产品3件，乙种产品2件，获得最大利润为22千元 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，作出可行域，再求最大值. 【详解】设甲、乙两种电子产品分别生产件，件， 则每天利润， 由题意得， 即， 画出可行域，如图所示： 由得， 最大，即直线的纵截距最大， 作出直线：，平移直线至可行域， 当直线经过点时，直线的纵截距最大， 由， 解得， 即， 所以的最大值为（千元）， 则生产家中产品3件，乙种产品2件，获得最大利润为22千元. 4.(2021湖南对口升学高考)某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶ 车辆型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） A 60 3600 B 36 2400 学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值. 【答案】A型车和B型车分别为和辆时，租金最少，租金的最小值是元. 【解析】 【分析】首先设A型车和B型车分别为辆，根据条件列出目标函数和约束条件，数形结合即可解决. 【详解】设A型车和B型车分别为辆，则租金为， 依题意，需满足，即，如图，作出可行域， 令，目标函数变形为，即， 当直线平移至点时，目标函数取得最小值， 由解得，，即. 此时元. 所以A型车和B型车分别为辆和辆时，租金最少，租金的最小值是元. 5.(2020湖南对口升学高考)某服装工人加工上衣和裤子，加工一件上衣可获利50元，加工一条裤子可获利20元；加工一件上衣需要2小时，加工一条裤子需要1小时．由于布料限制，该工人每天最多加工3件上衣和4条裤子，且每天工作不超过8小时，问：该工人如何安排生产才能使每天获得的利润最大？利润最大值是多少？ 【答案】每天3件上衣2条裤子，最大利润190元 【解析】 【分析】根据所给题意，列出约束条件，求解目标函数，求解即可. 【详解】设每天生产x件上衣，y件裤子，可能获得的盈利额为z元， 则约束条件为，组成的点如图， 目标函数为， 由，解得， 所以生产3件上衣和2件裤子，可获得的盈利最大,最大为元. 综上，每天3件上衣2条裤子，最大利润190元. 6.(2019湖南对口升学高考)某企业拟生产产品A和产品B，生产一件产品A需要新型材料2千克，用3个工时：生产一件产品B需要新型材料1千克，用2个工时，生产一件产品A的利润为1600元，生产一件产品B的利润为1000元，现有新型材料200千克，问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最大值． 【答案】生产产品A40件，生产产品B120件时，总利润最大.总利润最大值为184000元. 【解析】 【分析】分别设生产产品A、B为x件和y件，总利润为T，结合线性规划思想进行解题. 【详解】根据题意，设生产产品A为x件，产品B为y件，总获利润为T， 所以利润； 又由已知条件可得，作出不等式组表示的平面区域，其阴影部分的整数点为x、y所能取到的值. 由图可知，当直线经过M点时，直线在y轴上的截距最大，此时T取最大值. 计算可得M点坐标为，即当生产产品A40件，产品B120件时，总利润最大， 最大利润（元）. 故生产产品A40件，产品B120件时，其总利润最大值为184000元. 8.(2018湖南对口升学高考)某公司生产甲、乙两种产品均需用两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲产品可获利润4万元，生产1吨乙产品可获利润5万元，问:该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大? 解: 设公司每天生产甲产品 吨, 乙产品 吨,才能使公司获得的利润 最大。则 作出即可行域 四边形 作直线 及其平行线 : , 直线 表示斜率为 , 纵截距 为 的平行直线系, 当它在可行域内滑动时, 由图可知, 直线 过点 时, 取得最大值, 由 得 万元 即当公司每天生产甲产品 2 吨, 乙产品 3 吨时, 公司获得的利润最大, 最大利润为 23 万元. 9.（2017湖南对口升学高考）某公司有40万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资都不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.2万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.3万元的利润，问：该公司如何规划投资，才能使公司获得的总利润最大？ 解： 设投入甲、乙项目分别为 万元, 万元,公司获利为 万元. 则 由题意得: 作出可行域如图四边形 所示 作直线 并平移, 由图象得, 当直线经 过 点时 能取得最大值, 即 所以当 时, (万元) 答：投资甲10万，投资乙30万，才能使公司获得的总利润最大 10.(2016湖南对口升学高考）己知复数，且|z|=2． (1)求的值； (2)若且（且），求的所有值. [分析](1)复数的摸（2）棣莫弗定理 ， ， , 且 11.(2016湖南对口升学高考）某厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品的销售收入为1500元，每件乙产品的销售收为1000元．这两种产品都需要经过A，B两种设备加工，在A，B设备上加工1件甲产品所需工作时数分别为2h，4h，加工1件乙产品所需工作时数分别为4h，2h．若 A，B两种设备每月工作时数分别不超过200h，250h，则每月生产甲、乙两种产品各 多少件，才能使销售收入最大？ 解: 设每月生产甲、乙产品分别为 件销售收人为 元. 目标函数： 作可行域如图所示 将目标函数化为斜截式 如图将等值线平移至A点时Z有最大值 得 A(50,25) 当 时, 万元. 答: 每月生产甲、乙产品分别为 50 件、25件, 销售收人最大. 12.(2015湖南对口升学高考)已知甲、乙、丙三种食品中维生素、的含量及食品价格如下表所示： 甲 乙 丙 维生素（单位/千克） 500 200 300 维生素（单位/千克） 200 500 300 单价（元/千克） 6 7 5 营养师拟购买这三种食品共7千克，要求其中维生素的总含量与维生素的总含量均不少于2300单位. 问：这三种食品各购买多少千克，才能使支付的总金额最少？ [分析]解 : 设购买甲、乙两种食品各 千 克, 支付的总金额为 元. 则有 即 由图可知作直线 并平移至 点时 能取得最大值 联立解得 当 时, . 答: 购买甲、乙、丙三种食品各2千克、2千克、3千克,支付的总金额最少,最少为 41元. 13.(2014湖南对口升学高考）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料需要磷酸盐20吨、硝酸盐5吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料需要磷酸盐10吨、硝酸盐5吨。现库存磷酸盐40吨、硝酸盐15吨，在此基础上生产这两种肥料。若生产1车皮的甲种肥料，产生的利润为3万元；生产1车皮的乙种肥料，产生的利润为2万元.那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，才能够产生最大利润？并求出最大利润。 解: 设生产甲种肥料 车皮, 生产乙 种肥料 车皮, 产生最大利润 万元 则利润 , 且满足下列条件: 作可行域, 求出可行域的三个顶点 顶点 （1，2） 6 6 7 由表知知当 时,利润最大为 (万元) 答: 生产甲种肥料 1 车皮, 生产乙种肥料 2 车皮, 最大利润为 7 万元. 14.(2013湖南对口升学高考)（本题满分12分）在△ABC中角A及角B所对边长分别为,且，， （1）求 （2）设复数，（为虚数单位），求的值. [分析]由正弦定理求出B的大小，要注意用大角对大边判断B的范围。第二问代入即可转化为代数运算 (1) 由正弦定理得: (2) 由(1)可知: 综上所述: . 15.(2012湖南对口升学高考)某股民拟用不超过12万元的资金,买入甲,乙两支股票.根据市场调查和行情分析,买入甲,乙两支股票可能的最大盈利率分别为200%和100%,可能的最大亏损率分别为60%和20%.该股民要求确保可能的资金亏损额不超过3.6万元.问该股民对甲,乙两支股票如何投资,才能使可能的盈利最大?并求可能的最大盈利值. 解: 设该股民分别买入甲、乙两支股票分别 万元、 万元,盈利设为 万元. 目标函数： 约束条件： 可行域如图所示 作直线 并平移, 由图像得, 当直线经过 点时 能取得最大值,，即 时, 有最大值,即 万元. 答: 该股民分别买人甲、乙两支股票 3 万元、 9万元时, 可能的盈利最大, 最大盈利为 15万元. 16. (2013湖南对口升学高考)某工厂计划从运输公司租用甲、乙两种型号的货车，将100件A产品和280件B产品运送到某地.经试装，每辆甲型车最多能同时装A产品5件和B产品10件，每辆乙型车最多能同时装A产品6件和B产品20件，若甲.乙两种型号的货车的每次运输费用分别为800元，1200元，则应如何安排才能使总运输费用最少？并求所需的总运输 [分析]列出目标函数和约束条件用表格法求出最小值即可 [详解]解：设从运输公司租用甲、乙两种型号的 货车分别为 辆, 总运输费用 元. 目标函数： 约束条件： 求出可行域的三个顶点坐标为 , 列表得 顶点 20000 18400 22400 由表可知当 时, 有最小值, 即 元. 答: 从运输公司租用甲乙两种型号的货车分别为 辆, 总运输费用最少, 最少运输费用为 18400 元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 复数及线性规划 【考点考法】 【考查要点】　运用线性规划(二元)的知识(图解法或表格法)解决简单的实际问题的能力． 1．二元线性规划问题的图解法． (1)设出所求的决策变量； (2)列出约束条件(即不等式组)； (3)建立目标函数； (4)作出可行域； (5)运用图解法求出最优解． ①作0等值线；②平移等值线找最优解；③解方程组求出最优解；④将最优解代入目标函数求出最值． 2．二元线性规划问题的表格法． 一个线性规划问题如果存在最优解，其最优解一定在可行域的某个顶点(唯一最优解)或某两个顶点及其连线(无穷多个最优解)上得到．因此，对于两个决策变量的线性规划问题，在画出可行域以后，我们可以通过列表查点的方法得到它的最优解． 【失分剖析】　①对于“最多”“不超过”等词语所表达的不等关系理解不到位，导致建立的不等式出现错误．②由于画错边界直线、不等式表示的平面区域在边界直线的左侧还是右侧判断出错等原因导致可行域画错．③由于可行域及初始直线画得不够准确，导致找错最优解． 【规律方法】　二元线性规划问题的两种常用方法： (1)图解法：画出可行域，通过平移等值线的方法找到最优解，然后代入目标函数求出其最值． (2)表格法：画出可行域，通过计算得出可行域的各顶点对应的目标函数值，然后比较它们的大小，从而得出目标函数的最值． 【真题检测】 1.(2024湖南对口升学高考)某公司生产甲、乙两种产品，知生产1件甲产品需要A原料1千克，B原料2千克，生产1件乙产品需要A原料2千克，B原料1千克．每件甲产品利润是150元，每件乙产品利润是200元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A原料不超过8千克，原料不超过10千克，该公司应如何安排甲、乙两种产品每天的生产任务，才能使公司从这两种产品中获得的利润最大？并求出最大利润． 2.(2023湖南对口升学高考)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲地至乙地的长途客运业务，每车每天出车一次，A，B两种型号的车辆的载客量分别为30人和50人，营运成本分别为1200元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过28辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车8辆．如果要求每天运送从甲地去乙地的旅客不少于1000人，那么公司应配备A型车、B型车各多少辆，才能使得公司的营运成本最低，最低是多少元？ 3.(2022湖南对口升学高考)某工厂生产甲、乙两种电子产品，每生产一件甲产品需要，配件分别为4件和2件；每生产一件乙产品需要，配件分别为4件和6件.该厂每天可从配件厂最多获得配件20件和配件18件，且生产一件甲产品利润为4千元，生产一件乙产品的利润为5千元.问如何安排生产，才能使工厂每天利润最大？并求出利润的最大值. 4.(2021湖南对口升学高考)某学校租用A，B两种型号的客车安排900名学生外出研学.A，B两种车辆的载客量与租金如下表所示∶ 车辆型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） A 60 3600 B 36 2400 学校要求租车总数不超过23辆，且A型车不多于B型车7辆.该学校如何规划租车，才能使租金最少？并求出租金的最小值. 5.(2020湖南对口升学高考)某服装工人加工上衣和裤子，加工一件上衣可获利50元，加工一条裤子可获利20元；加工一件上衣需要2小时，加工一条裤子需要1小时．由于布料限制，该工人每天最多加工3件上衣和4条裤子，且每天工作不超过8小时，问：该工人如何安排生产才能使每天获得的利润最大？利润最大值是多少？ 6.(2019湖南对口升学高考)某企业拟生产产品A和产品B，生产一件产品A需要新型材料2千克，用3个工时：生产一件产品B需要新型材料1千克，用2个工时，生产一件产品A的利润为1600元，生产一件产品B的利润为1000元，现有新型材料200千克，问该企业在不超过360个工时的条件下，如何规划生产，才能使企业获得的总利润最大？并求出总利润的最大值． 8.(2018湖南对口升学高考)某公司生产甲、乙两种产品均需用两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲产品可获利润4万元，生产1吨乙产品可获利润5万元，问:该公司如何规划生产，才能使公司每天获得的利润最大? 9.（2017湖南对口升学高考）某公司有40万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资都不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.2万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.3万元的利润，问：该公司如何规划投资，才能使公司获得的总利润最大？ 10.(2016湖南对口升学高考）己知复数，且|z|=2． (1)求的值； (2)若且（且），求的所有值. 11.(2016湖南对口升学高考）某厂生产甲、乙两种产品，每件甲产品的销售收入为1500元，每件乙产品的销售收为1000元．这两种产品都需要经过A，B两种设备加工，在A，B设备上加工1件甲产品所需工作时数分别为2h，4h，加工1件乙产品所需工作时数分别为4h，2h．若 A，B两种设备每月工作时数分别不超过200h，250h，则每月生产甲、乙两种产品各 多少件，才能使销售收入最大？ 12.(2015湖南对口升学高考)已知甲、乙、丙三种食品中维生素、的含量及食品价格如下表所示： 甲 乙 丙 维生素（单位/千克） 500 200 300 维生素（单位/千克） 200 500 300 单价（元/千克） 6 7 5 营养师拟购买这三种食品共7千克，要求其中维生素的总含量与维生素的总含量均不少于2300单位. 问：这三种食品各购买多少千克，才能使支付的总金额最少？ 13.(2014湖南对口升学高考）某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料需要磷酸盐20吨、硝酸盐5吨；生产1车皮乙种肥料的主要原料需要磷酸盐10吨、硝酸盐5吨。现库存磷酸盐40吨、硝酸盐15吨，在此基础上生产这两种肥料。若生产1车皮的甲种肥料，产生的利润为3万元；生产1车皮的乙种肥料，产生的利润为2万元.那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，才能够产生最大利润？并求出最大利润。 14.(2013湖南对口升学高考)（本题满分12分）在△ABC中角A及角B所对边长分别为,且，， （1）求 （2）设复数，（为虚数单位），求的值. 15.(2012湖南对口升学高考)某股民拟用不超过12万元的资金,买入甲,乙两支股票.根据市场调查和行情分析,买入甲,乙两支股票可能的最大盈利率分别为200%和100%,可能的最大亏损率分别为60%和20%.该股民要求确保可能的资金亏损额不超过3.6万元.问该股民对甲,乙两支股票如何投资,才能使可能的盈利最大?并求可能的最大盈利值. 16. (2013湖南对口升学高考)某工厂计划从运输公司租用甲、乙两种型号的货车，将100件A产品和280件B产品运送到某地.经试装，每辆甲型车最多能同时装A产品5件和B产品10件，每辆乙型车最多能同时装A产品6件和B产品20件，若甲.乙两种型号的货车的每次运输费用分别为800元，1200元，则应如何安排才能使总运输费用最少？并求所需的总运输 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$