专题11 随机变量及其分布-【中职专用】湖南省十年（2015-2024）对口招生数学真题分类汇编

专题11 随机变量及其分布 【考点考法】 【考查要点01】　(1)伯努利公式：事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，其中p表示事件A在一次试验中发生的概率． (2)离散型随机变量的分布列：离散型随机变量ξ的概率分布(或分布列)：离散型随机变量ξ的所有可能取值x1，x2，…，xn，与其对应的概率P(ξ＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)所组成的表如下： ξ x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)对立事件的概率：P(A)＋P()＝1． 【规律方法】　计算离散型随机变量的概率分布的主要步骤： (1)写出随机变量的所有取值． (2)计算出随机变量取各个值时的概率． (3)列出表格．注意验证pi≥0(i＝1，2，3，…)与p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1． 【考查要点02】　二项分布的相关知识． (1)n次独立重复试验：在相同条件下，重复进行n次试验，每次试验的结果与其他各次结果无关，那么这n次试验叫做n次独立重复试验． (2)n次伯努利试验：在n次独立重复试验中，如果每次试验的可能结果只有两个，且相互独立，即只考虑A和 ，并且在每次试验中，事件A发生的概率都不变，这样的n次独立重复试验叫做n次伯努利试验． (3)伯努利公式：在n次伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝C·pk·(1－p)n－k．其中p表示事件A在一次试验中发生的概率． (4)二项分布：一般地，如果在一次试验中某事件A发生的概率是p，随机变量ξ为n次独立重复试验中事件A发生的次数，那么随机变量ξ的概率分布为 P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，…，n)． 可记为随机变量ξ服从参数为n和p的二项分布，记为ξ～B(n，p)． 【考查要点03】　组合知识、古典概型及随机变量ξ的分布列． 1．组合及组合数 (1)组合的定义：一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(只取不排、无序问题)． (2)组合数：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示，且C＝＝＝． 2．概率的古典定义 设试验共有n个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性相同，事件A包含m个基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝． 3．互斥事件的概率加法公式 互斥事件A与B至少有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，此公式可推广到多个彼此互斥事件． 4．对立事件的概率 P(A)＋P()＝1． 5．离散型随机变量ξ的概率分布(或分布列) 离散型随机变量ξ的所有可能取值x1，x2，…，xn，与其对应的概率P(ξ＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)所组成的表如下． ξ x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 【真题检测】 1.(2024湖南对口升学高考) 在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 （1）根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； （2）从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 2.(2023湖南对口升学高考)为推进地区教育均衡发展，某市教育局拟从６名优秀教师中抽取人员分三批次赴农村薄弱学校进行支教．每批次需从6名教师中随机抽取2名教师支教，且每批次抽取互不影响． （1）求在这3批次支教活动中教师甲恰有2次被抽中的概率； （2）已知这6名教师中有2名数学教师．设第一批次抽到的数学教师人数为，求的分布列． 3.(2022湖南对口升学高考)某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地.已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观. （1）用表示选取的3人中女生的人数，求的分布列； （2）求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率. 4.(2021湖南对口升学高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. （1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列； （2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 5.(2020湖南对口升学高考)盒子里装有五个大小相同的球，其中两个编号为1，两个编号为2，一个编号为3，从盒子里任取两个小球： （1）求取出的两个小球中，含有编号为3的小球的概率； （2）在取出的两相小球中，设编号的最大值为X，求随机变量X的分布列和数学期望率． 6.(2019湖南对口升学高考) 10件产品中有2件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次.用表示取到不合格品的次数，求： （1）随机变量的分布列； （2）三次中至少有一次取到不合格品的概率. 7.(2018湖南对口升学高考)某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格，从中随机抽取2瓶检测。用表示取出饮料中不合格的瓶数。求: (1)随机变量的分布列; (2)检测出有不合格饮料的概率. 8.（2017湖南对口升学高考）某射击运动员射击三次，每次射击击中目标的概率为，求 （1）三次射击都击中目标的概率 （2）击中次数 ξ的分布列 9.（2013湖南对口升学高考）（本题满分10分）从编号分别为1.2.3.4的四张卡片中任取两张，将他们的编号和记为X. （1）求X为奇数的概率. （2）写出X的分布列并求P 10.(2015湖南对口升学高考)从装有5个红球和3个白球的箱子中，随机取出2个球. 用表示取出的球中白球的个数. （1）求随机变量的分布列； （2）求事件“取出的2个球中至少有一个是白球”的概率. 11.(2014湖南对口升学高考）从4名男生和3名女生中任选4人参加独唱比赛，设随机变量表示所选4人中女生的人数。 （1）求的分布列； （2）求事件“所选4人中女生人数”的概率。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 随机变量及其分布 【考点考法】 【考查要点01】　(1)伯努利公式：事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，其中p表示事件A在一次试验中发生的概率． (2)离散型随机变量的分布列：离散型随机变量ξ的概率分布(或分布列)：离散型随机变量ξ的所有可能取值x1，x2，…，xn，与其对应的概率P(ξ＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)所组成的表如下： ξ x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)对立事件的概率：P(A)＋P()＝1． 【规律方法】　计算离散型随机变量的概率分布的主要步骤： (1)写出随机变量的所有取值． (2)计算出随机变量取各个值时的概率． (3)列出表格．注意验证pi≥0(i＝1，2，3，…)与p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1． 【考查要点02】　二项分布的相关知识． (1)n次独立重复试验：在相同条件下，重复进行n次试验，每次试验的结果与其他各次结果无关，那么这n次试验叫做n次独立重复试验． (2)n次伯努利试验：在n次独立重复试验中，如果每次试验的可能结果只有两个，且相互独立，即只考虑A和 ，并且在每次试验中，事件A发生的概率都不变，这样的n次独立重复试验叫做n次伯努利试验． (3)伯努利公式：在n次伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝C·pk·(1－p)n－k．其中p表示事件A在一次试验中发生的概率． (4)二项分布：一般地，如果在一次试验中某事件A发生的概率是p，随机变量ξ为n次独立重复试验中事件A发生的次数，那么随机变量ξ的概率分布为 P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，…，n)． 可记为随机变量ξ服从参数为n和p的二项分布，记为ξ～B(n，p)． 【考查要点03】　组合知识、古典概型及随机变量ξ的分布列． 1．组合及组合数 (1)组合的定义：一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(只取不排、无序问题)． (2)组合数：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示，且C＝＝＝． 2．概率的古典定义 设试验共有n个基本事件，并且每一个基本事件发生的可能性相同，事件A包含m个基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝． 3．互斥事件的概率加法公式 互斥事件A与B至少有一个发生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，此公式可推广到多个彼此互斥事件． 4．对立事件的概率 P(A)＋P()＝1． 5．离散型随机变量ξ的概率分布(或分布列) 离散型随机变量ξ的所有可能取值x1，x2，…，xn，与其对应的概率P(ξ＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)所组成的表如下． ξ x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 【真题检测】 1.(2024湖南对口升学高考) 在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 （1）根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； （2）从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 【答案】（1）甲生产的零件质量更好 （2）概率分布见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求出方差即可判断； （2）根据概率公式分别求出的取值为0，1，2时的概率即可. 【小问1详解】 解法一（对应高教版）： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， ， 所以甲生产的零件质量更好. 解法二(对应人教版)： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， . 所以甲生产的零件质量更好. 【小问2详解】 的取值有0，1，2. ， 所以的概率分布为 0 1 2 2.(2023湖南对口升学高考)为推进地区教育均衡发展，某市教育局拟从６名优秀教师中抽取人员分三批次赴农村薄弱学校进行支教．每批次需从6名教师中随机抽取2名教师支教，且每批次抽取互不影响． （1）求在这3批次支教活动中教师甲恰有2次被抽中的概率； （2）已知这6名教师中有2名数学教师．设第一批次抽到的数学教师人数为，求的分布列． 【答案】（1） （2）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）根据次独立重复试验恰好发生的概率公式即可求解； （2）写出所有可能的取值，求出每一个取值对应的概率，可得分布列. 【小问1详解】 甲在每批次抽取抽取中，被抽中的概率为， 所以在这3批次支教活动中教师甲恰有2次被抽中的概率为 ； 【小问2详解】 所有的取值是0，1，2， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 P 3.(2022湖南对口升学高考)某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地.已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观. （1）用表示选取的3人中女生的人数，求的分布列； （2）求选取的3人中，女生人数多于男生人数的概率. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，5名男生与3名女生，从中任意选取3名，女生人数的可能为，分别求出概率，列出分布列即可. （2）女生多于男生的情况有女生有3人，或女生有2人，将两种情况的概率相加即可. 【小问1详解】 已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观， 表示选取的人中女生的人数，则的所有可能的取值是， ，， ，， 所以的分布列是： 0 1 2 3 【小问2详解】 女生人数多于男生的选法为或， 女生人数多于男生的概率为. 4.(2021湖南对口升学高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. （1）用表示取到的豆沙粽的个数，求的分布列； （2）求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 【答案】（1）分布列见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先求随机变量，再利用古典概型求概率. （2）根据（1）的结果求概率. 【小问1详解】 由条件可知， ， ， ， 所以的分布列，如下表， 【小问2详解】 由（1）得，选取的2个中至少有1个豆沙粽， 即. 所以. 则选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率. 5.(2020湖南对口升学高考)盒子里装有五个大小相同的球，其中两个编号为1，两个编号为2，一个编号为3，从盒子里任取两个小球： （1）求取出的两个小球中，含有编号为3的小球的概率； （2）在取出的两相小球中，设编号的最大值为X，求随机变量X的分布列和数学期望率． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由古典概型的概率公式，结合组合的知识即可得解. （2）先写出随机变量X的所有可能取值，再由古典概型概率公式分别计算，最后由分布列求解期望即可. 【小问1详解】 根据题意可得，任取两个小球的方法数为种， 含有编号为3的方法数为种， 所以含有编号3的概率为. 【小问2详解】 编号最大值X可能取值1，2，3，其中， ， ， ， X 1 2 3 P . 6.(2019湖南对口升学高考) 10件产品中有2件不合格品，每次取一件，有放回地抽取三次.用表示取到不合格品的次数，求： （1）随机变量的分布列； （2）三次中至少有一次取到不合格品的概率. 【答案】（1）分布列见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）先求解随机变量的所有可能取值，再计算相应的概率列分布列即可. （2）由分布列求解概率即可. 【小问1详解】 每次取一件，有放回地抽取三次相当于做3次独立重复试验， 且每次抽取不合格品的概率都是， 随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， . 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 【小问2详解】三次中至少有一次取到不合格品，即， 所以三次中至少有一次取到不合格品的概率为. 7.(2018湖南对口升学高考)某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格，从中随机抽取2瓶检测。用表示取出饮料中不合格的瓶数。求: (1)随机变量的分布列; (2)检测出有不合格饮料的概率. [分析]（1）超几何分布 （2）由分布列可计算出答案 (1) 随机变量 的可能取值为 随机变量 的分布列为: 0 1 2 综上所述, 结论是: 随机变量 的分布列如上 表所示 (2) 由(1)知 检测出有不合格饮料的概率为 8.（2017湖南对口升学高考）某射击运动员射击三次，每次射击击中目标的概率为，求 （1）三次射击都击中目标的概率 （2）击中次数 ξ的分布列 [分析](1)n次独立重复试验 (2)n次独立重复试验 (1){3 次射击中目标的概率} (2) 的取值为 . 击中次数 的分布列为: 0 1 2 3 9.（2013湖南对口升学高考）（本题满分10分）从编号分别为1.2.3.4的四张卡片中任取两张，将他们的编号和记为X. （1）求X为奇数的概率. （2）写出X的分布列并求P (1)编号之和有 ，所以 为奇数的概率为 (2)由（1）得 则分布列为 3 4 5 6 7 故 10.(2015湖南对口升学高考)从装有5个红球和3个白球的箱子中，随机取出2个球. 用表示取出的球中白球的个数. （1）求随机变量的分布列； （2）求事件“取出的2个球中至少有一个是白球”的概率. [分析]（1）古典概型 （2）根据分布列即可得出答案 解：（1） 的可能取值为 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 （2）由题知 11.(2014湖南对口升学高考）从4名男生和3名女生中任选4人参加独唱比赛，设随机变量表示所选4人中女生的人数。 （1）求的分布列； （2）求事件“所选4人中女生人数”的概率。 [分析]略 解：(1) 的所有可能取值为 分布列如下： 0 1 2 3 (2)由（1）知 所选 4 人女生人数 的概率为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$