专题08 圆锥曲线-【中职专用】湖南省十年（2015-2024）对口招生数学真题分类汇编

专题08圆锥曲线 【考点考法】 【考查要点01】　椭圆的标准方程、直线方程、直线与椭圆相交的弦长． 【规律方法】　求椭圆的标准方程基本思路是先根据焦点位置确定方程标准形式(本题已定)，再去确定a，b，c三个中的两个值，确定过程中要注意定义及几何性质，直接求或者利用待定系数法用方程方法求出，求的过程别忽视隐含a2＝b2＋c2． 求直线与圆锥曲线相交弦长，一般采用设两个点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，再联立方程组采用消元后得一元二次方程一般形式ax2＋bx＋c＝0，由根与系数关系x1＋x2＝－，x1x2＝得弦长公式(设而不求)：弦长＝求弦长，或在运算简单情况下直接求出两点坐标用两点距离公式求弦长． 【考查要点02】　(1)椭圆的标准方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． (2)椭圆中a，b，c的关系：a2－c2＝b2． (3)椭圆的离心率：焦距与长轴长的比，即e＝． (4)直线与圆锥曲线的交点坐标：由直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解． (5)两点间的距离公式：已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的距离为|AB|＝． (6)点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 【规律方法】　求直线与圆锥曲线相交弦的长度的两种常用方法： (1)弦长公式法：设两个交点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线与圆锥曲线方程联立成方程组并转化为一元二次方程，根据韦达定理求出x1＋x2，x1x2的值，然后用弦长公式|AB|＝·求解． (2)距离公式法：将直线与圆锥曲线方程联立成方程组，解方程组求出两个交点的坐标，然后用两点间的距离公式|AB|＝求解． 【考查要点03】　抛物线的标准方程及性质，直线与圆锥曲线相交中点问题处理的方法，直线方程的求法． 【规律方法】　直线与椭圆、双曲线、抛物线等相交于两点的中点的有关问题的处理方法． 解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，是一类很典型、很重要的问题，解圆锥曲线的弦中点问题的方法如下： 第一种方法：联立消元法，即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解． 第二种方法：点差法，即设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”． 1．以定点为中点的弦所在直线的方程 例1　过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程． 解：方法一：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵M(2，1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2． 又∵A，B两点在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝16， 两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0． 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴＝－＝－＝－， 即kAB＝－，故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0． 方法二：由题意知所求中点弦斜率一定存在，设为k，则该弦方程为y－1＝k(x－2)． 消去y，得……(请独立完成，体会运算量的区别) 例2　已知双曲线x2－＝1，经过点M(1，1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A，B，且点M是线段AB的中点？若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由． 解：不存在．理由如下： 设存在被点M平分的弦AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2． 又∵两点在双曲线上，∴x－＝1，x－＝1． 两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴kAB＝＝2， 故直线AB：y－1＝2(x－1)． 由消去y，得2x2－4x＋3＝0， ∴Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0． 这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l． 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心．由此题可看到中点弦问题中判断点M的位置非常重要．①若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；②若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在． 这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件．本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理． 2．过定点的弦和平行弦的中点坐标 例3　已知椭圆＋＝1的一条弦的斜率为3，它与直线x＝的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标． 解：设弦端点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，弦PQ的中点M(x0，y0)，则x0＝， x1＋x2＝2x0＝1，y1＋y2＝2y0． 又∵＋＝1，＋＝1， ∴两式相减，得25(y1＋y2)(y1－y2)＋75(x1＋x2)(x1－x2)＝0， 即2y0(y1－y2)＋3(x1－x2)＝0， ∴＝－． ∵k＝＝3，∴－＝3，即y0＝－， ∴点M的坐标为． 3．求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例4　已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程． 解：设椭圆的方程为＋＝1，则a2－b2＝50．① 设弦端点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，弦PQ的中点M(x0，y0)， 则x0＝，y0＝3x0－2＝－， ∴x1＋x2＝2x0＝1，y1＋y2＝2y0＝－1． 又∵＋＝1，＋＝1， ∴两式相减，得b2(y1＋y2)(y1－y2)＋a2(x1＋x2)(x1－x2)＝0， 即－b2(y1－y2)＋a2(x1－x2)＝0， ∴＝， ∴＝3．② 联立①②，解得a2＝75，b2＝25， ∴所求椭圆的方程是＋＝1． 结论：点差法变形过程中出现了关系式中含方程的系数、直线的斜率及中点坐标的2倍，从而可以用来解决上述类型的问题． 【考查要点04】　①直线与抛物线的交点：直线方程与抛物线方程组成的方程组的解即为交点的坐标．②两条直线垂直的条件：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． 【规律方法】　证明两条直线垂直的两种常用方法： (1)利用两条直线垂直的充要条件：两条直线的斜率都存在时，AB⊥CD⇔kAB·kCD＝－1． (2)转化为证明两条直线的方向向量垂直：AB⊥CD⇔⊥⇔·＝0． 【真题检测】 1.(2024湖南对口升学高考) 已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． （1）求双曲线的方程； （2）设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 2.(2023湖南对口升学高考)已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． （1）求抛物线C的标准方程及其准线方程； （2）设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 3.(2022湖南对口升学高考)已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 4.(2021湖南对口升学高考)已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程. （2）设直线与椭圆相交于两点，求的值． 5.(2020湖南对口升学高考)已知抛物线经过点 （1）求抛物线的标准方程 （2）直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 6.(2019湖南对口升学高考)已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率； （2）已知点，直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积． 7.(2018湖南对口升学高考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A(0，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l过点F1且与AF1垂直，l与椭圆C相交于M，N两点，求MN的长． 8.（2017湖南对口升学高考）若双曲线上存在四点A,B,C,D,使四边形ABCD为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为______ 9.（2017湖南对口升学高考）已知抛物线：（）的焦点为（） （1）求抛物线的方程 （2）过点的直线与抛物线相交于两点，且为的中点，求直线的方程 10.(2016湖南对口升学高考）已知椭圆C：+=1 (>2)的离心率e= (1)求椭圆C的方程; (2)设直线：与椭圆C相交于A, B两点，且AB中点的横坐标为1，求的值. 12.(2015湖南对口升学高考)已知抛物线:的焦点为. （1）求的标准方程； （2）设过点的直线与相交于、两点，试判断以为直径的圆与轴的位置关系，并说明理由. 13.(2014湖南对口升学高考）已知直线与抛物线交于A，B两点，则线段AB的长为（ ） A．63 B．8 C． D．32 14.(2014湖南对口升学高考）已知椭圆的离心率为，焦距为。 （1）求C的方程； （2）设分别为C的左、右焦点，问：在C上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 15.（2013湖南对口升学高考）已知椭圆的离心为，则m=（ ） A.或 B. C. D.或 16. （2013湖南对口升学高考）已知双曲线C： 的一条渐近线方程为，且焦距为. （1）求双曲线C的方程. （2）设点A的坐标为，点P是双曲线C上的两点，当|PA|取最小值时求P点坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08圆锥曲线 【考点考法】 【考查要点01】　椭圆的标准方程、直线方程、直线与椭圆相交的弦长． 【规律方法】　求椭圆的标准方程基本思路是先根据焦点位置确定方程标准形式(本题已定)，再去确定a，b，c三个中的两个值，确定过程中要注意定义及几何性质，直接求或者利用待定系数法用方程方法求出，求的过程别忽视隐含a2＝b2＋c2． 求直线与圆锥曲线相交弦长，一般采用设两个点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，再联立方程组采用消元后得一元二次方程一般形式ax2＋bx＋c＝0，由根与系数关系x1＋x2＝－，x1x2＝得弦长公式(设而不求)：弦长＝求弦长，或在运算简单情况下直接求出两点坐标用两点距离公式求弦长． 【考查要点02】　(1)椭圆的标准方程：焦点在x轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)；焦点在y轴上的椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． (2)椭圆中a，b，c的关系：a2－c2＝b2． (3)椭圆的离心率：焦距与长轴长的比，即e＝． (4)直线与圆锥曲线的交点坐标：由直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解． (5)两点间的距离公式：已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的距离为|AB|＝． (6)点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 【规律方法】　求直线与圆锥曲线相交弦的长度的两种常用方法： (1)弦长公式法：设两个交点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线与圆锥曲线方程联立成方程组并转化为一元二次方程，根据韦达定理求出x1＋x2，x1x2的值，然后用弦长公式|AB|＝·求解． (2)距离公式法：将直线与圆锥曲线方程联立成方程组，解方程组求出两个交点的坐标，然后用两点间的距离公式|AB|＝求解． 【考查要点03】　抛物线的标准方程及性质，直线与圆锥曲线相交中点问题处理的方法，直线方程的求法． 【规律方法】　直线与椭圆、双曲线、抛物线等相交于两点的中点的有关问题的处理方法． 解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，是一类很典型、很重要的问题，解圆锥曲线的弦中点问题的方法如下： 第一种方法：联立消元法，即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解． 第二种方法：点差法，即设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”． 1．以定点为中点的弦所在直线的方程 例1　过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程． 解：方法一：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． ∵M(2，1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2． 又∵A，B两点在椭圆上，∴x＋4y＝16，x＋4y＝16， 两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0． 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴＝－＝－＝－， 即kAB＝－，故所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0． 方法二：由题意知所求中点弦斜率一定存在，设为k，则该弦方程为y－1＝k(x－2)． 消去y，得……(请独立完成，体会运算量的区别) 例2　已知双曲线x2－＝1，经过点M(1，1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A，B，且点M是线段AB的中点？若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由． 解：不存在．理由如下： 设存在被点M平分的弦AB，且A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2． 又∵两点在双曲线上，∴x－＝1，x－＝1． 两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)－(y1＋y2)(y1－y2)＝0， ∴kAB＝＝2， 故直线AB：y－1＝2(x－1)． 由消去y，得2x2－4x＋3＝0， ∴Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0． 这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l． 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心．由此题可看到中点弦问题中判断点M的位置非常重要．①若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；②若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在． 这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件．本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理． 2．过定点的弦和平行弦的中点坐标 例3　已知椭圆＋＝1的一条弦的斜率为3，它与直线x＝的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标． 解：设弦端点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，弦PQ的中点M(x0，y0)，则x0＝， x1＋x2＝2x0＝1，y1＋y2＝2y0． 又∵＋＝1，＋＝1， ∴两式相减，得25(y1＋y2)(y1－y2)＋75(x1＋x2)(x1－x2)＝0， 即2y0(y1－y2)＋3(x1－x2)＝0， ∴＝－． ∵k＝＝3，∴－＝3，即y0＝－， ∴点M的坐标为． 3．求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例4　已知中心在原点，一焦点为F(0，)的椭圆被直线l：y＝3x－2截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程． 解：设椭圆的方程为＋＝1，则a2－b2＝50．① 设弦端点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，弦PQ的中点M(x0，y0)， 则x0＝，y0＝3x0－2＝－， ∴x1＋x2＝2x0＝1，y1＋y2＝2y0＝－1． 又∵＋＝1，＋＝1， ∴两式相减，得b2(y1＋y2)(y1－y2)＋a2(x1＋x2)(x1－x2)＝0， 即－b2(y1－y2)＋a2(x1－x2)＝0， ∴＝， ∴＝3．② 联立①②，解得a2＝75，b2＝25， ∴所求椭圆的方程是＋＝1． 结论：点差法变形过程中出现了关系式中含方程的系数、直线的斜率及中点坐标的2倍，从而可以用来解决上述类型的问题． 【考查要点04】　①直线与抛物线的交点：直线方程与抛物线方程组成的方程组的解即为交点的坐标．②两条直线垂直的条件：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． 【规律方法】　证明两条直线垂直的两种常用方法： (1)利用两条直线垂直的充要条件：两条直线的斜率都存在时，AB⊥CD⇔kAB·kCD＝－1． (2)转化为证明两条直线的方向向量垂直：AB⊥CD⇔⊥⇔·＝0． 【真题检测】 1.(2024湖南对口升学高考) 已知双曲线的一个焦点为，离心率为2． （1）求双曲线的方程； （2）设点，直线与双曲线相交于两点，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦点和离心率，可求出，再由求出，进而写出双曲线的方程； （2）设，联立双曲线和直线方程，由韦达定理得，再由向量垂直的坐标表示证明即可. 【小问1详解】 双曲线的一个焦点为，离心率为2 则，得，又， 双曲线的方程为； 【小问2详解】 直线与双曲线相交于两点， 由，得， 设，则 ， ， = ，所以． 2.(2023湖南对口升学高考)已知抛物线C：的焦点为，过点F的直线l交C于A，B两点． （1）求抛物线C的标准方程及其准线方程； （2）设E为C的准线与y轴的交点，直线AE，BE的斜率分别为，，证明：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦点为，求出，进而写出抛物线的方程和其准线方程. （2）设，直线l为，联立直线l与抛物线方程，通过韦达定理来证明即可. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为，则， 所以抛物线C的标准方程为，准线方程为. 【小问2详解】 当直线l斜率不存在时，与抛物线仅有一个交点，不满足题意， 当直线l斜率存在时，又直线l过点， 可设直线l方程，联立抛物线C方程可得 ，整理得， 设，则， 直线AE，BE的斜率分别为，，点， 所以 . 3.(2022湖南对口升学高考)已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设直线与双曲线C相交于M，N两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再根据离心率，可求得，进而得，据此可求解； （2）设，，由韦达定理可得的值，根据弦长公式，可求得，利用点到直线的距离公式，求出到直线的距离，据此可求解. 【小问1详解】 由，可得， 由离心率为，可得， 解得， 所以. 所以双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 将直线与双曲线方程联立，可得 ，消元、整理可得 设，，显然有. 则， 所以 ， 又因为到直线的距离为， 所以. 4.(2021湖南对口升学高考)已知椭圆经过点，且离心率为． （1）求椭圆C的标准方程. （2）设直线与椭圆相交于两点，求的值． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）由椭圆的标准方程,离心率公式即可得解. （2）由直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量内积的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 因椭圆经过点,且离心率为. 所以 解得 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设. 所以. 联立方程得 所以. 所以 所以. 5.(2020湖南对口升学高考)已知抛物线经过点 （1）求抛物线的标准方程 （2）直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，证明 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，即可求得参数，得到抛物线方程. （2）设立A，B的坐标，联立抛物线方程和直线方程，得到坐标的关系，再计算，即可证明. 【小问1详解】 ∵抛物线经过点， 故，将点代入方程，， 即，得到. 所以，抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设交点A，B的坐标分别为. 则 联立抛物线和直线方程，得到. 即，. ∴. 故，得到. 6.(2019湖南对口升学高考)已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率； （2）已知点，直线与椭圆C交于A，B两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程求解离心率即可 （2）利用点到直线的距离公式、直线与椭圆的方程联立方程组求解交点，进而即可求解. 小问1详解】 因为椭圆. 所以. 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 联立方程得或. 所以. 因为点到直线的距离. 所以. 7.(2018湖南对口升学高考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，点A(0，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l过点F1且与AF1垂直，l与椭圆C相交于M，N两点，求MN的长． [分析](1)椭圆标准方程 （2）弦长公式 （1）点 在椭圆 上 .椭圆 的方程为 . （2）由 知, 椭圆 的方程为 直线 过点 且与 垂直 直线 方程为 , 8.（2017湖南对口升学高考）若双曲线上存在四点A,B,C,D,使四边形ABCD为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为______ [答案]() [分析]数形结合求出渐近线斜率的范围 因为双曲线中心在原点，所以构成的正方形中心也必须在原点. 又因为所有中心在原点的正方形的四个顶点必然落在直线：上.（如图所示） 则当双曲线与有交点时则一定可以构成正方形 当双曲线以为渐近线时则一定没有交点（如图所示） 则当的斜率要大于的斜率时就一定可以构成正方形 即 即 解得 e> 9.（2017湖南对口升学高考）已知抛物线：（）的焦点为（） （1）求抛物线的方程 （2）过点的直线与抛物线相交于两点，且为的中点，求直线的方程 [分析](1)可看出的值 （2）点差法或者韦达定理求出 (1) 由题知 抛物线 的方程是： (2)设直线 的方程是 , 由 , 可得 , 则 , 设点 , 则 , 点 为线段 的中点, , 解得 , 直线 的方程是 , 即 综上所述, 结论是: 直线 的方程是 10.(2016湖南对口升学高考）已知椭圆C：+=1 (>2)的离心率e= (1)求椭圆C的方程; (2)设直线：与椭圆C相交于A, B两点，且AB中点的横坐标为1，求的值. [分析]（1）求椭圆方程 （2）联立方程韦达定理 (1)椭圆 椭圆焦点在x轴上 则 因为 解得 椭圆 的方程为 (2)设 , 则 中点 的横坐标为 , 可得 . 联立 解得: 或 12.(2015湖南对口升学高考)已知抛物线:的焦点为. （1）求的标准方程； （2）设过点的直线与相交于、两点，试判断以为直径的圆与轴的位置关系，并说明理由. [分析](1)根据抛物线的性质求出标准方程 (2)根据抛物线定义 (1) 抛物线 的焦点为 , 抛物线方程为: . (2)设 直线过焦点F，所以根据抛物线定义可知 为直径 则为的中点 圆心M到y轴的距离d= 则<0 所以 以 直径的圆 与 轴相交. 13.(2014湖南对口升学高考）已知直线与抛物线交于A，B两点，则线段AB的长为（ ） A．63 B．8 C． D．32 [答案]B [分析]抛物线焦点弦可快速求出弦长 设抛物线 的焦点为 由题知 则 准线方程为 与y轴交点为（1，0） 直线 过抛物线的焦点 设 联立 得 则由韦达定理得 =6+2 =8 14.(2014湖南对口升学高考）已知椭圆的离心率为，焦距为。 （1）求C的方程； （2）设分别为C的左、右焦点，问：在C上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 [分析]垂直问题用向量 解：（1） 2c= 椭圆C的标准方程是： (2) 由题知, 假设存在点, 设 又因为在椭圆上代入得： 联立 解得 , 综上所述存在点 满足 坐标是 ,. 15.（2013湖南对口升学高考）已知椭圆的离心为，则m=（ ） A.或 B. C. D.或 [答案］D ［分析］已知离心率得到方程解出即可 ［详解］ ①当焦点在力轴上 解得 又因为 所以 ②当焦点在轴上 4 又因为 所以 16. （2013湖南对口升学高考）已知双曲线C： 的一条渐近线方程为，且焦距为. （1）求双曲线C的方程. （2）设点A的坐标为，点P是双曲线C上的两点，当|PA|取最小值时求P点坐标. [分析]根据渐近线的定义，及焦距得到方程组解出参数值。第二问通过设动点，找到距离表达式有两个变量，通过点在双曲线上消掉一个变量，消去一个变量。转换为求二次函数的最值问题 [详解] (1) 由题知得 : 因为 解得 : 双曲线 的方程为 (2) 由 及已知可设 双曲线横坐标范围 又因为P在双曲线上代入得 解得= 当 时， 取得最小值为 ，此时，点 的 坐标为 , 综上所述，结论是 : 点 的坐标为 或 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$