专题07 直线与圆的方程-【中职专用】湖南省十年（2015-2024）对口招生数学真题分类汇编

专题07 直线与圆的方程 【考点考法】 【考查要点01】　圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径为r，直线过点(点在直线上)：点的横坐标、纵坐标代入直线方程成立. 【考查要点02】　①直线的点斜式方程：已知直线经过点P(x0，y0)，直线的斜率为k，则该直线的方程为y－y0＝k(x－x0)． ②过两点的直线斜率公式：已知直线经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，斜率k＝． ③圆的标准方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ④直线与圆相切：圆心到直线的距离d与圆的半径r相等，即d＝r． ⑤直线垂直的充要条件：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． 【考查要点03】考查点到直线的距离及垂线段的性质(几何法)或利用两点距离公式建立函数模型求最小值． 　①两点之间的距离公式：已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝． ②点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝． ③直线与圆的位置关系：已知圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线与圆相交⇔d<r； 直线与圆相切⇔d＝r； 直线与圆相离⇔d>r． 【真题检测】 1.(2024湖南对口升学高考) 光线从点射到点后被轴反射，则反射光线必经过的点是（ ） A. B. C. D. 2.(2024湖南对口升学高考)已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为_________． 3.(2023湖南对口升学高考) 已知直线：与直线：．若，则a的值为（ ） A．-2 B． C． D．2 4．(2023湖南对口升学高考) 已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则______． 5.(2022湖南对口升学高考)已知点 在直线 上, 点 在圆 上, 则 的最小值为( ) A. B. C. D. 6. (2021湖南对口升学高考)点到直线的距离为（ ） A. B. C. D.1 7.(2021湖南对口升学高考)过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 8.(2020湖南对口升学高考) 过点 作圆 的两条切线, 切点分别为 , 则 所在的直线方程为 . 9.（2019湖南对口升学高考）过点且与直线平行的直线方程是( ) 10.（2019湖南对口升学高考）已知直线(，为常数)经过点，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C.≥1 D.≤1 11.(2018湖南对口升学高考)点M在直线3412=0上，0为坐标原点，则线段OM长度的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 12.(2018湖南对口升学高考)过点(1, 1)的直线与圆相交于A、B两点，0为坐标原点，则OAB面积的最大值为（ ） A．2 B.4 C. D. 13.（2017湖南对口升学高考）已知两条直线和互相垂直，则（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1 14.（2017湖南对口升学高考）若直线经过圆的圆心，则 15.(2016湖南对口升学高考）己知点P(4，5)，点Q在圆C：=4上运动，则|PQ|的取值范围为（ ） A. [1,7] B.[1,9] C.[3,7] D.[3,9] 16.(2016湖南对口升学高考）己知A，B为圆上的两点，，O为坐标原点，则· = ． 17.(2014湖南对口升学高考）已知点,则线段的中点坐标为 （ ） A．（3，－1） B． （4，6） C．（－3，1） D． （2，3） 18.(2014湖南对口升学高考）已知直线与抛物线交于A，B两点，则线段AB的长为（ ） A．63 B．8 C． D．32 19.(2014湖南对口升学高考）圆上的点到原点O的最短距离为________。 20.(2015湖南对口升学高考)点到直线的距离为（ ） A.5 B. C.1 D. 21.(2015湖南对口升学高考)若过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 直线与圆的方程 【考点考法】 【考查要点01】　圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径为r，直线过点(点在直线上)：点的横坐标、纵坐标代入直线方程成立. 【考查要点02】　①直线的点斜式方程：已知直线经过点P(x0，y0)，直线的斜率为k，则该直线的方程为y－y0＝k(x－x0)． ②过两点的直线斜率公式：已知直线经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，斜率k＝． ③圆的标准方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． ④直线与圆相切：圆心到直线的距离d与圆的半径r相等，即d＝r． ⑤直线垂直的充要条件：若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． 【考查要点03】考查点到直线的距离及垂线段的性质(几何法)或利用两点距离公式建立函数模型求最小值． 　①两点之间的距离公式：已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝． ②点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝． ③直线与圆的位置关系：已知圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线与圆相交⇔d<r； 直线与圆相切⇔d＝r； 直线与圆相离⇔d>r． 【真题检测】 1.(2024湖南对口升学高考) 光线从点射到点后被轴反射，则反射光线必经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据入射光线与反射光线之间的斜率关系即可求解. 【详解】入射线斜率， 因为入射光线与反射光线对应的倾斜角互补， 所以斜率之和0， 则反射光线斜率为. 对A：斜率为，所以A错误； 对B：斜率为，所以B错误； 对C: 斜率为，所以C错误； 对D：斜率为，所以D正确. 故选：D. 2.(2024湖南对口升学高考)已知点在圆上运动，则点到直线的距离的最大值为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离和圆心的半径，再由点在圆运动可得，点到直线的距离的最大值为，即可得解. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 因为点在圆上运动， 所以点到直线的距离的最大值为． 故答案为：. 3.(2023湖南对口升学高考) 已知直线：与直线：．若，则a的值为（ ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线平行，斜率相等求解a的值. 详解】直线：与直线：， 当时，，不满足题意， 当时，直线斜率为，直线斜率为， 因为，则，即，解得. 综上，若，则a的值为. 故选：B. 4．(2023湖南对口升学高考) 已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程，由点到直线距离公式求弦心距，再结合垂径定理即可求得. 【详解】圆C：可化为， 圆心坐标，半径， 直线l：，即， 由点到直线距离公式可得弦心距 ， 所以. 故答案为：. 5.(2022湖南对口升学高考)已知点 在直线 上, 点 在圆 上, 则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断直线与圆的位置关系，进而求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 则的最小值为， 故选：C 6. (2021湖南对口升学高考)点到直线的距离为（ ） A. B. C. D.1 【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式即可得解. 【详解】直线. 所以点到直线的距离为. 故选:. 7.(2021湖南对口升学高考)过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程. 【详解】由可得， 所以圆心为， 由可得，所以直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以所求直线的方程为：，即， 故答案为：. 8.(2020湖南对口升学高考) 过点 作圆 的两条切线, 切点分别为 , 则 所在的直线方程为 . 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆的方程得到半径和圆心，再根据圆外的点与圆相切于A，B，得到一个切点的坐标，以及，再根据的斜率求得的斜率，即可得到直线方程. 【详解】∵圆的圆心为，半径， 而过点作圆的两条切线，交点为A，B， ∴， 且得到一条切线方程为，故切点坐标为. 根据点，得到， 即可得到. 令所在的直线方程为，代入， 即，得到. 所以，直线方程为，即. 故答案为：. 9.（2019湖南对口升学高考）过点且与直线平行的直线方程是( ) 【答案】D 【解析】 【分析】可设所求直线方程为，将点代入计算即可求解. 【详解】因为所求直线与平行， 所以设所求直线方程为， 将点代入中解得， 所以直线方程为. 故选：D. 10.（2019湖南对口升学高考）已知直线(，为常数)经过点，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C.≥1 D.≤1 【答案】A 【解析】 【分析】将点代入直线中，利用辅助角公式将式子进行化简，再利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】直线（a，b为常数）经过点， 则， 所以，其中满足，而a，b不同时为0， 则， 由得， 所以一定成立. 故选：A. 11.(2018湖南对口升学高考)点M在直线3412=0上，0为坐标原点，则线段OM长度的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. [答案]D [分析]方法一：直线外定点到直线上的点(动点)的线段的最小值即为直线外定点到直线的垂线段长即点到直线的距离． 解：d＝＝． 方法二：从函数角度出发，转化成求函数的最小值． 分析：建立以点O(0，0)为坐标原点的平面直角坐标系，设点M(a，b)，则线段OM长度d＝＝．利用点M(a，b)在直线3x＋4y－12＝0，消去b，得d＝＝＝．(其中a∈R，想一想为什么？) 当a＝时，d＝有最小值． 12.(2018湖南对口升学高考)过点(1, 1)的直线与圆相交于A、B两点，0为坐标原点，则OAB面积的最大值为（ ） A．2 B.4 C. D. [答案]A [分析]几何中最值问题，采用数形结合或函数方法来处理，本题难度大，找不到好的方法，建议从猜测特殊位置思考，如OC与弦AB垂直时最大，再验证．可从S△OAB＝×r2×sin ∠AOB．在sin ∠AOB最大时这种情形下值最大，即过C点弦长最短时sin ∠AOB最大，此时OC⊥AB，∴S△OAB＝×lAB×d＝×2×d＝×2×d＝×2＝(d2∈[0，2])， 即d2＝2时，有最大值S△OAB＝2． 【失分剖析】　解题方法单一，找不到解题思路，不能从动态角度分析三角形的面积． 13.（2017湖南对口升学高考）已知两条直线和互相垂直，则（ ） A.2 B.1 C.0 D.-1 [答案]D [分析]斜率之积为-1 由 得 因为直线 和 互相垂直, 所以 , 解得 . 故选 . 14.（2017湖南对口升学高考）若直线经过圆的圆心，则 [答案]4 [分析]将圆心坐标代入直线方程 圆心（-1，2）代入得-k-2+6=0，K=4 15.(2016湖南对口升学高考）己知点P(4，5)，点Q在圆C：=4上运动，则|PQ|的取值范围为（ ） A. [1,7] B.[1,9] C.[3,7] D.[3,9] [答案]C [分析] 在圆外 16.(2016湖南对口升学高考）己知A，B为圆上的两点，，O为坐标原点，则· = ． [答案] [分析]根据内积的定义即可以求出 如图是 上的两点, 所以 则 = 17.(2014湖南对口升学高考）已知点,则线段的中点坐标为 （ ） A．（3，－1） B． （4，6） C．（－3，1） D． （2，3） [答案]D [分析]根据中点坐标公式即可算出答案 中点坐标为: = 18.(2014湖南对口升学高考）已知直线与抛物线交于A，B两点，则线段AB的长为（ ） A．63 B．8 C． D．32 [答案]B [分析]抛物线焦点弦可快速求出弦长 设抛物线 的焦点为 由题知 则 准线方程为 与y轴交点为（1，0） 直线 过抛物线的焦点 设 联立 得 则由韦达定理得 =6+2 =8 19.(2014湖南对口升学高考）圆上的点到原点O的最短距离为________。 [答案]3 [分析]数形结合找出最值 如图所示： 圆的圆心坐标为 , 半径为 圆上的点到原点的最短距离为 20.(2015湖南对口升学高考)点到直线的距离为（ ） A.5 B. C.1 D. [答案]C [分析]根据点到直线距离公式算出距离 点 到直线 的距离 21.(2015湖南对口升学高考)若过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C D. [答案]C [分析]先求斜率的取值范围，再算倾斜角的取值范围 由题知 设 圆心 半径为 因为直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离小于等于半径： 解得 倾斜角的取值范围为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$