专题03 多边形及其内角和（十三题型，65题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（人教版）

专题03 多边形及其内角和（十三题型，65题） 目录 题型一：多边形截角后的边数问题 1 题型二：多边形的周长 2 题型三：网格中多边形面积比较 3 题型四：多边形对角线的条数问题 5 题型五：对角线分成的三角形个数问题 6 题型六：多边形内角和问题 7 题型七：正多边形的内角和问题 8 题型八：多（少）算一个角问题 10 题型九：多边形截角后的内角和问题 11 题型十：正多边形的外角问题 12 题型十一：多边形外角和的实际应用 12 题型十二：多边形内角和与外角和综合 14 题型十三：平面镶嵌 15 题型一：多边形截角后的边数问题 1．一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是 (    ) A．7 B．10 C．14 D．15 2．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 3．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 4．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 5．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 题型二：多边形的周长 6．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 7．如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 8．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 9．已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 10．如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 题型三：网格中多边形面积比较 11．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 12．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 14．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，按要求进行下列作图． (1)将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，请画出经两次平移后得到的（其中点与点对应，点与点对应，点与点对应）； (2)连接和，则四边形的面积为 ． 15．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC的顶点都在方格纸格点上． (1)将三角形ABC向左平移1格，请在图中画出平移后的； (2)将三角形ABC向上平移2格，请在图中画出平移后的； (3)的面积 ． 题型四：多边形对角线的条数问题 16．边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 17．若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（　　） A．14 B．28 C．24 D．20 18．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ． 19．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 20．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 题型五：对角线分成的三角形个数问题 21．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 22．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 23．课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”． （注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形） 如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（    ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 24．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 25．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式的值． 题型六：多边形内角和问题 26．如图所示，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 27．如图，在四边形中，和分别平分四边形的外角和，与相交于点G．设，． (1)如图1，若，求的度数; (2)如图1，若，试猜想α、β所满足的数量关系式，并说明理由； (3)如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 28．如图，在四边形中，，． (1)如图1，若，则________度； (2)如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数； (3)①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数； ②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系． 29．如图，，，，，求的度数． 30．如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，求的度数． 题型七：正多边形的内角和问题 31．用下面图形不能实现平面镶嵌的是（ ） A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 32．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 33．如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．    34．小丽参加学校社团活动，学习扎染技术时，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为 ． 35．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 题型八：多（少）算一个角问题 36．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 37．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是 ． 38．解决多边形问题： (1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？ (2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？ 39．请根据对话回答问题： (1)小明为什么说这个凸多边形的内角和不可能是？ (2)小敏求的是几边形的内角和？ 40．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍． (1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？ (2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？ 题型九：多边形截角后的内角和问题 41．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 42．一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 43．把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了，则这个多边形原来的边数为（    ） A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10 44．一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为，则原多边形有 条边； 45．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 题型十：正多边形的外角问题 46．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 47．将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（   ）    A． B． C． D． 48．如图，正边形纸片被撕掉一块，若与两边所在的直线相交所成的锐角为，则 ．    49．如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 ． 50．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 题型十一：多边形外角和的实际应用 51．如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 52．创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 53．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 54．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 55．求下列图中x的值． 题型十二：多边形内角和与外角和综合 56．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为 ．    57．计算： (1)已知一个多边形的内角和是，求这个多边形的边数； (2)如图，小明从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，……，如此反复下去，直到他第一次回到出发点，他所走的路径构成了一个正多边形，求小明一共走了多少米．    58．一个正多边形的一个内角与一个外角的差是，则这个多边形的内角和为 ． 59．已知一个多边形的每一个内角都比与它相邻外角的倍多． (1)求这个多边形的边数； (2)从这个多边形的一个顶点引对角线，最多可以引________条． 60．根据下列对话，回答问题： 宝宝：我把一个多边形的各内角相加，所得的和为； 贝贝：什么？不可能的！你错把一个外角当作内角了！ (1)多边形的内角和为，为什么不可能？ (2)宝宝求的是几边形的内角和？ 题型十三：平面镶嵌 61．下列正多边形的地板瓷砖中，使用两种不能密铺地面的是（       ） A．正十二边形和正方形 B．正五边形和正十边形 C．正八边形和正方形 D．正十二边形和正三角形 62．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间没有空隙、也不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列形状的瓷砖，不可以镶嵌平面的是（　　） A．正方形 B．长方形 C．正六边形 D．正八边形 63．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 64．在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园．现已购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多边形地砖搭配使用才能铺满地面，则购买的正多边形是（    ） A．正五边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 65．两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍． (1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数； (2)利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 多边形及其内角和（十三题型，65题） 目录 题型一：多边形截角后的边数问题 1 题型二：多边形的周长 4 题型三：网格中多边形面积比较 9 题型四：多边形对角线的条数问题 13 题型五：对角线分成的三角形个数问题 17 题型六：多边形内角和问题 20 题型七：正多边形的内角和问题 26 题型八：多（少）算一个角问题 31 题型九：多边形截角后的内角和问题 35 题型十：正多边形的外角问题 38 题型十一：多边形外角和的实际应用 41 题型十二：多边形内角和与外角和综合 44 题型十三：平面镶嵌 47 一、题型一：多边形截角后的边数问题 1．一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是 (    ) A．7 B．10 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据多边形内角和公式可得：(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度，可求得结果. 【详解】因为(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度 所以多边形边数n＝2520÷180+1＝15 故选D 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握公式是解题的关键. 2．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 3．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 4．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】十七边形，或十八边形，或十九边形 【分析】结合题意，根据多边形截角后边数的性质，分三种截下的方式分析，即可得到答案． 【详解】把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个十八边形，有三种截下的方式： 下图为多边形局部图，如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十七边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十八边形 如按下图所示沿虚线截下三角形： ∴原多边形纸片的边数是：十九边形 ∴原多边形纸片的边数可能是：十七边形，或十八边形，或十九边形 故答案为：十七边形，或十八边形，或十九边形． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形的性质，从而完成求解． 5．一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 二、题型二：多边形的周长 6．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 7．如图，将沿着方向平移得到，使得点为中点．若的周长是12，，则四边形的周长为（　　）    A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】根据平移性质，平移后图形形状大小不变，则，再由点为中点得到，则，结合的周长是12，即可得到四边形的周长． 【详解】解：将沿着方向平移得到， ，， 点为中点， ，则， 四边形的周长为 的周长是12， 四边形的周长为， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、中点定义及求三角形、四边形周长，数形结合，灵活运用平移性质是解决问题的关键． 8．如图，将四边形ABCD沿BD、AC剪开，得到四个全等的直角三角形，已知，OA＝4，OB＝3，AB＝5将这四个直角三角形拼为一个没有重叠和缝隙的四边形，则重新拼成的四边形的周长为 ． 【答案】20，22，26，28 【分析】以直角三角形边长相等的边为公共边，拼接四边形，再计算周长； 【详解】解：①如图周长=20； ②如图周长=22； ③如图周长=26； ④如图周长=28； ⑤如图周长=22； ∴四边形的周长为：20，22，26，28； 故答案为：20，22，26，28． 【点睛】本题考查了图形的拼接，四边形的周长；作出拼接图形是解题关键． 9．已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【答案】（1）20（2）不正确 【详解】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值. 试题解析：（1）a=60÷3=20； （2）此说法不正确． 理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b， 但可令a=b，得， ∴60n+420=67n， 解得n=60， 经检验n=60是方程的根． ∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60． 点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点. 10．如图，有3张卡片，用它们拼成各种形状不同的多边形（相同长度的边拼靠在一起，卡片不重叠）． (1)这些拼成的多边形的周长有哪几种不同的结果？ (2)这些结果中，最长的周长和最短的周长分别是多少？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)周长最大，最短，理由见解析 【分析】（1）画出图形可得结论； （2）根据（1）中结论结合，再判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形有四种情形，周长为：或或. （2）周长的最大值为，最小值为. 理由：由题意可得：， 因为，所以， 因为，所以， ∴， 周长的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查图形的拼剪，不等式的性质，长方形的性质，多边形的周长等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 三、题型三：网格中多边形面积比较 11．如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 12．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为 ； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据图形平移的性质分别找到平移前后对应的顶点位置，然后连线即可； （2）采用割补方法，利用矩形面积减去多余直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：通过观察，发现点向右移动格，向下移动格即可得到对应点，将点、按照同样的平移方式，即可分别得到对应点、，然后顺次连接即可得到如下三角形，    （2）解：由图像可得， 则三角形的面积为． 【点睛】本题考查了图像的平移，网格中三角形的面积计算，掌握网格中图像平移的性质并掌握网格中的面积计算是解题关键． 14．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，按要求进行下列作图． (1)将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，请画出经两次平移后得到的（其中点与点对应，点与点对应，点与点对应）； (2)连接和，则四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】（1）根据平移的性质即可将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，画出经两次平移后得到的△A1B1C1； （2）根据网格即可求出四边形ACC1A1的面积． 【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求； （2）解：∵AC＝CC1＝C1A1＝A1A， ∴四边形ACC1A1是菱形， ∴四边形ACC1A1的面积＝ 4×8＝16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． 15．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，ABC的顶点都在方格纸格点上． (1)将三角形ABC向左平移1格，请在图中画出平移后的； (2)将三角形ABC向上平移2格，请在图中画出平移后的； (3)的面积 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A， B， C的对应点A'， B'， C'即可； （2）利用平移变换的性质分别作出A， B， C的对应点A"， B"， C"即可； （3）利用三角形面积公式求解； 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求． （2）解：如图2所示，即为所求； （3）解：的面积为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，平行四边形的面积等知识，掌握平移变换的性质是解题的关键是． 四、题型四：多边形对角线的条数问题 16．边形所有对角线的条数有（     ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线条数的计算公式，根据即可求解过边形的一个顶点可以作条对角线，得到过个顶点可以作条对角线，但每条对角线重复一次， 由此可得为的一半，即可求解，掌握多边形的对角线计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以作条对角线， ∴过个顶点可以作条对角线， 但每条对角线重复一次， ∴边形所有对角线的条数有条， 故选：． 17．若一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线，则这个多边形对角线的总数为（　　） A．14 B．28 C．24 D．20 【答案】A 【分析】根据一个边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据边形对角线的总数为，即可求解． 【详解】解：根据题意，一个多边形从一个顶点出发可引4条对角线， 可知该多边形的边数为， ∴这个多边形对角线的总数为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题，熟练掌握边形的相关公式是解题关键． 18．若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式 ． 【答案】500 【分析】若过边形的一个顶点有7条对角线，则；边形没有对角线，只有三角形没有对角线，因而；边形有条对角线，即得到方程，解得；正边形的内角和与外角和相等，内角和与外角和相等的只有四边形，因而．代入解析式就可以求出代数式的值． 【详解】解：边形从一个顶点发出的对角线有条， ，，，； 则． 故答案为：500 【点睛】本题考查了多边形的性质，解题的关键是掌握边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条． 19．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图（1），、是五边形的对角线．思考下列问题： (1)如图（2），边形中，过顶点可以画 条对角线，它们分别是 ；过顶点可以画 条对角线，过顶点可以画 条对角线． (2)过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？过顶点的对角线与过顶点的对角线有相同的吗？ (3)在此基础上，你能发现边形的对角线条数的规律吗？ 【答案】(1)，，， (2)过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复） (3)边形的对角线条数的为 【分析】此题考查了多边形的对角线的知识． （1）过点和任意不相邻的两点连接可得出到一条对角线；同理可得过点、的情况． （2）过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）过每一点有条对角线，除去重复的即可得出总对角线的条数． 【详解】（1）解：过顶点可以画条对角线，它们分别是； 过顶点可以画条对角线， 过顶点可以画条对角线； 故答案为：，，，； （2）解：过点的和过点的没有重复的，但和过点的有重复的和重复）； （3）解：边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出条， 共有个顶点，应为条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． 即边形的对角线条数的为． 20．某数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律． (1)在图5中画出从点出发的所有对角线； (2)根据探究，整理得到下面表格： 多边形的边数 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数 1 2 3 4 5 …… 多边形对角线的总条数 2 5 9 14 20 …… ①表格中______，______；（用含n的代数式表示） ②拓展应用： 若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次，请计算总共要比赛多少场． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②场 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据表格信息寻求规律是解题的关键． （1）连接作图即可； （2）①根据所给数据规律解答即可； ②根据每班都需要和对手比赛一次，且一次比赛能满足2个班级的比赛需求列式运算即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：①，； ②（场）， 答：共需要比赛场． 五、题型五：对角线分成的三角形个数问题 21．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案 【详解】解：设这个多边形的边数是边形， 根据题意可得：， 解得：， 这个多边形的边数是7， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形． 22．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分为5个三角形，则这个多边形是（    ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 【答案】C 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可求出n的值，得到答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 由题意得：， 解得：， 即这个多边形是七边形， 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 23．课本上介绍了求多边形的内角和的方法：过边形的一个顶点作对角线，把边形分成个三角形，把求多边形的问题转化成三角形内角和的问题，从而得到边形的内角和等于．现在再提供一种添辅助线的方案，请将方案补充完整，并说明“边形的内角和等于”． （注：此为时的示意图，说明问题时注意多边形为n边形） 如图，P为n边形．内边上的任意一点（不与点，重合），连接，，…，，那么n边形被分成了（    ）个三角形，由此推理n边形的内角和定理． 【答案】 【分析】根据图形分别确定出四边形、五边形、六边形可以被分成的三角形的个数，然后归纳总结即可解答． 【详解】解：三角形时，,有2个三角形， 四边形时，有3个三角形， 五边形时，有4个三角形， …… n边形时，有个三角形． 故答案为． 【点睛】本题考查了多边形内角和，读懂题目信息并准确识图，准确计算出三角形的个数的变化规律是解题的关键． 24．某中学七年级数学课外兴趣小组在探究：“边形共有多少条对角线”这一问题时，设计了如下表格，请在表格中的横线上填上相应的结果： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 ______ ______ 多边形对角线的总条数 ______ ______ ______ 应用得到的结果解决以下问题： ①求十二边形有多少条对角线？ ②过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】填表： ；①54；②可以为，这个多边形的边数1014 【分析】根据题意求出相应数据，填表即可； ①由表格探求的边形对角线总条数公式：得出最终结果； ②从边形的一个顶点出发可引条对角线，这些对角线分多边形所得的三角形个数为，据此求解． 【详解】解：填表如下： 多边形的边数 从多边形的一个顶点出发 3 多边形对角线的总条数 5 9 故答案为：3，，， ； 把代入得，． 十二边形有条对角线． 能． 由题意得，23， 解得=1014． 多边形的边数n是正整数， 过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可以为，这个多边形的边数1014． 【点睛】本题考查边形对角线公式，过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数，掌握对角线数量形成的规律，熟练应用规律是解题关键． 25．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据题意，由多边形的性质：从边形的一个顶点出发能引出条对角线，能分成个三角形，分别求出，的值，再由正多边形的性质求出，然后代入式子即可求解． 【详解】解：因为从n边形的一个顶点出发共有4条对角线， 所以． 因为从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形， 所以． 因为正t边形的边长为6，周长为48， 所以， 所以代数式． 【点睛】本题主要考查了多边形的性质，理解并掌握多边形的相关性质是解题关键． 六、题型六：多边形内角和问题 26．如图所示，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，连接，根据四边形的内角和等于，可得，根据“8字形”的关系可得：，然后即可得解． 【详解】解：如图，连接，    则， 根据“8字形”数量关系，， 所以． 故选：C． 27．如图，在四边形中，和分别平分四边形的外角和，与相交于点G．设，． (1)如图1，若，求的度数; (2)如图1，若，试猜想α、β所满足的数量关系式，并说明理由； (3)如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的定义、平行线的判定等知识，用整体代换的思想是解本题的关键， （1）利用平角定义和四边形的内角和以及推导即可； （2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可． 【详解】（1）解：在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：． 理由：如图1，连接， 由（1）有，， ∵分别平分四边形的外角和， ， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：平行． 理由：如图2，延长交于H， 由（1）有，， ∵分别平分四边形的外角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．如图，在四边形中，，． (1)如图1，若，则________度； (2)如图2，若的平分线交于点，且，试求出的度数； (3)①如图3．若和的平分线交于点，试求出的度数； ②如图4，为五边形内一点：，分别平分，，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)65 (2) (3)①，②，理由见解析 【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据四边形内角和为，结合已知条件求解即可； （2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，进一步根据四边形内角和定理计算即可得出答案； （3）①先根据四边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出，由角平分线的定义得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （3）解：四边形中， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴； ②∵五边形的内角和为， ∴， ∵和的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴． 29．如图，，，，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质，多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意，延长和反向延长，得线段，可求出的度数，根据多边形的内角和定理可得多边形的内角和，由此即可求解． 【详解】解：如图所述，延长至点，延长至， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵五边形的内角和为，即， ∴ ， ∴的度数为． 30．如图，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，等量代换，四边形内角和，角平分线；设角等于 ；角的等量代换是解题的关键． 过点F作得，得；根据是 的角平分线，，根据四边形内角和为即可求出的角度． 【详解】解：如图，过作， ， ， 的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， 可设， ， 在四边形中，， 即，① 又， ，② 由①②可得，， 解得． 七、题型七：正多边形的内角和问题 31．用下面图形不能实现平面镶嵌的是（ ） A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面镶嵌、正多边形的内角和等知识点，熟练掌握平面镶嵌的条件是解题的关键． 先求出各个正多边形每个内角的度数，再结合平面图形镶嵌的条件逐项判断即可解答． 【详解】解：、等边三角形的每个内角的度数为，且是整数，则等边三角形能实施平面镶嵌，此项不符题意； 、正方形的每个内角的度数为，且是整数，正方形能实施平面镶嵌，此项不符题意； 、正五边形的每个内角的度数为，且，不是整数，正五边形不能实施平面镶嵌，此项符合题意； 、正六边形的每个内角的度数为，且是整数，正六边形能实施平面镶嵌，则此项不符题意． 故选：． 32．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．根据多边形的内角和公式，求出五边形内角的度数，再根据等腰三角形的性质求出和的度数，最后根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：因为正五边形的每个内角都相等，边长相等， 所以， ∵正五边形的每条边相等， ∴和是等腰三角形， ∴， ∴． ∴． 故选：B． 33．如图①是某创意图书馆设计的一款壁灯图案的设计图，象征着欣欣向荣，代表一种生机盎然的自然和谐美．图②是从图①图案中提取的图形，已知正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，则 °．    【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得，即可得． 【详解】解：如图，    由正八边形被分割成两个正方形和四个菱形，得： ， 得． 故答案为：． 34．小丽参加学校社团活动，学习扎染技术时，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了正多边形的内角和及外角，设这个正多边形的边数为，利用多边形的内角和公式求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握多边形的内角和公式及外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 由题意可得，， 解得， ∴这个正多边形的每个外角的度数为， 故答案为：． 35．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 【答案】（1）B；（2）正六边形；（3）；（4）①②或①④或②⑤（答案不唯一）；①②④或②④⑦；（5） 【分析】本题考查了平面图形的镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度． （1）将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，即得答案； （2）当时，正六边形的内角度数能整除，即得答案； （3）根据五边形的内角和等于，即可列方程，计算即得答案； （4）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案； （5）由题意列方程，化简方程即得答案． 【详解】（1）由题意，将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，这种做法体现的一种数学思想是转化思想； 故选B． （2）当一个内角度数能整除时，这样的正n边形就可以进行平面密铺， 为整数， 当时，， 除“正三角形”“正方形”外，正六边形可以进行平面密铺； 故答案为：正六边形． （3）根据五边形的内角和可知， ，， ， 解得； （4）若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺： 正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， 正三角形和正方形能密铺； 正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， ， 正三角形和正六边形能密铺； 正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是， ， 正方形和正八边形能密铺； 故答案为：①②或①④或②⑤．（答案不唯一） 若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，只有两种情形： ， 正三角形，正方形和正六边形能密铺； ， 正方形，正六边形和正十二边形能密铺； 故答案为：①②④或②④⑦． （5）由题意可得， ． 故答案为：． 八、题型八：多（少）算一个角问题 36．小明同学在用计算器计算某n边形的内角和时，不小心多输入一个内角，得到和为2018°，则n等于（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】多边形的内角和公式：，据此进行计算即可． 【详解】解：设多输入的内角为()，由题意得 ， 解得：， 为正整数， 当时， ； 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，掌握公式是解题的关键． 37．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是 ． 【答案】/度 【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【详解】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 38．解决多边形问题： (1)一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？ (2)小华在求一个多边形的内角和时，重复加了一个角的度数，计算结果是，这个多边形是几边形？ 【答案】(1)八边形 (2)八边形 【分析】（1）根据多边形的内角和公式、多边形的外角和等于建立方程，解方程即可得； （2）设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则，再根据多边形的内角和公式建立等式，结合建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：设这个多边形是边形， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形是八边形． （2）解：设这个多边形是边形，重复加的一个角的度数为，则， 由题意得：， 解得， 则，即， 解得， 为正整数， ， 答：这个多边形是八边形． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和、一元一次不等式组的应用，正确建立方程和不等式组是解题关键． 39．请根据对话回答问题： (1)小明为什么说这个凸多边形的内角和不可能是？ (2)小敏求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形 【分析】（1）由n边形的内角和公式，可知n边形的内角和一定是的整数倍，从而即可判断； （2）根据这个凸多边形的某一个内角的外角与其余内角的和为 列出方程，隐含着边数为正整数这个条件，即可求解． 【详解】（1）解：∵n边形的内角和是， ∴多边形的内角和一定是的整倍数． ∵ ， ∴多边形的内角和不可能为 ． （2）设小华求的是n边形的内角和，这个外角为 ，则． 根据题意，得 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵n为正整数， ∴， ∴小华求的是十三边形． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，熟记n边形的内角和为：是解题的关键． 40．小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍． (1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？ (2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？ 【答案】(1)12 (2)140°；十三边形 【分析】（1）设这个多边形的边数为n，多算的那个内角的度数为x°，则，根据题意可得，由此列出不等式求解即可； （2）设这个多边形的边数为m，漏算的那个角的度数为y°，则， 根据题意得，由此列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，多算的那个内角的度数为x°，则， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∵n为正整数， ∴n=12， ∴这个多项式的边数为12； （2）解：设这个多边形的边数为m，漏算的那个角的度数为y°，则， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∵m为正整数， ∴m=13， ∴这个多项式的边数为13； ∴漏算的那个角的度数为：． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，解一元一次不等式组，熟知多边形内角和公式是解题的关键． 九、题型九：多边形截角后的内角和问题 41．如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（    ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 42．一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及多边形截去一个角有三种情况，首先计算截取一个角后多边形的边数，然后分三种情况讨论，因为截取一个角可能会多出一个角，也可能角的个数不变，也可能少一个角，从而得出结果，解题的关键是掌握多边形的内角和及分类讨论思想． 【详解】解：设剪去一个角后的多边形边数为，根据题意得， ∴ 即得到的多边形是边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是边形； 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： 过多边形的一个顶点，则原来的是边形； 不过多边形的顶点，则原来的是边形， ∴原来多边形的边数可能是或或， 故选：． 43．把一个多边形剪掉一个角，它的内角和变成了，则这个多边形原来的边数为（    ） A．9 B．8或9 C．9或10 D．8或9或10 【答案】D 【分析】设这个多边形原来的边数为n，然后根据多边形的内角和公式进行分类讨论即可①当剪掉一个角后多一个角时，②当剪掉一个角后角的数量不变时，③当剪掉一个角后少一个角时． 【详解】解：设这个多边形原来的边数为n， ①当剪掉一个角后多一个角时，此时有条边， ， 解得：， ②当剪掉一个角后角的数量不变时，此时有n条边， ， 解得：， ③当剪掉一个角后少一个角时，此时有条边， ， 解得：， 综上：这个多边形原来的边数为8或9或10． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，以及多边形截取一个角可能多一个角，少一个角，角的数量不变 ． 44．一个多边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的内角和为，则原多边形有 条边； 【答案】15或16或17 【分析】本题考查多边形内角和公式，设新多边形有n条边，根据多边形内角和等于列方程，求出n的值，再根据截去一个角后边数的变化情况，分别讨论即可． 【详解】解：设新多边形有n条边， 由题意得， 解得， 分三种情况： 当截去一个角后，多边形的边数加1时，原多边形有15条边； 当截去一个角后，多边形的边数不变时，原多边形有16条边； 当截去一个角后，多边形的边数减1时，原多边形有17条边； 故答案为：15或16或17． 45．（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数． （2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数． 【答案】（1）13或14或15；（2）边数为14，内角为 【分析】本题考查多边形的内角和与切割问题： （1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可； （2）根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可． 【详解】解：（1）设新的多边形的边数为，由题意，得：， ∴， ∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，      故：原多边形的边数为13或14或15； （2）设多边形的边数为， ∵， ∴， ∴， ∴少算的内角的度数为， 故多边形的边数为14，少算的内角度数为． 十、题型十：正多边形的外角问题 46．佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 则， ∴， ∴这个正多边形的每个外角为， 故选：． 47．将一个正五边形与一个正六边形按如题图所示方式放置，顶点，，，在同一条直线上，为公共顶点，则等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角和以及邻补角的性质，三角形的内角和定理等知识．根据正多边形的外角和，分别得出，，根据邻补角的性质，分别得出，的度数，据此求解即可． 【详解】解：由正多边形外角和等于可得： ，， ， ， ∴． ∴． 故选：B． 48．如图，正边形纸片被撕掉一块，若与两边所在的直线相交所成的锐角为，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，先求出正多边形的外角度数，再用除以它即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长与两边所在的直线，两直线的夹角为，    由题意可得， ∵正多边形的每个外角相等， ∴， ∴， 故答案为：． 49．如图，正八边形的对角线，交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和外角，先求出，再根据正八边形的性质求出和，最后根据三角形的内角和即可求得． 【详解】解：∵八边形为正八边形， ∵， ∵正八边形的对角线， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：67.5． 50．一个正多边形的周长为60，边长为a，一个外角为b°． (1)若，求b的值； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正多边形，多边形的内角与外角， （1）根据正多边形的周长为，边长为，求得边数为，于是得到； （2）根据多边形的外角和等于，求得边数为，根据正多边形的周长为，边长为，于是得到结论． 【详解】（1）解：正多边形的周长为，边长为， 边数为， 一个外角为， ； （2）一个外角为，＝， ， 正多边形的周长为，边长为， ． 十一、题型十一：多边形外角和的实际应用 51．如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，直线相交于点，则， ∵正多边形的每个内角相等， ∴正多边形的每个外角也相等， ∴， ∴， 故选：． 52．创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形， 该正多边形的边数为：， 他需要走次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C． 53．将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键． 【详解】解：等边三角形的每个内角为， 正方形的每个内角为， 正五边形的每个内角为， 如图，    ∵的外角和等于， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 54．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为 ．（注：结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角和扇形的面积计算，求出2024边形的外角和，即阴影部分的圆心角的和等于，再根据圆的面积公式求出答案即可． 【详解】解：∵2024边形的外角和， ∴图中阴影部分的面积之和， 故答案为：． 55．求下列图中x的值． 【答案】图1中x的值为95，图2中x的值为60 【分析】根据五边形内角和与四边形外角和列方程求解即可． 【详解】在图1中，由五边形内角和可知， 解得：， 在图2中，由四边形外角和可知：， 解得：， 答：图1中x的值为95，图2中x的值为60． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记公式是解题的关键． 十二、题型十二：多边形内角和与外角和综合 56．如图，七边形中，，的延长线交于点，若，，，的外角和等于，则的度数为 ．    【答案】/40度 【分析】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于是解题的关键．根据题意计算，，，的度数之和，再计算五边形的内角和，即可求解． 【详解】解：，，，的外角和等于， ， 五边形的内角和为， ． 故答案为：． 57．计算： (1)已知一个多边形的内角和是，求这个多边形的边数； (2)如图，小明从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转，……，如此反复下去，直到他第一次回到出发点，他所走的路径构成了一个正多边形，求小明一共走了多少米．    【答案】(1)9 (2)120米 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，熟练掌握多边形的内角和和外角和公式是解此题的关键． （1）设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式列出方程，解方程即可得出答案； （2）先根据多边形的外角和求出边数，从而即可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， 根据题意：， 解得，， 答：这个多边形的边数为9； （2）解：所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，正多边形的外角和为 ，（米）； 答：小明一共走了120米． 58．一个正多边形的一个内角与一个外角的差是，则这个多边形的内角和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角与外角的关系，设外角的度数是，则内角的度数是，由题意得，解出，然后求出边数即可求解，掌握其计算公式是解题的关键． 【详解】设外角的度数是，则内角的度数是， 由题意得：， 解得， ∴该正多边形边数为， ∴正多边形的内角和为， 故答案为：． 59．已知一个多边形的每一个内角都比与它相邻外角的倍多． (1)求这个多边形的边数； (2)从这个多边形的一个顶点引对角线，最多可以引________条． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题意可判断该多边形为正多边形，设该多边形的每一个外角为，根据题意列出一元一次方程并求解得到该正多边形每一个外角的度数，根据多边形外角和公式即可求得该正多边形的边数； （）再根据多边形对角线条数公式即可求出该正多边形的对角线条数； 本题考查多边形的外角，多边形的对角线条数，熟练掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】（1）解：∵多边形的每一个内角都比与它相邻的外角的倍多， ∴该多边形为正多边形， 设该多边形的每一个外角为，则该多边形的每一个内角是， 根据题意可得， 解得， ∴该正多边形的边数为； （2）由（）得：该正多边形的边数为， ∴这个多边形的一个顶点引对角线，最多可以引（条）， 故答案为：． 60．根据下列对话，回答问题： 宝宝：我把一个多边形的各内角相加，所得的和为； 贝贝：什么？不可能的！你错把一个外角当作内角了！ (1)多边形的内角和为，为什么不可能？ (2)宝宝求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形或十四边形 【分析】本题主要考查了多边形的外角和内角，解题关键是熟练掌握多边形内角和定理． （1）设边为n，根据多边形内角和定理列出方程，求出n，再由边数为正整数，进行解答即可； （2）设应加的内角为x，多加的外角为y，边数为m，根据多边形内角和定理列出不等式，求出的取值范围，从而求出m的取值范围解答即可． 【详解】（1）解：不可能，理由如下： 设多边形的边数为n，由题意得：， 解得： ∵多边形的边数n为正整数， ∴多边形的内角和不可能为； （2）解：∵设应加的内角为x度，多加的外角为y度，多边形的边数为m， 由题意得：， ∵， ∴， ∵m为正整数， ∴m为13或14， ∴宝宝求的是十三边形或十四边形的内角和． 十三、题型十三：平面镶嵌 61．下列正多边形的地板瓷砖中，使用两种不能密铺地面的是（       ） A．正十二边形和正方形 B．正五边形和正十边形 C．正八边形和正方形 D．正十二边形和正三角形 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的密铺，解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角，及能够用两种正多边形镶嵌的几个组正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满． 【详解】解：A、正十二边形和正方形内角分别为和，显然不能构成的周角，故不能铺满，符合题意． B、正五边形、正十边形内角分别为、，由于，故能铺满，不符合题意； C、正八边形和正方形内角分别为、，由于，故能铺满，不符合题意； D、正十二边形和三角形内角分别为、，由于，故能铺满，不符合题意． 故选：A． 62．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间没有空隙、也不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．下列形状的瓷砖，不可以镶嵌平面的是（　　） A．正方形 B．长方形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可． 【详解】A、正方形每个内角的度数为，，所以正方形可以镶嵌平面,故该选项不符合题意； B、长方形每个内角的度数为，，所以长方形可以镶嵌平面,故该选项不符合题意； C、正六边形的每个内角的度数为，，所以正六边形可以镶嵌平面,故该选项不符合题意； D、正八边形的每个内角的度数为，，所以正六边形不可以镶嵌平面,故该选项符合题意． 故选：D． 63．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查密铺、正多边形的内角度数，根据“密铺图形的公共顶点处的角的度数和为”逐项判断即可． 【详解】解：观察可知“半正密铺”图案记号，则表示由一个正方形和两个正八边形组成的； A．是由一个正三角形、两个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正十二边形的每一个内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； B．是由一个正三角形、两个正方形和一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正六边形的内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； C．是由两个正三角形、一个正方形、一个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正十二边形的每一个内角为：， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； D．是由三个正三角形、一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正六边形的内角为： ， ，不能表示“半正密铺”图案，符合题意； 故选D． 64．在乡村振兴建设中，某村欲利用两种边长相等的正多边形地砖来铺设地面，美化公园．现已购买了一部分正方形地砖，还需购买另一种正多边形地砖搭配使用才能铺满地面，则购买的正多边形是（    ） A．正五边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【答案】C 【分析】本题考查平面镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，任意几种多边形能否进行镶嵌，看它们能否组成的角．分别各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】解：A、正五边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； B、正七边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； C、正八边形每个内角是，，能密铺，符合题意． D、正九边形每个内角是，与无论怎样也不能组成的角，不能密铺，不符合题意； 故选：C 65．两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍． (1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数； (2)利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值． 【答案】(1)多边形A的边数是8，多边形B的边数是4 (2)3或4或5 【分析】本题考查了多边形内角和公式，正多边形的镶嵌，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键； （1）设多边形B的边数为n，多边形A的边数为，根据多边形内角和公式即可列方程求解； （2）根据平面图形能够密铺应具备的条件：如果正多边形的内角度数的整数倍是即可解答． 【详解】（1）解：设多边形B的边数为n，多边形A的边数为， 则， 解得：，． 则多边形A的边数是8，多边形B的边数是4． （2）多边形A的边数是多边形B的边数的2倍， 能够镶嵌的正多边形A和正多边形B只能是正六边形和正三角形组合， 或正八边形和正方形组合． 若是正六边形和正三角形组合，则，或，，则或5； 若是正八边形和正方形组合，则，，则． 所以，的值为3或4或5． 14 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$