专题1.1 集合（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（全国通用）

专题1.1 集合 【考纲要求】 1. 理解集合的概念及其表示，理解元素与集合的关系及集合间的关系；掌握集合的表示方法. 2. 掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 4.常用结论: (1)①A∩B⊆A； ②A∩B⊆B； ③A∩A＝A； ④A∩∅＝∅； ⑤A∩B＝B∩A. (2)①A∪B⊇A; ②A∪B⊇B； ③A∪A＝A； ④A∪∅＝A； ⑤A∪B＝B∪A. (3)①∁U(∁UA)＝A； ②∁UU＝∅； ③∁U∅＝U； ④A∩(∁UA)＝∅； ⑤A∪(∁UA)＝U. (4)①A∩B＝A⇔A⊆B ⇔A∪B＝B； ②A∩B＝A∪B⇔A＝B. 考点一：集合的基本概念 【例1】下列说法正确的是（       ） A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合 C．集合和表示同一个集合 D．这六个数能组成一个集合 【变式探究】下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 【例2】已知集合，若，则（       ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【变式探究】若，则实数的值等于（       ） A． B．3 C． D．3或 【例3】用列举法表示集合 . 【变式探究】集合用列举法可以表示为（       ） A． B． C． D． 集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错． 考点二：集合间的基本关系 【例1】下列各式中关系符号运用正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】已知集合，则的子集个数为（       ） A．3 B． C．7 D．8 【变式探究】集合，，则集合的真子集的个数为（       ） A．8 B．6 C．7 D．15 【例3】已知集合，集合，若，则实数m的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】设集合，若，则的值为 ． （1）用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合； （2）含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性； （3）若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2． 考点三：集合的基本运算 【例1】已知全集，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知集合，，，则集合（       ） A． B． C． D． 【例3】某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 . 【变式探究】学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为 . 在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍． 考点四：利用集合的运算求参数 【例1】设或，，若，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．或 【变式探究】设集合，，全集，，则m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【例2】已知集合或，，，求的取值范围. 【变式探究】已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围 【例3】已知集合. （1）求，； （2），求实数m的取值范围. 【变式探究】已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合 【考纲要求】 1. 理解集合的概念及其表示，理解元素与集合的关系及集合间的关系；掌握集合的表示方法. 2. 掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 4.常用结论: (1)①A∩B⊆A； ②A∩B⊆B； ③A∩A＝A； ④A∩∅＝∅； ⑤A∩B＝B∩A. (2)①A∪B⊇A; ②A∪B⊇B； ③A∪A＝A； ④A∪∅＝A； ⑤A∪B＝B∪A. (3)①∁U(∁UA)＝A； ②∁UU＝∅； ③∁U∅＝U； ④A∩(∁UA)＝∅； ⑤A∪(∁UA)＝U. (4)①A∩B＝A⇔A⊆B ⇔A∪B＝B； ②A∩B＝A∪B⇔A＝B. 考点一：集合的基本概念 【例1】下列说法正确的是（       ） A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合 C．集合和表示同一个集合 D．这六个数能组成一个集合 【答案】C 【解析】A：某个村子里的高个子，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误； B：所有小正数，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误； C：和中的元素相同，它们是同一个集合，正确； D：中含有相同的数，不符合集合元素的互异性，错误， 故选：C. 【变式探究】下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 【答案】C 【解析】对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确； 对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确； 对于③，根据集合元素的互异性，知③错误； 对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确. 综上可得只有②正确， 故选：C. 【例2】已知集合，若，则（       ） A．-1 B．0 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以或， 而无实数解，所以， 故选：C. 【变式探究】若，则实数的值等于（       ） A． B．3 C． D．3或 【答案】A 【解析】当时，，不满足集合中元素的互异性； 当时，即或（舍），此时， 故选：A. 【例3】用列举法表示集合 . 【答案】 【解析】因为，，而6的正的约数有1，2，3，6， 所以用列举法表示该集合为：， 故答案为：. 【变式探究】集合用列举法可以表示为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，可得， 因为，所以，集合， 故选：B. 集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错． 考点二：集合间的基本关系 【例1】下列各式中关系符号运用正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误； 根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误； 根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误； 选项C正确， 故选：C. 【变式探究】下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误； ②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确； ③空集是任意集合的子集，故，正确； ④空集没有任何元素，故，错误； ⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误； ⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误； ∴②③正确， 故选：B. 【例2】已知集合，则的子集个数为（       ） A．3 B． C．7 D．8 【答案】B 【解析】由题意得：，则的子集个数为个， 故选：B. 【变式探究】集合，，则集合的真子集的个数为（       ） A．8 B．6 C．7 D．15 【答案】C 【解析】，集合的真子集的个数为个， 故选：C. 【例3】已知集合，集合，若，则实数m的取值集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则，符合，排除B，D两个选项. 若，则，符合，排除A选项， 故选：C. 【变式探究】设集合，若，则的值为 ． 【答案】 【解析】由集合M知，，则且， 因，，于是得， 解得，所以的值为， 故答案为：． （1）用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合； （2）含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性； （3）若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2． 考点三：集合的基本运算 【例1】已知全集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得全集，若，则， 故选：C. 【变式探究】设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，， 故选：D. 【例2】设集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解不等式得：，即有， 而，所以， 故选：C. 【变式探究】已知集合，，，则集合（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，∴， ∵，， ∴.∴. 故选：C. 【例3】某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 . 【答案】23 【解析】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛， 20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛， 所以参加田赛和径赛的同学共有人， 综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为人， 故答案为：23． 【变式探究】学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为 . 【答案】 【解析】设参加羽毛球赛为集合，参加乒乓球赛为集合， 依题意可得如下韦恩图： 所以该班一共有人， 故答案为：. 在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍． 考点四：利用集合的运算求参数 【例1】设或，，若，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】如图，由数轴可得，解得， 故选：A. 【变式探究】设集合，，全集，，则m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，所以， 因为，所以，解得， 故选：C． 【例2】已知集合或，，，求的取值范围. 【答案】 【解析】解：因为集合或，，， 所以，解得， 即实数的取值范围是：． 【变式探究】已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2). 【解析】解：(1)当时，， ； (2)由，则有：， 解得：，即， 实数的取值范围为． 【例3】已知集合. （1）求，； （2），求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解析】解：（1）由已知得； ∵，∴； （2）∵，∴， 当集合时，，即； 当集合时，，即， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式探究】已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【解析】解：（1）当时， ，， 故. （2）由知， ①当时，. ②当时，. 综上. 在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$