专题01 二次函数与反比例函数（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题01二次函数与反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据二次函数与反比例函数求参 【解惑】抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 【融会贯通】 1．已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 2．若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 3．已知关于x的反比例函数，则 ． 类型二、二次函数的图象与各项系数关系 【解惑】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 （将所有正确结论的序号都填上）． 3．函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是 ． 类型三、根据二次函数与反比例函数对称性求解 【解惑】已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（    ） … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．当时， D．若，是图象上两点，则 【融会贯通】 1．在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 3．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 类型四、反比例函数“k”的几何意义 【解惑】在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点是轴上任意一点，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 3．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ． 类型五、求y=ax²+bx+c的最值 【解惑】已知二次函数（，为常数）的最小值为，则有（    ） A．最大值，最大值为 B．最小值，最小值为 C．最大值，最大值为 D．最小值，最小值为 【融会贯通】 1．已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是（    ） A．7 B．4 C．6 D．3 2．若实数x，y满足关系式，且，则t的取值范围为 ． 3．已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 类型六、二次函数的应用——喷水问题 【解惑】某公园有一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离x米和对应的竖直高度y米， 整理如下： 水平距离x（米） 1 2 3 4 5 竖直距离y（米） 5 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线；猜想y与x之间满足我们学过的哪类函数关系，并求y与x之间的函数表达式； (2)此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的位置）向左平移了1米，求喷水管需要向下平移多少米? 【融会贯通】 1．要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为处达到最高，且最高为，水柱落地处离广场中央，建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)求水管的长度； (3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？ 2．某幢建筑物，从米高的窗口用水管向外喷水（米），喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点离墙米，离地面米，求水流落地点到墙的距离． 3．2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过． (1)求“过水门”水柱抛物线的解析式； (2)飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？ 类型七、二次函数的应用——拱桥问题 【解惑】图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 【融会贯通】 1．“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 2．悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求主索抛物线的函数表达式； (2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 3．在郑州北四环外的惠济桥村，藏着一座郑州最古老的石拱桥，据史书记载和考古证实，惠济桥已有1000多年的历史，始建于隋唐，延续至宋元，历代多次重修，现存石桥为明代建筑，作为南唐大运河上的一座著名石桥，惠济桥既是隋唐大运河通济渠上的珍贵遗存，也是古城郑州千年变迁的重要见证．如图，惠济桥的中间桥拱截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到水面的距离为． (1)求抛物线的解析式． (2)为方便通行船只，在距离水面高处的地物线桥拱处设置一台照明灯，求这台照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离． (3)现有一艘小船高，宽，这艘小船能否通过该拱桥？通过计算说明你的结论． 类型八、二次函数的应用——销售问题 【解惑】“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 【融会贯通】 1．普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 2．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：某超市购进了蓝花楹创意雪糕，进价为每支8元，在销售过程中发现销售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数），当每支创意雪糕的售价为9元时，每天的销售量为105支：当每支创意雪糕的售价是11元时，每天的销售量为95支． (1)求与之间的函数关系式： (2)设该商店销售该创意雪糕每天获利（元），当每支创意雪糕的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？ 3．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：    (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 类型九、二次函数的应用——图形问题 【解惑】如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？ 【融会贯通】 1．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为，门宽是，若设这块场地的宽为． (1)求场地的面积与之间的函数关系式； (2)写出自变量的取值范围． 2．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 3．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为． (1)分别求出y与x，s与x的函数解析式； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ (3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 类型十、反比例函数实际问题 【解惑】汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 【融会贯通】 1．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这一函数的表达式； (2)当气体压强为时，求V的值． 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)这个反比例函数的解析式是______； (2)若使用时电阻，则电流是______； (3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 3．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【一览众山小】 1．一次函数和反比例函数在同一平面直角系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 4．如图，点A是反比例函数的图像上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为 ． 5．在反比例函数的图象上有，，三点，若，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 6．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式的解集为 ． 7．“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 8．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的纵坐标为4，轴于点C，连接．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是反比例函数图象上的一点，且满足的面积是的面积的2倍，请直接写出点的坐标． 9．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 10．如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数与反比例函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据二次函数与反比例函数求参 【解惑】抛物线经过原点，那么a的值等于（    ） A．0 B．1 C． D．35 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴，解得：， 故选C． 【融会贯通】 1．已知反比例函数的图象在第一、三象限内，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意，，且，计算即可，本题考查了反比例函数的定义及其图象分布，熟练掌握分布条件及其定义是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内， ∴，且， ∴，且， ∴， 故选：C． 2．若函数是关于的二次函数．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式，是解题的关键． 根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得：． 故答案为： 3．已知关于x的反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数，形如的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义得到，，即可求得m的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，， ∴， 故答案为： 类型二、二次函数的图象与各项系数关系 【解惑】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①  ②（m为任意实数）  ③ ④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时， 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即故④不正确 正确的有②③ 故选：B 【融会贯通】 1．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可. 【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点， ，. ， . .故①错误； 对称轴是直线，点和点都在抛物线上， 而， .故②错误； 当时，， 当时，函数取最大值， ∴对于任意实数有： ， ∴，故③正确； ， . 当时，， . ，即， 故④正确. 综上所述，正确的有③④. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点. 2．如图，二次函数的图象与x轴交于点，其中．下列四个结论：①，②，③，④．其中正确结论的序号是 （将所有正确结论的序号都填上）． 【答案】 【分析】本题考主要查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据抛物线开口向上,抛物线对称轴,抛物线与y轴的交点可判断①正确；根据图象与x轴交于两点和对称轴的位置可判断②错误；当时，y的值为结合对称轴可判断③错误；根据对称轴；可得，变形可判断④正确. 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ②有函数图像可得当时，，即，故②正确； ③当时，y的值为， 给乘以4，可得， ∵图象与x轴交于两点，其中， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴在， ∴关于对称轴对称点的横坐标在和之间， 由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值， ∴与0的关系不能确定，故③错误； ④∵， ∴． 故答案：①②④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 3．函数（a、b、c为常数，）与的图象如图所示，给出下面4个结论： ①； ②； ③； ④当时，． 上述结论中、所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定. 由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与y轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴无交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】①由图象可知：抛物线与轴无交点，即 故此选项正确； ②由图象可知：抛物线过点，即当时, 故此选项错误； ③由图象可知：二次函数抛物线的图象过点和， 当时, 当 时, ， ， 故③正确； ④由图象可知，当 时，抛物线在直线的下方, 即当时, ， 故此选项正确； 故答案为: ①③④. 类型三、根据二次函数与反比例函数对称性求解 【解惑】已知二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（    ） … 0 2 3 4 … … 5 0 0 … A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．当时， D．若，是图象上两点，则 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象与性质，利用抛物线的对称性得出抛物线的对称轴是直线，即可判断B，利用当时，即可判断A；由表格可得：当时，即可判断C，由，是图象上两点，则即可判断D． 【详解】解：抛物线经过点，， 抛物线的对称轴是直线，故B正确，不符合题意； 当时，， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 由表格可得：当时，，故C正确，不符合题意； 若，是图象上两点，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：由题意可知点与关于原点对称，点A的坐标为， 点的坐标为． 故选：． 2．如图，抛物线与轴相交于点、与轴相交于点，点在该抛物线上，点的坐标为，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意得出，从而得出抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，根据对称性得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，则， 解得：， 点的横坐标是， 故答案为：． 3．已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键． 设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 【详解】解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， 解得：， 故答案为∶1． 类型四、反比例函数“k”的几何意义 【解惑】在平面直角坐标系中，反比例函数和反比例函数的图象如图所示，一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数比例系数k的几何意义，根据题意得，从而可得结论． 【详解】解：如图，与x轴交于点C， 由图可知，， ，， ， 故选B． 【融会贯通】 1．如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点是轴上任意一点，，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数中的几何意义，过作轴于，连接，如图所示，即可得到，从而得到答案，熟记反比例函数中的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：过作轴于，连接、，如图所示： 过点作轴的垂线交轴于点， ，解得， 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于，作轴于，则，由点，的坐标分别为，得，，，然后证明得，求出，则，故有点坐标为，求出反比例函数解析式，再求出，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，连接, 作轴于, 轴于,则，根据题意求得,由，即可得出 ，解方程求得m的值，从而求得 ． 【详解】连接, 作轴于, 轴于,则， ∴， ∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点, ∴关于原点对称， ， ， 设, ， ， ∴， ，即 ， 解得，（舍去） ， 故答案为:． 类型五、求y=ax²+bx+c的最值 【解惑】已知二次函数（，为常数）的最小值为，则有（    ） A．最大值，最大值为 B．最小值，最小值为 C．最大值，最大值为 D．最小值，最小值为 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象及性质，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数最值的求法． 先根据二次函数有最小值推出、关系式，代入后再根据二次函数性质及最值求法即可得解． 【详解】解：中有最值， 则二次函数中有最小值， 即， ， ， 根据二次函数性质可得有最小值，且最小值为． 故选：． 【融会贯通】 1．已知实数a，b满足且，则代数式的最小值是（    ） A．7 B．4 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数求最值，根据题意用含的代数式表示，将代数式转化为只含的代数式，配方后，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； ∵， ∴当时，的值最小为； 故选B． 2．若实数x，y满足关系式，且，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，根据题意得到是解题的关键． 由实数，满足关系式，且，得出，由，求得，利用二次函数的性质即可得出． 【详解】解：实数，满足关系式，且， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．已知二次函数，当时，函数的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．根据二次函数的图象，结合当时函数图象的增减情况，即可解决问题． 【详解】解：由二次函数的表达式为可知， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数取得最小值，且， 则当时，， 当时，， ∴在中，函数的最大值为， 故答案为：． 类型六、二次函数的应用——喷水问题 【解惑】某公园有一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离x米和对应的竖直高度y米， 整理如下： 水平距离x（米） 1 2 3 4 5 竖直距离y（米） 5 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线；猜想y与x之间满足我们学过的哪类函数关系，并求y与x之间的函数表达式； (2)此喷水管可以上下调节，喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的位置）向左平移了1米，求喷水管需要向下平移多少米? 【答案】(1)画图见解析，y与x满足二次函数关系，抛物线的表达式为 (2)喷水管需要向下平移米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，二次函数作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法． （1）先描点、然后连线，作出函数图象；用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出原抛物线的落水点为，根据题意得出新抛物线的落水点为，即，设喷水管需要向下平移h米，得出新抛物线的表达式为， 将代入求出结果即可． 【详解】（1）解：描点、连线如图； 猜想y与x满足二次函数关系； 设y与x之间的函数表达式为， 观察图象可知，顶点坐标为，代入得， 将代入，，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：抛物线与x轴相交，令，即：． 解得：， （不合题意，舍去）， ∴原抛物线的落水点为， ∴新抛物线的落水点为，即， 设喷水管需要向下平移h米， 则新抛物线的表达式为， 将代入得，， 解得：， 答：喷水管需要向下平移米． 【融会贯通】 1．要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为处达到最高，且最高为，水柱落地处离广场中央，建立如图所示的直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)求水管的长度； (3)当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？ 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是： （1）根据题意和函数图象可以求得该抛物线的解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可解答本题； （3）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，再根据，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：设， 点在此抛物线上， ，得， 即抛物线的解析式为； （2）当时，， 答：水管的长度是； （3）当时， ， 解得，，（舍去）， 当，才不会淋湿衣裳． 2．某幢建筑物，从米高的窗口用水管向外喷水（米），喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点离墙米，离地面米，求水流落地点到墙的距离． 【答案】水流落地点到墙的距离为米 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，理解题意，确定二次函数的顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，运用待定系数法即可求解，掌握运用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 令，得，， ∴， ∴水流落地点B到墙的距离OB为5米． 3．2023年11月23日，第十批搭载着25位在韩中国人民志愿军烈士遗骸及相关遗物的空军专机运飞机从韩国仁川起飞，进入中国领空后，空军两架歼战斗机护航，向志愿军烈士致以崇高敬意．11时32分，专机缓缓降落在桃仙国际机场，机场以“过水门”最高礼遇迎接志愿军烈士回家，如图①，在这次“过水门”仪式中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的一条抛物线的一部分．如图②，两辆消防车喷水口A，B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点F处相遇，此时相遇点F距地面20米，喷水口A，B距地面均为4米，飞机从水柱抛物线的正下方经过． (1)求“过水门”水柱抛物线的解析式； (2)飞机的尾翼长16米，当飞机尾翼刚好经过水柱正下方时，尾翼与抛物线的最高点的距离为1米，求此时尾翼右端（如图所示）与水柱的水平距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． （1）由题意得，，设抛物线解析式为，把点坐标代入解析式求出即可； (2)根据题意求出，令，解方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：由题意得米， ， 米， ∴，， 设抛物线解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴过水门”水柱抛物线的解析式； （2）解：∵米，米， ∴米， 当时，， 解得， ∴米, ∵米, ∴米, ∴(米)。 即尾翼右端 (如图所示) 与水柱的水平距离为米． 类型七、二次函数的应用——拱桥问题 【解惑】图1是城市人行天桥的效果图，天桥顶部由四段完全相同的抛物线形钢架构成．可以把天桥单侧的两段钢架抽象成如图2所示两段抛物线，并建立如图平面直角坐标系．已知天桥总长50米，并在人行道两侧各均匀分布着6根钢柱，其中 米， 米．          (1)如果抛物线经过原点O，顶点刚好落在点F．求该抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下求单侧6根钢柱的总长度； (3)现需要修改钢架结构，将抛物线顶点移到EF右侧，到EF水平距离为1米，且使抛物线经过点 F，与钢柱AB有交点，求此时顶点的纵坐标k的取值范围． 【答案】(1) (2)米 (3) 【分析】对于（1），解： 由顶点F的坐标设顶点式，再将代入得出关系式即可； 对于（2），由题意可得米，将代入关系式，再结合题意求出答案； 对于（3），由题意可知顶点坐标为设顶点式，将点代入用含有k的代数式表示a，再根据抛物线与钢柱有交点得出不等式，进而求出范围． 【详解】（1）解： 由题意可得顶点F的坐标是． 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点O， ∴将代入得，，解得， ∴； （2）解： 由题意可得米， 将代入， 解得， ∴6根钢柱总长 (米)； （3）解：由题意设修改钢架后抛物线顶点坐标为． ∴抛物线解析式为. ∵抛物线经过点， ∴， 解得． 当时，． ∵抛物线与钢柱有交点， ∴． 将代入， 可得，， ∴， ∴． 【点睛】这是一道关于二次函数的应用题目，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，二次函数与不等式，求二次函数值等，求出二次函数的关系式是解题的关键． 【融会贯通】 1．“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【答案】(1)； (2)支柱的长度是米； (3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）根据题目可知．，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设点的坐标为可求出支柱的长度； （3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，作垂直交抛物线于，求出则可求解． 【详解】（1）解：根据题目条件，、、的坐标分别是、、． 将、的坐标代入，得 解得，． 所以抛物线的表达式是； （2）解：可设，于是． 从而支柱的长度是米； （3）解：设是隔离带的宽，是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则点坐标是， 过点作垂直交抛物线于，则， 根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车． 2．悬索桥又名吊桥，其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线．如图1是某段悬索桥的图片，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点P，点P距离桥面为，如图2，以的中点为原点O，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求主索抛物线的函数表达式； (2)距离点P水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】(1)主索抛物线的函数表达式为 (2)四根吊索的总长度为 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）设抛物线的表达式为，根据待定系数法求解即可； （2）将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）由图可知，点C的坐标为． 设该抛物线的函数表达式为． 又点P坐标为， ，     ， ∴主索抛物线的函数表达式为； （2）由题意，当时，， 此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． 当时，，此时吊索的长度为． 由抛物线的对称性得，当时，此时吊索的长度也为． ， ∴四根吊索的总长度为 3．在郑州北四环外的惠济桥村，藏着一座郑州最古老的石拱桥，据史书记载和考古证实，惠济桥已有1000多年的历史，始建于隋唐，延续至宋元，历代多次重修，现存石桥为明代建筑，作为南唐大运河上的一座著名石桥，惠济桥既是隋唐大运河通济渠上的珍贵遗存，也是古城郑州千年变迁的重要见证．如图，惠济桥的中间桥拱截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到水面的距离为． (1)求抛物线的解析式． (2)为方便通行船只，在距离水面高处的地物线桥拱处设置一台照明灯，求这台照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离． (3)现有一艘小船高，宽，这艘小船能否通过该拱桥？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)距离水面高处照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离是 (3)这艘小船能通过该拱桥 【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，运用待定系数法求二次函数的解析式以及由函数值求自变量的值的运用． （1）抛物线的解析式为，根据D点的坐标由待定系数法就可以求出结论； （2）当时代入(1)的解析式，求出x的值即可求出结论． （3）方法同(2)，把 时代入(1)的解析式，，求出x的值，进一步求出的值，最后用和比较大小即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得， 抛物线的解析式为 （2）在中， 令， 得， 解得， 距离水面高处照明灯距离桥拱的中轴线（y轴）的距离是 （3）这艘小船能通过该拱桥．理由如下： 在中， 令， 得， 解得， ， ， 这艘小船能通过该拱桥． 类型八、二次函数的应用——销售问题 【解惑】“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为元，该店每天固定支出费用为元（不含套餐成本）．若每份售价不超过元，每天可销售份；若每份售价超过元，每提高元，每天的销售量就减少份．为了便于结算，每份套餐的售价（元）取整数，用（元）表示该店日纯收入．该店既要吸引顾客，使每天的销售量较大，又要有较高的日纯收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少？ 【答案】每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 【分析】分类讨论，当售价（元）时，计算出最高日收入；当售价（元）时，列出二次函数，并判断二次函数的最大值，由此即可求解． 【详解】解：当售价（元）时，该店日纯收入为，当时，日纯收入为元； 当售价（元）时，该店日纯收入为， ∴二次函数的图像在平面直角坐标系中，开口向下，有最大值， ∴， 售价（元）取整数， 则售价或元时，日销售量最大， 要吸引顾客，销售量较大， ∴售价为元时，最大利润为元， ∴每份套餐的售价应定为元，此时日纯收入为元． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，分析题目中的数量关系，列出函数表达式，掌握二次函数的知识是解题的关键． 【融会贯通】 1．普洱茶是中国十大名茶之一，也是中华古老文明中的一颗瑰宝．某公司经销某种品牌普洱茶，每千克成本为50元．经市场调查发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示， 销售单价x（元/千克） 56 65 75 销售量y（千克） 128 110 90 解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）求这一周销售这种品牌普洱茶获得的利润W元的最大值； （3）物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克，公司想获得不低于2000元周利润，请计算销售单价范围． 【答案】（1）；（2）2450元；（3） 【分析】（1）根据每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，设y与x的函数关系式为，用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况． （3）求得W=2000时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥2000时x的取值范围，继而根据“单价不得高于90元/千克”，得出答案． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为，把和分别代入得： 解得：． ∴y与x的关系式为； （2）由题意知：， ∴W与x的关系式为：， ∴， ∴当时，在内，W的值最大为2450元 （3）若公司想获得不低于2000元周利润，则， 解得，所以当时，， 又∵物价部门规定茶叶销售单价不得高于90元/千克， ∴销售单价范围为：． 【点睛】本题考查了二次函数和二次函数的实际应用．根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出函数关系式，再运用二次函数性质解决问题是解题的关键． 2．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：某超市购进了蓝花楹创意雪糕，进价为每支8元，在销售过程中发现销售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数），当每支创意雪糕的售价为9元时，每天的销售量为105支：当每支创意雪糕的售价是11元时，每天的销售量为95支． (1)求与之间的函数关系式： (2)设该商店销售该创意雪糕每天获利（元），当每支创意雪糕的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元． 【分析】本题主要考查可用待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用等知识． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）利用每天的利润每支雪糕的利润每天的销量，即可得出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系为： 将，代入可得： 解得：， 故y与x之间的函数关系式为． （2）根据题意有： ∵，且x为整数， ∴当时，w有最大值，最大值为605， 答：当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元． 3．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请结合图象回答下列问题：    (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1)， (2)当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）利润为，则，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意得：代入得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，，解得：， ∴自变量的取值范围为：． （2）解：设利润为， 则， ∴当时，， 答：当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元． 类型九、二次函数的应用——图形问题 【解惑】如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？ 【答案】（1）y=-2x+4x+16；（2）2米 【分析】（1）若BE的长为x米，则改造后矩形的宽为米，长为米，求矩形面积即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）∵BE边长为x米， ∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x     苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x) 则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=-2x+4x+16 （2）依题意，令y=16  即-2x+4x+16=16 解得：x=0(舍）x=2 答：此时BE的长为2米． 【点睛】本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键． 【融会贯通】 1．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为，门宽是，若设这块场地的宽为． (1)求场地的面积与之间的函数关系式； (2)写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据矩形的面积列出关系式； （2）根据边长大于，宽大于门宽，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）由题意得； （2）， ， 又门宽是， ， ． 2．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)； (2)能， (3)的最大值为800，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 3．如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为，设矩形场地的长为， 宽为， 面积为． (1)分别求出y与x，s与x的函数解析式； (2)当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ (3)若购买的篱笆总长增加，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，矩形场地的总面积最大，最大为； (3)矩形场地的最大总面积不能达到，理由见解析． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题． （1）设饲养室长为，则宽为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围； （2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论； （3）由题意列出函数关系式，再将代入求解，最后再验证即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）， 当时，矩形场地的总面积最大，最大为； （3）由题意得，， 将代入得：， 解得：， ， 不符合要求，舍去， 矩形场地的最大总面积不能达到． 类型十、反比例函数实际问题 【解惑】汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 【答案】(1)平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为 (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，理解和掌握反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数是解题的关键． 【融会贯通】 1．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求这一函数的表达式； (2)当气体压强为时，求V的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意可知P与V的函数的表达式为，利用待定系数法即可求得函数解析式； （2）直接把代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设P与V的函数关系式为， 则， 解得， ∴函数关系式为． （2）解：将代入中， 得， 解得， ∴当气球内的气压为时，气球的体积为2立方米． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数的图像及性质是解题的关键． 2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示． (1)这个反比例函数的解析式是______； (2)若使用时电阻，则电流是______； (3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过，那么用电器的可变电阻至少是多少？ 【答案】(1)； (2)0.3； (3)． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中求解即可； （3）先求出当A时，，再由I随R的增大而减小，可知要使电流不能超过10A，则电阻要不低于． 【详解】（1）解：设反比例函数式， ∵把代入反比例函数式， ∴， ∴； （2）解：当，； （3）解：将代入，得，解得． 根据反比例函数的性质，， ∴在第一象限内，I随着R的增大而减小． 所以用电器的可变电阻至少是． 3．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为，共有6次达到 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数， 设将代入得： ， 解得， ∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：； （2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为， 依据题意得：，解得， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， 经历时间为分钟， ， ∴当时，， 答：饮水机内水温约为，共有6次达到． 【一览众山小】 1．一次函数和反比例函数在同一平面直角系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数与反比例函数的图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，一次函数的图象过一，三，四象限，反比例函数过一，三象限； 当时，一次函数的图象过二，三，四象限，反比例函数过二，四象限； 故满足题意，只有选项D； 故选D． 2．已知点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是熟练掌握：对于反比例函数，当时，图象的两个分支在第一、三象限内变化，且在每一个象限内随的增大而减小；当时，图象的两个分支在第二、四象限内变化，且在每一个象限内随的增大而增大．首先根据得函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内随的增大而增大，然后根据点，，的横坐标得，点，在第二象限内，点在第四象限内，进而可判定，，，最后再根据得，据此即可得出答案． 【详解】解：，， 函数图象的两个分支分别在第二、四象限内，且在每一个象限内随的增大而增大， 又点，，， 点，在第二象限内，点在第四象限内， ，，， 又， ， ． 故选：C 3．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在函数的图象上，过点A作y轴的垂线交函数的图象于点B，连结．若的面积为6，则k的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，再根据的面积为6得，由此即可求出的值．此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象，以及反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：设与轴交于点，如下图所示： 轴于点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 的面积为6， ， ， 反比例函数的图象在第二象限， ， ． 故选：D． 4．如图，点A是反比例函数的图像上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，明确三角形的面积是解题的关键．根据已知条件得到三角形的面积，由于三角形的面积，得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，连接； 轴， ， 三角形的面积， ， ， ， ． 故答案为：6 5．在反比例函数的图象上有，，三点，若，则，，的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．由反比例函数的可知，，函数的图象在二四象限，随的增大而增大，由此进行判断． 【详解】解：由反比例函数的可知，，当时，随的增大而增大， 当时，则， 又在第二象限，， ， 故答案为：． 6．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据函数图象和两个函数的交点横坐标求解即可． 【详解】解：由图象可得，或， 故答案为：或． 7．“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第天且为整数)的售价为(元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与的函数关系式为，已知该产品第天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第天的销售额为(元)． (1) ，_____； (2)写出第天的销售额与之间的函数关系式； (3)求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 【答案】(1)， (2) (3)在试销售的天中，共有天销售额超过元 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； （3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为：，． （2）解：依题意， 当时， 当时， ∴ （3）解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有天销售额超过元 8．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，A点的纵坐标为4，轴于点C，连接．    (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)若点P是反比例函数图象上的一点，且满足的面积是的面积的2倍，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题： （1）把A点横坐标代入正比例函数解析式可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式； （2）由条件可求得B、C的坐标，可先求得的面积． （3）根据的面积是的面积的2倍，求得P到的距离为8，进而求得P的横坐标，代入解析式即可求得P的坐标． 【详解】（1）解：把代入中，得： ，解得：， ∴点A坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵，点A坐标为， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴B点坐标为， ∴B到的距离为4， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∵， ∴P到的距离为8， ∴P的横坐标为10或， ∴P点坐标为或． 9．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）． (2)当电阻R为时，求此时的电流I． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴此时的电流I为． 10．如图1，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点处并将其吊起来，在点右侧的秤钩上挂一个物体，在点左侧的秤杆上有一个动点（最大距离为），在点处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数（单位：）与的长度（单位：）的五组对应值，已在平面直角坐标系中描点如图2． (1)请在图2中画出与的函数图象，并判断它是什么函数． (2)求关于的函数表达式． (3)移动弹簧秤的位置，若秤杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值． 【答案】(1)图见解析，反比例函数 (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）描线，画出函数图象即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据反比例函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图： 它是反比例函数． （2）设这个反比例函数的表达式为 由图像可知，图像过， ∴， ∴． （3）时，中随的增大而减小， 当的值最大时，最小． 即当时， 6 学科网（北京）股份有限公司 $$