综合练十五空间几何体-【育才学案】2023-2024学年高二数学假期综合练(人教版)

综合练十五 综合练十五 空间几何体 真题必刷· >》》 1.在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正 4.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分 方形，AB=4,PC=PD=3,∠PCA=45°， 别为33和4√3，其顶点都在同一球面上， 则△PBC的面积为 ( 则该球的表面积为 ( A.2√2 B.3√2 A.100元 B.128π C.4√2 D.5√2 2.在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M C.144π D.192x 5.(多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为 满足PM=专PC,线段PB上的点N满足 1(单位：m)的正方体容器（容器壁厚度忽略 PN-号PB,则三棱锥P-AMN和三棱锥 不计)内的有 ) P一ABC的体积之比为 A.直径为0.99m的球体 A司 R号 B.所有棱长均为1.4m的四面体 c号 n C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆 柱体 3.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源 D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆 短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知 该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的 柱体 面积为140.0km:水位为海拔157.5m 6.在正四棱台ABCD-A1BCD1中，AB=2, 时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库 A,B1=1,AA=√2，则该棱台的体积为 在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水 库水位从海拔148.5m上升到157.5m时， 7.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面 增加的水量约为（√7≈2.65） A.1.0×10°m B.1.2×10m 的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3 C.1.4×10°m D.1.6×10°m 的正四棱锥，所得棱台的体积为 典题必刷 》 1.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是 积为 一个圆心角为暂的扇形，则该圆锥的表面 A.2x B.3x C.4π D.5π 25 假期综合练高二数学 2.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD1中， 5.在长方体ABCD-AB,C,D1中，AA=AB 点P,Q分别是棱AD,DD的中点，则经过 =2AD=2,E,F分别为BB1和DC,的中 B,P,Q三点的平面截正方体所得的截面的 点，则 面积为 A.EF⊥AC A.3w2 B.3I5 R三棱锥CCEF的体积为行 2 C.三棱锥C,-CEF外接球的表面积为4x c号 n号 D.三棱锥C1~CEF外接球球心到平面 3.正方形ABCD中，E,F分别为线段AB,BC CEF的距离为号 的中点，连接DE,DF,EF,将△ADE 6.(多选)传说古希腊数学家 △CDF,△BEF分别沿DE,DF,EF折起， 阿基米德的墓碑上刻着一 使A,B,C三点重合，得到三棱锥ODEF, 个圆柱，圆柱内有一个内切 则该三棱锥外接球半径R与内切球半径r 球，这个球的直径恰好与圆 A 的比值为 柱的高相等.“圆柱容球”是 阿基米德最为得意的发现：如图是一个圆柱 容球，O,O2为圆柱上、下底面的圆心，O为 球心，EF为底面圆O,的一条直径，若球的 半径r=2,则 () A.23 B.43 A.球与圆柱的表面积之比为1：2 C.26 D.√6 B.平面DEF截得球的截面面积的最小值 4.在四边形ABCD中（如图1所示），AB= 为 AD,∠ABD=45°，BC=BD=CD=2,将四 C.四面体CDEF的体积的取值范围 边形ABCD沿对角线BD折成四面体 A'BCD(如图2所示)，使得∠A'BC=90°， 为劉 则四面体A'BCD外接球的表面积为( D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点， 则PE+PF的取值范围为[2+2√5， 43J 7.在正方体ABCD-A,B,C1D1中，AB=3√2， 点P是正方体ABCD-AB,CD,的内切球 图1 图2 O的球面上的点，点N为B,C上一点， A.9π B.8元 2NB,=NC,DP⊥BN,则线段PC长度的 C.7π D.6π 最大值为 26假期综合练高二数学 所以S,-1=2a。-t-2, 两式相减得4，=24。-1(n22), -32+9-2x4v8x3x9-1n. 所以数列{，1是以2为首项，2为公比的等比数列， 故PA=/7,则PB=√17. 所以4。=2”. 故在△PBC中，PC=3,PB=√/17，BC=4, (2)证明：数列{c.1为2,2.2,2,2,2，… 所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是 所以o∠PCn-PC CPB_-吉， 2PC·BC 2×3X4 以8为首项，8为公比的等比数列 又0<∠PCB<π， 所以当m=2一1(k∈N)时， T.=c1十cg十十c4-1 所以in∠PCB=v/-ms∠PCB=2y厘 =(c1十c1十…十c-1)十(cg十c4十…十c-:) 所以△PBC的雨积为S=之PC·BCsin∠PCB=专×3X4 =(22+2°+…+2-1)+(2+2°+…+2*-) =41-8)+81-8D ×2厘=42 3 1-8 1-8 =5·8-12 法二：连接AC,BD交于O, 7 7 连站PO,则O为AC,BD的 所以T1=T+61=:8-12+2”=12·812 中点，如园， 7 7 7 固为底面ABCD为正方形， 12·8-12 84 AB=4,所以AC=BD= 7 7 42, 5·8°12 5·8-12 在△PAC中，PC=3,∠PCA 7 =45, 显然二是美于北防浅品数： 由余孩定理可得PA=AC+PC-2AC·PCcos.∠PCA 用为5·g-12≥路所以号<艺< =32+9-2x42X3×号-17，故PA=VE. 当n=2k(k∈N”)时， 所以cos∠APC=PAPCAC-17+932 2PA·PC 2×/17×3 T.=r+a+…十ew =(十+…十cx-)+(十c十…+c) -,si.元-1i11os∠c-vT×3× =(2十2+…+241)十(23十2+…十2) =41-82+81-8 -)=-3 17 1-8 1-8 不妨记PB=m,∠BPD=a, 12号. 7 因为P心=号(Pi+P心=号(Pi+Pi) 所以T1=T.+6,=12:8-2+2=40.8-12 所以(PA+PC)=(PB+PD), 7 7 40·812 脚PA+P心+2pA.P心=PB+PD+2Pi.Pi, 7 740·8-1210 7 则17+9十2×（一3）=m2十9十2×3×mc050,整理得m°十 所以2：8122：8-233.g=3° 6mcos0-11=0①， 7 又在△PBD中，BD=PB+PD-2PB·PDeos∠BPD. 显格学是美子长的浅西纸： 肿32=n2十9一6mC080,则m2一6nc050-23=0②， 两式相加得2m-34=0,故PB=m=√17， 为8-3≥21所以9<<号 故在△PBC中，PC=3,PB=√17，BC=4, #上所，号<艺<号 所以os∠PCB-PC+BC-PB-9+16-12-⊥ 2PC·BC 2×3×43 又0<∠PCB<t, 综合练十五 空间几何体 真题必刷·明方向 所以sim∠PCB=V1-cos∠PCB=2,2 3 1,C法一： 所以△PBC的面积为S=号PC·BCsina∠PCB=号X3X4 连结AC,BD交于O,连结PO, 别O为AC,BD的中点，如图， ×2y厘=42 3 因为底面ABCD为正方形，AB 故选C =4,所AC=BD=4√2 2.B如周，分别过M,C作MM⊥PA,CC⊥PA,垂是分别为 别D0=CO=2√2， M,C.过B作BB⊥平面PAC,垂足为B,连接PB,过N 又PC=PD=3,PO=OP,所以 作NN'⊥PB,垂足为N' △PDO2≌△PCO.则∠PDO=∠PCO 又PC=PD=3,AC=BD=4√2， 所以△PDB≌△PCA,则PA=PB, 在△PAC中，PC=3,AC=4√2，∠PCA=45, 则由余孩定理可得PA=AC+PC一2AC·PCeos∠P(CA 参考答案 图为BB⊥平面PAC,BBC平面PBB,所以平面PBB⊥ 7.答案28 平面PAC. 又围为平面PBB∩平面PAC=PB,NN”⊥PB,NNC平 解折法一：由于号=士而 面PBB,所以NN⊥平面PAC,且BB∥NN, 载去的正四枚锋的高为3，所 在△PCC'中，周为Mf⊥PA,CC⊥PA. 以原正四校维的高为6， 将以NM/C,片a-芒 3· 所以正四赖维的体积为3 D 在△P中，国为丽/NV,样a器-品-子 (4×4)×6=32, V-rAM 吉Smw·NY 藏去的正四校锥的依积为号 ×(2×2)×3=4. Va-rac 3Sar·BB 所以校台的休权为32一4=28. 言PA·Mr)·NN 法二：棱台的体积为 2 吉（安PA)·服 9 号×3×(16+4+V16x)=28. 故答肇为：28. 故选B 典题必刷·提素养 3.C如图，由已知得该校台的高为 1.C2.C3.C4.D5,D 157.5-148.5=9(m), 所以该棱台的体积 6.BCD7,3130+330 10 V=片×9×(140+V140x180+ 综合练十六空间点、直线、平面 180)×10°=60×(16+3√7)×10 之间的位置关系 ≈60×(16+3×2.65)×10=1.437×10'1.4×10'(m). 真题必刷·明方向 故选C. 1.C取AB的中点E,连接CE, D 4.A由题意，得正三校台上，下底面的外接圆的来径分别为 DE,国为△ABC是等腰直角 号××3=3.号××4v=4 三角形，且AB为斜边，则有 CELAB, 设诚棱台上，下底面的外接图的圆心分刚为O,,O,连接 父△ABD是等边三角形，则 O,1O,则OO=1,其外接球的球心0在直线OO上， 设琼O的半径为R,当球心O在线段OO,上时，R=3 DE⊥AB,从而∠CED为二面A( 角C一AB一D的平面角，即 OO=4+(1一00)，解得00=4（舍去）： ∠CED=150°， 当琼心O不在线段O,O上时，R=+O=3+(1十 显然CE∩DE=E,CE.DEC (0)),解得(0)=3，所以R=25,所以该琼的表面积为 平而CDE,于是AB⊥平面CDE,义ABC平而ABC, 4πR=100.综上，该球的泰面积为100π 国此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC 5,ABD选项A,球直径为0.991，故球体可以放入正方体 -CE. 客君内，故A正确：选项B,法择连接正方体的而对角线，可 直线CDC平面CDE,别查线CD在平面ABC内的射影为 以得到一个正网面体，其校长为v2>1.4,故B正确：选项C, 直线CE, 底面直径0.01m,可以忽略不计，但高为1.8>3W3为正方 从而∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2,则 体的体对角线的长，故C不正确：选项D,底面直径为1,2< CE=1.DE=√3，在△CDE中，由余孩定理得： √3，高为0.01m的园柱体，其高度可以忽略不计，故D正 确.故选ABD CD=√CE+DE-2CE·DEcos∠CED 6答案76 6 =√1+3-2x1xgx(-)-7, 解析如图，将正四被台ABCD-A,BCD,补成正回棱雏， DE CD 由正孩定理得in∠DCE sin/CED' 即sin∠DCE=3sim150°-3 271 显然∠DCE是锐角，cos∠DCE=√VI-sin∠DCE= V-(- 所以直线CD与平面ABC所或的角的三切为复 则A0=√2,5A=22,50=√22)-(w2)=6, 故选C 2,ABD对于A,连接B,C,易得B,C⊥BC,四边形A,BCD 00=9故V-寻(S+s+VSs)h, 为平行四边形， v=吉(@+1+T)·-7故填： .BC∥AD,.BC1⊥AD, .虎线C与DA,所成的角为90°，.A正确 65