综合练十四数列求和及其综合应用-【育才学案】2023-2024学年高二数学假期综合练(人教版)

综合练十四 综合练十四数列求和及其综合应用 真题必刷·明分句 >》》 1.已知数列(a.}满足a1=1,a+1=a,一 (n 5.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸 时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格 ∈N),则 为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共 A.2<100a1o<2 R2<10aw<3 可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两 种规格的图形，它们的面积之和S= C3<10aw<号 n.7<10aw<4 240dm2,对折2次共可以得到5dm× 12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规 2.已知数列{a.}满足a1=1,am+1= a。 1+√am 格的图形，它们的面积之和S2=180dm°， (n∈N),记数列{a.}的前n项和为S。,则 依此类推，则对折4次共可以得到不同规格 图形的种数为 :如果对折n次，那 A.<Sm<3 么85 dm2. B.3<S1<4 6.已知{an}是等差数列，a2十as=16,a5一ag C4<s<号 n.2<Sw<5 =4. 3.(多选)设正整数n=a。X2°十1×2十…+ （1求a,的通项公式和空4 a-1×2-1+a4×2,其中a:∈(0,1}，记w (2)已知{b}为等比数列，对于任意k∈N, (n)=ao十a1十…十a.则 () 若2-l≤n≤2-1，则bh<a<b+1, A.w(2n)=o(n) ①当k≥2时，求证：2*-1<b<2+1: ②求{b,}的通项公式及其前n项和. B.w(21十3)=w(n)+1 C.w(8n十5)=w(4n十3) D.w(2-1)=n 4.(多选)已知数列{an}的各项均为正数，其前 n项和S.满足a.·S.=9(n=1,2,…).给 出下列四个选项，其中正确的是() A.{an}的第2项小于3 B.{a.}为等比数列 C.{a.}为递减数列 D.a.中存在小于0o的项 23 假期综合练高二数学 典题必刷 2》 1.在数列{an}中，a1=2,ag=2且a.+g一an= 6.在①am+1=an+2",a1=2:②S.=2an一2： 1+(-1)"(n∈N),S1o等于 ( ③S,=2"+1一2这三个条件中任选一个，补 A.0 B.1300 充在下列问题中，并做出解答.设数列{a,》 C.2600 D.2650 的前n项和为S。, ,数列{b}是等 2.在数列{an}中，a1=1,a。一a。-1一n=0(n≥ 差数列，b=1,b2十b十b=21. 2022 (1)求数列{an}和{b,}的通项公式： 2023 (2)设c.=a.·bn,求数列{cn}的前n项 时，则n等于 和T A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 3.已知数列{a.}的前n项和为S,满足3S, 4a.一1(n∈N).记b.为数列{an}在区间 (0,n](m∈N°)内的项的个数，则数列{bm》 的前100项的和为 () A.315 B.319 C.314 D.316 7.数列{an}的前n项和为S.,数列{bn}满足b. 4.(多选)已知等比数列{a.}的前n项和为Sn, =nan(n∈N),且数列{bn}的前n项和为 且S=4aa:是a,+1与2a,的等差中 (n-1)S.+2. (1)求a1,a2,并求数列{a.}的通项公式； 项，数列{6，}满足6.=S·S “一，数列{b》 (2)抽去数列{a.}中的第1项，第4项，第7 的前n项和为T,则下列命题正确的是 项，…，第3一2项，余下的项顺序不变，组 成一个新数列{c.},数列{c.}的前n项和为 A.数列{an}的通项公式为an=3"- 求证号<号 B.Sn=3"-1 c.T.-名g 1 DT,的取值范围是[景，】 5.(多选)数列{an}满足am+1= a(nE 1+2an N“),a,=1,则下列结论正确的是 ( A.2=1+1 B.{2}是等比数列 C.(2n-1)a.=1 D.3aan=a 4假期综合练 高二数学 6.答案 18 所以-1+()+()+( 解析 四为/(r)-(4cos -2]sin+cos 2r+? <1+(1+)+(1+)+.+(1+)] =34+ -2cos rsin r+cos 2r+2 -sin 2r+cos 2r+2 寸×[(+)++++)+(青+古+ -v②sin(2r+-)+2. 1)(ì+寸+)+()(+ 由2r十--(). $.1)】]<3+×6-36. 可得--(2》) 所以,故10100100 当 -1时 ---。 3640-2 上,选B. 故画数/(c)的图象关于点(,2)对称, 由等差中项的性质可得a:十a。-a:十a。-a:十a:-a:+a -2. .a... .a单调递减,故a.1. 所以数列ty.)的前9项和为f(a。)十f(a)+.n十f(a。) -4×4+f(a)-18. 7.解 (1)因为a+2a+2a+.+2a -8n(nEN').① ,()(-()”. 则当n2时,a.+2a:+2a。+..+2 4(_)#-→一# .s→1+()+()++()”- -8(n-1)(nN).② ①-②,得2a-8,则a-2*. 在①中,令n-1,可得a.-8-2. 所以a-2"(N). 1-}# 由题设,b-8,b.-4.b-2. 则b-b--4,b-b=-2, 数列(b-b)的公差为-2-(-4)-2, l十/a. 6-=-4+(-1)×2-2n-6 ._.-1. 所以b-b+(b-b)+(b-b)+.+(b-b)-8 . (-4)+(-2)+.+(2n-8)-n-7n+14(nEN'). :() (2)证明:b--h-7k+14-2 . --2(-a). 当大>4时,(b)-(从-)+-2“单调增,且/(4)-1. '. #(v+a) 所以当 >4时,($)--}+14-2 * ,S<1+2(-+-a+.a 又f(1)-/(2)-f(3)-0. 所以不存在hN,使得b.-a。(0.1). a)=1+2(l-a)<3. s(3),故选A. 综合练十四 数列求和及其综合应用 3.ACD 已知正整数n-a·2+·2+.+a.2+ 真题必剧·明方向 a.·2,其中a0,l,(n)-a。+a+.+a. 1.B 易知0aa 1. 对于选A,2n=0x2”+a2+a.x2+.+a.x2*. '(2n)-o+a.+a.+..+a.-a(n). #- 选项A正确. 对于选 B,2n+3-1x2*+(+1)x2 +a.2+..+a 以2时-△+(--)(-) .2. '(2n+3)-1+a.+1+a+a+.+a.=a+a+.+a 1+-1-+2 +2-(n)+2...选项B错误。 对于选^C,4n+3-1x2+1×2+a·2+a·2+.+ a-·2*+a..2. 以。一3。 n2' &(4n+3)-1+1+a +a+..+a=(n)+2. 3。 0 故100 100x10-03. 8+5-1x2”+0x2+1x2ī+a.·2+a·2'+.+a .2. '.(8n+5)-1+0+1+a+a+.+a.-a(n)+2. 3 1- 111 .(8n+5)一(4n+3)...选项C正确。 t3-。 对选项D,2”-1-1×2+1×2+.+1×2+1×2. '.(2-1)-1+1+.+1-n. “。寸(1)。 个1 .选项D正确.故选ACD 62 参考答案 4.ACD 由题意可知,VnN..0. 据此可得2-1<h. 当n-1时,a-9,可得-3; 综上可得:2-1<2+1. ②由①可知;<3.{.79.1{1 _) 据此猜测。-2. 。-) 。 否则,若数列的公比02. 刻-a。-3.整理可得+3a-9-0. 则6-b”b×22. 注意到21-(2-1)-1-2,则2 1-(2-1)>0不 因为a。→0.所以解得a。-35-3之3.A对; 成立,即22-1不恒成立, 此时无法保证2-1~b. 假设数列(a.)为等比数列,设其公比为?。 若数列的公比2, 对__.()-所以s:5. 则6.-b <b×2-1<3×2-. 注意到3×2-(2+1)-2-1,则21-1<0不恒$ 可得a(1+q)-a(1++). 立,即3×2<2十1不恒成立, 解得。-0,不合题意, 此时无法保证<2十1. 故数列(a.)不是等比数列,B错; 综上,数列的公比为2,则数列的通项公式为b.一2. 其育项和为:5.-2×(1-2°)-21-2. 2) 1-2 可得a<1: 典题必剧·提素养 所以数列a)为递减数列,C对: 1.D 2. B 3. B 4. BCD 5.ABC 假设对任意的nN,a.100' 6.解 (1)若选①:由a:-a。+2*得a-a.-2”, 则a-a-2,-a。-2.,-a-2, 刻 10.0 10000100-1000 a。_a-2 将上述n-1个式子相加,整理得a.-a.-2+2十.+2} +22(1-2--2-2. 立,D对. 1-2 5.答案5 240×(3-3) 又a-2,所以a.-2“. 若选②:S-20-2.当n-1时.a-2 解析 对折3次有2.5×12.6×5.3×10,20×1.5共4种. 当2时.a.-$-$.-(2a.-2)-(2-2. 面积和为S-4×30-120(dm). 对折4次有1.25×12,2.5×6,3×5.1.5×10,20×0.75共5 种,面积和为S=5X15-75(dm). 若选③;S-2-2.当n-1时.a.-2. 当n>2时,由S-2--2可得S.-2-2. 所以a.-s.-s.-2. #.-240(). 所以-2. #8-240(.++). 经检验,当n-1时,a.-2”也成立,所以a.-2”, 设等差数列(h.)的公差为d, 由题意知6-1,b.+b十b-21. 两式作差得:-5-240·(1+寸+寸+.+去一 即b+d+b+3d+b+5d-21,解得d-2. “)一20(一) 从而-2n-1. (2)由(1)可得c-(2n-1)2. 将以5.-240.(3-) 则T.-1×2 +3×2+5×2+.+(2n-1×2. 27-1×2+3×2+5×2+..+(2-1×2. /-3. 两式相减得-T.-1×2+(2×2+2×2+.+2×2)- 6.解:(1)由题意可得 -2. -a-2d-4. (-1)×2. 则数列(a.)的通项公式为 -7-1X28-2 8--2-(2n-1)21-(3-2n)2-1-6. a.-a.+(n-1d-2n+1. 整理得T-(2n-3)2*+6. 7.解 (1)由题意得a.+2a。+3a+.+aa. =2[2”+(2 +1)+(2*+2)+.+(2-1)]+2 -(n-1)S+2.① 2(2+2--1)×2+2--3×4*. 当n-1时,a.-2;当n-2时.a.+2a.-S+4-a.+a.+4 2 →-4: (2)①由题意可知,当2<<2-1时,b<a。; 当2时.a.+2a.+3a+.+(n-1)a) 取-2,则6<.-2×2+1-2+1; -(n-2S+2(n-1.② ①-②得,n.-(n-1)S-(n-2)S,+2-S+(n-2) 即<2+1. 2n2-1时,a.<h, +2S-2a.-2(n2). 取-2-1,此时a.=a-_1 当n-1时.a一2,也适合上式, -2(21-1+1-2-1. 所以S.-2a.-2(nN). 假期综合练 高二数学 所以S-2.-2. -32+9-2×4/2x3×2-17. 两式相减得a-2。(n一2). 所以数列(a.)是以2为首项,2为公比的等比数列, 故PA=17,则PB=17. 所以.-2. 所以co PCB-PCBCPB1-17-. 故在△PBC中,PC=3.PB=17,BC-4 (2)证明;数列(c.)为2,2,2,2,2,2.... 2PC.BC 所以奇数项是以4为首项,8为公比的等比数列,偶数项是 2X3X4 议8为首项,8为公比的等比数列. 又PCBn. 所以当n-2-1(h6N)时, 所以 sin PCB-1-cos PCB22 T.-c+co+.十co) 所以△PBC的面积为S-PC·BCsin PCB-- =(c+C.+)(c十C+.十Cn) 1x3X4 -(2+2+.+2)+(2+2+.+2-) -1-)08(1 22-4/2. -. 1-8 法二:连接AC,BD交于O. 连结PO.则O为AC,BD的 所以T.-T+.-5.8-12+212.8*12. 中点,如图, -7 因为底面ABCD为正方形, 12.812 AB-4.所以 AC-BD= 以 712.812-2 4/2. 5.812 5·8-12 5.8-12 在△PAC中,PC-3.PCA 7 -45. 显然是关于的减画数, 则由余弦定理可得PA-AC+PC-2AC·PCcos PCA -32+9-2×4V2×3x17,故 PA-17. PA+PC-AC一 所以cos乙APC= 17+9-32 当n-2(后N)时. 2PA·PC 2×/17X3 T.-c:++.. =(c++...十co)十(c十c.) -(2+2+.+2)+(2+2+.+2”) _ -12-12. 不妨记PB-m, BPD-0. 因为P-(p+P)-(PB+PD). 所以T=T+12812+2-40-812. 所以(PA+P)-(PB+PD). 40.8*12 P+P+P.P-P+PD+2P.P 7-40.8-12-107 则17+9+2×(-3)-m{+9+2×3×mcosθ,整理得m+ 6ncos0-11-0①. 又在△PBD中,BD=PB+PD-2PB·PDcos BPD. 显然是关于的减画数. 即32-n+9-6mcos0.则m-6ncos 0-23-0②. 两式相加得2m-34-0,故PB-m- 17. 因为3·8*-321,所以10T11 copCB_PC16-17-. 故在△PBC中,PC-3,PB-17,BC-4. 上所,21 2PC·BC 2X3X4 又0PCBπ. 综合练十五 空间几何体 所以sin PCB-V1-cosPCB-22 真题必刷·明方向 所以△PBC的面积为s-PC·BCsin PCB- 1.C法一: x3x4 连结AC,BD交于O,连结PO. 2_4/2. 则O为AC,BD的中点,如图, 因为底面ABCD为正方形,AB 故选C. -4.所以AC-BD-4v2. 2.B 如图,分别过M.C作MM'IPA,CCIPA,垂足分别为 刻DO-CO-2/②. M.C'.过B作BB$ 平面PAC,垂足为B,连接PB,过N 又 PC-PD-3.PO-OP,所以 作NN'1PB,垂足为N。 △PDO△PCO.则PDO-PCO. 又 PC-PD-3,AC-BD-4V2. 所以PDBPCA.则PA-PB 在△PAC中,PC-3.AC-42.PCA-45. 则由余弦定理可得PA-AC*+PC-2AC·PCcos PCA 64