综合练十三等差数列、等比数列-【育才学案】2023-2024学年高二数学假期综合练(人教版)

综合练十三 综合练十三 等差数列、等比数列 真题必刷。 ) 1.记S。为数列a.的前n项和,设甲:a。)为 (1)若3a =3a.+a,S +T.-21,求a)的 _~ 为等差数列,则 通项公式: (2)若b.为等差数列,且S一T=99, A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 求d. B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要 条件 2.记S。为等差数列(a。)的前n项和.若a。十 a-10,a.a-45,则S- ( ) A.25 B.22 C.20 D.15 3.记S.为等比数列a.的前n项和,若S -5.S-21S,则S= ( ) A.120 B.85 -2a.+1. C.-85 D.-120 (1)证明:a。是等差数列; 4.已知a.为等比数列,S.为数列a.的前 (2)若a,a.a。成等比数列,求S.的最 项和,a-2S.十2,则a:的值为 f ) 小值. A.3 B.18 C.54 D. 152 5.已知a.)为等比数列,aaa-aa,aa。= -8,则a,- 6.记S.为等比数列a。)的前n项和.若8S。= 7S.,则a.的公比为 7.设等差数列a.的公差为d,且d>1,令b n十”记S。,T.分别为数列(a),(6.)的 . 前”项和. 21 假期综合练 高二数学 典题必刷。 1.在等比数列a.中,如果a十a。=16,十 7.已知数列a。)的前三项与数列b.)的前三 ( ) a-24,那么a十a。等于 项对应相同,且a.+2a+2^a十...+2”a。 A.40 B.36 C.54 D.81 -8n对任意的nN都成立,数列(b.-- 2.已知正项等比数列a.)的前”项和为S。,且 b.)是等差数列 S.-2S.-5,则a。+a。+au+a的最小 (1)求数列a.与的通项公式; 值为 ( (2)证明:不存在EN,使得-aE(0,1). A.10 B.15 C.20 D.25 3.(多选)已知等比数列a.)满足a三1,公比 ~ A.数列a。是等比数列 C.数列(log。a。是等差数列 D.数列a是等比数列 4.(多选)若数列a.前n项的和为S。,则下列 说法正确的是 ( _~ A.若a.=-2n+11,则数列a.前5项的和 最大 B.若S.是等比数列a.的前n项和,且S -2·3-1+a,则a--2 C.a-2 024,S-n^a.,则a202a-2023 2 D.若a.为等差数列,且atou<o,ao+a:ou >0,则当S.<0时,n的最大值为2022 5.在等差数列a。中,a.三1,其前n项和为 S.若S.-3S-24,则S- f(x)-(4cos*-2)sinx+cos 2x+2.记 y.=f(a。),则数列(y.)的前9项和为 22假期综合练高二数学 25+9-49=-1 2×5×3 ·所以∠BAC-等 当n≥2时，上两式相减得： S.-5.-1=S,+2(n-1)d 因为AD为∠BAC的角平分线， 当n=1时，上式成立， 所以∠BAD=∠CAD=晋， 所以4，=a1+2(n-1)D. 又a,+1-a,=a1+2mD-[:十2(n-1DD]=2D为常数. 所以5a四=号×3X5Xin号 所以{a.}为等差数列，故选C -X8+5)×ADXm音 2.C法一：设等差数列{a。}的公差为d,首项为a1·依避意 可得， 每程AD=总 ag+a6=a,+d+a1+5d=10,即a1+3=5, 又a,a1■(a1+3d)(a1+7d)■45， 7.解1)因为(h一c)=a一x 解得：d=1,a1=2, 所法b十e2一a=加， 南余获定理可得A士次一条一子 所以5=0，+5×d=5×2+10=20 2hc 故选C 又周为A∈(0，x),所以A=子 法二：a1十d。=2a,=10.a1a.=45. 所以4，=5，a。■9， 2南已加sm★血A-×g-3 1 ,所以x6, 从而d=8号=1，于是a=a,-d=5-1= 由已知及余孩定理得a=6+e2-2 ceos A=+c2-bc 所以S:=5aa=20 (h十c)-3h 故选C, 即7=(h+)2-3×6,所以(W+r)2=25, 3.C法一：设等比数列{a,}的公比为q,首项为d1, 解得b十=5戏b十c=-5(会)， 若g=1,期S=61=3×241=3S,与题意不符，所以g≠1： 所以△ABC的周长为a十b十c=5十√7. 综合练十三 等差数列、等比数列 由S=-53=215可得，二)--5.11g2 1-g 1-9 真题必刷·明方向 21×01-g) 1.C法一，为等差数列，设其首项为41，公差为d, 1一4 ① 由①可得，1十+=21，解揲：g=4, 则8=m+n.受=a+”写4=号+a, 2 所以5，-a0二》=1二92×1+)=-5×1+16) S.5.d 1-4 1-4 n十1n2 =-85. 故这C 故{倍)为等是经列，则甲是乙的克分条件 法二：设等比数到《a,}的公北为4 厦之倍}为等差数到，中岩-=518 周为S:=一5，S。=21S,所以g≠-1，否则S1=0, 「n+1n #(+1) 从而，S,S,-S,S%-S,S。-S成等比数列， 胎子为布，这有 所以有，(-5-S)2=S(215十5). 中微2 解得S=-1浅5=号 =1 当S=-1时，S,S,-S,S.-S,S,-Sa, 故S=a+1一1·n(n+1),故S。-1=(n-1)a.-1·n(n 肿为-1.-4，-16.S,十21， 1),n≥2 易知，S.+21=一64，pS。=一85： 两式相减有： 4.=wa+1-(n-1)d,-2n→a+1-a,-24 当S,-号时.5，-a+a,+a,+a,-(a,+a:)1+g)-(d 对"=1也成立，故{.为等差数列 十1)S>0,与S,=一5矛盾，含去 则甲是乙的必要条件 故选C. 故甲是乙的充要条件，故选C 4,C由题意可得：当n=1时，=2a,+2, 法二：（数列与充要条件） 即41g=24,十2，① 因为甲：{a.}为等差数列，设数列{a,}的首项a1,公差为d. 当n=2时.u=2(a1十a:)+2, 印5=a,+2 pa9=2(a1十a1g)+2,② 联立①②可得a1=2,q=3.则a,=a14=54 故选C, 2 5,答案-2 故（侣}为等差批列，脚甲是乙的克分条件 解析设(a,》的公比为g(g≠0)，则aa:a=a,a6=a9· ag,显然a.≠0. 反之乙：（倍}为等基载到 则a4=g,即a1q=g,则a1q=1,图为4an=一8，则41g 带--n受-s+-1D ·a1g=-8, 则”=(g)=-8=(-2)',则g=-2,则a:=a19· 即S.=nS:十n(n一1)D =g2=-2, S-4=(n-1)S+(n-1)(n-2)D. 故答案为：一2 60 参考答案 6.答案 法回：因为{a,}为等羞数列且公差为d,所以可得a.=dn十 十n (n+1)×n 解析若q=1,则由8S4=7S,得8·6a1=7·3a1: a-d,b.dnFu-d ina-d 则41=0，不合题意， 因为(}为等差数列，根据等差数列通项公式可知山与 所以g≠1.当q≠1时，因为8Sa=7S, 的关系满足一次函数，所以上式中的分号“dm十1一”需满 所以8×41二g2)=7ד11二9). 1-g 1-g 是ad=0成者‘=1，甲a=d我者a,=2,下同 即8×(1-g)=7×(1-g), 法一 即8×(1+g3)(1-g)=7×(1-9), 法五：因为{a,}为等差处列且公差为d,所以可得a。=dn十 即8×日+)-7，解得g-名 则由么”得6=是 故答发为：一子 6 12 千司6一a,十2周为6，为等差最到，所以满足6十b 7.解(1)（求通项】 =2h,脚2+12 a a千两边同乘a(a,+d)(a 因为3d=31十a,故3l=a1=41十2d,即a,=d,故a,= +27=2.6 +2l)化简得a-3d1d+2=0,解得a1=d或者a1=2d M,所以b=”十一”十1，S="1C,=所十32 2 2d1 因为4a.,{6,}均为等差数列，所以Sn=99an 又8+T=21,p3+-21.脚2-7d+3=0,故 T0=990,则S。一Tm=99等价于an一b=1, ①有a,=d时a,=d加6=}m+1D d=3或d=之（舍），故a,的通项公式为0，=3m, 则ew-6a=50N-}-1 (2)法一：（基本量法） 得50d-d一51=0-→(50d-51)(d+1)=0, 若6)为等差数列，则2%，=6十，即2：2X3=1X2 解得d=别气者d=-1,周为>1，降以d品 a+27pa-3ad+2=0,所以a:=d或a1=2d:当a 3×4 ②当a=2d时a,=d(n十1)，h,=7”: -4时a.-d6-”宁，放8-以T.-法 50 2 2d 则am-6=51d- =1,化简得 又S-Tn=99,即9·)00d_99,102-99,即50d-d 51d-d-50=0→(51d+50)(d-1)=0, 2 2d 5引=0，阶以d酷k山=K会 解得山=一曾我者d=1,调为>1，所以均不取 擦上所迷d=0 51 当a=2u时a,=(u+1dA,=子，故S=nm主34，T. 2 n1,又S。-Tn=99,p9·1024-9,100=99,即 8解0)证明：由分+n=2a+ 2d 2 2d 得2S.十n2=2a.H+n,① 51-150=0,所以=费（合）减d=1会1 所以25，，+(n+1)2=2a,41(n+1)+(n+1),② 蜂上d品 ②-①，得2a1+2m+1=2a1(n+1)-2a,n+1. 化商得4.1一4。=1， 法二：（方程思想） 所以数列{a。}是公差为1的等差数列. 苦位为等差载到：则么=品一A加十队一次型，所 (2)由(1)知数列{a.}的公差为1， 由a1a,a成等北数列， 以a1一d=0浅d-a,-d,即a,=d发a1-2d,下问法一 得a=aa,肿(a,+6)2=(a,+3)(a1+8). 法三：（基本量法） 解得4，■一12. 多知么a 所以S,=-12n+(#-1业-”2-25n 2 2 04十4=、12 所以6-是=6 a1十2a' =(要 因为{b,}是等差数列，所以2弘=b十， 所以当H=12或13时，S。取得最小值，最小值为一78. 典题必刷·提素养 1C 2.C 3.ACD 4.AC 整理得(a1-2d)(a1一)=0.所以a1=2d或a1=d, 5.答案64 经检登，a1=d时满足题设，而a1=2d不满是题设，舍去. 解析处列(@.为等差数列， 故a,=nd,a,=d>1. 六数到三}为等差数列，设其公差为山， 于是-"8=.=洁 2 2d 而ST=99, 所以50d-引-1，解得d=品或d=-1(会去故d的位 为 :8=,即5=75=6. 61 假期综合练高二数学 6.答案18 解析因为f)-(4cos之-2）sinx+cos2x+2 所以止=1+（信-）+(-)++（品-） =2cos rsin r+cos 2r+2 <1+[(+)+(1+吉)+…+(1+)]=34+ =sin 2x+cos 2x+2 号×[(2+)+(+号+…+）+(g+号+… =2im(2+）+2, 由2a+景=xk∈D, )+(信++…+)+（最+高+…+高）+（债 可得x号-音∈Z, 品+…+)]<34+号×6=36 当=1时=资 所以4w>高故10ue>梁>把-号 综上，选B 故函教f)的圈象关于点(，2）对称。 2,A易知a,>0,a+1-an=- a.Ju<0. 由等差中项的性质可得a1十a,=a:十a,=a,十a:=a,十a: 1+√a a+<a., =2a1, 所以数列(y,}的前9项和为fa,)+f(as)+…+f(a) .{a,}单调递减，故an≤1， =4×4+f(a,)=18. 一方面a= 7.解()图为a,十2a2+2a十…+2'a =8n(n∈N”),① ≥≥(）。≥…(）=(）， 则当n≥2时a1+2a:十2a十…十2a, =8(n-1)(n∈N),② s≥1+（号）+（号）+…+(2）” ①-②，样2'a.=8,则a=2. 在①中，令n=1,可得a1=8=2-, 所以a,=2-“(r∈N”). 1一立 由题设，b1=8.b=4.b=2. 别b一b■一4，b一b2=一2. 芳一方面+十a a. 数列6+1一}的公差为一2-(-)=2， 6.--6.=-4十(n-1)×2=2n-6. 所以b.=b十(b:一b1)十(b一2)十…十(b一b,-1)=8十 Va. (-4)+(-2)+…+(2n-8)=n°-7n十14(n∈N“). “a>(瓜+a, (2)证明：6-a,=k-7k+14-2‘. 当≥4时，)-(-号）广+子-2单满适琳，且0=1 4<18=2-a 2(Ja.+va) 所以当k≥4时，f(k)=k-7张十14-24≥1， ∴Sm<1+2(a-√a+@-√a+…+√am 又f(1)=f(2)=f(3)=0, 所以不存在k∈N°，使得6一，∈(0,1). Vam)=1+21-V@)<3∴5∈(23)故选A 综合练十四 数列求和及其综合应用 3.ACD已知正楚数n=am·2”+a1·2+…+a4-,·2-1十 真题必刷·明方向 a·2,其中a,∈{0，l,m(n)=ao十a1十…十a, 1.B易知0<a.-1<a,≤1 对于选项A.2n=0×2"+am×2+a1×2+…十a,×2+, ∴.m(2n)=0十an十d1十十a4=m(n), ,选项A正确， 对于选项B,2m+3=1×2+(am+1)×2+a1X2+…十a ·21, 所以当≥2时+（）++（） ∴.m(2n十3)=1十au十1十a1十ag+…十a,=a。十a1十…十a4 1+”-1=+2 十2=(n)十2，.选项B错误. 3 3 对于选项C,4n+3=1×2"+1×2十4·2+41·2+…+ 所以a,<2 a-1·21+a4·2*, w(4n+3)=1+1十a,十4十…+a=m(n)+2, 故10aaw<10×7品-9<3 8m+5=1×2"+0×2+1×2+a,·2+a1·2+…+44 ·22, 由an=a,一3i,牌a1=·（3-u2 1 3 .m(8n十5)=1+0+1+au十41十…十a:=m(n)+2, m(8n十5)=(4n十3)，.选项C正确. ,1<1+1。 对遮项D,2”一1=1×2”+1×2+…+1×2+1×2， ∴m(2”-1)=十1十…十1=， 》 所以 n个1 ∴.选项D正确.故选ACTD 2