专题16与圆的基本性质有关的计算【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题16 与圆的基本性质有关的计算 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1利用圆的基本性质计算角度、线段长度 （5年3考） 2024·北京：垂径定理的推论，圆周角定理 2023·北京：垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质 2021·北京：切线的性质及四边形内角和 在中考中，圆的基本性质计算包括圆心角定理、圆周角定理及推论、垂径定理、圆的内接多边形、以及扇形、圆锥等相关的计算，圆基本性质这部分出题时，也会考察圆的切线性质、三角形、四边形等相关的性质，具有一定的综合性。除了填选会出题外，在解答题中也对圆的有关知识进行了综合考查. 考点1利用圆的基本性质计算角度、线段长度 1. （2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    【答案】55 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2. （2023·北京·中考真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】根据，得出，，根据等腰直角三角形的性质得出，即，根据，，得出为等腰直角三角形，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是的切线， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理，得出． 3. （2021·北京·中考真题）如图，是的切线，是切点．若，则 ． 【答案】130° 【分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴由四边形内角和可得：， ∵， ∴； 故答案为130°． 【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 4. （2024·北京·三模）如图，点P为圆外一点，过点P作的切线、，A，B为切点．点C为上一点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接，，由切线的性质定理得到，求出，由圆周角定理得到． 【详解】解：连接，， ，分别切圆于、， 半径，半径， ， ， ， ． 故答案为：． 5. （2024·北京·三模）如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为 °． 【答案】40 【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、平行线性质等知识，先由平行线的性质及圆周角定理得到，再由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余求解即可得到答案，熟练掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 是的直径， ，则， 故答案为：． 6. （2024·北京门头沟·二模）如图，是的直径，弦于点，，如果则的半径长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，如图，连接，，证明为等边三角形，再进一步解答即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的直径，弦， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 7. （2024·北京·三模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是， ∴， 解得：， 故答案为：． 8. （2024·北京大兴·二模）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接，由圆周角定理得，由垂径定理得，，进而根据勾股定理即可得解． 【详解】解：连接，如图所示， ∵， ∴， ∵，是直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 9. （2024·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 记的中点为，连接，可知，然后根据圆内接四边形对角互补求解作答即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， 由图可知，，，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 10. （2024·北京顺义·二模）如图，是的半径，是的弦，于点D，的延长线与的延长线交于点E．若，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由圆周角定理得，而，再由三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. （2024·北京顺义·二模）小红在手工课上制作的折扇，折扇展开是一个扇形，如图所示，已知扇形的半径是，扇形的圆心角是，则扇形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. （2024·北京昌平·二模）如图，点P为外一点，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧上一点，若，则 °． 【答案】50 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理．连接，，由切线的性质定理得到，求出，由圆周角定理得到． 【详解】解：连接，， ，分别切圆于、， 半径，半径， ， ， ， ． 故答案为：50． 13. （2024·北京·一模）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到，根据直角三角形两个锐角互余计算出，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径，为的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. （2024·北京西城·一模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作，垂足为E， 根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作，垂足为E， 设正六边形的边长为a，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. （2024·北京石景山·一模）如图，是的直径，是延长线上一点， 与相切于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接，求解，再根据圆周角定理即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵ 与相切于点．， ∴，， ∴， 故答案为： 16. （2024·北京房山·模拟预测）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为 分米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，连接，根据垂径定理求得分米，设圆的半径为分米，则分米，米，根据勾股定理即可求得，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵过圆心，为的中点， ∴， ∵分米，C为的中点， ∴分米， 设圆的半径为x分米，则分米， ∵分米， ∴分米， 在中，由勾股定理， ∴， ∴， 即拱门所在圆的半径是15分米． 故答案为：15． 17. （2024·北京平谷·一模）如图，内接于，为的直径， D为上一点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理等知识．熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 由为的直径，可得，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18. （2024·北京门头沟·一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查圆周角定理，掌握“的圆周角所对的弦是直径”是正确解答的关键． 根据圆周角定理进行判断即可． 【详解】解：根据“的圆周角所对的弦是直径”即可得出答案， 故答案为：的圆周角所对的弦是直径． 19. （2024·北京丰台·一模）如图，A，B，C是上的点，，点D在优弧上，连接．若，，则的半径为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理等知识点，连接，可得，根据即可求解. 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：2 20. （2024·北京通州·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ．    【答案】3 【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论． 本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1， 过作于，    在正十二边形中，     ， ∴正十二边形的面积为, ， , 的近似值为3， 故答案为：3． 21. （2024·北京大兴·一模）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了圆周角定理，先由直径所对的圆周角为，可得，然后由得：，然后根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：45 22. （2024·北京朝阳·一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得，，则可得是的中位线，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴，即， 设半径为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴． 23. （2024·北京顺义·一模）如图，是的外接圆，，，平分，交于点D，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质及圆周角定理是解题的关键． 根据等边对等角和三角形内角和定理可求得，再由角平分线及圆周角定理确定，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 24. （2024·北京房山·一模）如图，是的直径，点在上，，垂足为点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、解直角三角形，由圆周角定理得出，解直角三角形得出，再由即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 25. （2024·北京西城·一模）如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则 ． 【答案】25 【分析】本题考查了圆的内接四边形性质，圆周角定理等知识，利用圆的内接四边形的性质求出的性质，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵的内接四边形中，， ∴， ∵点A是的中点， ∴， ∴， 故答案为：25． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 与圆的基本性质有关的计算 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1利用圆的基本性质计算角度、线段长度 （5年3考） 2024·北京：垂径定理的推论，圆周角定理 2023·北京：垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质 2021·北京：切线的性质及四边形内角和 在中考中，圆的基本性质计算包括圆心角定理、圆周角定理及推论、垂径定理、圆的内接多边形、以及扇形、圆锥等相关的计算，圆基本性质这部分出题时，也会考察圆的切线性质、三角形、四边形等相关的性质，具有一定的综合性。除了填选会出题外，在解答题中也对圆的有关知识进行了综合考查. 考点1利用圆的基本性质计算角度、线段长度 1. （2024·北京·中考真题）如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则    2. （2023·北京·中考真题）如图，是的半径，是的弦，于点D，是的切线，交的延长线于点E．若，，则线段的长为 ．    3. （2021·北京·中考真题）如图，是的切线，是切点．若，则 ． 4. （2024·北京·三模）如图，点P为圆外一点，过点P作的切线、，A，B为切点．点C为上一点，若，则的度数为 ． 5. （2024·北京·三模）如图，点在上，，连接并延长，交于点，连接，若，则的大小为 °． 6. （2024·北京门头沟·二模）如图，是的直径，弦于点，，如果则的半径长为 ． 7. （2024·北京·三模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 8. （2024·北京大兴·二模）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．若，，则的长是 ． 9. （2024·北京海淀·二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则 ． 10. （2024·北京顺义·二模）如图，是的半径，是的弦，于点D，的延长线与的延长线交于点E．若，则 ． 11. （2024·北京顺义·二模）小红在手工课上制作的折扇，折扇展开是一个扇形，如图所示，已知扇形的半径是，扇形的圆心角是，则扇形的面积是 ． 12. （2024·北京昌平·二模）如图，点P为外一点，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，点C为优弧上一点，若，则 °． 13. （2024·北京·一模）如图，是的直径，点在上，过点作的切线与直线交于点．若，则 °． 14. （2024·北京西城·一模）如图，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上， 点，分别为两个正六边形的中心． 则的值为 ． 15. （2024·北京石景山·一模）如图，是的直径，是延长线上一点， 与相切于点．若，则 ． 16. （2024·北京房山·模拟预测）如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，为中点，为拱门最高点，圆心在线段上，分米，则拱门所在圆半径的长为 分米． 17. （2024·北京平谷·一模）如图，内接于，为的直径， D为上一点，连接．若，则的度数为 ． 18. （2024·北京门头沟·一模）如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是 ． 19. （2024·北京丰台·一模）如图，A，B，C是上的点，，点D在优弧上，连接．若，，则的半径为 ． 20. （2024·北京通州·一模）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为 ．    21. （2024·北京大兴·一模）如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为 ． 22. （2024·北京朝阳·一模）如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为 ．    23. （2024·北京顺义·一模）如图，是的外接圆，，，平分，交于点D，则的度数为 ． 24. （2024·北京房山·一模）如图，是的直径，点在上，，垂足为点，若，，则的长为 ． 25. （2024·北京西城·一模）如图， 在的内接四边形中， 点A是的中点，连接， 若，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$