专题15二次函数及其性质【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题15 二次函数及其性质 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1二次函数及其性质 （5年5考） 2024·北京：求二次函数的顶点式，二次函数的性质，分类讨论和数形结合思想 2023·北京：二次函数的性质，二次函数的对称性 2022·北京：二次函数的图象和性质、二次函数对称性 2021·北京、二次函数的综合，二次函数的图象与性质 2020·北京：二次函数图象的性质．分类讨论的思想及数形结合思想 二次函数及其性质是中考中重点考查内容，包括：二次函数的表达式、待定系数法、对称轴公式、顶点坐标、函数值的大小比较，在解题时，常需要自己画出函数图辅助分析，通过分类讨论及数形结合思想，寻找解题关键点。同学们，在复习时，还需注意二次函数背景的实际问题、以及一些综合题也会涉及二次函数的相关知识点。 考点1二次函数及其性质 1. （2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 2. （2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于，有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 3. （2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； (2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 【答案】(1)（0，2）；2 (2)的取值范围为，的取值范围为 【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解； （2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点，点，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴当x=0时，y=2， ∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）； ∵， ∴点关于对称轴对称， ∴； （2）解：当x=0时，y=c， ∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c）， ∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c）， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ， ∵1＜3， ∴2t＞3，即（不合题意，舍去）， 当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，， 此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，解得：， ∵1＜3， ∴2t＞3，即， ∴， ∵，，对称轴为， ∴， ∴，解得：， ∴的取值范围为，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4. （2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可； （2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． 【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为； （2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得： ①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾； ②当时， ∵抛物线始终过定点， ∴此时抛物线的对称轴的范围为， ∵点在该抛物线上， ∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为， ∵，开口向上， ∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 5. （2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． （1）若抛物线的对称轴为，当为何值时， （2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值； （2）根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可． 【详解】解：（1）当x=0时，y=c， 即抛物线必过（0，c）， ∵，抛物线的对称轴为， ∴点M，N关于对称， 又∵， ∴，； （2）由题意知，a＞0， ∴抛物线开口向上 ∵抛物线的对称轴为， ∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当时，恒成立 情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立 情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即 解得， ∴3≥2t， ∴ 综上所述，． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想． 6. （2024·北京·三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点，， 在抛物线上． (1)当时，直接写出m与n的大小关系； (2)若对于 都有 求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键． （1）由，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，对称轴为，，，由，可得； （2）分当，，， 四种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于的不等式，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 当时，对称轴为，，， ∵， ∴； （2）解：当时，如图1， ∴在抛物线段上，在段上，在上， ∵对于，都有， ∴且， 且， 解得：； 当时，如图2， ∵对于，都有， ∴且， 解得：； 当时，如图3， ∵对于，都有， 又∵在图象中已包含最小值， ∴不存在的情况，即此种情况舍去； 当时，如图4， ∵对于，都有， 又∵， ∴，即此种情况与题意不符，舍去； 综上所述，t的取值范围为或． 7. （2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． (1)若且，求的值． (2)已知且，若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． （1）根据，得出抛物线的对称轴为直线，即可确定两点关于直线对称，根据抛物线对称性即可求解． （2）根据得出抛物线为，在直线右侧，且在的左侧，根据若对于，都有， 即可确定，即可求解； 【详解】（1）若，则抛物线为， 故抛物线的对称轴为直线， ∵，， 故两点关于直线对称， ∴． （2）若，则抛物线为， 抛物线的对称轴为直线，且， ∵抛物线开口向上，故当时，y随x的增大而增大， ∴在直线右侧，且在的左侧， 若对于，都有， 则， ∵ ， ∴， 解得：， ∴． 8. （2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）把点和点代入得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，根据对称轴方程即可得答案； （2）根据得出当时，y随x的增大而增大，判断出，在对称轴的左侧，根据二次函数的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为，进而得出即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴把点和点代入得：， 解得：， ∵对称轴为， ∴． （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大． 令，得， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∵，，， ∴，在对称轴的左侧， 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ∵， ． ． 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧． 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ． ． 9. （2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； (3)若对于时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查抛物线图像和性质，化成顶点式、求与轴对称轴交点，采用数形结合的方式是解题关键． （1）将抛物线整理成顶点式，对称轴可求； （2）令，得到抛物线与轴的两个交点为，可求，要满足题意则； （3）结合抛物线的对称轴可知点一定位于对称轴的右侧，则对称点为，要保证对称点为，结合对于时，都有列方程组即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为， （2）由（1）可得，抛物线的顶点坐标为， 令，得到或， ∴抛物线与轴的两个交点为， ， 若点中至少有一个点位于轴的上方 只需； （3）∵抛物线的对称轴为， ∴点一定位于对称轴的右侧， 它的对称点为， 又∵对于时，都有， ∴， 解得． 10. （2024·北京·三模）已知抛物线． (1)求此抛物线的顶点的坐标； (2)若抛物线经过点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系： （1）将二次函数解析式化为顶点式求解． （2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，分类讨论或，结合图象求解． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线顶点坐标为． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 令， 解得， ∴， ∵， ∴或， 分类讨论： （a）如图，当时， ， 当时，取最小值为， 所以； （b）如图，当时， ， 将代入得， 所以， 综上所述，或． 11. （2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上， (1)这个抛物线的对称轴为直线_________； (2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键． （1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程； （2）有两种情况满足题意，①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，②函数图像与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时，分类讨论求解即可； 【详解】（1）解：对称轴为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴抛物线的图象开口朝上， 无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方， 有两种情况满足题意， ①当抛物线与x轴有两个相同的交点或者没有交点时，满足题意， 即， ∴， 化简得， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②函数图象与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意， 此时三点中，水平距离最近的A和B不能同时在x 轴下方， 临界情况A、B两点分别是这两个交点， ∵对称轴为， ∴， 得，则有：，， 此时代入，解得， ∵在二次函数中，二次项的系数绝对值越大，则抛物线的开口越小， ∴此时； 综上所述，． 12. （2024·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数的图像与性质，解题的关键在于分类讨论，借助于图象及不等式的性质进行求解． （1）根据对称点即可求对称轴； （2）由题意可知，抛物线与轴的交点为，①当时，抛物线开口向上，不成立；②当时，抛物线开口向下，且经过，，若抛物线经过点，则，若抛物线经过点，则，（i）当时，或，不合题意，（ii）当时，，因此对于，存在，对于，都有，所以成立；（iii）当时， 不合题意，故． 【详解】（1）解：由题意得与 对称轴对称， ∴； （2）解：由题意可知，抛物线与轴的交点为， ①当时，抛物线开口向上， 当时，有最小值，没有最大值， 与“对于，都有”不符，所以不合题意， 不成立． ②当时，抛物线开口向下，且经过，， 若抛物线经过点，则， 若抛物线经过点，则， （i）当时，或， 对于，都有， 与“对于，存在”不符，所以不合题意， （ii）当时，， ∴对于，存在， 对于，都有， 成立； （iii）当时， 当时，， 与“对于，都有”不符，所以不合题意， 综上所述：． 13. （2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据对称轴运算求解即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，利用对称性得到的取值范围，利用二次函数的图象性质求解即可； （3）分类讨论点的位置，再根据二次函数的对称性和图象性质的关系得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）∵二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴． （2）证明：设点关于对称轴的对称点为， ∵抛物线的对称轴，， ∴， ∵点，在对称轴左侧，，且， 根据二次函数性质，时，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴，， ∴当时，， 把代入函数解析式得． （3）∵抛物线的对称轴，， ∴点在对称轴右侧， ①当点在对称轴右侧时， ∵时，， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ∴， ②当点在对称轴左侧时， 设点关于对称轴的对称点为， ∵， ∵，， ∴， 根据二次函数性质，时，随的增大而增大， ∴，则， 综上可知，或． 14. （2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，点，，在抛物线上． (1)当时，直接写出m与n的大小关系； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质并分情况求解是解题的关键． （1）由，可知图象开口向上，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，对称轴为，，，由，可得； （2）分当，两种情况，作函数图象，根据抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，确定关于的不等式，然后求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴图象开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 当时，对称轴为，，， ∵， ∴； （2）解：当时，如图1， ∴在上，在上，在上， ∵对于，都有， ∴且，此时无解； 当时，如图2， ∴在上，在上， 当在上时， ∵对于，都有， ∴且， 解得，； 当在上时， ∵对于，都有， ∴且， 解得，； 综上所述，t的取值范围为或． 15. （2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)①____________（用含a的式子表示）； ②当时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键． （1）①根据二次函数的对称轴公式求解即可； ②首先根据求出，然后得到抛物线解析式为，然后令求解即可； （2）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）①对称轴为直线； ②∵， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴令，得， 解得， ∴抛物线与x轴的公共点的坐标为． （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴， ∴． 16. （2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)若，求b的值； (2)若点在抛物线上，对于，都有，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象上的点的坐标特征，二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标满足其表达式，从而根据不等式求参数的范围． （1）根据点，在抛物线上，且，可求得的值； （2）根据题意，可知点，，在抛物线上，再由，即可求得的范围． 【详解】（1）解：由题意，抛物线的对称轴为． 点，在抛物线上，且， ． ． （2）点，，在抛物线上， ，，． ， ． 即，． ， ， ，， ， ． ， ． 即，， ， ， ， ， ， ． 综上所述，b的取值范围是． 17. （2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若时，求的值； (2)已知点在抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）利用函数的对称性即可求解； （）把点代入函数式可得，，进而得，即得或，根据可得，即得，设点关于抛物线的对称轴的对称点为，利用对称性可得，根据当时，随的增大而减小及即可求解； 本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：点和点在抛物线上，且， ， ； （2）解：，理由如下： ∵抛物线过点， ，， ， ， 或， ∵， ，即， 设点关于抛物线的对称轴的对称点为， 点在抛物线上， 点也在抛物线上， 由，得， ， 当时，随的增大而减小， 点在抛物线上，且， ． 18. （2024·北京·二模）在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为． (1)若，求t的值； (2)已知点，，在该抛物线上．若，且，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）利用抛物线的对称轴公式求得即可； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 即． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点关于直线的对称点的坐标是， ∴． ∴． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∴． 19. （2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质、把二次函数化为顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）利用配方法把抛物线解析式配成顶点式即可求得顶点坐标； （2）由（1）可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，由题意得出点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离，即，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， 该抛物线的顶点坐标为 （2）解：由（1）可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上， 对于该抛物线上的三个点，，，总有， 点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离大于点距离对称轴的距离， ， 解得：， 实数的取值范围为． 20. （2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求的值； (2)若对于大于1的实数m，都有求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质质以及分类讨论是解题的关键． （1）把代入，求得两点坐标，即可根据二次函数的对称性质求解； （2）根据二次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：当时， 抛物线经过和 抛物线对称轴为 （2）解：依题意，点在抛物线上 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 当时，都有 若时， 当时，都有 时，都有 当时，对于都有 当时，不合题意，舍去． 当时，不合题意，舍去． 综上所述，的取值范围是 21. （2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中． (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的对称轴； ②当时，比较，的大小，并说明理由； (2)设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)；，理由见解析 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． （1）①利用抛物线经过点和点，函数值相等的两点连线的垂直平分线即为对称轴，即可得解； ②分当时和当时两种情况讨论，证明点比点离对称轴更近即可得解； （2）利用，开口向上得出，从而得到，结合“存在实数，当时，都有”得到，根据当时，有最小值，得出，从而得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点和点， ∴抛物线的对称轴是：直线， ②，理由如下： ∵， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 即点比点离对称轴更近， ∴， 当时， ∵ ∴， 即点比点离对称轴更近， ∴， 综上所述：． （2）∵即，开口向上， ∴， ∴ ， ∵， ∴随着m的增大而增大， 要使得存在实数，当时，都有， 只需保证， 即当时，， ∴的取值范围是． 22. （2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征． （1）依据题意，根据二次函数的性质求得对称轴即可得解； （2）根据二次函数的性质分①当，②当时，③当时，④当时，与的关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于，有， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小． ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴，符合题意； ②当时， （i）当时， ∵， ∴， ∴，符合题意； （ii）当时， 设点关于的对称点为，则点的坐标为， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴，符合题意； ③当时，令，则， ∴，不符合题意； ④当时，令，则， ∴，不符合题意； 综上所述，的取值范围是． 23. （2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识， （1）将，代入解析式，得出即可得解； （2）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1），， ， ， ， （2）， 抛物线开口向下， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向下， 在对称轴右侧，随的增大而减小． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而减小， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 24. （2024·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)当抛物线过点时，求抛物线的解析式； (2)若抛物线上存在两点和，若对于，，都有，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分情况讨论：当原点位于对称轴的左侧时，当原点位于对称轴的右侧时，根据，，都有，确定b的取值范围． 【详解】（1）解： ∵抛物线过点 ∴，解得： ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵抛物线的对称轴为， 当时 解得 故与x轴的交点为 情况1：当原点位于对称轴的左侧时， 要满足对于，，都有， 此时，有解得 情况2：当原点位于对称轴的右侧时 要满足对于，，都有， 此时，有，解得，解得 综上，或 25. （2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)如果抛物线经过点，求的值； (2)如果对于，，都有，求取值范围； (3)如果对于，或，存在，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）把点代入解析式求得，然后利用对称轴公式即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，都有，则，求得；当时，都有，则，求得；即可得； （3）因为，所以抛物线开口向上，根据二次函数的性质，分当或时，当时，两种情况讨论即可得出答案． 本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， 当，即时，都有， 则， 解得， ∴； 当，即时，都有， 则， 解得， ∴； 综上所述，； （3）解：由（1）知， ∴， ∴二次函数的解析式为：， ∵， ∴， 即， 当或时，n最小值为， ∴一定存在， 当时，当取1或者12时n有最小值， 即n的最小值为或， ∵存在， ∴或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， 综上所述，或． 26. （2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点． (1)直接写出一个a的值，使得成立； (2)是抛物线上不同于M，N的点，若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质： （1）根据二次函数的对称性可得到结果； （2）根据该二次函数开口向上，在对称轴处取得最小值，分情况讨论即可； 掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据抛物线可得， 该抛物线开口向上，对称轴为：， 若使得成立， 则M点要比N点离对称轴比较近，或者M点和N点都在对称轴右侧， ，中点的横坐标为：， ∴， ∴（答案不唯一）； （2）解：∵二次函数解析式为， ∴函数图像开口向上，对称轴为， ①当时， ∴点P，M，N均在对称轴右侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； ②当时， ∵点P在对称轴左侧，设P点关于的对称点为， 则点的坐标为， ∵点，M，N在对称轴右侧，且， ∴， ∴； ③当时， ∵点P和M在对称轴左侧，由函数性质，有， ∵点，N在对称轴右侧，且， ∴， ∴； ④当时， ∴点P，M，N均在对称轴左侧， ∴由二次函数性质，必有，不符题意舍去； 由①②③④可知，． 27. （2024·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标及顶点坐标； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线与轴的交点坐标为，抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）令，则代入的值即可得出此时抛物线与轴的交点坐标，将抛物线化为顶点式，代入的值即可得出此时抛物线的顶点坐标； （2）由题意得出，，从而得出，结合，，得出，即可得到，求解即可． 【详解】（1）解：令，则． 当时，． ∴抛物线与轴的交点坐标为； ∵， ∴当时，抛物线的顶点坐标为． （2）解：∵，是抛物线上任意两点， ∴，． ∴． ∵，， ∴，． ∵，， ∴．即． ∴． ∴． 28. （2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础． （1）直接根据对称轴公式即可解答； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【详解】（1）解：由题意得，对称轴为直线， 即． （2）解：． 理由如下： 令，得． ∴． ∴抛物线与x轴的两个交点为，． ∵抛物线与x轴的一个交点为，其中， ∴． ∵， ∴． ∴，． 设点关于抛物线的对称轴的对称点为． ∵点在抛物线上， ∴点也在抛物线上． 由，得． ∴． ∴． ∵抛物线的解析式为， ∴此抛物线开口向上． 当时，随的增大而增大． ∵点，，在抛物线上，且， ∴ 29. （2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，且满足．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时，写出m，t的之间的等量关系． (2)当时，均满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像的对称性等知识． （1）根据抛物线关于对称轴对待的性质，点M、N到对称轴的距离相等，即可求得m，t的之间的等量关系； （2）将点到对称轴的距离记为，点到对称轴的距离记为，抛物线与轴交点记为点，到对称轴的距离记为．根据，分别考虑及时 m的范围，最后取两个范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：点，是抛物线上两点， 当时，点和点关于抛物线的对称轴直线对称， ， ． （2）解：将点到对称轴的距离记为，点到对称轴的距离记为，抛物线与轴交点记为点，到对称轴的距离记为． ，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即， ， ， ， ， 当时，均满足， ， ，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即， ， ， ； 当时，均满足， ， 综上，． 30. （2024·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 上有两点， 它的对称轴为直线． (1)若该抛物线经过点，求t的值； (2)当时， ①若， 则 0； （填“>”“=”或“<” ） ②若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)①<，②或 【分析】本题主要考查二次函数的性质， 将点代入抛物线求得，结合对称轴定义即可求得； ①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，即可得； ②由已知求得，结合恒成立，则有点在x的同侧即可． 【详解】（1）解：将点代入得，解得， ∴， 则； （2）①根据题意得抛物线开口向上，且过原点， ∵，， ∴； ②∵， ， ∴， ∵有恒成立， ∴点在x的同侧， 则或． 31. （2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线x=t． (1)若 ，求t的值； (2)若当 时，都有 求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把点的坐标代入解析式求得，然后利用对称轴公式即可求得； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，分两种情况讨论，得到关于的不等式组，解不等式组从而求得的取值范围． 【详解】（1）解： 点在抛物线上， ， ， ； （2）解：， 抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，都有， 点在对称轴的左侧，在对称轴的右侧， 点，，在抛物线上， 点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为， 当时，则，解得， ； 当时，则，解得， 综上所述，t的取值范围为． 32. （2024·北京海淀·一模）在平面坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时．求抛物线的对称轴； (2)已知当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存任，说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)①证明见解析；②存在，，理由见解析 【分析】（1）将点代入，求出、的关系式，根据对称轴公式，即可求解， （2）①方法一：求出抛物线与轴交点，根据的符号分类讨论，即可求解，方法二：将代入，，根据，，得到，即可求解， （3）设抛物线的对称轴为，则，由，得到，，根据的范围，二次函数的增减性，分情况讨论即可求解， 本题考查了，求抛物线的对称轴，二次函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握二次函数的增减性． 【详解】（1）解：由题意可知，点在抛物线上， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①方法一： 令，则， 解得：或， 抛物线与轴交于点，， ， 抛物线开口向上， （i）当时，， 当时，；当或时，， 当时，总有， ， ， ， （ii）当时，， 当时，；当或时，， 当时，，不符合题意， 综上，， 方法二： 由题意可知，． 若，则． ， ． ， ． 当时，． 当时，总有． ． ， ， ②存在， 设抛物线的对称轴为，则， ， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ， ，， （i）当时， ， ，符合题意， （ii）当时， 当时， ， ， 当时， 设点关于抛物线对称轴的对称点为点， 则，， ， ，， ， ， ， ， ， 当时，符合题意， （iii）当时， 令，，则，不符合题意， （iv）当时， 令，则， ，不符合题意， （v）当时， ， ，不符合题意， 当，即时，符合题意， ， ， 由（1）可得， ． 33. （2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若点在该抛物线上，求t的值； (2)当时，对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质： （1）利用待定系数法求出，再根据对称轴计算公式求解即可； （2）根据解析式可得当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大，据此分当时，当时，当时，当时，四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，且离对称轴越远函数值越大； 当时， ∵， ∴此时满足； 当时， ∵， ∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离， ∴此时满足； 当时，一定会有的值满足，即此时，不符合题意； 当时，若，且时，此时，不符合题意； 综上所述，； 34. （2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴 (2)或 【分析】本题主要考查二次函数的性质和解一元一次不等式方程组， 将点代入二次函数代数式解得，结合对称轴得定义即可求得； 根据题意知在对称轴右侧y随x的增大而增大，分在对称轴右侧和左侧，分别列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ∵ ∴抛物线的对称轴； （2）∵抛物线的对称轴为，， ∴在对称轴右侧， ∵ ∴在对称轴右侧y随x的增大而增大， ①当在对称轴右侧， ∵， ∴， 则，解得，故； ②当在对称轴左侧， 设关于对称轴的点为， ∵抛物线的对称轴为， ∴，解得， ∵， ∴， ∴，解得； 故答案为：或． 35. （2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，当时，求的取值范围； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． （1）由题意知，该抛物线的对称轴为直线，求解作答即可； （2）当时，，对称轴为直线，图象开口向上，可知当时，；当时，；当时，；由，可得，进而可得的取值范围； （3）由，可知当时，，即，由对称轴为直线，可得，且，可求；当时，，即，同理可求，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，，对称轴为直线，图象开口向上， ∴当时，； 当时，；当时，； ∵， ∴， ∴当时，的取值范围为； （3）解：∵， ∴当时，，即， ∵对称轴为直线， ∴，且， 解得，； 当时，，即， ∵对称轴为直线， ∴，且， 解得，， 综上所述，或． 36. （2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴（用含有的代数式表示）； (2)点为该抛物线上的三个点，若存在实数，使得，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴 (2)或． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及增减性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式代入数值进行化简，即可作答． （2）用a，t表示出m，n，p，运用作差法求出t的取值范围，根据t存在求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入 得 ∴ 则对称轴； （2）解：∵M，N，P均在抛物线上，且 ∴， ∵， ∴， ∴当时， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴，矛盾； 当时，且，t一定存在， 综上所述，或． 37. （2024·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，点，是抛物线（）上任意两点． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)若，，比较与的大小，并说明理由； (3)若对于，，总有，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． （1）利用抛物线对称轴公式求出即可； （2）根据条件点M、N都在对称轴右侧，根据函数增减性进行解答即可； （3）根据二次函数图象上点的坐标特征，分析中点坐标与对称轴的关系得到不等式，解不等式即可得到m的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线（）的对称轴为：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）∵，抛物线开口向上，对称轴为直线，， ∴，都在对称轴右侧， ∵当时，y随x的增大而增大，且， ∴； （3）∵，， ∵， ∴距离对称轴更近，，则的中点在对称轴的右侧， ∴， 解得：． 38. （2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的经过点，将点A向左平移4个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)点B的纵坐标为时，求a的值； (3)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键． （1）根据平移先得出，根据、的纵坐标相等，即可得抛物线对称轴； （2）将的纵坐标为代入求出即可； （3）根据，，三个点的纵坐标都为，可知点必定在抛物线“U型”的 内部，再根据，的横坐标相同，可得点在点的正上方或者正下方，分当时和当时两种情况讨论，画出图象，数形结合即可作答． 【详解】（1）解：∵将抛物线上点向左平移4个单位长度，得到点B， ， ∵点在抛物线上， ∴抛物线对称轴为：． （2）点的纵坐标为， ， ． （3）由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∵，，三个点的纵坐标都为， ∴可知点必定在抛物线“U型”的 内部， 又∵，的横坐标相同， ∴点在点的正上方或者正下方， 分情况讨论： 当时，，此时点在第二象限， ∵在第三象限，点必定在抛物线“U型”的内部， ∴点N在点B的正下方， 如图， 结合图象有：抛物线与线段恰有一个公共点， 则符合要求； 当时，，此时点在第三象限， 又∵在第三象限，如图， 由图可知：当点与点重合或者在点的正上方时，抛物线与线段恰有一个公共点， ∴， 解得：， 即：时，抛物线与线段恰有一个公共点， 综上所述，的取值范围为且． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 二次函数及其性质 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1二次函数及其性质 （5年5考） 2024·北京：求二次函数的顶点式，二次函数的性质，分类讨论和数形结合思想 2023·北京：二次函数的性质，二次函数的对称性 2022·北京：二次函数的图象和性质、二次函数对称性 2021·北京、二次函数的综合，二次函数的图象与性质 2020·北京：二次函数图象的性质．分类讨论的思想及数形结合思想 二次函数及其性质是中考中重点考查内容，包括：二次函数的表达式、待定系数法、对称轴公式、顶点坐标、函数值的大小比较，在解题时，常需要自己画出函数图辅助分析，通过分类讨论及数形结合思想，寻找解题关键点。同学们，在复习时，还需注意二次函数背景的实际问题、以及一些综合题也会涉及二次函数的相关知识点。 考点1二次函数及其性质 1. （2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 2. （2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 3. （2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为 (1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值； (2)点在抛物线上，若求的取值范围及的取值范围． 4. （2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上． （1）若，求该抛物线的对称轴； （2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 5. （2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． （1）若抛物线的对称轴为，当为何值时， （2）设抛物线的对称轴为．若对于，都有，求的取值范围． 6. （2024·北京·三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的对称轴为 点，， 在抛物线上． (1)当时，直接写出m与n的大小关系； (2)若对于 都有 求t的取值范围． 7. （2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中． (1)若且，求的值． (2)已知且，若对于，都有，求t的取值范围． 8. （2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 9. （2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围； (3)若对于时，都有，求的取值范围． 10. （2024·北京·三模）已知抛物线． (1)求此抛物线的顶点的坐标； (2)若抛物线经过点，求的取值范围． 11. （2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上， (1)这个抛物线的对称轴为直线_________； (2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围． 12. （2024·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴是． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，都有成立，并且对于，存在，求的取值范围． 13. （2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知，，是抛物线上的三个点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求证：； (3)若对于，，都有，求的取值范围． 14. （2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为，点，，在抛物线上． (1)当时，直接写出m与n的大小关系； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 15. （2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)①____________（用含a的式子表示）； ②当时，求该抛物线与x轴的公共点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，比较，，的大小，并说明理由． 16. （2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)若，求b的值； (2)若点在抛物线上，对于，都有，求b的取值范围． 17. （2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若时，求的值； (2)已知点在抛物线上．若，比较的大小，并说明理由． 18. （2024·北京·二模）在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为． (1)若，求t的值； (2)已知点，，在该抛物线上．若，且，比较，，的大小，并说明理由． 19. （2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)若对于该抛物线上的三个点，，，总有，求实数的取值范围． 20. （2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求的值； (2)若对于大于1的实数m，都有求的取值范围． 21. （2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中． (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的对称轴； ②当时，比较，的大小，并说明理由； (2)设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围． 22. （2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求的值； (2)若对于，都有，求的取值范围． 23. （2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 24. （2024·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)当抛物线过点时，求抛物线的解析式； (2)若抛物线上存在两点和，若对于，，都有，求b的取值范围． 25. （2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线． (1)如果抛物线经过点，求的值； (2)如果对于，，都有，求取值范围； (3)如果对于，或，存在，直接写出的取值范围． 26. （2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上的两点． (1)直接写出一个a的值，使得成立； (2)是抛物线上不同于M，N的点，若对于，都有，求a的取值范围． 27. （2024·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点． (1)当时，求抛物线与轴的交点坐标及顶点坐标； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 28. （2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1)求的值（用含的代数式表示）； (2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由． 29. （2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，且满足．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时，写出m，t的之间的等量关系． (2)当时，均满足，求m的取值范围． 30. （2024·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线 上有两点， 它的对称轴为直线． (1)若该抛物线经过点，求t的值； (2)当时， ①若， 则 0； （填“>”“=”或“<” ） ②若对于，都有，求t的取值范围． 31. （2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，点 在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线x=t． (1)若 ，求t的值； (2)若当 时，都有 求t的取值范围． 32. （2024·北京海淀·一模）在平面坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时．求抛物线的对称轴； (2)已知当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存任，说明理由． 33. （2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． (1)若点在该抛物线上，求t的值； (2)当时，对于，都有，求的取值范围． 34. （2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，都有，求t的取值范围． 35. （2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，当时，求的取值范围； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 36. （2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴（用含有的代数式表示）； (2)点为该抛物线上的三个点，若存在实数，使得，求的取值范围． 37. （2024·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，点，是抛物线（）上任意两点． (1)直接写出抛物线的对称轴； (2)若，，比较与的大小，并说明理由； (3)若对于，，总有，求m的取值范围． 38. （2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的经过点，将点A向左平移4个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． (1)求抛物线的对称轴； (2)点B的纵坐标为时，求a的值； (3)已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$