专题1.1 集合（考点精讲）-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题1.1 集合 一、【考纲要求】 1. 理解集合的概念及其表示，理解元素与集合的关系及集合间的关系；掌握集合的表示方法. 2. 掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 二、【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 三、【知识清单】 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 四、【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某职校2024年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式练习】下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 例2．已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式练习】给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 例3．已知集合，若，则实数的值为 【变式练习】已知集合，，且，求集合． 考点二：集合间的基本关系 例1. 例4. 设，集合，则 【变式练习1】若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．7 【变式练习2】．已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 例2. 已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【变式练习】若集合，若，则 A．1 B． C．或1 D． 例3. 下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习】已知空集，则实数a的取值范围是 考点三：集合的基本运算 例1. 已知集合，，则 ． 例2．已知全集，集合，则 . 例3. 已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 例4.已知集合，，则 ___________； 考点四：利用集合的运算求参数 例1.集合，，若，则实数 ． 例2.已知集合，集合，若，则 ． 例3.已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【变式练习】已知集合，，且，求由实数所组成的集合． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 集合 一、【考纲要求】 1. 理解集合的概念及其表示，理解元素与集合的关系及集合间的关系；掌握集合的表示方法. 2. 掌握集合间的关系（子集、真子集、相等），能准确应用“元素与集合关系”和“集合与集合关系”符号. 3. 掌握交集、并集、补集的含义，并能进行简单的运算，会借助数轴进行不等式形式的集合运算. 二、【考向预测】 1.集合的基本概念 2.集合间的基本关系 3.集合的基本运算 三、【知识清单】 1.元素与集合 一组对象的全体构成一个集合． (1)集合中元素的三大特征：确定性、互异性、无序性． (2)集合中元素与集合的关系：对于元素a与集合A，a∈A或a∉A，二者必居其一． (3)常见集合的符号表示及其关系图. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N* Z Q R (4)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (5)集合的分类：集合按元素个数的多少分为有限集、无限集，有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示． 2.集合间的基本关系 关系 定义 表示 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中的任意一个元素都是B中的元素 A⊆B 真子集 A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A AB 注意：(1)空集用∅表示． (2)若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. (3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． (4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C． 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为CUA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 运算性质 A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A 求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为CUA. 特别提醒: 1.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB. 2. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB). 四、【考点分类剖析】 考点一：集合的基本概念 例1．下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某职校2024年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【解析】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 【变式练习】下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【解析】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 例2．已知非零实数、，代数式的值组成集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题首先可根据题意分为“、均为正数”，“、为一正一负”，“、均为负数”三种情况进行讨论，然后确定集合中所包含的元素，即可得出结果. 【解析】当、均为正数时，代数式； 当、为一正一负时，代数式或； 当、均为负数时，代数式， 故集合， 故选：B. 【变式练习】给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可. 【解析】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误. 故选：A. 例3．已知集合，若，则实数的值为 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系，分类讨论、、，即可求解. 【解析】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故. [归纳提升]　解决此类问题的通法是：根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． 【变式练习】已知集合，，且，求集合． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，列方程，解方程求出，再根据元素互异性，即可确定集合B. 【解析】由题意，，即，解得或． 当时，集合中元素7和相等，不满足元素互异性，舍去； 当时，，，故． 考点二：集合间的基本关系 例1. 例4. 设，集合，则 【答案】0 【分析】根据集合相等即可得出答案. 【解析】因为，，所以.经检验满足题意 【变式练习1】若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项. 【解析】因为， 所以，解得， 所以. 故选：C. 集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 【变式练习2】．已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】分二次项系数是否为0结合韦达定理求解. 【解析】由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 例2. 已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【解析】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 【变式练习】若集合，若，则 A．1 B． C．或1 D． 【答案】C 【分析】分类讨论，计算检验，即可得到结果. 【解析】当时，，此时满足. 当时，，此时满足， 故选:C. 例3. 下列四个集合中，是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的概念进行判断. 【解析】A选项，集合中显然有元素0，不是空集，A错误； B选项，在R上无解，故，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：B 【变式练习】已知空集，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可. 【解析】由题意，二次方程无解，故，解得. 考点三：集合的基本运算 例1. 已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据交集概念进行求解. 【解析】. 故答案为： 例2．已知全集，集合，则 . 【答案】 【分析】先求出再求出即可. 【解析】由题意知， 所以. 故答案为：. 例3. 已知全集，集合，，求： (1)，； (2) 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）根据交集和并集的定义，即可求解； （2）首先计算补集，再求交集. 【解析】（1）由交集的定义可知，； 由并集的定义可知，； （2）由补集定义可知，， . 例4.已知集合，，则 ___________； 【答案】 【分析】解方程组求出交集中的元素，再根据列举法可得答案. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：. 考点四：利用集合的运算求参数 例1　集合，，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据交集的性质得，由此求得，并检验满足题意． 【解析】，则，所以，，此时满足题意． 故答案为：． 例2. 已知集合，集合，若，则 ． 【答案】2 【分析】根据集合中元素的互异性和集合并集的运算可求的值. 【解析】因为，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意. 故答案为：2 例3. 已知集合，． (1)若，求m的取值范围． (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据集合的包含关系列出不等式即可得解； （2）分和两种情况讨论即可得解. 【解析】（1）若，如图所示，    则，解得， 所以m的取值范围为； （2）若，有和两种情况， 当时，，解得， 当时，如图所示，    则，解得， 综上，m的取值范围为． 【方法规律】 （1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件． （2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误． （3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解． 【变式练习】已知集合，，且，求由实数所组成的集合． 【答案】 【分析】计算得，根据题意得到，考虑和这两种情况，分别计算即可. 【详解】由题意，， 因为， 所以， 当时，，合题意， 当时，，， 因为， 所以或， 所以或， 故． ( 10 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$